初中數(shù)學(xué)圓中常用輔助線的作法八大題型及答案

112遇弦作弦心距解決有關(guān)弦長的問題】5384115遇90°1661972383011.(2024·陜西渭南·三模)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙OAB為⊙OD在⊙OCDBDBD=BC長到點E得BE=BDCE．(1)求證：∠A+∠E=90°；256(2)若⊙O的半徑為BC=5CE的長．12.(23-24九年級上·重慶大足·期末)如圖，AB是⊙O⊥ABP=8OP=3⊙O的直徑為()A.10B.8C.533.(2024·貴州黔東南·二模)如圖，⊙O是△ABCAC=BCB作BE⊥ACEBE交⊙O于點DADCDCOCO交BD于點F．(1)寫出圖中一個與∠相等的角∶(2)求證∶=CF；；(3)若BC=10BE=6⊙O的半徑．24.(2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測)Rt△ABC中，∠ACB=90°BC是⊙O的直徑，⊙O與邊AB交于點DE為BDCEAB交于點F．(1)求證：AC=AF．(2)當(dāng)F為ABFC=2．2遇弦作弦心距解決有關(guān)弦長的問題】5.(23-24九年級上·云南昆明·期末)5的⊙OABEAB==8OE的長為()A.3B.3C.23326.(23-24九年級上·山東濰坊·期末)如圖，⊙O的半徑是4P是弦ABOPOP=6∠APO=30°弦AB的長為()52A.27B.7C.537.(23-24九年級下·上?！るA段練習(xí))如圖，⊙O和⊙O相交于A和BA作OO的平行線交兩圓1212于CD知OO=20cm=cm．128.(23-24九年級上·福建廈門·期末)關(guān)于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0abc滿足a2+b2=c2且c≠0(1)x2ax2+2cx+2b=0必有實數(shù)根.(2)AB是半徑為5的⊙O的兩條平行弦，AB=2a=2bx的方程2ax2+10x+2b=0.①求∠BDC的度數(shù)，②直接寫出BD的長：(用含ab的式子表示).39.(2024·安徽合肥·一模)如圖，AB是⊙O的直徑，是⊙O的一條弦，AB⊥于點M接．(1)若∠=54°∠的度數(shù)；(2)AC的延長線相交于點FCE是⊙OBF于點ECE⊥DF：AC=．410.(2024九年級上·湖北武漢·期中)如圖，AB為⊙OC為BE的中點，⊥AE交直線AE于D點．(1)求證：OC∥AD；(2)若=1,=2⊙O的直徑．11.(2024·浙江溫州·三模)△ABC中，∠ACB=90°AB=4AC=3E是ACCE為直徑作⊙F接BE交⊙F于點DAD的最小值為．12.(23-24九年級上·福建莆田·期中)如圖，AB是半圓O的直徑，AB=10D在半圓O上，AD=6C是弧BDACD點作DH⊥AC于HBHC移動的過程中，BH的最小值是．5413.(2024·貴州·模擬預(yù)測)Rt△ABC中，∠ACB=90°P為邊BCAPA，12PAPEF交AB于點DD為圓心，長AB于點MBC恰好是⊙D的切線．若∠B=30°AC=3BM的長為()2333334A.B.C.314.(2024·遼寧大連·一模)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙OAD是⊙O的直徑與BC交于點F∠CAD=45°B點的切線交AD的延長線于點E．(1)若∠C=64°∠E的度數(shù)；(2)⊙O的半徑是3=1BE的長．615.(2024·福建泉州·模擬預(yù)測)已知AB與⊙O相切于點BAO與⊙O相交于CD兩點(AO>AC)E為BDOEAB的延長線于點F．(1)E為∠A的大??；(2)BD與相交于點G：∠D=∠F．16.(23-24九年級上·北京西城·期中)如圖，AB為⊙O的直徑，CB分別切⊙O于點BD交的延長線于點ECO的延長線交⊙O于點G⊥OG于點F．若BC=6=4．(1)求證：∠FEB=∠ECF；(2)求⊙O的半徑長．(3)求線段的長．75遇90°17.(2024·安徽合肥·一模)內(nèi)接于⊙O∠=90°BC=C作CE=CEAD的延長線于點E．(1)求證：AB=AE．(2)若AD==2的長．?18.(2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測)內(nèi)接于⊙O,AB=2,BC=23AB的長為()132333233A.πB.πC.ππ19.(23-24九年級下·四川成都·開學(xué)考試《墨子·數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的邊長為2．以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形C:AB=2:1C的外接圓半徑為．820.(2024·江西景德鎮(zhèn)·三模)xOy中，⊙P經(jīng)過點Oy軸交于點A0,6x軸交于點B8,0OP的長為．621.(23-24九年級上·四川瀘州·階段練習(xí))如圖，⊙O的直徑AB=8=3在圓上滑動(CD與點AB不重合)點C作CP⊥AB于點PM是PM的最大值是．22.(2024九年級上·浙江臺州·期中)△ABC中，AB=5AC=4BC=3C且與邊AB相切的動圓與CACB分別相交于點PQPQ長度的最小值是．923.(2024·江蘇徐州·三模如圖1P是⊙OPO分別交⊙O于點AB．小明認(rèn)為線段是點P到⊙O⊙O上任意取一個不同于點A的點C接OCCP有OP<OC+PCOP-OC<PCOA=OC得OP-OA<PC<PC是點P到⊙O上各點的距離中最短的線段．