9.2 用樣本估計總體（解析版）（人教版2019必修第二冊）-人教版高中數(shù)學精講精練必修二

.2用樣本估計總體考法一頻率分布直方圖【例1-1】（2023天津）考查某校高三年級男同學的身高，隨機地抽取50名男同學，測得他們的身高（單位：cm）如下表所示：171170165169167167170161164167171163163169166168168165160168158160163167173168169170160164171169167159151168170174160168176157162166158164180179169169(1)這組數(shù)據(jù)的極差為______，數(shù)據(jù)160的頻數(shù)為______，數(shù)據(jù)171的頻率為______；(2)填寫下面的頻率分布表：身高頻數(shù)頻率(3)畫出該校高三年級男同學身高的頻率分布直方圖．【答案】(1)29，4，0.06(2)填表見解析(3)直方圖見解析【解析】（1）解：因為最高身高為180，最低身高為151，所以極差為：180-151=29；因為身高為160的人數(shù)為4，所以頻數(shù)為4；因為身高為171的人數(shù)為3,所以頻率為；（2）解：填表如下：身高頻數(shù)頻率10.020040.0860.1280.16130.26130.2620.0410.0220.04（3）解：由頻率分布表，可得頻率分布直方圖，如下：【例1-2】（2023陜西）中央電視臺播出《中國詩詞大會》火遍全國，下面是組委會在選拔賽時隨機抽取的100名選手的成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示：組號分組頻數(shù)頻率第1組0.100第2組①______第3組20②______第4組200.200第5組100.100合計1001.00

(1)請先求出頻率分布表中①、②位置的相應數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）.(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的選手，組委會決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取5名選手進入第二輪面試，則第3，4，5組每組各抽取多少名選手進入第二輪面試？【答案】(1)①填；②填，進而完成頻率分布直方圖(2)第組分別抽取人，人，人【解析】（1）第組的頻數(shù)為，所以①填，對應頻率；②填，由此補全頻率分布表如下：組號分組頻數(shù)頻率第1組0.100第2組第3組20第4組200.200第5組100.100合計1001.00由此補全頻率分布直方圖如下：

（2）第3，4，5組的頻率之比為，所以第組分別抽取人，人，人.【一隅三反】1．（2024廣西）已知下列是不同廠家生產(chǎn)的手提式電腦的重量（單位：千克）：1.9，2.0，2.1，2.4，2.4，2.8，3.0，2.3，1.5，2.6，2.6，1.9，2.4，2.2，1.6，1.7，1.7，1.8，1.8，3.0．(1)這組數(shù)據(jù)的極差為______，數(shù)據(jù)1.9的頻數(shù)為______，數(shù)據(jù)2.4的頻率為______．(2)如果決定把這些數(shù)據(jù)分成5組，則合適的分組區(qū)間為：____________．(3)填寫頻率分布表：分組頻數(shù)頻率累積頻數(shù)(4)在直角坐標系中，畫出相應的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖．【答案】(1)1.5；2；0.15(2)[1.5，1.8），[1.8，2.1）.[2.1，2.4），[2.4，2.7），[2.7，3.0](3)答案見解析(4)答案見解析【解析】（1）極差為，1.9出現(xiàn)了兩次，所以頻數(shù)為2，2.4出現(xiàn)了3次，所以頻率為，（2）[1.5，1.8），[1.8，2.1）.[2.1，2.4），[2.4，2.7），[2.7，3.0]（3）分組頻數(shù)頻率累積頻數(shù)[1.5，1.8）40.204[1.8，2.1）50.259[2.1，2.4）30.1512[2.4，2.7）50.2517[2.7，3.0]30.1520（4）如圖所示：2．（2024甘肅慶陽）某幼兒園根據(jù)部分同年齡段女童的身高數(shù)據(jù)繪制了頻率分布直方圖，其中身高的變化范圍是（單位：厘米），樣本數(shù)據(jù)分組為.(1)求出的值；(2)已知樣本中身高小于100厘米的人數(shù)是36，求出總樣本量的數(shù)值；(3)根據(jù)頻率分布直方圖提供的數(shù)據(jù)及（2）中的條件，求出樣本中身高位于的人數(shù).【答案】(1)；(2)；(3)人.【解析】（1）由題意，解得.（2）設樣本中身高小于100厘米的頻率為，則.而，故.（3）樣本中身高位于的頻率，身高位于的人數(shù)（人）.3（2024北京）一位植物學家想要研究某類植物生長1年之后的高度．他隨機抽取了60株此類植物，測得它們生長1年之后的高度如下（單位：cm）：73

84

91

68

72

83

75

58

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4148

61

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72

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7880

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69

69

56

74(1)完成下表：高度分組/cm頻數(shù)頻率(2)根據(jù)上表畫出相應的頻率分布直方圖和頻率折線圖，并描述此類植物生長1年之后的高度分布情況．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】（1）高度分組/cm頻數(shù)頻率50.0830.008380.1330.0133160.2670.0267170.2830.028380.1330.013360.1000.0100（2）由上表可得頻率分布直方圖：

