2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)層級(jí)二專(zhuān)題七選修系列4第一講極坐標(biāo)與參數(shù)方程學(xué)案理含解析

PAGE專(zhuān)題七選修系列(4)第一講極坐標(biāo)與參數(shù)方程1．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(4t,1＋t2)))(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ＋eq\r(3)ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值．解：(1)因?yàn)椋?<eq\f(1－t2,1＋t2)≤1，且x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))2＋eq\f(4t2,1＋t22)＝1，所以C的直角坐標(biāo)方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1(－1<x≤1)，l的直角坐標(biāo)方程為2x＋eq\r(3)y＋11＝0.(2)由(1)，可設(shè)C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝2sinα))(α為參數(shù)，－π<α<π)．C上的點(diǎn)到l的距離為eq\f(|2cosα＋2\r(3)sinα＋11|,\r(7))＝eq\f(4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11,\r(7)).當(dāng)α＝－eq\f(2π,3)時(shí)，4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11取得最小值7，故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為eq\r(7).2．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓．由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于點(diǎn)B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq\f(4,3)或k＝0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝－eq\f(4,3)時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2，所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq\f(4,3).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1，與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝eq\f(4,3)時(shí)，l1，l2與C2均沒(méi)有公共點(diǎn)．綜上，所求C1的方程為y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.3．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿(mǎn)意|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)．由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)，由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面積S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝2sin2α－eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2)≤2＋eq\r(3).當(dāng)α＝－eq\f(π,12)時(shí)，S取得最大值2＋eq\r(3).所以△OAB面積的最大值為2＋eq\r(3).明考情坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡(jiǎn)潔曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用，本部分內(nèi)容在備考中應(yīng)留意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，抓住學(xué)問(wèn)，少做難題．考點(diǎn)一曲線的極坐標(biāo)方程|析典例|【例】(2024·貴州貴陽(yáng)適應(yīng)性考試)過(guò)極點(diǎn)O作圓C：ρ＝8cosθ的弦ON.(1)求弦ON的中點(diǎn)M的軌跡E的極坐標(biāo)方程；(2)若P，Q分別是曲線C和E上兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，證明：eq\f(|OP|2,64)＋eq\f(|OQ|2,16)是定值．[解](1)設(shè)M(ρ，θ)，N(ρ1，θ)，則ρ1＝2ρ.因?yàn)镹(ρ1，θ)在圓ρ＝8cosθ上，所以ρ1＝8cosθ，即2ρ＝8cosθ.故弦ON的中點(diǎn)M的軌跡E的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ.(2)證明：設(shè)點(diǎn)Q的極坐標(biāo)是(ρ2，θ)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ3，θ±\f(π,2))).因?yàn)棣?＝8coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ±\f(π,2)))＝?8sinθ，ρ2＝4cosθ，所以eq\f(|OP|2,64)＋eq\f(|OQ|2,16)＝eq\f(ρ\o\al(2,3),64)＋eq\f(ρ\o\al(2,2),16)＝eq\f(64sin2θ,64)＋eq\f(16cos2θ,16)＝sin2θ＋cos2θ＝1，即eq\f(|OP|2,64)＋eq\f(|OQ|2,16)是定值.|規(guī)律方法|求解與極坐標(biāo)有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題的基本方法(1)干脆法：干脆利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想?yún)f(xié)作運(yùn)用．(2)間接法：轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解．若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)．|練題點(diǎn)|(2024·全國(guó)卷Ⅱ)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當(dāng)θ0＝eq\f(π,3)時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．解：(1)因?yàn)镸(ρ0，θ0)在曲線C上，當(dāng)θ0＝eq\f(π,3)時(shí)，ρ0＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).由已知得|OP|＝|OA|coseq\f(π,3)＝2.設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P外的隨意一點(diǎn)．在Rt△OPQ中，ρcosθ－eq\f(π,3)＝|OP|＝2.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P2，eq\f(π,3)在曲線ρcosθ－eq\f(π,3)＝2上，所以，l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－eq\f(π,3)＝2.