2024-2025學(xué)年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強(qiáng)基招生數(shù)學(xué)試題及答案

2024年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強(qiáng)基招生數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共小題，每小題3分，共30分。22+9x+3=04xx1.若≠1，且，則=________.3y?9y+4=0y11112.++++=__________.1+21+2+31+2+3+41+2+3++2024+18+b+2x?a+3，當(dāng)2≤x≤1時(shí)，y有最大值，則a的值為__________.3.已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=6，則a22+32+c+50的最小值為_________.2y=x24.已知函數(shù)5.已知△ABC中，BC上的一點(diǎn)D，2BD=CD，∠=30，則∠ABD的最大值為_________.6.若點(diǎn)T為線段BC中點(diǎn)，⊥，且=2，DT=1，AB∥CD，BC=13，則=CD_______.92AEEC127.如圖，在△ABC中，G，E分別在AB，AC上，連結(jié)BE交AF于O，若G，O，C共線，△GEF的面積為△OBC的面積為________.=，=，8.已知整數(shù)x，y，z滿足++zx=118，則x2+y2+z2的最小值為________.111++=9.已知x，y，z是大于1的正整數(shù)，且x+y+z+為整數(shù)，則xyz_______.yzx10.EA、EC為圓O的兩條切線，連結(jié)DE交圓于點(diǎn)B，若BC=6，AB=3，∠ABD=30，則BD=__________.二、解答題：本題共2小題，共16分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（本小題8分）k()=(>>)xk0與矩形的已知P3,4，矩形OAPB的A，B頂點(diǎn)分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)yxBP，分別交于D，C，COD的面積為4.5.（1）判斷并證明直線CD與的關(guān)系.（2k的值.（3E，F(xiàn)分別為直線和反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，M為中點(diǎn)，求OM的最小值.12.（本小題8分）如圖，在△ABC中，∠BAC=60，D是垂心，O是外心，延長(zhǎng)AD交BC于E，OH⊥BC于H.（1）求證：OHAD.=（2）證明：B，O，D，C四點(diǎn)共圓.（3BECE2，求DE.==答案和解析341.【答案】?22+9y+3=04x，3y9y30?9y+4=02++=4x∴∴2，，113+9?+4?=0yy4x2+9y30+=2114?+9?+3=0yy≠?1，1∴x，?是方程4m2+9m+3=0的兩個(gè)根，y13∴x??=，y4x3∴=?.y434故答案為?.14m+9m+3=0的形式，其中x，?是其兩個(gè)不等的2根據(jù)觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，可把方程組轉(zhuǎn)化成y實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)果.1本題考查了解方程組，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用.關(guān)鍵是觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，得到x，?是y4m2+9m+3=0的兩個(gè)根，得到結(jié)果.方程20232.【答案】20252222【解析】解：原式=++++2×33×44×52024×20251123113411451120242025=2×?+2×?+2×?++2×1?111111=2×?+?+?++1?233445202420251122025=2×=2×?202340502023=.202520232025故答案為：.11+22123×4將改寫為，改寫為，，再利用裂項(xiàng)相消法即可解決問題.2×31+2+311+22123×4本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，能將改寫為，改寫為，，及熟知裂項(xiàng)相消2×31+2+3法是解題的關(guān)鍵.3.【答案】18【解析】解：構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，即RtABC，RtCDE，Rt△EFG，滿足AB=a，CD=b，EF=c，BC=32，DE=42，F(xiàn)G=52，=+BC2，即AC=a+18同理可得CE=b+50=AC+CE+EG可知當(dāng)A，C，E四點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE+EG222+32，EG=c+50，2則由勾股定理可知a2+18+b2+32+c2所以最小，即為AG長(zhǎng)，當(dāng)當(dāng)A，C，E，G四點(diǎn)共線時(shí)AO=a+b+c=6，OG=32+42+52=122.(2在RtAOG中故答案為AG=AO2+2=6+122=18.2本題利用幾何法求解，通過構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，即Rt△ABC，RtCDE，Rt△EFG，=+BC2，即AC=a+18同理可得CE=b+32，EG=c+50，+50=AC+CE+EG可知當(dāng)A，C，E，G四點(diǎn)共線時(shí)，2222則由勾股定理可知a2+18+b2+32+c2所以AC+CE+EG最小，即為AG長(zhǎng)，本題主要考查二次根式最值問題，用幾何法構(gòu)造直角三角形，結(jié)合最短路徑問題是解決問題的關(guān)鍵.4.