頻率折線圖如圖：

超過50%的此類植物在生長1年后的高度在cm之間，其中50cm以下，90cm以上所占比例相對較小.考法二統(tǒng)計圖的分析【例2-1】（2024甘肅）為迎接黨的二十大勝利召開，某校開展了“學黨史，悟初心”系列活動．學校對學生參加各項活動的人數(shù)進行了調(diào)查，并將數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖．若參加“書法”的人數(shù)為80人，則參加“大合唱”的人數(shù)為（

）

A．60人 B．100人 C．160人 D．400人【答案】C【解析】由題意大合唱的所占比例為，因為參加“書法”的比例為，人數(shù)為80人，所以參加“大合唱”的人數(shù)為160人.故選：C【例2-2】（2024湖南）近五年來，國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長，占世界經(jīng)濟比重從提高到左右，對世界經(jīng)濟增長貢獻率超過，居民消費價格年均上漲，保持較低水平．在2018年2月國家統(tǒng)計局發(fā)布了《2017年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》中“2017年居民消費價格月度漲跌幅度”的折線圖如圖：說明：在統(tǒng)計學中，同比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如：2017年12月與2016年12月相比較；同比增長率=（本期數(shù)-同期數(shù)）÷同期數(shù)．環(huán)比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2017年12月與2017年11月相比較：環(huán)比增長率=（本期數(shù)一上期數(shù)）÷上期數(shù)×．根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．從2017年每月的環(huán)比增長率看，2017年每月居民消費價格逐月比較有漲有跌B．從2017年每月的環(huán)比增長率看，2017年每月居民消費價格逐月比較1月漲幅最大C．從2017年每月的同比增長率看，2017年每月居民消費價格與2016年同期比較有漲有跌D．從2017年每月的同比增長率看，2017年每月居民消費價格與2016年同期比較1月漲幅最大【答案】C【解析】A選項，由折線圖知，從2017年每月的環(huán)比增長率看，有正值，也有負值，故2017年每月居民消費價格逐月比較有漲有跌，A選項說法正確；B選項，從2017年每月的環(huán)比增長率看，1.0為最大值，即2017年每月居民消費價格逐月比較1月漲幅最大，B說法正確；C選項，從2017年每月的同比增長率看，都是正值，故2017年每月居民消費價格與2016年同期比較只有漲，沒有跌，C錯誤；D選項，從2017年每月的同比增長率看，2.5為最大值，故2017年每月居民消費價格與2016年同期比較1月漲幅最大，D說法正確.故選：C【一隅三反】1．（2024云南）如圖為小王同學周末復習各學科投入時間扇形統(tǒng)計圖，其中在語文學科投入時間為1小時，則她在數(shù)學學科投入時間為（

）

A．0.5小時 B．1小時 C．1.25小時 D．1.5小時【答案】C【解析】由題知，小王同學周末復習的總時間為小時，因為，復習數(shù)學的時間所占百分比為，所以，復習數(shù)學的時間為小時.故選：C2．（2023河南）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲?乙?丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（

）

①某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油.②消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米；③以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少；④甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油A．②④ B．①③ C．①② D．③④【答案】B【解析】對于①，速度在80千米小時以下時，相同條件下每消耗1升汽油，丙車行駛路程比乙車多，所以該市用丙車比用乙車更省油，所以①正確；對于②，從圖中可以看出乙車的最高燃油效率大于5（乙車圖象的最高點的縱坐標大于，所以②錯誤；對于③，同樣速度甲車消耗1升汽油行駛的路程比乙車、丙車的多，所以行駛相同路程，甲車油耗最少，所以③正確；對于④，甲車以80千米小時的速度行駛，1升汽油行駛10千米，所以行駛1小時，即行駛80千米，消耗8升汽油，所以④錯誤．故選：B.3．（2023·四川達州）將某年級600名學生分配到甲、乙、丙、丁、戊這5個社區(qū)參加社會實踐活動，每個人只能到一個社區(qū).經(jīng)統(tǒng)計，將到各個社區(qū)參加志愿者活動的學生人數(shù)繪制成如下不完整的兩個統(tǒng)計圖，則分到戊社區(qū)參加活動的學生人數(shù)為（

）A．30 B．45 C．60 D．75【答案】C【解析】由題意得，分配到乙社區(qū)的學生數(shù)為，分配到丁社區(qū)的學生數(shù)為，故分到戊社區(qū)參加活動的學生數(shù)為.故選：C4．（2023廣西）國家統(tǒng)計局發(fā)布的2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險基金的收入和支出數(shù)據(jù)如圖所示，則下列說法錯誤的是（

