2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 專題一 高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題

專題一高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)方法證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，再根據(jù)單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn).

解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵.題型一單變量不等式的證明考向1利用移項(xiàng)構(gòu)造法證明不等式[例1](2023年全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；【反思感悟】單變量不等式的證明方法

(1)移項(xiàng)法：將證明不等式f(x)＞g(x)[或f(x)＜g(x)]的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0[或f(x)－g(x)＜0]，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x).

(2)構(gòu)造“形似”函數(shù)：對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù).(3)最值法：欲證f(x)＜a(a為常數(shù))，可以證明fmax(x)＜a.【互動(dòng)探究】考向2轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較[例2]已知

f(x)＝xlnx.(1)求函數(shù)f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；由m′(x)＜0得x＞1時(shí)，m(x)單調(diào)遞減，由m′(x)＞0得0＜x＜1時(shí)，m(x)單調(diào)遞增，【反思感悟】

在需要證明的不等式中，若對(duì)不等式的變形無(wú)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，則可以借助兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行證明.【互動(dòng)探究】題型二雙變量不等式的證明考向1利用換元法證明雙變量不等式問(wèn)題故函數(shù)g(x)在x∈(e，＋∞)上單調(diào)遞減.又a＜b，且a，b∈(e，＋∞)，所以g(a)＞g(b)，聯(lián)立消參利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的參數(shù)a抓商構(gòu)元令c＝

，消掉變量x1，x2構(gòu)造關(guān)于c的函數(shù)h(c)用導(dǎo)求解利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)h(c)的最小值，從而可證得結(jié)論結(jié)合所證問(wèn)題，巧妙引入變量c＝，從而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù).其解題【反思感悟】換元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式的基本思路是直接消掉參數(shù)a，再要點(diǎn)為：【互動(dòng)探究】3.已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(x＞0)，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1≠x2).求證：x1x2＞e2.考向2極值點(diǎn)偏移問(wèn)題[例4](2021年全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝x(1－lnx).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna－alnb＝a－b，證(1)解：由函數(shù)的解析式可得f′(x)＝1－lnx－1＝－lnx，∴x∈(0，1)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，x∈(1，＋∞)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，則f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.令h(x)＝f(x)－f(2－x)，則h′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－lnx－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]在(0，1)上單調(diào)遞減，∴h′(x)＞h′(1)＝0，故函數(shù)h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，∴h(x1)＜h(1)＝0.∴f(x1)＜f(2－x1)，∴2＜x1＋x2，得證.同理，要證x1＋x2＜e，(方法一)即證1＜x2＜e－x1，根據(jù)(1)中f(x)的單調(diào)性，即證f(x2)＝f(x1)＞f(e－x1)，令φ(x)＝f(x)－f(e－x)，x∈(0，1)，則φ′(x)＝－ln[x(e－x)]，令φ′(x0)＝0，x∈(0，x0)，φ′(x)＞0，φ(x)單調(diào)遞增，x∈(x0，1)，φ′(x)＜0，φ(x)單調(diào)遞減，又0＜x＜e時(shí)，f(x)＞0，且f(e)＝0，故當(dāng)x→0＋時(shí)，φ(x)→0，∴φ(1)＝f(1)－f(e－1)＞0，∴φ(x)＞0恒成立，∴x1＋x2＜e得證.(方法二)f(x1)＝f(x2)，x1(1－lnx1)＝x2(1－lnx2)，又x1∈(0，1)，故1－lnx1＞1，x1(1－lnx1)＞x1，∴x1＋x2＜x1(1－lnx1)＋x2＝x2(1－lnx2)＋x2，x2∈(1，e)，令g(x)＝x(1－lnx)＋x，g′(x)＝1－lnx，x∈(1，e)，在(1，e)上，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增，∴g(x)＜g(e)＝e，即x2(1－ln

x2)＋x2＜e，∴x1＋x2＜e，得證.【反思感悟】

當(dāng)某一函數(shù)在其定義域上存在極值時(shí)，若極值點(diǎn)左右增減速度相同，則該函數(shù)圖象為對(duì)稱圖形.若極值點(diǎn)左右增減速度不同，則會(huì)出現(xiàn)對(duì)稱性消失，函數(shù)圖象偏移，這種情況稱為極值點(diǎn)偏移.近幾年導(dǎo)數(shù)中雙參問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)，難度較大.破解含雙參問(wèn)題的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.【互動(dòng)探究】4.(2022年南通市模擬)已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2.證明：x1＋x2>2.因?yàn)閤<1，所以1－x>0，2－x>x，所以e2-x>ex，即e2-x－ex>0，所以H′(x)>0，所以H(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增.所以H(x1)<H(1)＝0，即有g(shù)(x1)<g(2－x1)成立，所以x1＋x2>2.題型三活用兩個(gè)與指對(duì)數(shù)相關(guān)的經(jīng)典不等式兩個(gè)與指對(duì)數(shù)相關(guān)的經(jīng)典不等式

