第六章 平面向量及其應用章末小結及測試（解析版）（人教版2019必修第二冊）-人教版高中數學精講精練必修二

第六章平面向量及其應用章末小結及測試考法一平面向量的概念辨析【例1-1】（2024下·全國·高一專題練習）下列說法正確的是（

）A．向量的模是一個正實數B．若與不共線，則與都是非零向量C．共線的單位向量必相等D．兩個相等向量的起點、方向、長度必須都相同【答案】B【解析】向量的模是一個非負實數，如零向量的模是0，A錯誤；零向量與任意向量共線，若與不共線，則與都是非零向量，B正確；共線的單位向量方向可能相同，也可能相反，C錯誤；兩個向量相等的條件是長度相等、方向相同，與起點無關，D錯誤．故選：B【例1-2】（2024下·全國·高一專題練習）下列說法錯誤的是（

）A．B．，是單位向量，則C．若，則D．任一非零向量都可以平行移動【答案】C【解析】對于A項，因為，所以，故A項正確；對于B項，由單位向量的定義知，，故B項正確；對于C項，兩個向量不能比較大小，故C項錯誤；對于D項，因為非零向量是自由向量，可以自由平行移動，故D項正確．故選：C．【例1-3】（2023下·四川遂寧·高一射洪中學?？茧A段練習）（多選）下列命題中錯誤的有（

）A．起點相同的單位向量，終點必相同；B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；C．若，則；D．若，則【答案】AC【解析】單位向量的方向不確定，所以起點相同的，終點不一定相同，A選項錯誤；四邊形ABCD中，，則且，四邊形ABCD為平行四邊形，B選項正確；當時，滿足，但不能得到，C選項錯誤；由向量相等的條件可知，若，則，D選項正確.故選：AC【例1-4】（2023·全國·專題練習）（多選題）給出下列命題，不正確的有（）A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同B．若A，B，C，D是不共線的四點，且＝，則四邊形ABCD為平行四邊形C．的充要條件是且D．已知λ，μ為實數，若，則與共線【答案】ACD【解析】A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；B正確，因為＝，所以＝且，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯誤，當且方向相反時，即使，也不能得到，所以且不是的充要條件，而是必要不充分條件；D錯誤，當時，與可以為任意向量，滿足，但與不一定共線．故選:ACD.【例1-5】（2023下·河南洛陽·高一欒川縣第一高級中學校考階段練習）（多選）如果是平面內兩個不共線的向量，那么選項中正確的是（

）A．可以表示平面內的所有向量B．對于平面內任一向量，使的實數對有無窮多個C．兩向量共線，則有且只有一個實數，使得D．若存在實數使得，則【答案】AD【解析】由平面向量基本定理可知，AD是正確的．對于B，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的．對于C，當時，不存在這樣的，故選A，D.故選：AD.考法二平面向量的坐標運算【例2-1】（2024下·廣東）（多選）已知，則（

）A．若，則存在唯一的實數p，q，使得B．若，則C．若，則D．若，則在上的投影向量為【答案】ACD【解析】A：當時，不共線，所以可以作為一組基向量，由平面向量基本定理得，存在唯一的實數p，q使得，所以A正確；B：若，則，所以不成立，所以B錯誤；C：若，則，所以，所以C正確；D：若，則，所以在上的投影向量為，所以D正確．故選：ACD【例2-2】．（2024下·浙江）已知向量，則下列結論正確的是（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量是【答案】BCD【解析】對于A：，故A錯誤.對于B：，因為，所以，故B正確；對于C：，則，故C正確；對于D：在上的投影向量是，故D正確.故選：BCD.【例2-3】（2024上·浙江金華）設平面向量，，（

）A．若，則 B．若，則C．， D．，使【答案】ABC【解析】A：當時，，故A正確；B：若，，，所以，所以，故B正確；C：，故C正確；D：若，則，等式不成立，故D錯誤.故選：ABC考法三平面向量的數量積【例3-1】（2023下·河南洛陽·高一校考階段練習）（多選）已知單位向量，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由題意，，，對兩邊同時平方可得，所以，即，解得，故，所以.故選：AC.【例3-2】．（2024上·江西贛州）己知均為單位向量．若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，所以，則在上的投影向量為.故選：D【例3-3】．（2023上·云南楚雄）（多選）設非零向量，滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因為，所以，即，所以，A錯誤，B正確.因為，所以，所以，C正確，D錯誤.故選：BC.【例3-4】．（2024·吉林延邊）如圖，在中，，為上一點，且，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以所以，因為，所以，即，因為三點共線，所以，解得，所以，而,所以,即.故選：D.【例3-5】．（2024上·浙江紹興·高一統考期末）（多選）下面給出的關系式中，不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對A：由可得，而，故A說法正確；對B：取，則成立，但不一定成立，故B說法錯誤；對C：表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以不一定成立，故C說法錯誤；對D：，故，故D說法錯誤.故選：BCD考法四平面向量的基本定理【例4-1】．（2024·廣東佛山）在中，，若，線段與交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：