）A．2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險基金收入逐年增加B．2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會產(chǎn)老保險基金支出逐年增加C．2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險基金收入數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為4852.9億元D．2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險基金收入數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為4107.0億元【答案】D【解析】根據(jù)柱狀圖中給定數(shù)據(jù)可知，2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險基金收入逐年增加，故A不符合題意；2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會產(chǎn)老保險基金支出逐年增加，故B不符合題意；，故2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險基金收入數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為4852.9億元，故C不符合題意；，2018年至2022年我國城鄉(xiāng)居民社會養(yǎng)老保險基金收入數(shù)據(jù)的分位數(shù)為億元，故D符合題意.故選：D.5．（2023高三上·全國·專題練習）（多選）人口普查是當今世界各國廣泛采用的搜集人口資料的一種最基本的科學方法，根據(jù)人口普查的基本情況制定社會、經(jīng)濟、科教等各項發(fā)展政策.截至2022年6月，我國共進行了七次人口普查，下圖是這七次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)和城鎮(zhèn)人口比重情況，下列說法正確的是（）A．鄉(xiāng)村人口數(shù)逐次增加B．歷次人口普查中第七次普查城鎮(zhèn)人口最多C．城鎮(zhèn)人口數(shù)逐次增加D．城鎮(zhèn)人口比重逐次增加【答案】BCD【解析】對于A，根據(jù)題中條形圖，知鄉(xiāng)村人口數(shù)在前四次普查中逐次增加，在后三次普查中逐次減少，故A不正確；對于B，從題中條形圖，知在歷次人口普查中第七次普查城鎮(zhèn)人口最多，故B正確；對于C，根據(jù)題中條形圖，知城鎮(zhèn)人口數(shù)逐次增加，故C正確；對于D，從題中折線圖對應的數(shù)據(jù)可得，七次人口普查中城鎮(zhèn)人口比重依次為13.26，18.30，20.91，26.44，36.22，49.68，63.89，可知城鎮(zhèn)人口比重逐次增加，故D正確.故選:BCD.考法三百分位數(shù)【例3-1】（2024廣西）某人用手機記錄了他連續(xù)10周每周的走路里程（單位：公里），其數(shù)據(jù)分別為,，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A．7 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為.因為，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是這組數(shù)據(jù)中的第6個和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：C.【例3-2】（2023貴州）某校排球社的同學為訓練動作組織了墊排球比賽，以下為根據(jù)排球社位同學的墊球個數(shù)畫的頻率分布直方圖，所有同學墊球數(shù)都在之間．估計墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】墊球數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總數(shù)的；墊球數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總數(shù)的；第百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，且，估計墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故選：D.【例3-3】（2023河南洛陽）某班最近一次化學考試成績（百分制）按、、、、、分成六組后，得到頻率分布直方圖如圖所示.若化學老師欲將大家的成績由高到低排列，并獎勵排名在前的同學，試估計化學老師獎勵的學生的分數(shù)應不低于（

）A．分 B．分 C．分 D．分【答案】C【解析】易得，解得，化學考試成績在內(nèi)的頻率為，化學考試成績在內(nèi)的頻率為，所以，第百分位數(shù)一定位于內(nèi).設第百分位數(shù)為，則，解得，所以估計化學老師獎勵的學生的分數(shù)應不低于分.故選：C.【例3-4】（2023高一上·全國·課時練習）（多選）已知100個數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是9.3，則下列說法不正確的是（）A．這100個數(shù)據(jù)中一定是75個數(shù)小于或等于9.3B．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)【答案】ABD【解析】因為100×75%＝75為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為75%分位數(shù)是9.3，故C正確，BD錯誤；對A，這100個數(shù)據(jù)中不一定是75個數(shù)小于或等于9.3，可能這100個數(shù)據(jù)都是9.3，故A錯誤.故選：ABD【一隅三反】1．（2024高一課時練習）（多選）下列關于分位數(shù)的說法不正確的是（

）A．分位數(shù)就是中位數(shù)B．總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于它的可能性一定是C．它是四分位數(shù)D．它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)【答案】BCD【解析】對于A，由百分位數(shù)定義可知：分位數(shù)就是中位數(shù)，A正確；對于B，若總體數(shù)據(jù)各不相同且共有個，則分位數(shù)為從小到大排序的第個數(shù)，此時從總體中抽取一個數(shù)，該數(shù)小于分位數(shù)的可能性為，B錯誤；對于C，四分位數(shù)為和分位數(shù)，C錯誤；對于D，總體是離散型的數(shù)據(jù)或是連續(xù)型的數(shù)據(jù)，均存在分位數(shù)，D錯誤.故選：BCD.2（2023天津和平）日前，十九大代表、奧運冠軍——魏秋月老師在升旗儀式上為耀華師生上了一堂生動的體育思政課，并為耀華排球社的同學們帶來了魏秋月名師工作室團隊的專業(yè)技術指導.其間對同學們墊排球的手勢技術動作進行了特別指導.之后排球社的同學為訓練動作組織了墊排球比賽，以下為排球社50位同學的墊球個數(shù)所做的頻率分布直方圖，所有同學墊球數(shù)都在5-40之間.估計墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（

）A．25 B．26 C．27 D．28【答案】D【解析】墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的，因為75%分位數(shù)位于內(nèi)，由，所以估計墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是28.故選：D3．（2024山東）某校舉辦歌唱比賽，將200名參賽選手的成績整理后畫出頻率分布直方圖如圖，根據(jù)頻率分布直方圖，第40百分位數(shù)估計為（

）

A．64 B．65 C．66 D．67【答案】C【解析】由圖可知，，即第40百分位數(shù)位于區(qū)間，設第40百分位數(shù)為，則.故選：C4．（2023遼寧阜新）甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運動員12345甲8788909193乙8990919192則甲的分位數(shù)為，乙的分位數(shù)為．【答案】9090.5【解析】由題意得：將甲的次訓練成績從小到大排列為：，，，，，因為，所以甲的分位數(shù)為第位置數(shù)：；將乙的次訓練成績從小到大排列為：，，，，，因為，所以乙的分位數(shù)為第位置和第位置的平均數(shù)：，故答案為：；.考法四眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)【例4-1】（2023高一下·全國·開學考試）（多選）某市今年夏天迎來罕見的高溫炎熱天氣，當?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計進人八月份以來（8月1日至8月10日）連續(xù)10天中每天的最高氣溫和最低氣溫，得到如下的折線圖：