小紅認(rèn)為在圖1PB是點P到⊙O說明理由．如圖3Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=2BC為直徑的半圓交AB于DP是上的一APAP的最小值是；如圖42的菱形中，∠A=60°M是AD邊的中點，N是AB△AMN沿MN所在的直線翻折得到△MN接CC長度的最小值．如圖5C在以AB為直徑，O為圓心的半圓上，AB=4BC為邊作等邊△BCDAD的最大值是．1024.(23-24九年級上·河南開封·階段練習(xí))G(0,3)6的圓與x軸交于ABy軸交于CDE為⊙G上一動點，CF⊥AE于FE在GFG的長度的最小值為．725.(2024·貴州六盤水·二模)內(nèi)接于⊙OAD為直徑，平分∠ADCCA=與CA交于點EAB,DC交于點F．(1)直接寫出線段AB與線段BC的數(shù)量關(guān)系；(2)求證：△AFC≌△；(3)設(shè)△ABD的面積為S△的面積為SS1的值．12S21126.(2024·吉林長春·模擬預(yù)測)已知是⊙O的直徑，=6．點AD和點E在同一條直線上．且AD=2．過點A另一條直線交⊙O于BC．(1)如圖1AC=5CEBD可以得到△ABD∽△AECAB長．請寫出完整的解答過程．(2)如圖2BC重合于一點時，AC=(3)如圖3OB平分∠AOC時，AC=．．27.(23-24九年級下·福建廈門·階段練習(xí))AB為直徑的⊙O與AH相切于點AC在AB左側(cè)⊥AB交⊙O于點DACADA關(guān)于的對稱點為ECE交⊙O于點FAH于點G．(1)求證：∠CAG=∠AGC；CE25DPCP(2)當(dāng)點E在ABAF交于點P=的值；(3)當(dāng)點E在射線AB上，AB=2AE的長．1228.(2024九年級上·上?！ｎ}練習(xí))已知AB是⊙OC在⊙OCOAB于點D=CB．??(1)如圖1果BO平分∠ABC：AB=BC；(2)如圖2果AO⊥OBAD:的值；(3)延長線段AO交弦BC于點E果△EOB⊙O的半徑長等于2弦BC的長．829.(2024九年級上·北京海淀·階段練習(xí))如圖1中F在邊BCF作⊥BC，且FE=FC(CE<CB)接CEAEG是AEFG．(1)用等式表示線段BF與FG的數(shù)量關(guān)系：；(2)將圖1中的△繞點C△的頂點F恰好在正方形的對角線AC上，點G仍是AEFGDF．①在圖2②用等式表示線段DF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明．1330.(23-24九年級上·湖南長沙·階段練習(xí))△ABC中，∠ACB=90°AC=4BC=3∠CPB=∠A點C作CPBP的延長線交于點QCQ的最大值為()154165A.4B.5C.31.(2024·浙江嘉興·中考真題)ΔABC中，∠=90°AB=AC=5D在ACAD=2，點E是ABFG分別是BCAGFGAG=FG長為()522412A.13B.C.432.(23-24九年級下·重慶·階段練習(xí))在△ABC中，AC=BCD在BC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°到ED．(1)如圖1∠ACB=90°D在ACAECE∠=15°AB=22=26AE的長；(2)如圖2D在ACBE交于點MF為BE∠=∠EDF+12∠EBCM為BFF作FH⊥于點H：DM=+FH；(3)如圖3∠ACB=90°BC=2=25△EDC沿著直線翻折至△E連接EBEA并延長交于點QEB于點RCR△的面積．14112遇弦作弦心距解決有關(guān)弦長的問題】5384115遇90°1661972383011.(2024·陜西渭南·三模)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙OAB為⊙OD在⊙OCDBDBD=BC長到點E得BE=BDCE．(1)求證：∠A+∠E=90°；256(2)若⊙O的半徑為BC=5CE的長．(1)見解析(2)6(1)利于等邊對等角的性質(zhì)得到∠BCE=∠E∠=∠D∠BCE+∠E+∠+∠D=180°∠E+∠D=90°(2)連接OCOB⊥CDCF=DFBF定理即可推出CE的長．(1)證明：∵BD=BCBE=BD，∴BC=BE，∴∠BCE=∠E∠=∠D，∵∠BCE+∠E+∠+∠D=180°，112∴∠E+∠D=×180°=90°，∵∠A=∠D，∴∠A+∠E=90°；256(2)OCOC=OB=∵BC=BD，∴BC=BD，∴OB⊥CDCF=DF，25625622在Rt△OCF中，CF2=OC2-2=--BF，在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=52-BF2，25625622∴--BF=52-BF2，解得BF=3，∵BD=BEDF=CF，∴BF為△DCE的中位線，∴CE=2BF=6．2.(23-24九年級上·重慶大足·期末)如圖，AB是⊙O⊥ABP=8OP=3⊙O的直徑為()A.10B.8C.53AOCCP=PD=4OCOC∵⊥AB=8，∴CP=PD=4，∵OP=3，∴在Rt△CPO中，OC=CP2+OP2=5，∴⊙O的直徑為10；故選A．3.(2024·貴州黔東南·二模)如圖，⊙O是△ABCAC=BCB作BE⊥ACEBE交⊙O于點DADCDCOCO交BD于點F．2(1)寫出圖中一個與∠相等的角∶(2)求證∶=CF；；(3)若BC=10BE=6⊙O的半徑．(1)∠=∠ABD(答案不唯一)(2)見解析5103(3)⊙O的半徑為(1)根據(jù)圓周角可得∠=∠ABD；(2)延長CF交AB于M∠ACF=∠BCFCM⊥ABBE⊥AC得到∠ACF=∠ABD∠=∠ABD=∠ACF=∠BCF=CF；12(3)連OACE=8AE=2AB=210AM=AB=10CM后在Rt△中利用勾股定理求半徑即可．