人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二重難點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、不等式等綜合運(yùn)用（精練）（解析版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】重難點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)、不等式等綜合運(yùn)用（精練）一．單選題（每道題目只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）1．（2023浙江嘉興）已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)任意，使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，，令得，令得，令得，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?，所以?shí)數(shù)m的最大值是1.故選：C2．（2023春·四川廣元·高二廣元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值，要使有3個(gè)不同的零點(diǎn)，只需，即，解得．故選：A．3．（2023秋·江蘇南通）若，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋愠闪ⅲ栽谏虾愠闪?，令，，則，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，所以.故選：A4．（2023秋·河北）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，注意函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需與直線有兩個(gè)交點(diǎn)即可，即關(guān)于的方程有兩個(gè)根，即在上有兩個(gè)根，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故選：A．5．（2023秋·江西贛州）已知，對(duì)任意正數(shù)x都有恒成立，則t的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，則時(shí)，，即不恒成立，不合題意；若，則時(shí)，，即不恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，對(duì)任意正數(shù)x都有，在上遞增，當(dāng)，時(shí)，恒成立，當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，即，所以，，設(shè)，則，由，在上遞增；由，在上遞減，所以，則，即t的最小值為，故選：B.6．（2023春·河北廊坊·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以在上，單調(diào)遞減，在和上，單調(diào)遞增，，．因?yàn)榍∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，解得．故選：D7．（2023秋·湖南衡陽(yáng)）設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)a使得恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，所以，令，由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個(gè)在直線上方，一個(gè)在直下方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，由，得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，沒(méi)有最小值，由，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，無(wú)最小值，不合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以即，所以，即m的取值范圍為．故選：A．8．（2022·青海西寧·校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，且存在，使得，若對(duì)任意，恒成立，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【解析】∵函數(shù)，且存在，使得，∴有解，即為有解，令，則，則函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則．∵函數(shù)對(duì)任意，恒成立，∴，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，取最大值3，∴的最大值為．故選：B．多選題（每道題目至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2023秋·山東）已知函數(shù)與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，和是與的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.對(duì)于選項(xiàng)B，令，，令，.時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，所以單調(diào)遞增，又，，所以有唯一零點(diǎn)，從而與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn).對(duì)于C，D選項(xiàng)，，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn),則兩個(gè)函數(shù)的圖像都與直線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，，所以，又，所以，解得，.故選：BD．10．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．在處取得極值B．若有兩解，則的最小整數(shù)值為C．若有兩解，，則D．有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【解析】

由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則在時(shí)取得極小值，最小值為，故A正確；又，而，所以，而，即，故，又，且，，故大致圖象如圖所示，故對(duì)于有兩個(gè)解，的最小整數(shù)值為，且無(wú)零點(diǎn)，B正確，D錯(cuò)誤；由，，故對(duì)，可知，故C錯(cuò)誤，故選：AB.11．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)恰能作3條曲線的切線，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線的斜率為，則切線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即，令，則，令，得或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)恰能作3條曲線的切線，所以直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

所以m的取值范圍是，故選：BC12．（2023秋·福建龍巖）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是的極小值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立D．若方程有實(shí)根，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，令，定義域?yàn)?，求?dǎo)得恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，，則，使得，所以有且只有一個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，，即等價(jià)為，，令，，求導(dǎo)得，，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值，因此不恒成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程，即，整理得，而，因此，D正確.故選：ABD填空題（每題5分，4題共20分）13．（2023秋·天津和平）函數(shù)，關(guān)于x的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】或【解析】有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與直線的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由是函數(shù)與直線的圖象的1個(gè)交點(diǎn)，只需函數(shù)與直線有1個(gè)交點(diǎn)即可，當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，可得，且，，可得，因?yàn)榕c的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，

可得是的解，所以時(shí)直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，要使與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，只需在只有一解即可，可得，解得.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.14．（2023秋·四川綿陽(yáng)）已知函數(shù).若在恒成立，則的范圍為.【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，所以由，設(shè)，，因此有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因?yàn)樵诤愠闪?，所以有，因此的范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用常變量分離法，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.15．（2023秋·四川內(nèi)江）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)三四象限，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，由得或，若，則當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，且極大值為，故經(jīng)過(guò)第二象限，在處取得極小值，且極小值為，函數(shù)一定過(guò)第三和第一象限，要想經(jīng)過(guò)第四象限，只需，解得；若，則當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且極小值為，在處取得極大值，且極大值為，故經(jīng)過(guò)第一象限，函數(shù)一定過(guò)第二和第四象限，要想經(jīng)過(guò)第三象限，只需，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：16．（2023春·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，即在處取得極大值，又，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)實(shí)根，即恰有一個(gè)實(shí)根，即函數(shù)與恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：解答題（17題10分，18-22題每題12分，6題共70分）17．（2023秋·安徽亳州）已知函數(shù).(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1），則，所以，故處的切線斜率為；（2）要證時(shí)，即證，令且，則，所以在上遞增，則，即.所以時(shí).18．（2023秋·江西）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析．【解析】（1），，，，又，所以所求切線方程為，即；（2）的定義域是，所以時(shí)，，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，，，，，，所以，所以在上存在唯一零點(diǎn)，也是在上的唯一零點(diǎn)，，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，由于，所以，，，所以，所以，即，所以在上是增函數(shù)，，所以時(shí)，，時(shí)，，，，所以，所以時(shí)，，所以．19（2023春·河北·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)；(1)若無(wú)零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】（1），，，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值是，因?yàn)楹瘮?shù)無(wú)零點(diǎn)，，得，所以的取值范圍是；（2）證明：不妨設(shè)，由（1）得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故，，，設(shè)，，因?yàn)椋?，所以函?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上恒成立，故，即，又在上單調(diào)遞減，，.20．（2023春·江西宜春）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】（1），該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，如下圖所示：所以要想有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需，即的取值范圍為；（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，由（1）可知：，不妨設(shè)，要證明，只需證明，顯然，由（2）可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以只需證明，而，所以證明即可，即證明函數(shù)在時(shí)恒成立，由，顯然當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，因此命題得以證明.21．（2023秋·陜西）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.(1)求的范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由，得到，令，，則恒成立，故為增函數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又時(shí)，，時(shí)，，又函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，得到.（2）因?yàn)椋呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，也是方程的兩解，即，，兩式相減得到，又，整理得故要證：，只須證：，即證：，令，即證：，令，在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，即，故原命題得證.22．（2023·海南?？凇ぃ┮阎瘮?shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解