根據(jù)該圖，關于這10天的氣溫，下列說法中正確的有（

）A．最高氣溫的眾數(shù)為38 B．最低氣溫的平均值為29C．8月4日的溫差最大 D．最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差【答案】BC【解析】由圖知，最高氣溫的眾數(shù)為37，故A錯誤；最低氣溫的平均值為，故B正確；這10天的溫差分別為9，7，9，12，9，10，10，7，8，8，則溫差最大的為8月4日，故C正確；最高氣溫的極差為，最低氣溫的極差為，故D錯誤.故選：BC.【例4-2】（2023重慶渝中·期中）（多選）在某市高三年級舉行的一次模擬考試中，某學科共有20000人參加考試．為了了解本次考試學生成績情況，從中隨機抽取了100名學生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計，并按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．則下列說法正確的是（

）

A．樣本的眾數(shù)為70B．樣本的分位數(shù)為78.5C．估計該市全體學生成績的平均分為70.6D．該市參加測試的學生中低于60分的學生大約為320人【答案】BC【解析】對于選項A，樣本的眾數(shù)應是區(qū)間中點75，故選項A錯誤.對于選項B，設樣本的分位數(shù)為t，因為左邊兩個矩形面積和為，左邊三個矩形面積和為.因此t在區(qū)間內(nèi)，所以，解得，故選項B正確.對于選項C，用樣本平均分估計總體平均分，而樣本的平均分為，故選項C正確.對于選項D，樣本中低于60分的學生的頻率為，估計總體中低于60分的學生的人數(shù)約為，故選項D錯誤.故答案為：BC.【一隅三反】1．（2023海南?？凇るA段練習）（多選）某科技攻關青年團隊共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表所示，則這10個人年齡的（

）年齡454036322928人數(shù)121321A．中位數(shù)是34 B．眾數(shù)是32C．第25百分位數(shù)是29 D．平均數(shù)為34.3【答案】BCD【解析】把10個人的年齡由小到大排列為，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，A錯誤，B正確；由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)，為29，C正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，D正確.故選：BCD2．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）（多選）黨的二十大報告提出，要加快發(fā)展數(shù)字經(jīng)濟，促進數(shù)字經(jīng)濟與實體經(jīng)濟的深度融合，數(shù)字化構建社區(qū)服務新模式成為一種時尚．某社區(qū)為優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務，問卷調(diào)查調(diào)研數(shù)字化社區(qū)服務的滿意度，滿意度采用計分制（滿分100分），統(tǒng)計滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中．則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．滿意度計分的眾數(shù)為80分C．滿意度計分的分位數(shù)是85分D．滿意度計分的平均分是76.5【答案】ACD【解析】由頻率分布直方圖可知，即，又，所以，所以選項正確；滿意度計分的眾數(shù)為75分，所以選項錯誤；前三組的頻率之和為0.75，前四組的頻率之和為，則分位數(shù)，故，滿意度計分的分位數(shù)為85，所以選項正確；滿意度計分的平均分為：分，所以選項D正確．故選:ACD．3．（2023云南昆明·階段練習）（多選）某校1500名學生參加數(shù)學競賽，隨機抽取了40名學生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）

A．頻率分布直方圖中a的值為0.005 B．估計這40名學生的競賽成績的第60百分位數(shù)為75C．估計這40名學生的競賽成績的眾數(shù)為80 D．估計總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為225【答案】AD【解析】由，可得，故A正確；前三個矩形的面積和為，所以這名學生的競賽成績的第百分位數(shù)為，故B錯誤；由成績的頻率分布直方圖易知，這名學生的競賽成績的眾數(shù)為，故C錯誤；總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為，故D正確.故選：AD考法五方差、標準差【例5-1】（2024安徽蚌埠）（多選）在某次調(diào)查中，利用分層抽樣隨機選取了25名學生的測試得分，其中15名男生得分的平均數(shù)為75，方差為6，其余10名女生的得分分別為，則下列選項正確的是（

）A．女生得分的平均數(shù)小于75 B．女生得分的方差大于6C．女生得分的分位數(shù)是71.5 D．25名學生得分的方差為11.2【答案】ACD【解析】由題意，分層抽樣隨機選取了25名學生，15名男生，10名女生，男生平均數(shù)為75，方差為6，10名女生的得分分別為，A項，女生平均數(shù)：，故A正確；B項，女生方差：，故B錯誤；C項，將女生得分從小到大排列：，女生得分的分位數(shù)是：，C正確；D項，25名學生的平均數(shù)：，25名學生得分的方差為：，D正確；故選：ACD.【例5-2】（2024黑龍江牡丹江·階段練習）（多選）若的平均數(shù)為3，方差為4，則的（

）A．平均數(shù)為1 B．方差為1C．平均數(shù)為 D．方差為2【答案】AB【解析】若的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)為，方差為，令，，解得，．故選：AB【例5-3】（2024河南南陽）（多選）某地環(huán)境部門對轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁四個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督導，若一地區(qū)連續(xù)10天每天的空氣質(zhì)量指數(shù)均不大于100，則認為該地區(qū)的環(huán)境治理達標，否則認為該地區(qū)的環(huán)境治理不達標.根據(jù)連續(xù)10天檢測所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷，環(huán)境治理一定達標的地區(qū)是（