(1)對(duì)數(shù)形式：x≥1＋lnx(x＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立. (2)指數(shù)形式：ex≥x＋1(x∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立.進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：ex＞x＋1＞x＞1＋lnx(x＞0，且x≠1).()ABCD

即{x|x＞－1，且x≠0}，所以排除選項(xiàng)D.

當(dāng)x＞0時(shí)，由經(jīng)典不等式x＞1＋lnx(x＞0)，

以x＋1代替x，得x＞ln(x＋1)(x＞－1，且x≠0)，

所以ln(x＋1)－x＜0(x＞－1，且x≠0)，即x＞0或－1＜x＜0時(shí)均有f(x)＜0，排除A，C，易知B正確.答案：B則g′(x)＝ex－x－1，由經(jīng)典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，且g(0)＝0.所以函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)，即兩曲線有唯一公共點(diǎn).【互動(dòng)探究】5.(2023年西固區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2－xlnx.(1)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＜0，

所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則gmax(x)＝g(1)＝1.第2課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問(wèn)題第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

“恒成立”問(wèn)題與“存在性”問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題，它不僅考查了函數(shù)、不等式等傳統(tǒng)知識(shí)，而且與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合更是極大地豐富了該類問(wèn)題的表現(xiàn)形式，充分體現(xiàn)了能力立意的原則，越來(lái)越受到命題者的青睞，成為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.題型一不等式恒成立問(wèn)題考向1分離參數(shù)法求解恒成立問(wèn)題(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)記F(x)＝g(x)－f′(x)，對(duì)任意的x≥0，F(xiàn)(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)g(x)＝ex－2x＋sinx，函數(shù)定義域?yàn)镽，則g′(x)＝ex－2＋cos

x且g′(0)＝0，令φ(x)＝g′(x)，φ′(x)＝ex－sinx，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，φ′(x)＝ex－sinx＞1－sinx≥0，φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞).當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，g′(x)＝ex－2＋cos

x＜cos

x－1≤0，所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0).則F(x)＝g(x)－f′(x)＝ex－2x＋sinx－ax2－1，且F(0)＝0，F(xiàn)′(x)＝ex＋cosx－2ax－2，x∈[0，＋∞)，

令G(x)＝F′(x)，G′(x)＝ex－sinx－2a，令H(x)＝G′(x)，x≥0時(shí)，H′(x)＝ex－cos

x≥1－cos

x≥0，所以G′(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.所以F′(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.所以F′(x)≥F′(0)＝0.所以F(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.所以F(x)≥F(0)＝0恒成立.【反思感悟】

若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立，只需滿足fmin(x)≥a或gmax(x)≤a即可，利用導(dǎo)數(shù)方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值，從而使問(wèn)題得解.【互動(dòng)探究】1.(2023年瀘州市校級(jí)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2＋2ax＋b，f′(x)是其導(dǎo)函數(shù).(1)討論f′(x)的單調(diào)性；(2)對(duì)?x∈R，(x－2)·f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝ex－2ax＋2a，f″(x)＝ex－2a，當(dāng)a≤0時(shí)，f″(x)＞0，所以f′(x)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，令f″(x)＞0，得x＞ln2a，令f″(x)＜0得，x＜ln2a，所以f′(x)在(－∞，ln2a)上單調(diào)遞減，在(ln2a，＋∞)上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)在(－∞，ln2a)上單調(diào)遞減，在(ln2a，＋∞)上單調(diào)遞增.(2)因?yàn)閷?duì)?x∈R，(x－2)f(x)≥0恒成立，所以當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)≥0，當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)≤0，所以f(2)＝0.所以b＝－e2.所以f(x)＝ex－ax2＋2ax－e2且連續(xù)不斷，f′(x)＝ex－2ax＋2a，f″(x)＝ex－2a，所以f′(x)＜f′(2)＜0.所以f(x)在(2，ln2a)上單調(diào)遞減.所以f(x)＜f(2)＝0，不符合題意.②當(dāng)x≤2時(shí)：所以f(x)≤0不恒成立.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－e2，考向2把參數(shù)看作常數(shù)，利用分類討論方法解決[例2]已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即lnx－a(x－1)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立.設(shè)g(x)＝lnx－a(x－1)，x＞0，①當(dāng)a≥1時(shí)，g′(x)＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，則g(x)在x∈(1，＋∞)上單調(diào)遞減.所以g(x)＜g(1)＝0，即a≥1時(shí)滿足題意.則g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＞g(1)＝0.即a≤0時(shí)不滿足題意(舍去).綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞).【反思感悟】

