專(zhuān)題8 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題（解析版）

專(zhuān)題8極值點(diǎn)偏移問(wèn)題一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)與函數(shù)極值點(diǎn)偏移有關(guān)的函數(shù)與不等式問(wèn)題（如2022高考全國(guó)卷甲理22）,已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù),在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),且,若極值點(diǎn)左右的“增減速度”相同,常常有極值點(diǎn),我們稱(chēng)這種狀態(tài)為極值點(diǎn)不偏移；若極值點(diǎn)左右的“增減速度”不同,函數(shù)的圖象不具有對(duì)稱(chēng)性,常常有極值點(diǎn)的情況,我們稱(chēng)這種狀態(tài)為“極值點(diǎn)偏移”.此類(lèi)問(wèn)題背景新穎,教材中又沒(méi)有涉及,不少同學(xué)望而生畏,本專(zhuān)題給出此類(lèi)問(wèn)題的常用解法,共同學(xué)們參考.二、解題秘籍(一)通過(guò)對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造新函數(shù)破解極值點(diǎn)偏易問(wèn)題【以例及類(lèi)】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),證明：當(dāng)時(shí),；(3)如果,且,證明：．【分析】(1)由可得在上遞增,在上遞減；(2),構(gòu)造函數(shù),,由單調(diào)性可得時(shí)；(3)假設(shè),由(2)得,即,由在上遞增,可得.該題的三問(wèn)由易到難,層層遞進(jìn),完整展現(xiàn)了處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般方法——對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造的全過(guò)程,直觀展示如下：該題是這樣一個(gè)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題：對(duì)于函數(shù),已知,,證明．再次審視解題過(guò)程,發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：=1\*GB3①,的范圍；=2\*GB3②不等式；=3\*GB3③將代入（2）中不等式,結(jié)合的單調(diào)性獲證結(jié)論．小結(jié)：用對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造的方法求解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題大致分為以下三步：=1\*GB3①求導(dǎo),獲得的單調(diào)性,極值情況,作出的圖像,由得,的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）；=2\*GB3②構(gòu)造輔助函數(shù)（對(duì)結(jié)論,構(gòu)造；對(duì)結(jié)論,構(gòu)造）,求導(dǎo),限定范圍（或的范圍）,判定符號(hào),獲得不等式；=3\*GB3③代入（或）,利用及的單調(diào)性證明最終結(jié)論．下面給出第(3)問(wèn)的不同解法【解析】法一：,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,時(shí),,,時(shí),,函數(shù)在處取得極大值,且,如圖所示.由,不妨設(shè),則必有,構(gòu)造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞增,,也即對(duì)恒成立.由,則,所以,即,又因?yàn)?且在上單調(diào)遞減,所以,即證法二：欲證,即證,由法一知,故,又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,故只需證,又因?yàn)?故也即證,構(gòu)造函數(shù),則等價(jià)于證明對(duì)恒成立.由,則在上單調(diào)遞增,所以,即已證明對(duì)恒成立,故原不等式亦成立.法三：由,得,化簡(jiǎn)得…,不妨設(shè),由法一知,.令,則,代入式,得,反解出,則,故要證：,即證：,又因?yàn)?等價(jià)于證明：…,構(gòu)造函數(shù),則,故在上單調(diào)遞增,,從而也在上單調(diào)遞增,,即證式成立,也即原不等式成立.法四：由法三中式,兩邊同時(shí)取以為底的對(duì)數(shù),得,也即,從而,令,則欲證：,等價(jià)于證明：…,構(gòu)造,則,又令,則,由于對(duì)恒成立,故,在上單調(diào)遞增,所以,從而,故在上單調(diào)遞增,由洛比塔法則知：,即證,即證式成立,也即原不等式成立.【例1】（2023屆貴州省威寧彝族回族苗族自治縣高三數(shù)學(xué)樣卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，在恒成立，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，的取值范圍是．（2）函數(shù)，．則，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解函數(shù)與函數(shù)，的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．，令，解得，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值即最大值為．又時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，又，．不妨設(shè)，要證明，．令，，．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在單調(diào)遞增，，，即，因此成立．(二)含參函數(shù)問(wèn)題可考慮先消去參數(shù)含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,在原有的兩個(gè)變?cè)幕A(chǔ)上,又多了一個(gè)參數(shù),故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；或者以參數(shù)為媒介,構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).由于可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn),也是方程的實(shí)根,所以有些與零點(diǎn)或方程實(shí)根有關(guān)的問(wèn)題可以利用求解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的方法去解決.