）A．甲地區(qū)：平均數(shù)為90，方差為10 B．乙地區(qū)：平均數(shù)為60，眾數(shù)為50C．丙地區(qū)：中位數(shù)為50，極差為70 D．丁地區(qū)：極差為20，80%分位數(shù)為80【答案】AD【解析】設每天的空氣質(zhì)量指數(shù)為（，2，…，10），則方差.對于A，由，得，若這10天中有1天的空氣質(zhì)量指數(shù)大于100，則必有，矛盾，所以這10天每天的空氣質(zhì)量指數(shù)都不大于100，故A正確；對于B，假設有8天為50，有1天為140，有1天為60，此時平均數(shù)為60，眾數(shù)為50，但該地區(qū)的環(huán)境治理不達標，故B錯誤；對于C，假設第1天為120，后面9天為50，此時中位數(shù)為50，極差為70，但該地區(qū)的環(huán)境治理不達標，故錯誤；對于D，如果最大值大于100，根據(jù)極差為20，則最小值大于80，這與分位數(shù)為80矛盾，故最大值不大于100，故D正確.故選：AD【例5-4】（2023河南南陽·期末）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；(3)已知落在的平均成績是54，方差是7，落在的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.【答案】(1)(2)84(3)總平均數(shù)為；總方差為【解析】（1）因為每組小矩形的面積之和為1，所以，則.（2）成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設第75百分位數(shù)為m，由，得，故第75百分位數(shù)為84.（3）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，故這兩組成績的總平均數(shù)為，由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為：.【一隅三反】1．（2023遼寧錦州·期末）（多選）某士官參加軍區(qū)射擊比賽，打了10發(fā)子彈，報靶數(shù)據(jù)如下：6，5，9，10，7，8，9，10，9，7，（單位：環(huán)），下列說法正確的有（

）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8 B．這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是9C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5 D．這組數(shù)據(jù)的方差是2.6【答案】ACD【解析】對于A，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，A正確；對于B，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，由于，故這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是，B錯誤；對于C，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，中位數(shù)為，C正確；對于D，這組數(shù)據(jù)的方差為，D正確，故選：ACD2．（2023·山西呂梁·階段練習）（多選）已知樣本：的均值為4，標準差為2，樣本：的方差為4，則樣本和樣本的（

）A．平均數(shù)相等 B．方差相等 C．極差相等 D．中位數(shù)相等【答案】BC【解析】對于選項A，B，C，設樣本的均值為，方差為，極差為，中位數(shù)為，則，，，所以，，當時，樣本：；樣本：，可得樣本的平均數(shù)為，樣本的平均數(shù)為，樣本和樣本的極差相等為，方差也相等為4，故B，C正確；選項D，設樣本的中位數(shù)為，則樣本的中位數(shù)為，故D錯誤.當時，樣本：；樣本：，可得樣本的平均數(shù)為，樣本的平均數(shù)為，樣本和樣本的極差相等為，方差也相等為4，故B，C正確；選項D，設樣本的中位數(shù)為，則樣本的中位數(shù)為，故D錯誤.故選：BC.3．（2023安徽滁州·階段練習）（多選）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構認為該事件在一段時間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標準為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，過去10天，甲?乙?丙?丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：平均數(shù)為2，眾數(shù)為2；乙地：中位數(shù)為3，極差為4；丙地：平均數(shù)為2，中位數(shù)為3；丁地：平均數(shù)為2，方差為2，甲?乙?丙?丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（

）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【答案】BCD【解析】對于A，若甲地過去10天每天新增疑似病例人數(shù)分別為0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，則滿足平均數(shù)2，眾數(shù)為2，但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，所以A錯誤，對于B，因為乙地：中位數(shù)為3，極差為4，所以最大值不大于，所以乙地滿足每天新增疑似病例不超過7人，所以B正確，對于C，假設丙地至少有一天新增疑似病例人數(shù)超過7人，由中位數(shù)為3可得平均數(shù)的最小值為，與題意矛盾，所以C正確，對于D，假設丁地至少有一天新增疑似病例人數(shù)超過7人，則方差的最小值為，與題意矛盾，所以D正確，故選：BCD4（2024高一課時）（多選）如圖，海水養(yǎng)殖廠進行某水產(chǎn)品的新舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品產(chǎn)量（單位:kg），其頻率分布直方圖如圖所示.