(1)由圓周角可得：∠=∠ABD，故答案為：∠ABD(答案不唯一)；(2)延長CF交AB于M，∵AC=BCCO交BD于點F12∴∠ACF=∠BCFCM⊥ABAM=AB∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠AMC=90°，∴∠ACF=∠ABD=90°-∠CAB，∴∠=∠ABD=∠ACF=∠BCF，∵BE⊥AC，∴∠CED=∠=90°，∴△CED≌△，∴=CF；(3)連OA，∵BC=10BE=6，∴CE=BC2-CE2=8AC=BC=10∴AE=AC-CE=2，∴AB=AE2+BE2=210，1∴AM=AB=102∴CM=AC2-AM2=310，∴=CM-OA=310-OARt△中，2+AM2=2，3∴310-OA2+10=25103解得OA=，5103∴⊙O的半徑為．4.(2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測)Rt△ABC中，∠ACB=90°BC是⊙O的直徑，⊙O與邊AB交于點DE為BDCEAB交于點F．(1)求證：AC=AF．(2)當(dāng)F為ABFC=2．(1)見詳解(2)見詳解(1)連接EOBD于點NE為BDOE⊥BD∠+∠=90°據(jù)EO=OC∠OEC=∠OCE∠ACF=∠AFC12(2)連接EBRt△ABCBF=AF=FC=AB∠ABC=∠FCBE為BD∠EBD=∠FCB∠EBD=∠ABC△EBF∽△CBA(1)連接EOBD于點N∵E為BD的中點，∴OE⊥BD，∴∠ENF=90°，∴∠+∠=90°，∴∠+∠AFC=90°，∵EO=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠OCE=90°，∴∠ACF+∠OEC=90°，∵∠+∠AFC=90°，∴∠ACF=∠AFC，∴AC=AF；(2)連接EB∵在Rt△ABC中，F(xiàn)為AB的中點，12∴BF=AF=FC=AB，∴∠ABC=∠FCB，4∵E為BD的中點，∴=BE，∴∠EBD=∠FCB，∴∠EBD=∠ABC，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BEC=90°，∴∠BEC=∠ACB，又∵∠EBD=∠ABC，∴△EBF∽△CBA，ACACBFABBFAB∴=，12即==，∴2=AC，∵AF=FC(1)已證明AC=AF，即FC=2．2遇弦作弦心距解決有關(guān)弦長的問題】5.(23-24九年級上·云南昆明·期末)5的⊙OABEAB==8OE的長為()A.3B.3C.2332D⊥AB于M⊥CB于NOAOCBM=AM=4DN=CN=4，根據(jù)勾股定理求出和證明四邊形⊥AB于M⊥CB于NOAOC．∴AM=BM=4CN=DN=4，∵OA=OC=5，∴=2-AM2=52-42=3=OC2-CN2=52-42=3∴=，∵AB⊥CD，∴∠=∠=∠MEN=90°，∴四邊形是矩形，∵=，∴四邊形是正方形，∴OE=2=32，5故選：D．6.(23-24九年級上·山東濰坊·期末)如圖，⊙O的半徑是4P是弦ABOPOP=6∠APO=30°弦AB的長為()52A.27B.7C.5A30°OAOA=4點O作⊥AB交AB于點DADAB的長．OAOA=4點O作⊥AB交AB于點D，∵若OP=6∠APO=30°∴=OP÷2=6÷2=3，則AD=2-2=∴AB=2AD=27．故選：A．42-32=7=77.(23-24九年級下·上海·階段練習(xí))如圖，⊙O和⊙O相交于A和BA作OO的平行線交兩圓1212于CD知OO=20cm=cm．1240OE⊥于點EOF⊥于點F12定理得到AE=CEAF=DFOOFE=OO=20cm1212換即可得到．OE⊥于點EOF⊥于點F，12∴OE∥OFAE=CEAF=DF，12∵OO∥CD，12易得四邊形OOFE為矩形，12∵OO=20cm，12∴=OO=20cm，12∴=CE+AE+AF+DF=2AE+AF=2=40cm，故答案為：40．68.(23-24九年級上·福建廈門·期末)關(guān)于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0abc滿足a2+b2=c2且c≠0(1)x2ax2+2cx+2b=0必有實數(shù)根.(2)AB是半徑為5的⊙O的兩條平行弦，AB=2a=2bx的方程2ax2+10x+2b=0.①求∠BDC的度數(shù)，②直接寫出BD的長：(用含ab的式子表示).(1)見解析(2)①∠BDC=45°2a+b(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式即可判斷；(2)②過點D作ABGAB∥CD∠GBD=∠BDC=45°(1)證明：∵關(guān)于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0∴a2+b2=c2且c≠0a≠0，Δ=2c2-4?2a?2b=4c2-8ab=4a2+b2-8ab=4a2+b2-2ab=4a-b2，∵a-b2≥0，∴Δ≥0，∴方程必有實數(shù)根；(2)∠BDC=45°作OE⊥AB于EEO交于FOBOC，∵DC∥AB，∴⊥CD，∴AE=BE=aCF=DF=b，∵BE2+OE2=OB2，∴a2+OE2=52，∵2ax2+10x+2b=0∴a2+b2=52，∴OE=b=CF；∵OB=OC，7∴Rt△BOE≌Rt△OCFHL；∴∠FOC=∠OBE，∵∠OBE+∠EOB=90°，∴∠FOC+∠EOB=90°，∴∠COB=90°，12∴∠BDC=∠BOC=45°．