【一題多解】已知函數(shù),為常數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),試證明：【分析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無(wú)參數(shù)問(wèn)題：,是方程的兩根,也是方程的兩根,則是,設(shè),,則,從而,此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為【例1】,下略.法二：利用參數(shù)作為媒介,換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設(shè),∵,∴,∴,欲證明,即證.∵,∴即證,∴原命題等價(jià)于證明,即證：,令,構(gòu)造,利用單調(diào)性求解,下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè),則,反解出：,故,轉(zhuǎn)化成法二,略.【例2】（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由于，由題知有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．令，則，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，，故的圖象如圖所示，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)且．則或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為．故有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由于若設(shè)，則上式即為由（1）可得，兩式相除得，即，由得所以，令，則在恒成立，由于，令，則，，顯然在遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又，則時(shí)，時(shí)，，所以易得在上遞減，在上遞增，則，所以的取值范圍為．(三)對(duì)數(shù)平均不等式兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.【例3】設(shè)函數(shù)其圖象與軸交于兩點(diǎn),且.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；【分析】（1）,,當(dāng)時(shí),在R上恒成立,不合題意當(dāng)時(shí),當(dāng),即時(shí),至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意,故舍去；當(dāng),即時(shí),由,且在內(nèi)單調(diào)遞減,故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)；由令,則,故所以,即在有且只有一個(gè)零點(diǎn).（2）由（1）知,在內(nèi)遞減,在內(nèi)遞增,且所以,因?yàn)?,即,所以所以,要證：,只須證,即故,,所以,所以因?yàn)?所以,而所以成立,所以【評(píng)注】根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式求解的步驟是：1.通過(guò)等式兩邊同取自然對(duì)數(shù)或相減等配湊出,2.通過(guò)等式兩邊同除以構(gòu)建對(duì)數(shù)平均數(shù),3.利用對(duì)數(shù)平均不等式將轉(zhuǎn)化為后再證明（或）.兩種方法各有優(yōu)劣,適用的題型也略有差異.(四)一題多解賞析【例4】已知,．若有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求證：【分析】解法一欲證,需證．若有兩個(gè)極值點(diǎn),,即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．又,所以,,是方程的兩個(gè)不同實(shí)根．于是,有,解得．另一方面,由,得,從而可得,．于是,．又,設(shè),則．因此,,．要證,即證：,．即：當(dāng)時(shí),有．構(gòu)造函數(shù),,利用為上的增函數(shù)求解.解法二欲證,需證．若有兩個(gè)極值點(diǎn),,即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．又,所以,,是方程的兩個(gè)不同實(shí)根．顯然,否則,函數(shù)為單調(diào)函數(shù),不符合題意．由,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù)函數(shù),根據(jù)在上遞增,可得=0,所以,設(shè),由在上遞增可證.解法三由,是方程的兩個(gè)不同實(shí)根得,令,,由于,因此,在,．設(shè),需證明,只需證明,只需證明,即,即．來(lái)源：微信公眾號(hào)中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落即,,故在,故,即．令,則,因?yàn)?,在,所以,即．解法四設(shè),,則由得,設(shè),則,．欲證,需證,把代入整理得,構(gòu)造證明.設(shè),,則由得,設(shè),則,．欲證,需證,即只需證明,即,設(shè),,故在,因此,命題得證．(五)2022屆高考全國(guó)卷甲理22題解析極值點(diǎn)偏移問(wèn)題前幾年高考曾經(jīng)考查過(guò)，2022年高考全國(guó)卷甲理再次考查極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，該題有一定難度，但用前面介紹的方法可以輕易解決，下面給出兩種解法，共同學(xué)們參考：【例5】已知函數(shù)．（1）若,求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn),則．【解析】解法一：（1）因?yàn)?令,得當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增,所以,若,則,即,所以的取值范圍為.（2）由（1）知,單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增,若有兩個(gè)零點(diǎn),則一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1,不妨設(shè)要證,即證,因?yàn)?即證,因?yàn)?即證即證,即證,下面證明時(shí),,設(shè),則,設(shè),所以,而,所以,所以,所以在單調(diào)遞增即,所以令,所以在單調(diào)遞減,即,所以；綜上,,所以.解法二：（1）因?yàn)?設(shè),則,所以時(shí),遞減,時(shí),遞增,,設(shè),則為增函數(shù),,若,則,即,所以的取值范圍為.（2）由（1）知有兩個(gè)零點(diǎn),則方程有兩個(gè)實(shí)根,因?yàn)闀r(shí)遞減,時(shí)遞增,不妨設(shè),由得,所以要證,即證,即證,即證,設(shè),即證,設(shè),則,所以為增函數(shù),,所以成立.三、典例展示【例1】（2024屆四川省廣安友誼中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若不等式有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，證明：．