根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是（）A．新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值B．新網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值C．新網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計值D．新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計值的兩倍【答案】BCD【解析】對于A，舊養(yǎng)殖法的平均數(shù)所以新養(yǎng)殖法的平均數(shù)所以因為,所以新網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值低于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量的方差的估計值,故A錯誤.對于B，舊養(yǎng)殖法中，左邊4個矩形的面積和為（0.012+0.014+0.024+0.034）×5=0.42，左邊5個矩形的面積和為（0.012+0.014+0.024+0.034+0.04）×5=0.62，所以其中位數(shù)在45和50之間.新養(yǎng)殖法中，左邊三個矩形的面積和為0.34，左邊4個矩形的面積和為0.552，所以其中位數(shù)在50和55之間.所以新網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量中位數(shù)的估計值，所以B正確.對于C，因為，，所以新網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計值高于舊網(wǎng)箱產(chǎn)量平均數(shù)的估計值，故C正確.對于D，舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計值為47.5×100×0.2=950，新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值為52.5×100×0.34=1785，所以新網(wǎng)箱頻率最高組的總產(chǎn)量的估計值接近舊網(wǎng)箱頻率最高組總產(chǎn)量估計值的兩倍，故D正確.故選:BCD.5．（22-23高一上·江西宜春·期末）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，…，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；(3)已知落在的平均成績是54，方差是7，落在的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù).【答案】(1)(2)84(3)【解析】（1）∵每組小矩形的面積之和為1，∴，∴.（2）成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設第75百分位數(shù)為m，由，得，故第75百分位數(shù)為84；（3）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，故.所以兩組市民成績的總平均數(shù)是62，考法六綜合運用【例6-1】（2023河南南陽）年入冬以來，為進一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆發(fā)，地區(qū)規(guī)定居民出行或者出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)個居民一周的口罩使用個數(shù)統(tǒng)計如下表所示，其中每周的口罩使用個數(shù)在以上（含）的有人．口罩使用數(shù)量頻率

(1)求的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖；（只畫圖，不要過程）(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的分位數(shù)和中位數(shù)；（四舍五入，精確到）(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的平均數(shù)以及方差．（每組數(shù)據(jù)用每組中點值代替）【答案】(1)，；頻率分布直方圖見解析(2)分位數(shù)為個，中位數(shù)為個(3)平均數(shù)為個，方差為．【解析】（1）由每周的口罩使用個數(shù)在以上（含）的有人得：，解得：，，則頻率分布直方圖如下：

（2），，分位數(shù)位于，設其為，則，解得：，即估計分位數(shù)為個；，，中位數(shù)位于，設其為，則，解得：，即估計中位數(shù)為個.（3）由頻率分布直方圖得一周內(nèi)使用口罩的平均數(shù)為：（個），方差為，則所求平均數(shù)估計為個，方差估計為．【一隅三反】1．（2023·廣西玉林）某學校為了了解高二年級學生數(shù)學運算能力，對高二年級的300名學生進行了一次測試.已知參加此次測試的學生的分數(shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分數(shù)分成5組：，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.

(1)求的值，并估計此次校內(nèi)測試分數(shù)的平均值；(2)學校要求按照分數(shù)從高到低選拔前30名的學生進行培訓，試估計這30名學生的最低分數(shù)；(3)試估計這300名學生的分數(shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學的成績是否進入到了范圍內(nèi)？（參考公式：，其中為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，75分(2)90分(3)答案見解析【解析】（1），所以，所以該次校內(nèi)考試測試分數(shù)的平均數(shù)的估計值為：分.（2）因為，所以這30名學生的最低分數(shù)就是該次校內(nèi)測試分數(shù)的分位數(shù).該次校內(nèi)考試測試分數(shù)的分位數(shù)為這30名學生的最低分數(shù)的估計值為90分.（3），，得分為52分的同學的成績沒有進入到內(nèi)，得分為94分的同學的成績進入到了內(nèi).即：得分為52分的同學的成績沒有進入到范圍，得分為94分的同學的成績進入到范圍了.2．（2024浙江湖州·期中）2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.(1)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計這次第二組和第四組面試者所有人的方差.【答案】(1)，(2)【解析】（1）由題意可知：，解得，可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)等于，因為，設第25百分位數(shù)為，則，解得，第25百分位數(shù)為63.（2）設第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，成績在第二組、第四組的平均數(shù)，成績在第二組、第四組的方差，故估計成績在第二組、第四組的方差是.單選題1．（2023春·廣東江門·）國家統(tǒng)計局服務業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）如圖所示.則下列結(jié)論中正確的是（

）A．12個月的PMI值不低于的頻率為B．12個月的PMI值的平均值低于C．12個月的PMI值的眾數(shù)為D．12個月的PMI值的中位數(shù)為【答案】B【解析】對于A：從圖中數(shù)據(jù)變化看，PMI值不低于的月份有4個，所以12個月的PMI值不低于的頻率為，故A錯誤；對于B：由圖可以看出PMI值不低于的月份有個且超過不多，PMI值低于的月份有個，其中月份數(shù)據(jù)為低得比較多，所以PMI值的平均值低于，故B正確；對于C：12個月的PMI值的眾數(shù)為，故C錯誤；對于D：12個月的PMI值的中位數(shù)為，故D錯誤.故選：B2．（2023春·黑龍江哈爾濱）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史、育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（

）①a的值為0.005；②估計成績低于60分的有25人；③估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75；④估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③【答案】C【解析】對于①，由，得.故①正確；對于②，估計成績低于60分的有人.故②錯誤；對于③，由眾數(shù)的定義知，估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.故③正確；對于④，設這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為m，則，解得：，故④正確.故選：C.3．（2023天津和平）日前，十九大代表?奧運冠軍一一魏秋月老師在升旗儀式上為耀華師生上了一堂生動的體育思政課，并為耀華排球社的同學們帶來了魏秋月名師工作室團隊的專業(yè)技術指導.其間對同學們墊排球的手勢技術動作進行了特別指導.之后排球社的同學為訓練動作組織了墊排球比賽，以下為排球社50位同學的墊球個數(shù)所做的頻率分布直方圖，所有同學墊球數(shù)都在5-40之間.估計墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（

