4.1 指數(shù)-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第一冊）

4.1指數(shù)【考點梳理】重難點考點n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪考點一n次方根、n次根式1．a(chǎn)的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a(chǎn)的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)a∈Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．考點二根式的性質(zhì)1.eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)．2．(eq\r(n,a))n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．3.eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))．4.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．考點三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義考點四有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．重難點考點無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)考點五無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．考點六二實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)1．a(chǎn)ras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．【題型歸納】題型一：指數(shù)和指數(shù)冪的運算1．下列各式中成立的一項是（

）A． B． C． D．2．化簡(a>0)等于（

）A．6a B．－aC．－9a D．9a23．（1）化簡：；（2）計算：．題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值4．化簡的結(jié)果是（

）A．0 B． C．0或 D．5．化簡（

）A． B． C．2 D．6．求下列各式的值；(1)；(2)．題型三：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化7．化簡的結(jié)果為（

）A． B． C．1 D．8．化簡：(1)；(2)；(3)．9．化簡（其中）＝（

）A． B． C． D．題型三：運用指數(shù)冪運算公式化簡求值10．設(shè)a，b為正實數(shù)，，，則（

）A．1 B．3 C．9 D．2711．（1）求值：（2）已知非零實數(shù)a滿足，求的值.12．計算下列各式：（1）.（2）.（3）.題型四：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運算的綜合應(yīng)用13．（1）計算：；（2）已知，求的值．14．（1）化簡：（1）；（2）先化簡，再求值．已知，，求的值．15．計算的值為（

）A． B． C． D．0【雙基達標(biāo)】一、單選題16．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．17．若正數(shù)，滿足，，則（

）A．1 B．3 C．5 D．718．下列等式中的字母都是正數(shù)，則錯誤的選項是（

）A． B．C． D．19．已知，則的值為（

）A．2 B．－2 C． D．20．下列說法正確的個數(shù)是（）①49的平方根為7；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．421．將化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式___________22．（1）計算；（2）若，求的值．23．（1）；（2）化簡：.【高分突破】一:單選題24．若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件25．若，則的結(jié)果是（

）A． B． C． D．26．式子的計算結(jié)果為（

）A． B． C． D．27．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題28．設(shè)，m，n是正整數(shù)，且，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．29．下列計算正確的有（

）A． B．C． D．已知，則30．已知實數(shù)滿足，下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．31．(多選)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A．B．C．)D．32．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．33．以下化簡結(jié)果正確的是（字母均為正數(shù)）（

）A． B．C． D．34．下列計算正確的有（

）A．（，） B．C． D．已知，則三、填空題35．已知，則_________.36．計算：_____．37．已知，則__________.38．如果，，那么的值是______.39．________.40．若滿足關(guān)系+=+，則的值為_______________．四、解答題41．化簡求值：(1)；(2)．42．（1）化簡：(用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示)；（2）計算：．43．閱讀材料，解決問題：化簡：．由于題目沒有給出x的取值范圍，所以要分類討論，．令，，令，得；∴的零點值為3，的零點值為，在數(shù)軸上標(biāo)出3和的點，數(shù)軸被分成三段，即，，；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式=5；當(dāng)時，原式．(1)求和的零點值；(2)化簡：．(3)求方程：的整數(shù)解．44．計算：(1)；(2)．45．已知，且，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）46．計算下列各式：(1)；(2).47．求下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．48．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案詳解】1．C【分析】利用根式運算法則及根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化，選出正確答案.【詳解】，A錯誤；，B錯誤；，C正確；，D錯誤.故選：C2．C【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則進行運算.【詳解】故選：C3．（1）；（2）【分析】（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則進行計算；（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式運算法則進行計算.【詳解】（1）原式．（2）原式．4．C【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算化簡，然后根據(jù)的大小關(guān)系討論即可.【詳解】．當(dāng)時，原式；當(dāng)是，原式．故選:C．5．D【分析】利用配方法將被開方數(shù)配湊成完全平方形式即可求解.【詳解】解：，故選：D．6．(1)(2)【分析】分析：（1）利用進行化簡，求得答案；（2）先將式子和化成完全平方式，再化簡，即得答案.（1）=．（2）原式=因為，所以，當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，,所以.7．C【分析】先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】故選：C8．(1)(2)(3)【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算可得.（1）,（2）,（3）方法一（從外向里化簡）