D作ABG是矩形，∴DG==a+b，∵AB∥CD∠GBD=∠BDC=45°∴=2DG=2a+b故答案為：2a+b．39.(2024·安徽合肥·一模)如圖，AB是⊙O的直徑，是⊙O的一條弦，AB⊥于點M接．(1)若∠=54°∠的度數(shù)；(2)AC的延長線相交于點FCE是⊙OBF于點ECE⊥DF：AC=．(1)36°(2)見詳解(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠=∠OBD=54°∠DOB=180°-∠OBD-∠=72°，根據(jù)垂徑定理得到BC=BD(2)連接OCBCOC⊥CE∠ACO=∠F性質(zhì)得到∠A=∠ACOAB=BFAC=CF解題的關(guān)鍵．(1)解：∵=OB，∴∠=∠OBD=54°，∴∠DOB=180°-∠OBD-∠=72°，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，∴BC=BD，12∴∠=∠=36°，故∠的度數(shù)為36°；(2)OCBC，∵CE是⊙O的切線，8∴OC⊥CE，∵CE⊥DF，∴OC∥DF，∴∠ACO=∠F，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠A=∠F，∴AB=BF，∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AF，∴AC=CF，∵∠A=∠，∴∠=∠F，∴=CF，∴AC=．10.(2024九年級上·湖北武漢·期中)如圖，AB為⊙OC為BE的中點，⊥AE交直線AE于D點．(1)求證：OC∥AD；(2)若=1,=2⊙O的直徑．(1)見解析(2)5(1)證明OC⊥EBAD⊥BE即可得出結(jié)論；(2)設(shè)BE交OC于點TOB=OC=r(1)BE∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°AD⊥BE，∵點C為BE的中點，∴EC=CB，∴OC⊥EB，∴OC∥AD；(2)BE交OC于點T∵⊥AD，∴∠D=∠=∠CTE=90°，∴四邊形是矩形，∴=ET=2,=CT=1，9∵OC⊥EB，∴BT=TE=2，設(shè)OB=OC=r，則r2=r-12+22，52∴r=，∴AB=2r=5⊙O的直徑為5；,11.(2024·浙江溫州·三模)△ABC中，∠ACB=90°AB=4AC=3E是ACCE為直徑作⊙F接BE交⊙F于點DAD的最小值為．43-72DC以CE為直徑作⊙F∠=90°∠=90°D在以BC為直徑的圓上ADOAD≥AO-△ABC中，∠ACB=90°AB=4AC=3，∴BC=AB2-AC2=42-32=7連接DCCE為直徑作⊙FBC=4AC=5，∴∠=90°∠=90°，∴動點D在以BC為直徑的圓上運動，O為圓心，當(dāng)ADO在一直線上時，722432AO=32+=4327243-7∴AD≥AO-=-=243-7即AD的最小值為43-72故答案為：．212.(23-24九年級上·福建莆田·期中)如圖，AB是半圓O的直徑，AB=10D在半圓O上，AD=6C是弧BDACD點作DH⊥AC于HBHC移動的過程中，BH的最小值是．1073-3/-3+73BDAD的中點EBEH在以點E為圓心，AEB、HE三點共線時，BHBDBEEHBH=BE-EHBH的長．BDAD的中點E接BE，∵DH⊥AC，∴點H在以點E為圓心，AEBHE三點共線時，BH取得最小值，∵AB是直徑，∴∠B=90°，在Rt△B中，∵AB=10AD=6，∴由勾股定理得：BD=AB2-AD2=100-36=8，∵E為AD的中點，1∴=AD=3，2在Rt△中，∵BD=8=3，∴由勾股定理得：BE=2+BD2=9+64=73，又∵DH⊥AC點E為AD的中點，1∴EH=AD=3，2∴BH=BE-EH=73-3．故答案為：73-3．能夠判斷出動點的運動軌跡是解本題的關(guān)鍵．413.(2024·貴州·模擬預(yù)測)Rt△ABC中，∠ACB=90°P為邊BCAPA，12PAPEF交AB于點DD為圓心，長AB于點MBC恰好是⊙D的切線．若∠B=30°AC=3BM的長為()112333334A.B.C.3A30°直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．連接DPAD=DP質(zhì)求得AB=23∠DPB=90°△BPD∽△BCEDP，由題意可得，是AP的垂直平分線，∴AD=DP，設(shè)AD=DP=r，∵∠B=30°AC=3，∴AB=23，∵BC是⊙O的切線，∴∠DPB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DPB=∠ACB=90°，∴DP∥AC，∴△BPD∽△BCE，BDAB23-r23DPAC∴∴=，r3=，233∴r=，233433∴AD=∴AM=，，433233∴BM=AB-AM=23-故選：A=，14.(2024·遼寧大連·一模)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙OAD是⊙O的直徑與BC交于點F∠CAD=45°B點的切線交AD的延長線于點E．12(1)若∠C=64°∠E的度數(shù)；(2)⊙O的半徑是3=1BE的長．