）A． B． C．27 D．28【答案】D【解析】墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的；墊球數(shù)在的人數(shù)為，占總數(shù)的，因為75%分位數(shù)位于內(nèi)，由所以估計墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是28故選：D4．（2023新疆伊犁·期末）某校高三年級一共有1500名同學參加數(shù)學測驗，已知所有學生成績的第70百分位數(shù)是92分，則數(shù)學成績不小于92分的人數(shù)至少為（

）A．420 B．350 C．450 D．400【答案】C【解析】若表示學生數(shù)學成績，則的人數(shù)占比，故的人數(shù)占比，所以數(shù)學成績不小于92分的人數(shù)至少為人.故選：C5.（2024河南·階段練習）已知一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為16，則另一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】由題意得，得，所以所求的平均數(shù)為．故選：C6．（2024湖南長沙·期末）經(jīng)過簡單隨機抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為，且數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.則下列說法正確的是（）A．若數(shù)據(jù)的方差.則所有的數(shù)據(jù)都為0B．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6C．若數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90.則可以估計總體中有至少有50%的數(shù)據(jù)不大于90D．若數(shù)據(jù)的方差為.則數(shù)據(jù)的方差為6【答案】C【解析】對于A，數(shù)據(jù)的方差時.所有的數(shù)據(jù)都相等.但不一定為0.故選項A錯誤；對于B，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為時.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選項B錯誤；對于C，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90時.可以估計總體中有至少有50%的數(shù)據(jù)不大于90.故選項C正確；對于D，數(shù)據(jù)的方差為時.數(shù)據(jù)的方差為.故選項D錯誤．故選：C．7．（2023·全國·高一專題練習）現(xiàn)有隨機選出20個數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下，則（

）A．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1.02 B．該組數(shù)據(jù)的極差為1.12C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為0.87 D．該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為1.02【答案】D【解析】由題可知出現(xiàn)了三次，而只出現(xiàn)了兩次，根據(jù)眾數(shù)定義可知該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故A錯誤；根據(jù)極差定義可知，該組數(shù)據(jù)的極差為，所以B錯誤；由中位數(shù)定義可知，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，即C錯誤；由于，所以該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是第16個和第17個數(shù)的平均數(shù)，即，所以D正確；故選：D8．（2023遼寧營口）某地區(qū)經(jīng)過2022年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中正確的是（

）A．新農(nóng)村建設后，種植收入增加B．新農(nóng)村建設后，其他收入是原來的1.25倍C．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了2倍D．新農(nóng)村建設后，其他收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的【答案】A【解析】設建設前農(nóng)村的經(jīng)濟收入為，則新農(nóng)村建設后經(jīng)濟收入為，建設前農(nóng)村的種植收入為，則新農(nóng)村建設后經(jīng)濟收入為，故A正確；建設前農(nóng)村的其他收入為，則新農(nóng)村建設后其他收入為，倍，故B錯誤；建設前農(nóng)村的養(yǎng)殖收入為，則新農(nóng)村建設后養(yǎng)殖收入為，故C不正確；新農(nóng)村建設后，其他收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占比，故D錯誤；故選：A8．（2023·全國·高一專題練習）為了讓學生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某班舉行了一次環(huán)保知識有獎競答活動，有名學生參加活動.已知這名學生得分的平均數(shù)為，方差為.若將當成一個學生的分數(shù)與原來的名學生的分數(shù)一起，算出這個分數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】設這名學生得分分別是、、、、，則，，故，因為，，因為，故.故選：B.多選題9．（2023云南）為了解2022年安徽省普通高中學業(yè)水平考試的數(shù)學成績，在全省6萬考生中隨機選取2000人的成績作為樣本（滿分100分，60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀），可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，則下列說法正確的是（

）

A．B．6萬考生中約有3000人不及格C．選取的2000人的成績中，成績落在的人數(shù)是成績落在的人數(shù)的D．以頻率估計概率，從6萬考生中隨機抽取1人，則該學生成績優(yōu)秀的概率為0.25【答案】ACD【解析】由，得，A正確；不及格的頻率為，則6萬考生中不及格的人數(shù)為，B錯誤；選取的2000人的成績中，成績落在，的頻率分別為，則成績落在的人數(shù)是成績落在的人數(shù)的，C正確；以頻率估計概率，從6萬考生中隨機抽取1人，則該學生成績優(yōu)秀的概率為，D正確.故選：ACD10（2024·廣東·階段練習）新式茶飲是指以上等茶葉通過萃取濃縮液，再根據(jù)消費者偏好，添加牛奶、堅果、檸檬等小料調(diào)制而成的飲料．如圖為2022年我國消費者購買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費新式茶飲金額的條形圖．