對(duì)于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)，常用分類討論法，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)取值范圍.【互動(dòng)探究】2.已知f(x)＝ax2－2lnx，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的x＞0，2－f(x)≤2(a－1)x恒成立，求整數(shù)a的最小值.題型二存在成立問(wèn)題－ex2＋ax(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). (1)求f(x)在(1，f(1))處的切線方程； (2)存在x∈(0，＋∞)，g(x)＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)對(duì)任意的m∈(0，＋∞)，存在n∈[1，3]，有f(m)≤g(n)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.則f(1)＝0，f′(1)＝1.即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，切線斜率k＝1.故f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.(2)∵x∈(0，＋∞)，g(x)＝－ex2＋ax＞0，∴a＞ex.∴原題意等價(jià)于存在x∈(0，＋∞)，a＞ex成立.又∵x＞0，e＞0，∴ex＞0.∴a＞0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，＋∞).【反思感悟】?x∈[a，b]，f(x)≥m成立?fmax(x)≥m.?x∈[a，b]，f(x)≤m成立?fmin(x)≤m.?x1∈[a，b]，對(duì)任意x2∈[a，b]，f(x1)≤g(x2)成立?fmin(x)≤gmin(x).【互動(dòng)探究】解：(1)因?yàn)閒′(x)＝a－ex，x∈R.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝lna.由f′(x)＞0得x＜lna，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，lna)；由f′(x)＜0得x＞lna，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(lna，＋∞).第3課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題綜合了函數(shù)、方程、不等式等多方面的知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常與其他知識(shí)相結(jié)合綜合出題，解題難度較大，判斷零點(diǎn)存在性及零點(diǎn)個(gè)數(shù)是考查的一個(gè)熱點(diǎn).

題型一判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)直接法令f(x)＝0，則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)畫(huà)圖法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)易畫(huà)出圖象的函數(shù)，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可定理法利用零點(diǎn)存在性定理判定，可結(jié)合最值、極值去解決【反思感悟】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法【互動(dòng)探究】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)用max{m，n}表示m，n中的最大值，記函數(shù)h(x)＝max{f(x)，g(x)}(x＞0)，當(dāng)a≥0時(shí)，討論函數(shù)h(x)在(0，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗由f′(x)＞0，得x＜0或x＞1；由f′(x)＜0，得0＜x＜1，列表如下：∴f(x)的極大值為f(0)＝0，(2)由h(x)＝max{f(x)，g(x)}，知h(x)≥g(x).①當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＞0，∴h(x)＞0，故h(x)在(1，＋∞)上無(wú)零點(diǎn).題型二已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)【反思感悟】解決此類問(wèn)題常從以下兩個(gè)方面考慮

(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，估計(jì)出函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件，進(jìn)而求出參數(shù)滿足條件. (2)先求導(dǎo)，通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)情況，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況，推導(dǎo)出函數(shù)本身需要滿足的條件，此時(shí)，由于函數(shù)比較復(fù)雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)多次求導(dǎo)，層層推理得解.【互動(dòng)探究】2.已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.(1)證明：當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥1等價(jià)于(x2＋1)·e－x－1≤0.設(shè)函數(shù)g(x)＝(x2＋1)e－x－1，則g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.當(dāng)x≠1時(shí)，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.而g(0)＝0，故當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)≥1.(2)解：設(shè)函數(shù)h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于h(x)在(0，＋∞)上只有一個(gè)零點(diǎn).①當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)＞