吉林省白城市通榆縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE17-吉林省白城市通榆縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】確定集合，由集合運(yùn)算的定義求解．【詳解】因?yàn)榧希?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.（）A.70° B.75° C.80° D.85°【答案】B【解析】【分析】利用，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【詳解】因?yàn)?，?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查弧度轉(zhuǎn)化角度，公式為：.3.函數(shù)的定義域是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】使解析式有意義，因此必需有且．【詳解】由，得，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)定義域，即求使函數(shù)式有意義的自變量的取值范圍．4.設(shè)終邊在軸的負(fù)半軸上的角的集合為則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)角的表示方法及終邊在軸的負(fù)半軸上,即可得解.【詳解】依據(jù)角的表示方法可知,終邊在軸的負(fù)半軸上的角可以表示為,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了角的表示方法,終邊在軸的負(fù)半軸上角的表示形式,屬于基礎(chǔ)題.5.若函數(shù)是冪函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】由冪函數(shù)的定義及冪函數(shù)的單調(diào)性可得，再求值即可得解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù),所以,解得或.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以,所以,即,從而，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義及冪函數(shù)的單調(diào)性，重點(diǎn)考查了求值問題，屬基礎(chǔ)題.6.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到原式，再利用和差公式計(jì)算得到答案.【詳解】．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，和差公式，意在考查學(xué)生對(duì)于三角公式的敏捷運(yùn)用.7.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)解析式，推斷函數(shù)的奇偶性，解除A、B，再依據(jù)函數(shù)值的正負(fù)狀況，即可推斷.【詳解】由題意，，即是定義在上的奇函數(shù)，所以解除A，B；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解除D故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式推斷性質(zhì)進(jìn)而識(shí)別圖像，屬于中等題型.8.若為其次象限角，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)角所在象限,推斷三角函數(shù)符號(hào),即可推斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉槠浯蜗笙藿?所以,,AB,C對(duì),D不肯定正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)在其次象限的符號(hào),屬于基礎(chǔ)題.9.若實(shí)數(shù)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】與中間值0和1比較后可得．【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以，同理，，所以，而，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較對(duì)數(shù)的大小，對(duì)于同底數(shù)的對(duì)數(shù)，可以利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，不同底數(shù)的對(duì)數(shù)可以與中間值0，1等比較后得出結(jié)論．10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則（）A.-2 B.-1 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，再由，列方程組求出，進(jìn)而求出代入求函數(shù)值即可.【詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，所以，，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，特殊的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱不要忽視，是基礎(chǔ)題.11.在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，滿意，，連接交于點(diǎn)M，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】分析】由，，將用向量表示，再由，把向量用向量表示，依據(jù)E，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線的關(guān)系式特征，即可求得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?因?yàn)镋，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，所以，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性表示和向量基本定理，考查三點(diǎn)共線的向量結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.12.設(shè)分別是方程，，的實(shí)根，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行分析.【詳解】對(duì)于，其方程的根為與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)在同始終角坐標(biāo)系作出兩個(gè)函數(shù)圖像如下：由圖可知；對(duì)于，其方程的根為與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由圖可知；對(duì)于，其方程的根為與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖可知或.綜上所述，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的轉(zhuǎn)化，留意數(shù)形結(jié)合，同時(shí)考查了作圖實(shí)力.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，則_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)正切二倍角公式,代入即可求解.【詳解】由正切的二倍角公式,代入即可求解..故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)而倍加公式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.已知向量，.若，則______.【答案】-1【解析】【分析】依據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系,代入即可求得的值.【詳解】依據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系可得,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量平行的坐標(biāo)關(guān)系及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15.已知，，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及角范圍,可求得,代入即可求解.【詳解】由同角三角函數(shù)關(guān)系式,可知因?yàn)?,所以,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16.定義在R上的偶函數(shù)滿意,且當(dāng)時(shí),,則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為____________.【答案】10【解析】【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)作圖視察即可得解.【詳解】解：由于定義在R上的偶函數(shù)滿意,所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,畫出時(shí)，部分的圖象如圖,在同一坐標(biāo)系中畫出的圖象,由圖可知：當(dāng)時(shí),有5個(gè)交點(diǎn),又和都是偶函數(shù),所以在上也是有5個(gè)交點(diǎn),所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是10，故答案為：10.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，求得集合B，再進(jìn)行并運(yùn)算；（2）由得，依據(jù)集合的包含關(guān)系，求解參數(shù)范圍.【詳解】（1）因?yàn)樗裕?，?dāng)時(shí)，所以（2）因?yàn)?，所以，由?）知，則或，即或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，以及由集合之間的包含關(guān)系求參數(shù)范圍，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)定義域.18.已知向量，，.（1）若，求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，求與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算及坐標(biāo)加法運(yùn)算,可得方程組,解方程組即可求得,的值.（2）依據(jù)向量坐標(biāo)的加減法運(yùn)算,可得結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系,即可求得的值.進(jìn)而表示出,即可由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得夾角的余弦值.【詳解】（1）由,得,即,解得.（2）,.因?yàn)?所以,即.令,則.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算和加減運(yùn)算,向量垂直時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系,依據(jù)向量數(shù)量積求夾角的余弦值,屬于基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式，并求出的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的的值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；時(shí)，；時(shí)，（2）【解析】【分析】（1）將圖像所過點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，求得參數(shù)，即可得解析式；再利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)求解最值；（2）將整體代入函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)檫^點(diǎn)，得，.∵，∴，故.當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解得：故的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的解析式求解，涉及單調(diào)性、最值，屬基礎(chǔ)題.20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的解析式；（2）若是上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義可求得解析式；（2）由分段函數(shù)解析式知，函數(shù)在上單調(diào)，則為單調(diào)增函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱軸和最值可得參數(shù)范圍．即時(shí)要是增函數(shù)，且端點(diǎn)處函數(shù)值不小于0.【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以.（2）若是上的單調(diào)函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)滿意，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，分段函數(shù)在整個(gè)定義域上單調(diào)，則每一段的單調(diào)性相同，相鄰端點(diǎn)處函數(shù)值滿意相應(yīng)的不等關(guān)系．21.已知函數(shù)，的圖象的一條對(duì)稱軸是，一個(gè)對(duì)稱中心是.（1）求的解析式；（2）已知是銳角三角形，向量，，且，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合的取值范圍，即可簡(jiǎn)潔求得；結(jié)合函數(shù)對(duì)稱軸，即可求得；（2）依據(jù)（1）中所求，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可簡(jiǎn)潔求得，結(jié)合角，即可求得.【詳解】（1）設(shè)的最小正周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，，，，，，，.，圖象的一條對(duì)稱軸是，，，，.，..（2）因?yàn)?，，，，，，，，又是銳角，.，，.【點(diǎn)睛】本題考查由正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解析式，向量垂直的坐標(biāo)表示，利用正余弦的倍角公式進(jìn)行三角恒等變換，屬綜合性中檔題.22.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)證明:上單調(diào)遞增；(2)函數(shù)，假如總存在，對(duì)隨意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函數(shù)定義證明；（2）分別求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范圍．【詳解】（1）設(shè)，則，∵，∴，，∴，即，∴在上單調(diào)遞增；（2）總存在，對(duì)隨意都成立，即