(1)38°(2)BE的長為4(1)連接OB∠OBE=90°∠AOB=2∠C∠C=64°得到∠AOB=128°∠BOE=180°-128°=52°(2)連接OCOB∠=2∠CAD=2×45°=90°=BERt△OBE中據(jù)勾股定理得，OE2=OB2+BE2BE==xx+1=32+x2(1)OB，∵BE是⊙O的切線∴OB⊥BE∴∠OBE=90°∵AB=AB∴∠AOB=2∠C∵∠C=64°∴∠AOB=128°∴∠BOE=180°-128°=52°∴∠E=90°-52°=38°(2)OCOB，∵=∴∠=2∠CAD=2×45°=90°∴∠1+∠3=90°∵OC=OB∴∠1=∠2∵∠OBE=90°∴∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∵∠3=∠5∴∠4=∠5∴=BE在Rt△OBE中，∠OBE=90°，根據(jù)勾股定理得，OE2=OB2+BE2設(shè)BE==xOB=3=1得，x+1=32+x2解得，x=413∴BE的長為4．15.(2024·福建泉州·模擬預(yù)測)已知AB與⊙O相切于點BAO與⊙O相交于CD兩點(AO>AC)E為BDOEAB的延長線于點F．(1)E為∠A的大小；(2)BD與相交于點G：∠D=∠F．(1)30°(2)見解答(1)連接OB∠OBF=90°∠=60°∠DOE=∠BOE=60°∠AOB=60°∠A的度數(shù)；(2)連接OBOE⊥BD∠OBD=∠F上∠OBD=∠D∠D=∠F．(1)OB∵AB與⊙O相切于點B，∴OB⊥AF，∴∠OBF=90°，∵E為的中點，∴OE=，∴=2OB，OB12在Rt△OBF中，∵cos∠==，∴∠=60°，∵點E為BD的中點，∴∠DOE=∠BOE=60°，∴∠AOB=60°，∴∠A=90°-60°=30°；(2)OB∵點E為BD的中點，∴OE⊥BD，∴∠OGB=90°，∵∠OBD+∠=90°∠+∠F=90°，∴∠OBD=∠F，∵OB=，∴∠OBD=∠D，∴∠D=∠F．16.(23-24九年級上·北京西城·期中)如圖，AB為⊙O的直徑，CB分別切⊙O于點BD交14的延長線于點ECO的延長線交⊙O于點G⊥OG于點F．若BC=6=4．(1)求證：∠FEB=∠ECF；(2)求⊙O的半徑長．(3)求線段的長．(1)證明見解析(2)3(3)25(1)根據(jù)切線的性質(zhì)及證得△≌△COB∠=∠OCB求證結(jié)論；(2)設(shè)=xOB=xOE=8-xRt△BCE和Rt△OED(3)在Rt△OED和Rt△OE=5OC=35求解；(1)，∵CB是⊙O的切線，∴CB=CD∠=∠OBC=90°，=OB在△和△COB中，∠=∠CBO，=CB∴△≌△COB()，∴∠=∠OCB，∵⊥OG，∴∠+∠=90°，∵∠BOC+∠BCO=90°∠=∠BOC，∴∠FEB=∠OCB，∴∠FEB=∠ECF．(2)(1)得：=CB=6，∵=4，∴CE=+=10，在Rt△BCE∴BE=EC2-BC2=102-62=8，在Rt△OED中=x，則OB=xOE=8-x，15由勾股定理得：2+2=OE2，即：42+x2=8-x，解得：x=3，∴=3，即⊙O的半徑為3．(3)Rt△OED和Rt△OE=2+2=32+42=5，OC=2+2=32+62=35，∵∠FEO=∠DCO∠=∠=90°，∴△∽△COD，OEOC6535∴=：=，∴=25．輔助線是解本題的關(guān)鍵．5遇90°17.(2024·安徽合肥·一模)內(nèi)接于⊙O∠=90°BC=C作CE=CEAD的延長線于點E．(1)求證：AB=AE．(2)若AD==2的長．(1)見解析(2)10(1)ACBC=推出∠=∠EACBC=CE∠B=∠E△ABC≌△AECAASAB=AE．(2)先證明BD是⊙O∠=90°．由(1)可得AB=4．在Rt△ABD中求出BD=2522Rt△中，=BC=BD=10．(1)AC．∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠=∠EAC．∵=CE，∴∠E=∠BC=CE．∵∠B+∠ADC=180°∠+∠ADC=180°，∴∠B=∠，∴∠B=∠E．16∠=∠EAC，BC=CE，在△ABC與△AEC中，∠B=∠E，∴△ABC≌△AECAAS，∴AB=AE．(2)BD．∵∠=90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠=90°．由(1)可得AB=AE．∵AD==2，∴AB=4．在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=25；22在Rt△中，=BC=BD=10．90度圓周角和直角三角形是解題的關(guān)鍵．?18.(2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測)內(nèi)接于⊙O,AB=2,BC=23AB的長為()132333233A.πB.πC.ππBACBDABOA=OB=2△AOBACBD，∵四邊形是矩形，∴∠=∠ABC=90°，∴ACBDO是線段AC的中點，∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=22+232=4，12∴OB=AC=2=OA，∴OA=OB=AB=2，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，nπr18060π×218023∴l(xiāng)===π17故選：B．19.(23-24九年級下·四川成都·開學(xué)考試《墨子·數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的邊長為2．以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形C:AB=2:1C的外接圓半徑為．22的邊長為2和位似比求出=4題關(guān)鍵求出正方形的邊長．C，∵正方形與四邊形C是位似圖形，∴四邊形C是正方形，∴∠C=90°∴C是四邊形C的外接圓直徑，∵正方形的邊長為2:AB=2:1∴=4∴AC=42+42=42∴四邊形C的外接圓半徑為22，故答案為：22．20.