【解析】（1），單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；（2）有解，所以，，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；所以，所以.（3）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，有兩個(gè)根x1，x2，不妨設(shè)，由（1）可知兩根也是與的兩個(gè)交點(diǎn)，且，，于是，由于在單調(diào)遞減，故等價(jià)于．而，故等價(jià)于．①設(shè)，則①式為．因?yàn)椋O(shè)，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，所以，從而，因此在單調(diào)遞增．又，故，故，于是．【例2】（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期7月適應(yīng)性考試）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(1)證明：；(2)求證：①；②.【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，若，即時(shí)，則時(shí)，此時(shí)在上不存在零點(diǎn)，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，故.（2）①要證，不妨設(shè)，則證，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即證，令，，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，得證；②引理1：當(dāng)時(shí)：證明：當(dāng)時(shí)，得證.利用引理1：，所以①，引理2：：證明：令，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，利用引理2，因?yàn)?，所以，所以，所以②，由①，②知?【例3】（2023屆江蘇省常州市高三上學(xué)期期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，，求a的取值范圍，并證明：.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在上遞增；當(dāng)時(shí)，由得，，時(shí)，，遞增；時(shí)，，遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減.（2）由（1）知，且，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，記為；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，設(shè)，，則，所以在上遞減，所以，即，所以在上存在唯一零點(diǎn)，記為，因?yàn)閍的取值范圍是.

因?yàn)?，令，則，得，所以，要證，只要證，只要證，設(shè)，，則，所以在上遞增，所以，得證．【例4】（2023屆江西省九江第一中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.(1)求的取值范圍；(2)證明：.【解析】（1）,有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，所以在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則解得，故的取值范圍為，（2）由（1）知，且，，令，，令在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，故，因此在單調(diào)遞減，故，故，得證.【例5】（2023屆廣東省高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，．(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【解析】(1)若，則，所以，由，得；由，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程的判別式，，所以．又，所以，即，，欲證，只需證，即證．設(shè)，其中，由，得．因?yàn)?，所以，由得；由得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，從而成立．四、跟蹤檢測(cè)1.（2023屆河北省部分高中高三三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【解析】（1）因?yàn)?，令，則，所以（），故（）.當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立.所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.（2）（?。┯袃蓚€(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不同的根.而（），所以有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)椋?/p>

（），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，而當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向0，趨向0時(shí)，趨向負(fù)無(wú)窮，為使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.（ⅱ）有兩個(gè)零點(diǎn)，則，.即，.所以，即，得，所以.因?yàn)?，所?2．（2023屆云南師大附中高考適應(yīng)性月考）已知函數(shù)，且，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，試比較與2的大小，并說(shuō)明理由．【解析】（1）由，得，又，所以，則，所以，．當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得或；所以在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2），理由如下：因?yàn)椋?，得，解得或．因?yàn)?，所以，，是的正根，則，又，所以，，兩式相減得．令，，則，得，則．令，則，所以，，可得，．設(shè)，則，再設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)，則，即，則在上為增函數(shù)，從而，所以，即，所以，即．3．（2024屆四川省綿陽(yáng)市高中高三突擊班診斷性考試）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為，且.若，證明：.【解析】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，方程在有兩個(gè)不同根，即方程在有兩個(gè)不同根，即方程在有兩個(gè)不同根，令，，則，則當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為；（2）要證，兩邊取對(duì)數(shù)，等價(jià)于要證，由（1）可知，分別是方程的兩個(gè)根，即，所以原式等價(jià)于，因?yàn)?