根據(jù)所給統(tǒng)計圖，下列結(jié)論中正確的是（）A．每周都消費新式茶飲的消費者占比不到90%B．每天都消費新式茶飲的消費者占比超過20%C．月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比超過50%D．月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比超過60%【答案】BC【解析】每周都消費新式茶飲的消費者占比,A錯誤；每天都消費新式茶飲的消費者占比，B正確；月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比，C正確；月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比,D錯誤．故選：BC11．（2023·全國·模擬預測）某商戶收集并整理了其在2023年1月到8月線上和線下收入的數(shù)據(jù)，并繪制如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該商戶這8個月中，月收入最高的是7月B．該商戶這8個月的線上總收人低于線下總收入C．該商戶這8個月中，線上、線下收入相差最小的是7月D．該商戶這8個月中，月收入不少于17萬元的頻率是【答案】ACD【解析】對于A：該商戶這8個月中，計算可得月收入分別為16萬元，13.5萬元，16萬元，17萬元，17萬元，16萬元，20萬元，17.5萬元，月收入最高的是7月，A正確；對于B：該商戶這8個月的線上總收入為72萬元，線下總收入為61萬元，B錯誤；對于C：根據(jù)折線圖可看出線上、線下收入折線距離最近的時7月份，即該商戶這8個月中線上、線下收入相差最小的是7月，C正確；對于D：根據(jù)A選項可知該商戶這8個月中，月收入不少于17萬元的有4個月，故所求頻率為，D正確．故選：ACD12．（2023·北京）2023年是共建“一帶一路”倡議提出十周年．某校組織了“一帶一路”知識競賽，將學生的成績（單位：分，滿分：120分）整理成如圖的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），則（

）A．該校競賽成績的極差為70分B．的值為0.005C．該校競賽成績的平均分的估計值為90.7分D．這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為81【答案】BC【解析】因為由頻率分布直方圖無法得出這組數(shù)據(jù)的最大值與最小值，所以這組數(shù)據(jù)的極差可能為70，也可能為小于70的值，所以A錯誤；因為，解得，所以B正確；該校競賽成績的平均分的估計值分，所以C正確．設這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為，則，解得，所以D錯誤．故選：BC．填空題13．（2023甘肅武威·開學考試）一組數(shù)據(jù)23，76，45，37，58，16，28，15，20的第75百分位數(shù)是．【答案】45【解析】將個數(shù)據(jù)23，76，45，37，58，16，28，15，20按照從小到大的順序排列如下：，，，，，，，，，又，故該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第個數(shù)據(jù).故答案為：.14．（2023春·河南安陽）《中國居民膳食指南（）》數(shù)據(jù)顯示，歲至歲兒童青少年超重肥胖率高達．為了解某地中學生的體重情況，某機構從該地中學生中隨機抽取名學生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按，，，，，分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學生體重的中位數(shù)是___________．【答案】【解析】，，該地中學生體重的中位數(shù)位于內(nèi)，設中位數(shù)為，則，解得：.故答案為：.15．（2024江西·開學考試）已知樣本的平均數(shù)為，方差為，樣本，，，的平均數(shù)為，方差為，則新樣本，，，，，，，的方差為.【答案】【解析】由題意可知，，，，，故新樣本的平均數(shù)為，其方差為.故答案為：.16（2023·全國·高一專題練習）小李晨練所花時間（單位：分鐘）分別為x，y，30，29，31，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為30，方差為2，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由題意可得，得；由，得.令，解得，故.故選：D.解答題17（22-23高一·全國·課堂例題）某校高一年級共有450名男生，為了解他們的身高情況，從中隨機抽查了50名學生，測得他們的身高數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：151

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183(1)列出頻率分布表并畫出頻率分布直方圖；(2)估算該年級身高在內(nèi)的男生人數(shù)；(3)估算該年級身高在170cm以下的男生人數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)126（人）(3)207（人）【解析】（1）這組數(shù)據(jù)的最大值為183，最小值為151，極差為32．為分組的方便，取略大的身高范圍，同時取組距為5，分為7組．計算相應的分組頻率，就得到下面的頻率分布表．身高分段發(fā)生次數(shù)頻率228111494總計50繪制頻率分布直方圖，如圖．

（2）由頻率分布表和頻率分布直方圖可以估計，總體中約有的男生身高在內(nèi)．由于全年級共有450名男生，所以該年級身高在內(nèi)的男生大約有（人）．（3）樣本中身高在170cm以下的男生所占比例約為，所以該年級身高在170cm以下的男生大約有（人）．18．（2023高三上·全國·專題練習）隨機抽取100名學生，測得他們的身高（單位：cm），按照區(qū)間[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求頻率分布直方圖中x的值及身高在170cm及以上的學生人數(shù)；(2)將身高在[170，175），[175，180），[180，185]區(qū)間內(nèi)的學生依次記為A，B，C三個組，用分層隨機抽樣的方法從這三個組中抽取6人，求這三個組分別抽取的學生人數(shù).【答案】(1)x＝0.06，60(2)A組3人；B組2人；C組1人【解析】（1）由頻率分布直方圖可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1，解得x＝0.06，身高在170cm及以上的學生人數(shù)為100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60.（2）A組人數(shù)為100×5×0.06＝30，B組人數(shù)為100×5×0.04＝20，C組人數(shù)為100×5×0.02＝10，由題意可知A組抽取人數(shù)為30×＝3，B組抽取人數(shù)為20×＝2，C組抽取人數(shù)為10×＝1，故A，B，C三個組分別抽取的學生人數(shù)為3，2，1.19．（20