(2024·江西景德鎮(zhèn)·三模)xOy中，⊙P經(jīng)過點Oy軸交于點A0,6x軸交于點B8,0OP的長為．590ABABP在ABABAB，∵∠AOBABO都在圓上，∴ABP在AB上，18∵A0,6B8,0，∴OA=6OB=8，∴AB=2+OB2=10，1∴OP=AB=5，2故答案為：5．621.(23-24九年級上·四川瀘州·階段練習(xí))如圖，⊙O的直徑AB=8=3在圓上滑動(CD與點AB不重合)點C作CP⊥AB于點P，若M是PM的最大值是．4CP交⊙O于點KCP=12PKPM=KDKD最大時，PMKD為直徑時，KDCP交⊙O于點K，∵AB⊥CK，∴CP=PK，∵M(jìn)是的中點，∴PM是△CKD的中位線，1∴PM=KD，2∴當(dāng)KD最大時，PM的值最大，即當(dāng)KD為直徑時，KD的值最大，∵⊙O的直徑AB=8，1212∴PM=KD=AB=4，故答案為：4．22.(2024九年級上·浙江臺州·期中)△ABC中，AB=5AC=4BC=3C且與邊AB相切的動圓與CACB分別相交于點PQPQ長度的最小值是．1912/2.4/2255FF與AB的切點為DFDCFCDFD⊥AB△∠ACB=90°FC+FD=QPFC+FD≥CDPQ為圓F點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上時，PQ=為圓F△ABC的面積即可求解．FF與AB的切點為DFDCFCD，∵圓F與AB相切，∴FD⊥AB，∵在△ABC中，32+42=52BC2+AC2=AB2，∴△∠ACB=90°，1∴CF=QP，2又∵CF=FD，∴FC+FD=QP，∵FC+FD≥CDPQ為圓F的直徑，∴當(dāng)點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上時，PQ=為圓F的直徑，1212∵S=BC?AC=AB?CD，112∴×4×3=×5×CD，2125∴=，125故答案為：．根據(jù)題意可知當(dāng)點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上時，PQ=有最小值是解題的關(guān)鍵．23.(2024·江蘇徐州·三模如圖1P是⊙OPO分別交⊙O于點AB．小明認(rèn)為線段是點P到⊙O⊙O上任意取一個不同于點A的點C接OCCP有OP<OC+PCOP-OC<PCOA=OC得OP-OA<PC<PC是點P到⊙O上各點的距離中最短的線段．小紅認(rèn)為在圖1PB是點P到⊙O說明理由．20如圖3Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=2BC為直徑的半圓交AB于DP是上的一APAP的最小值是；如圖42的菱形中，∠A=60°M是AD邊的中點，N是AB△AMN沿MN所在的直線翻折得到△MN接CC長度的最小值．如圖5C在以AB為直徑，O為圓心的半圓上，AB=4BC為邊作等邊△BCDAD的最大值是．5-17-123+2∶根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊即可得解；直接運用∶取半圓的圓心O接OA交半圓于點MP與點M重合時，OA=22+12=5M=AMAD都在以AD為直徑的圓上．如圖3點M為圓心，MA為半徑畫⊙MMC．當(dāng)C在MCM作MH⊥DC于點F性質(zhì)及勾股定理即可得解；AB的上方作等邊△ABHDHBH的中點G連接DG△ABC≌△HBD∠BDH=∠ACB=90°D在以BH勾股定理及三角形的兩邊之和大于第三邊即可得解．∶小紅的說法正確，在圓О上任意取一個不同于點B的點COCOP，21∵在△POC中，OP+OC>PC．OB=OC，∴OP+OB>PCPB>PC．∴線段PB是點Р到圓О上各點的距離中最長的線段．∴小紅的說法正確；直接運用∶取半圓的圓心O接OA交半圓于點MP與點M重合時，最小，∵∠ACB=90°AC=BC=2，∴OC=1OC2+AC2=2，∴OA=22+12=5，∴的最小值為OA-AM=5-1故答案為：5-1．M=AM，∵M(jìn)是AD的中點，∴MA=MA=MD，∴點AD都在以AD為直徑的圓上．如圖3M為圓心，MA為半徑畫⊙MMC．當(dāng)C在MC上，過點M作MH⊥DC于點F，∵在邊長為6的菱形中，∠A=60°M為AD中點，∴2MD=AD==2∠HDM=60°，∴∠HMD=30°，1212∴HD=MD=．3252∴HM=DM×cos30°=,HC=，∴MC=HM2+HC2=7，∴C=MC-MA=7-1；AB的上方作等邊△ABHDHBH的中點G連接DG，∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB=90°，∵△ABH和△都是等邊三角形，∴AB=BH=AH=4BD=BC=DC∠ABH=∠CBD=60°即∠ABC+∠CBH=∠CBH+∠HBD，∴∠ABC=∠HBD，∴△ABC≌△HBD，∴∠BDH=∠ACB=90°，∴點D在以BH為直徑的半圓上，∵G是BH的中點，AB=AH=BH=4，∴AG⊥BHBG=DG=HG=2，∴AG=AB2-BG2=42-22=23，∴根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊可得AD的最大值為AG+DG=23+2，故答案為：23+2．2224.(23-24九年級上·河南開封·階段練習(xí))G(0,3)6的圓與x軸交于ABy軸交于CDE為⊙G上一動點，CF⊥AE于FE在GFG的長度的最小值為．33-3/-3+3330三角形是解題的關(guān)鍵．過點G作GM⊥AC于點FAG．