(2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因?yàn)镻在線段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范圍是所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，θ∈考點(diǎn)二參數(shù)方程|析典例|【例】(2024·廣東廣州花都區(qū)二模)已知直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))．(1)設(shè)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；(2)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(\r(3),2)倍，得到曲線C2，設(shè)P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l距離的最小值．[解](1)依據(jù)題意得直線l的一般方程為y＝eq\r(3)(x－1)，曲線C1的一般方程為x2＋y2＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,x2＋y2＝1，))解得l與C1的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，故|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(\r(3),2)))2)＝1.(2)由題意得，曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)cosθ，,y＝\f(\r(3),2)sinθ))(θ為參數(shù))，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosθ，\f(\r(3),2)sinθ))，所以點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosθ－\f(\r(3),2)sinθ－\r(3))),2)＝eq\f(\r(6),4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋\r(2)))，故當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝－1時(shí)，d取得最小值，最小值為eq\f(2\r(3)－\r(6),4).|規(guī)律方法|參數(shù)方程化為一般方程的方法及參數(shù)方程的應(yīng)用(1)將參數(shù)方程化為一般方程的過(guò)程就是消去參數(shù)的過(guò)程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往須要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)建條件．(2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的運(yùn)用會(huì)使問(wèn)題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問(wèn)題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的一般方程中，依據(jù)參數(shù)的取值條件求解．|練題點(diǎn)|(2024·豫南九校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))(t為參數(shù))與曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)若α＝eq\f(π,3)，求線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，eq\r(3))，求直線l的斜率．解：(1)將曲線C的參數(shù)方程化為一般方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1.當(dāng)α＝eq\f(π,3)時(shí)，設(shè)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，直線l的方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，代入曲線C的一般方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，設(shè)直線l上的點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2.則t0＝eq\f(t1＋t2,2)＝－eq\f(28,13)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(\r(3),13))).(2)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))代入曲線C的一般方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8eq\r(3)sinα＋4cosα)t＋12＝0，因?yàn)閨PA|·|PB|＝|t1t2|＝eq\f(12,cos2α＋4sin2α)，|OP|2＝7，所以eq\f(12,cos2α＋4sin2α)＝7，得tan2α＝eq\f(5,16).由于Δ＝32cosα(2eq\r(3)sinα－cosα)>0，故tanα＝eq\f(\r(5),4).所以直線l的斜率為eq\f(\r(5),4).考點(diǎn)三參數(shù)方程、極坐標(biāo)的綜合應(yīng)用|析典例|【例】(2024·河北六校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(0，－1)，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－1＋tsinα))(t為參數(shù))，其中0≤α<π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＋ρcos2θ＝8sinθ.(1)若α＝eq\f(π,4)，求C1與C2公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于不同的兩點(diǎn)A，B，M是線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)|PM|＝eq\f(40,9)時(shí)，求sinα的值．[解](1)若α＝eq\f(π,4)，則曲線C1的一般方程為y＝x－1，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,x2＝4y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝1，,x＝2.))所以C1與C2公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,1)．(2)將C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－1＋tsinα))代入x2＝4y得，(cos2α)t2－4(sinα)t＋4＝0，由Δ＝16sin2α－16cos2α>0得，sinα>eq\f(\r(2),2).設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝eq\f(4sinα,cos2α)，由|PM|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))＝eq\f(2sinα,cos2α)＝eq\f(40,9)，得20sin2α＋9sinα－20＝0，解得sinα＝eq\f(4,5).|規(guī)律方法|轉(zhuǎn)化與化歸思想在參數(shù)方程、極坐標(biāo)問(wèn)題中的運(yùn)用在對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，敏捷地利用轉(zhuǎn)化與化歸思想可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答．例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)