，，所以原式等價(jià)于要證明.又由，作差得，，即.所以原式等價(jià)于，令，，則不等式在上恒成立.令，，又，當(dāng)時(shí)，可見(jiàn)時(shí)，，所以在上單調(diào)增，又，，所以在恒成立，所以原不等式恒成立.4．（2023屆海南省?？谑泻Ｄ先A僑中學(xué)高三模擬測(cè)試）已知函數(shù)（）有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上沒(méi)有零點(diǎn).所以若，則.設(shè)（），則.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，時(shí)，在處取得唯一極小值，也是最小值.設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以最多有一個(gè)零點(diǎn)，即最多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，所?又，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理可知，，有；，有.且當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立.所以，有兩個(gè)零點(diǎn)，即存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，.（2）由（1）知，，且，得，即.設(shè)，得，即，則.設(shè)，則，設(shè)，.當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，即在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，有，即，即，即，即.5．（2023屆湖南省常德市第一中學(xué)高三下學(xué)期5月月考）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在實(shí)數(shù)，使得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：【解析】（1）因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，（2）證明：由題意得，則，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以不妨設(shè)，令，則證，即證，即，由（1）知在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，得證.6．（2023屆北京市通州區(qū)高三考前查漏補(bǔ)缺）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.【解析】（1）因?yàn)椋?所以，又f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)閒（x）在定義域上為增函數(shù)，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時(shí)，在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個(gè)零點(diǎn)（）.當(dāng)時(shí)，，所以在（，+∞）上存在一個(gè)零點(diǎn)，綜上函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.不妨設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，即成立，所以成立.7．（2023屆安徽省皖江名校高三最后一卷）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.(1)求的取值范圍；(2)若，證明：【解析】（1）在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，且當(dāng)，恒有成立，于是，且，即有，又，則，令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞減，從而，所以.（2）由（1）知，方程的兩個(gè)實(shí)根，即，亦即，從而，設(shè)，又，即，要證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，令，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，有，于是，即有在上單調(diào)遞增，因此，即，所以成立.8．（2024屆山東省新高考質(zhì)量檢測(cè)聯(lián)盟高三第一次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.【解析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，又，（?。┊?dāng)單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，記，則，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，所以，①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；②當(dāng)，由（ⅱ）知，有兩個(gè)零點(diǎn)，記兩零點(diǎn)為，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，令，則，所以，所以，且趨近0，趨近于正無(wú)窮大，趨近正無(wú)窮大，趨近負(fù)無(wú)窮大，所以函數(shù)有三零點(diǎn)，綜上所述，；（2）等價(jià)于，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（1）可得，則，所以，所以，則滿(mǎn)足，，要證，等價(jià)于證，易知，令，則，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面證明，由，即證，即證，即證，即證，令，，令，則，所以，所以，則，所以，所以，所以，所以，所以原命題得證.9．（2023屆海南省?？谑械?地高三上學(xué)期12月期末）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：．【解析】（1）定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因?yàn)椋呛瘮?shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，，，顯然，，因?yàn)?，，所以，，即，，所以．不妨令，設(shè)，則，，所以，．又，所以要證，只需證，即．因?yàn)?，所以只要證，即，即．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．10．（2023屆江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三三模）已知