得到點F在MG的延長線上時，F(xiàn)G的長度的=FM-GMG作GM⊥AC于點FAG，∵GO⊥AB，∴OA=OB，∵G(0,3)，∴OG=3，在Rt△AGO中，AG=6,OG=3，∴OA=AG2-GO2=33，∴∠GAO=30°,AB=2AO=63，∴∠AGO=60°，∵GC=GA=6，∴∠GCA=∠GAC，∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠AGO=∠GAC=30°，12∴AC=2OA=63,MG=CG=3，∵∠AFC=90°，∴點F在以AC為直徑的⊙M上，AC2∴MF==33，點F在MG的延長線上時，F(xiàn)G=FM-GM=33-3，故答案為：33-3．725.(2024·貴州六盤水·二模)內(nèi)接于⊙OAD為直徑，平分∠ADCCA=與CA交于點EAB,DC交于點F．23(1)直接寫出線段AB與線段BC的數(shù)量關(guān)系；(2)求證：△AFC≌△；(3)設(shè)△ABD的面積為S△的面積為SS1的值．12S2(1)AB=BC(2)見解析(3)2(1)(2)證明△AFC≌△即可；(3)過點C作CH⊥∠=∠ABD=90°AD=2+2=2CD，ABCHAD證明△ABD∽△CHD==2(1)OB,OC：∠AOB=2∠,∠BOC=2∠，∵平分∠ADC，∴∠=∠，∴∠AOB=∠BOC，∴AB=BC，∴AB=BC；(2)∵AD為直徑，∴∠=90°，∴∠ACF=90°=∠ACD，又∵∠=∠CA=CD，∴△AFC≌△；(3)過點C作CH⊥∠CHD=90°∵AD為直徑，∴∠=∠ABD=90°，∵CA=CD，∴AD=2+2=2CD，∵∠ABD=∠CHD=90°,∠=∠，∴△ABD∽△CHD，ABCHADAB?BD∴==2，1212S1==ABCH=2．∴S2CH?BD26.(2024·吉林長春·模擬預(yù)測)已知是⊙O的直徑，=6．點AD和點E在同一條直24線上．且AD=2．過點A另一條直線交⊙O于BC．(1)如圖1AC=5CEBD可以得到△ABD∽△AECAB長．請寫出完整的解答過程．(2)如圖2BC重合于一點時，AC=．．(3)如圖3OB平分∠AOC時，AC=165(1)AB=(2)48105(3)ADACABAE165(1)連接BDCE△ABD∽△AEC=AB=．(2)連接OCBC重合于一點時，AC與⊙O相切于點C∠ACO=90°AC=AO2-OC2=52-32=4．12(3)連接BD∠AOB=∠COB=∠AOC=BC△ABD∽△AOBABAOADABBDOBAB52ABBD33105====出AB=10BD=(1)BDCE∵=6AD=2，∴AE=AD+=2+6=8，∵∠ABD+∠CBD=180°∠CBD+∠E=180°，∴∠ABD=∠E，∵∠=∠EAC，∴△ABD∽△AEC，ADAC2ABAE∴∴=，AB8=，516解得：AB=．5(2)OC∵當(dāng)BC重合于一點時，AC與⊙O相切于點C，∴∠ACO=90°，∵=6，∴OC==OE=3，∴AO=AD+DO=2+3=5，∴AC=AO2-OC2=52-32=4．(3)BD25∵OB平分∠AOC，12∴∠AOB=∠COB=∠AOC，∴=BC，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵∠AOC=∠OCE+∠OEC，12∴∠OCE=∠OEC=∠AOC，∴∠DOB=∠OEC，根據(jù)解析(1)可知：∠ABD=∠AEC，∴∠ABD=∠AOB，∵∠B=∠OAB，∴△ABD∽△AOB，ABAOAB5ADAB2BDOBBD3∴====，，即AB3105解得：AB=10BD=，31058105∴AC=AB+BC=AB+BD=10+=．27.(23-24九年級下·福建廈門·階段練習(xí))AB為直徑的⊙O與AH相切于點AC在AB左側(cè)⊥AB交⊙O于點DACADA關(guān)于的對稱點為ECE交⊙O于點FAH于點G．(1)求證：∠CAG=∠AGC；CE25DPCP(2)當(dāng)點E在ABAF交于點P=的值；(3)當(dāng)點E在射線AB上，AB=2AE的長．(1)見解析57(2)3-5(3)2-2或2(1)設(shè)AB與相交于點M⊙O與AH相切于點A∠=90°⊥AB∠AMC=90°AG∥CD∠CAG=∠ACD∠AGC=∠FCDA26關(guān)于的對稱點為E得到∠=∠即可證明．(2)過F點作FK⊥AB于點KAB與交于點NDF∠=∠ADC得到DP=APKEENCE25明△≌△FPD得到PF=PC△∽△NEC及△APN∽△AFK得到==和AFANAK512==(3)OC∥AFAC∥(1)AB與相交于點M，∵⊙O與AH相切于點A，∴∠=90°，∵⊥AB，∴∠AMC=90°，∴AG∥CD，∴∠CAG=∠ACD∠AGC=∠FCD，∵點A關(guān)于的對稱點為E，∴∠=∠ACD，∴∠CAG=∠AGC．(2)F點作FK⊥AB于點KAB與交于點NDF由同弧所對的圓周角相等可知：∠=∠，∵AB為⊙O⊥ABAC=AD，∴∠=∠ADC，∵點A關(guān)于的對稱點為E，∴∠=∠ACD，∴∠=∠=∠=∠ADC∠=∠ADC，∴DP=AP，由同弧所對的圓周角相等得：∠ACP=∠DFP∠=∠FPD，∴△≌△FPD，∴PC=PF，∵FK⊥ABAB與交于點N，∴∠FKE=∠CNE=90°．∵∠=∠NEC∠FKE=∠CNE=90°，∴△∽△NEC，KEENCE25∴==，設(shè)KE=2x,EN=5x，∵點A關(guān)于的對稱點為E，∴AN=EN=5xAE=AN+NE=10xAK=AE+KE=12x，又FK∥PN，∴△APN∽△AFK，AFANAK5x12x512∴===．