．方法二（從里向外化簡）．9．B【分析】根據(jù)冪的運算法則計算．【詳解】．故選：B．10．C【分析】根據(jù)，，得到，求得a即可.【詳解】解：因為，所以，即，∴，，∴，故選：C．11．（1）；（2）【分析】（1）利用指數(shù)和指數(shù)冪的運算性質(zhì)直接化簡即可；（2）根據(jù)化得，對式子進行等價變形為，然后代入求值即可.【詳解】（1）解:原式.（2），，，即.原式.12．（1）；（2）100；（3）.【分析】（1）利用指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.（2）利用指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.（3）利用指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【點睛】本題考查了指數(shù)的運算性質(zhì)，需熟記指數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.13．（1）1；（2）65.【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則，對（1）（2）進行計算即可.【詳解】（1）．（2）因為，所以，所以，所以．14．（1）；（2）．【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則進行計算；（2）先利用平方差公式和完全平方公式進行化簡，再代入求值.【詳解】（1）；（2），因為，，所以.15．A【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡即可求解.【詳解】故選：.16．D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的性質(zhì)計算可得.【詳解】解：對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：D17．C【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)求出，，即可得解.【詳解】解：因為正數(shù)，滿足，，所以，，所以；故選：C18．D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可得答案.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：D.19．D【分析】利用完全平方公式進行計算.【詳解】，所以.故選：D20．A【分析】根據(jù)根式的運算，逐一判斷即可.【詳解】49的平方根是，故①錯誤；，故②正確；，故③錯誤；，故④錯誤．故選:A．21．##【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則，化簡即可.【詳解】.故答案為：.22．（1）；（2）.【分析】（1）由指數(shù)冪的運算性質(zhì)及根式與有理數(shù)指數(shù)冪關(guān)系化簡求值；（2）利用轉(zhuǎn)化求值即可.【詳解】（1）；（2）.23．（1）0；（2）.【分析】（1）根據(jù)根式的化簡計算，可得答案；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，化簡計算，可得答案；【詳解】（1）原式=；（2）原式=.故答案為：0；.24．B【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】取，滿足，而無意義，即不能推出；若，則必有，即成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B25．A【分析】將兩邊同時平方，化簡即可得出結(jié)果.【詳解】，而，故選：.26．D【分析】由指數(shù)運算法則直接計算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D.27．B【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對各選項逐一計算即可求解.【詳解】解：對A：，故選項A錯誤；對B：，故選項B正確；對C：，不能化簡為，故選項C錯誤；對D：因為，所以，故選項D錯誤.故選：B.28．ABD【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可得出【詳解】對于A，∵，m，n是正整數(shù)，且，∴，故正確；對于B，顯然，故正確；對于C，，故不正確；對于D，當(dāng)n取偶數(shù)，；當(dāng)n取奇數(shù)，，綜上，，故正確，故選：ABD29．CD【分析】利用指數(shù)冪運算、根式與有理數(shù)指數(shù)冪互化，對各選項化簡求值.【詳解】A：，錯誤；B：，錯誤；C：，正確；D：，正確.故選：CD30．AC【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：，故選項A正確；，故選項B錯誤；，故選項C正確；,,故選項D錯誤．故選：AC．31．BD【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化公式確定正確選項.【詳解】A選項，由于，所以，A選項錯誤.B選項，正確，B選項正確.C選項，，C選項錯誤.D選項，，D選項正確.故選：BD32．BD【分析】根據(jù)根式的定義與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義、運算法則判斷．【詳解】，故A錯；，故B正確；與不同，故C錯；，故D正確.故選：BD.33．BD【分析】根據(jù)指數(shù)運算公式直接計算即可.【詳解】A選項：，A選項錯誤；B選項：，B選項正確；C選項：，C選項錯誤；D選項：，D選項正確；故選：BD.34．AC【分析】利用指數(shù)冪和根式的運算進行化簡，即可判斷.【詳解】解：由于，，則，故A正確；，故B不正確；，故C正確；已知，則，所以，故D不正確.故選：AC.35．194【分析】將平方可得，再將該式平方可得答案.【詳解】由得，即，故，所以，則，即，故答案為：194.36．110【分析】由指數(shù)的運算性質(zhì)求解【詳解】原式，故答案為：11037．【分析】由題知，再根據(jù)立方和公式分解因式求解即可.【詳解】解：因為，所以，即所以，故答案為：38．【分析】根據(jù)平方差公式即可求解.【詳解】由知：為非負(fù)數(shù)，∵，∴故答案為：39．【分析】利用分母有理化化簡即得解.【詳解】解：原式=.故答案為：.40．21【分析】根據(jù)已知分析出x＋y＝19，得到＋＝0，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題意得：，則，∴x＋y＝19，∴＋＝0，則3x＋5y?2?m＝0①，2x＋3y?m＝0②，①?②得：x＋2y?2＝0，∵x＝19－y，∴y＝?17，∴x＝36，∴，∴m＝21．故答案為：21．41．(1)(2)【分析】（1）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算法則計算可得；（2）根據(jù)冪的運算法則計算可得.（1）解：；（2）解：

．42．（1），（2）【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算即可．【詳解】（1）；（2）.43．(1)，(2)答案見解析(3)，，，，，，【分析】（1）令，，求出的值即可．（2）利用零點分段法分類討論，分別計算可得．（3）利用零點分段法分類討論，分別計算可得．（1）解：可令和，解得和，∴，分別為和的零點值．（2）解：當(dāng)時，，原式當(dāng)時，，原式當(dāng)時，，，原式（3）解：當(dāng)時，∴，∴方程左邊；當(dāng)時，∴，∴方程左邊；當(dāng)時，∴，，∴方程左邊，∴，∴整數(shù)解為：，，，，，，．44．(1)(2)【分析】（1）將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算法則計算可得；（2）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算法則計算可得.（1）解：=．（2）解：．【點睛】指數(shù)冪運算的基本原則：①化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)；②化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；③化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；④化帶分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)；⑤底數(shù)是負(fù)數(shù)的先確定符號．45．(1)(2)(3)【分析】（1）先求得，結(jié)合平方差公式求得正確答案.（2）結(jié)合指數(shù)運算求