【答案】1或72y=x2+2x?a+3的對(duì)稱軸是直線x=?=1，【解析】解：由題意，2∴當(dāng)x=?1時(shí)，y=2?a.又當(dāng)x=?2時(shí)，y=3?a，當(dāng)x=1時(shí)，y=6?a，∴①當(dāng)最大值為2?a=5，∴a=7或a=?3（不合題意）；②當(dāng)最大值為3?a=5，∴a=8或a=2，均不合題意；③當(dāng)最大值為6?a=5，∴a=11（不合題意）或a=1.綜上，a1或7.=故答案為：1或7.2y=x+2x?a+3的對(duì)稱軸是直線x=?=1，結(jié)合當(dāng)x=?1時(shí)，y=2?a，又當(dāng)2依據(jù)題意，由2x=?2時(shí)，y=3?a，當(dāng)x=1時(shí)，y=6?a，進(jìn)而分類討論即可判斷得解.本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值、二次函數(shù)的最值，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.5.【答案】90【解析】解：如圖，以CD為邊作等邊三角形CDO，連接AO，過點(diǎn)O作⊥CD于E，2BD=CD，∴設(shè)=x，則CD=2x=OD=OC，∠DAC=30，∠=60，∴點(diǎn)A在以O(shè)為半徑，OC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)與圓O相切時(shí)，∠ABD有最大值，此時(shí)：∠=90=∠，ODC是等邊三角形，⊥，∴=CE=x，∴=2x，∴=BE=2xOB=BO，，∴RtABORtEOBHL△≌△()，∴AB=OE，∴四邊形AOEB是平行四邊形，又∠=90，∴四邊形AOEB是矩形，∴∠ABD=90，故答案為：90.由題意可得點(diǎn)A在以O(shè)為半徑，OC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)與圓O相切時(shí)，∠ABD有最大值，由“”可證Rt△≌Rt△EOB，可得=，可證四邊形AOEB是矩形，可得∠ABD=90，即可求解本題考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.6.【答案】3【解析】解：如圖，過T作TM⊥AB延長(zhǎng)DT交于E.AB∥CD，∴∠B=∠C，T為線段BC中點(diǎn)，1132∴TB=TC=BC=，2在EBT和DCT中，∠B=∠CTB=TC∠ETB=∠DTC，∴△EBT≌△DCTASA()，∴TE=TD=1，∴AE=AT2+TE2=5，11ATE面積=AE?TM=AT?TE，22255∴TM=，455∴AM=AT2?TM2=，5EM=TE2?TM2=，57510∴BM=TB2?TM2=，5∴BE=BM?EM==CD，2352AB=AM+BM=，AB355∴=÷=3.CD22故答案為：3.先畫出圖形，過T作TM⊥.延長(zhǎng)DT交于E.由AB∥CD，得∠B=∠C，再證明11△EBT≌△DCT，得TE=TD=1，AE=5，由ATE面積=AE?TM=AT?TE，得222554555TM=BM=，AM=，BE=，EM=575105352=CD，AB=，最后再計(jì)算即可.2本題考查了平行線的性質(zhì)，利用中線倍長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.7.【答案】30AGBCFO【解析】解：梅涅勞斯定理：如圖，??=1，CF證明：過A作AMCG交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，AGFOFC則=，=，GBCBOACMAGBCFOBCFC∴??=??=1；CFCBCFCMAGBFCE塞瓦定理：如圖，??=1，F(xiàn)CEA證明：根據(jù)上述梅涅勞斯定理，可得出，AGBCFO在△ABF中，是梅涅線，在ACF中，BOE是梅涅線，??=1①CFAECBFO??=1②ECBFAO①②AGBCFOECBFAOAGBCFO∴=?????=??=1.CFAECBFOCF根據(jù)梅涅勞斯定理，在△BGE中，COG是梅涅線，∴∴∴∴??=1，CEBO9AE1=,==，，2CE2EO2AC32=,OB9CE=3，AGBG1=，3AECFBG根據(jù)塞瓦定理可得??=1，ECFBCFFB23∴=，9926∴S△OBC=S△BCE=×S=S△ABC，△BCE11113111而S△GEF=SABC?S△AGE?S△BGF?S△CEF=S=11，△ABC5∴S△ABC=55，6∴S△OBC=S△ABC=30.11故答案為：30.13CF236根據(jù)梅涅勞斯定理和塞瓦定理可得出=和=，從而得出SOBC=SABC，再利用111S△GEF=S即可得解.△ABC5本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積問題等內(nèi)容，在初中競(jìng)賽、自招、強(qiáng)基等題目中，梅涅勞斯定理和塞瓦定理是必須掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容.8.【答案】(?)ab2=a2+b2?2ab≥0，∴a∴x22+b2≥2，+y2≥2，x2+z2≥2，y2+z≥2，2∴2x2+2y2+2z2≥2+2+2，x2+y+z22≥++=118，即故答案為：(?)根據(jù)ab2=a2+b2?2ab≥0，得出a+2b≥2ab，從而得出結(jié)論.2本題考查了因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握完全全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì).9.