∵∠=∠，∴CF∥AD，DPCPAPPFAPAF-AP57∴===；27(3)OC∥AFOC∠AGF=α∠CAG=∠=∠DCF=∠AFG=α，∵OC∥AF，∴∠OCF=∠AFC=α，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=3α，∵∠OAG=45°，∴4α=90°，∴α=22.5°，∵OC=OA=，∴∠=∠OCF-∠AFC=22.5°，∴∠=∠OAF=45°，∴AF=2=2OC，∵OC∥AF，AEOEAFOC∴==2，∴AE=2OE，∵OA=1，2∴AE==2-2；1+2AC∥OC，設(shè)∠AGF=α，∵∠ACF=∠+∠DCF=2α，∵AC∥，∴∠CFO=∠ACF=2α，∴∠CAO=∠ACO=4α，∵∠AOC+∠OAC+∠ACO=180°，∴10α=180°，∴α=18°，∴∠COE=∠ECO-∠CFO=36°，∴△OCE∽△FCO，∴OC2=CE?CF，∴1=CECE+1，5-1∴CE=AC=OE=∴AE=OA-OE=，；23-523-5AE的長為2-2或，228.(2024九年級上·上?！ｎ}練習(xí))已知AB是⊙OC在⊙OCOAB于點D=CB．28??(1)如圖1果BO平分∠ABC：AB=BC；(2)如圖2果AO⊥OBAD:的值；(3)延長線段AO交弦BC于點E果△EOB⊙O的半徑長等于2弦BC的長．(1)見解析33(2)(3)5+1或22(1)證明△≌△OBC即可解決問題．(2)如圖2DM⊥OB于MDN⊥OA于N=a．首先證明∠=∠CBD=75°形求出ADBD(用a表示)即可解決問題．(3)由∠OEB=∠C+∠COE>∠OBEOE≠OB3-1BO=BE3-2EO=EB(1)1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，∵OB=OA=OC，∴∠A=∠ABO∠C=∠OBC，∴∠A=∠C，∵OB=OB，∴△≌△OBCAAS，∴AB=BC，??∴AB=BC．(2)2中DM⊥OB于MDN⊥OA于N=a．∵OA⊥OB，∴∠=∠DMO=∠DNO=90°，∴四邊形是矩形，∴DN==a，∵OA=OB∠AOB=90°，∴∠A=∠ABO=45°，∵OC=OB=CB，∴∠C=∠OBC∠=∠CBD，∵∠C+∠+∠CBD=180°，∴3∠C+90°=180°，∴∠C=30°，∴∠=∠CBD=75°，29∵∠DMB=90°，∴∠=∠=45°，∴DM=BM∠=30°，∴DM=3=3aDN=2DM=6aAD=2DN=2a，AD2a6a33∴==．(3)3-1中BO=BE時，∵=CB，∴∠=∠CBD，∴∠A+∠=∠+∠OBC，∵∠A=∠ABO，∴∠=∠OBC=∠C，∵=∠COE，∴∠C=∠COE=∠CBO，∵∠C=∠C，∴△OCE∽△BCO，OCBCCEOC∴∴=，2EC=，2+EC2∴EC2+2EC-4=0，解得EC=-1+5或-1-5(舍棄)，∴BC=5+1．如圖3-2EO=EB△OEB是等腰直角三角形，22∴EO=EB=EC=OB=2，∴BC=22，∵∠OEB=∠C+∠COE>∠OBE，∴OE≠OB，綜上所述，BC的值為5+1或22．于中考壓軸題．829.(2024九年級上·北京海淀·階段練習(xí))如圖1中F在邊BCF作⊥BC，且FE=FC(CE<CB)接CEAEG是AEFG．30(1)用等式表示線段BF與FG的數(shù)量關(guān)系：；(2)將圖1中的△繞點C△的頂點F恰好在正方形的對角線AC上，點G仍是AEFGDF．①在圖2②用等式表示線段DF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明．(1)BF=2FG(2)DF=2FG(1)先判斷出△AGB≌△CGB到∠GBF=45°△≌△CFG∠GFB=45°得到△BGF(2)①畫圖22BFBG明△ADF≌△ABF得DF=BF質(zhì)得：AG=EG=BG=FGAFEB在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，∠BGF=2∠=90°△BGF(1)BF=2FG，1BGCG，∵四邊形為正方形，∴∠ABC=90°∠ACB=45°AB=BC，∵⊥BCFE=FC，∴∠CFE=90°∠ECF=45°，∴∠ACE=90°，∵點G是AE的中點，∴EG=CG=AG，∵BG=BG，∴△AGB≌△CGB(SSS)，12∴∠ABG=∠CBG=∠ABC=45°，∵EG=CG=CFFG=FG，∴△≌△CFG(SSS)，1212∴∠=∠CFG=(360°-∠BFE)=(360°-90°)=135°，∵∠BFE=90°，∴∠BFG=45°，∴△BGF為等腰直角三角形，∴BF=2FG．故答案為：BF=2FG；(2)①如圖2所示，②DF=2FG如圖2BFBG，∵四邊形是正方形，∴AD=AB∠ABC=∠=90°AC平分∠BAD，∴∠=∠=45°，∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF()，∴DF=BF，∵⊥AC∠ABC=90°G是AE的中點，31∴AG=EG=BG=FG，∴點AFEB在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，∵BF=BF∠=45°，∴∠BGF=2∠=90°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BF=2FG，∴DF=2FG．△BGF30.(23-24九年級上·湖南長沙·階段練習(xí))△ABC中，∠ACB=90°AC=4BC=3∠CPB=∠A點C作CPBP的延長線交于點QCQ的最大值為()154165A.4B.5C.C34∠PCQ=∠ACB=90°∠CPB=∠A△CPQ∽△CABQC=PCPC有最大值時，CQ∠CPB=∠AACBPPCPC∠ACB=90°到ABPC=AB=AC2+BC2=5∵CQ⊥CP∴∠PCQ=∠ACB=90°∵∠CPB=∠A∴△CPQ∽△CABPCACP