【答案】12【解析】解：x、y、z是大于1的正整數(shù)，111∴，，是分?jǐn)?shù)，xyz111∴x+，y+，z+為假分?jǐn)?shù)，yzx1x11x+y+z+為整數(shù)，且分子分母能互相約分，yz∴x≠y≠z，①當(dāng)x=2，y=3時(shí)，分子中定有，∴分母中有7才能進(jìn)行約分，1211111∴當(dāng)z=7時(shí)，x+y+z+=2+3+7+yz37x72215=××=55，故符合題意，372∴x+y+z=12，②x=3，y=4時(shí)，分子中定有，∴分母中有才能進(jìn)行約分，1311111∴當(dāng)z=時(shí)，x+y+z+=3+4+13+yz413x135340=××不是整數(shù)，故不符合題意，4133③x=4，y=5時(shí)，分子中定有，∴分母中有才能進(jìn)行約分，1411111∴當(dāng)z=21時(shí)，x+y+z+=4+5+21+yz521x=××不是整數(shù)，故不符合題意，54其余情況依次討論均不符合題意故答案為：12.根據(jù)x、y、z的條件和三個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積為整數(shù)，得出x、y、z的值，進(jìn)而求和本題考查了分式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件分類討論得到x、y、z的值.10.【答案】43【解析】解：連接OA，OD，OC，作⊥，設(shè)=m，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2∠ABD=30，∴∠=∠ABD=60，OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠OAD=60，AD=OA，AE，CE是O的切線，∴∠OAE=90，∠ECO=90，AE=CE，∴∠EAD=∠OAE+∠OAD=150，∠ABE+∠ABD=180，∴∠ABE=150，∴∠=∠EAD，∠=∠，∴EDA，AEAB∴=，EDAD同理可證：△EBC∽△ECD，CE得出：=，CDABBC∴=，ADCDAB=3，BC=6，∴CD=2AD，∴CD是直徑，∴∠CBD=90，⊥，AB=3，∠ABD=30，33∴AF=1.5，BF=，29∴AD=+m2，49∴CD=2+m2，4BD2+BC2=CD2，22233294∴62++m=2+m，532∴m=，3353∴BD=+=43.22連接OA，OD，OC，作AF⊥BD，設(shè)==是等邊三角形，得出，證m，證AOD△∽△EDA，△EBC∽△ECD，得出CD=2AD，得出CD是直徑，再解直角三角形，求出m，即可.本題考查切線長(zhǎng)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.【答案】解：（11，CD∥AB，理由如下：由題意得，kCk，D4,4，3kk∴BD=，AC=，43k12?kk12?k∴PD=PB?BD=3?=，PC=PA?AC=4?=，4433PDPC34∴∴=，PDPB=，PCPA∠P=∠P，∴△∽△PAB，∴∠=∠PBA，∴CD∥AB；（2）如圖2，圖2作⊥于G，1S△AOC=S△DOG=k，2()∴S△COD=四邊形AOCD?S△AOC=S+S梯形ACDG?S△AOC=S梯形ACDG，△DOG1∴(ACDGPD4.5+)?=，2kk4∴4+?3?=9，3∴k=6，k=6（舍去），12∴k=6；（3）如圖2，取點(diǎn)′(?3,0，B0,4，)′(?)′′則直線AB與直線關(guān)于O對(duì)稱，′′連接EO，并延長(zhǎng)交AB于H，連接FH，則，=M是的中點(diǎn)，1∴=，2∴當(dāng)FH最小時(shí)，OM最小，6作直線QHAB，交y軸與Q，且使與雙曲線y=在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為F，作′x′⊥BR于R，作FT，′′則FH的最小值是FT的長(zhǎng)，4直線的解析式為：y=?x+4，34∴設(shè)直線的解析式為：y=?x+m，346由?x+m=整理得，4x2?+18=0，3x∴△=(?m)2?4×4×180=，∴m=42，m=42（舍去），12∴=42，∴QB′=42+4，∠AOB=90，OA=3，OB=4，∴=5，AB45∴sin∠RQB=sin∠ABO′==，162+16∴FH=BR=BQ?sin∠RQB′=，51282+8∴OM最小=′=FH.5k3k4kk【解析】（1）可表示出C，D,4，從而得出BD=，AC=，進(jìn)而表示出和PC，43PDPB=∠PBA，從而得出CD∥AB；進(jìn)而得出=，進(jìn)而證得PAB，從而∠PDCPCPA1（2⊥于G，可推出S△COD=S梯形ACDG，從而ACDGPD4.5，進(jìn)一步得出結(jié)果；(+)?=2（3）取點(diǎn)′(?3,0，B0,4，則直線AB與直線關(guān)于O對(duì)稱，連接EO，并延長(zhǎng)交AB于)′(?)′′′′H，連接FH，則=，可得出當(dāng)FH最小時(shí)，OM最小，作直線QHAB，交y軸與Q，且使6與雙曲線y=在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為F，作BR于R，作FT，則FH的最小值′′⊥′x4346′=?+?x+m=整理得，4x2?+18=0，是FT的長(zhǎng)，可設(shè)直線的解析式為：yxm，由3x(m△=(?)2?4×4×18=0，求得m的值，進(jìn)一步得出結(jié)果.從而得出本題考查了求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程（組）之間的關(guān)系，三角形中位線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形的中位線.12.【答案】解：（）根據(jù)題意，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓O，延長(zhǎng)BO交圓于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M，連接OC，CD，AF，F(xiàn)C，BF是直徑，∴⊥，⊥，D為垂心，∴BD⊥