由可得分別為的中點，由中線性質可得，又，所以，因此.故選：B【例4-2】．（2024北京）如圖，在中，為的中點，，與交于點，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，，則，而與不共線，∴，解得，∴.故選：A.【例4-3】．（2024·湖南邵陽）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，所以，所以，.故選：D.【例4-4】（2023·天津紅橋）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則，若，，則的最小值為.【答案】【解析】在中，，，則，故，故；又，而，，所以，則，又三點共線，所以，結合已知可知，故，當且僅當，結合，即時，取等號；即的最小值為，故答案為：；【例4-5】（2022上·河南）已知D，E分別為的邊AB，BC上的點，且，，CD與AE相交于點O，若，則．【答案】/【解析】由題意，為邊AB的靠近點的三等分點，為邊的中點，如圖，取DB的中點F，連接EF，則，，所以，因為，所以，，所以．故答案為：考法五正余弦定理【例5-1】（2024上·浙江杭州）的內角的對邊分別為，已知(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)12【解析】（1）由已知及正弦定理得：,即，由，故，,因為，所以.（2）由已知得，，又，，所以由余弦定理得：，所以，從而，即,∴周長為．【例5-2】（2024上·安徽合肥）在中，的對邊分別為，已知.(1)求；(2)已知點在線段上，且，求長.【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，由及余弦定理，得，即，而，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，為三角形內角，則，而，于是，在中，由正弦定理得，所以.【例5-3】（2024·山西呂梁）設的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)設的角平分線交于點，求的最小值．【答案】(1)(2)9【解析】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由題意可得，即當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9.【例5-4】（2024·廣東湛江·統考一模）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因為，所以，所以，因為，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.考法六平面向量與正余弦定理的綜合運用【例6-1】（2023高一單元測試）中，、、分別是內角、、的對邊，若且，則的形狀是（

）A．有一個角是的等腰三角形B．等邊三角形C．三邊均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】如圖所示，在邊、上分別取點、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，于是得是等腰三角形，即，令直線AF交BC于點O，則O是BC邊的中點，，而，因此有，從而得，所以是等腰直角三角形.故選：D【例6-2】（2023湖北）在矩形中，，，點P是以點C為圓心，2為半徑的圓上的動點，設，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】如圖，建立平面直角坐標系，故可得，，故點P在圓上，設，，又，所以，從而，故選：B.【例6-3】（2024·浙江）若，，平面內一點，滿足，的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】

由，可得因為，所以，即是角平分線所以由角平分線的性質可得設，則，由可得因為當且僅當，即時等號成立，即的最小值為所以的最大值是故選：C【例6-4】（2020·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考三模）已知中，長為2的線段為邊上的高，滿足：，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】分別在、上取點、，使得，連接、、，如圖所示：線段為邊上的高，，，，，，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，，四邊形為菱形，平分角，，，為的中點，、分別為、的中點，，又，點為的中點，即與點重合，在中，,.故選：D.【例6-5】（2023甘肅白銀）如圖，點是半徑為的扇形圓弧上一點，，若，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】，，；以為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系，

則，，設，，由得：，，，其中，，，，當時，.故選：B.單選題1．（2023下·新疆烏魯木齊）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.故選：A2．（2023上·廣西柳州）如圖，在平行四邊形中，為的中點，與交于點，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，且，所以，即.故選：D3．（2024下·全國·高一專題練習）已知為兩個不共線的向量，若向量，則下列向量中與向量共線的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為向量，，所以．又，所以與共線．故選：B．4．（2024·陜西商洛）如圖，在中，滿足條件，若，則（

）A．8 B．4 C．2 D．【答案】A【解析】因為，,所以，即，又，所以，故.故選：A.5．（2024·四川巴中）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知向量，滿足，，，故，即，則，，故，故選：A6．（2024下·重慶）已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設與的夾角為，在上的投影向量為所以，所以，所以為鈍角，且.故選：A7．（2024上·云南保山）如圖，已知正方形的邊長為4，若動點在以為直徑的半圓上（正方形內部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接，如圖所示，所以的取值范圍是，即，又由，所以.故選：B.8．（2023上·安徽安慶）設O點在內部，且有，則的面積與的面積的比值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】不妨設，如圖所示，

根據題意則，即點O是的重心，取的中點，連接，則三點共線，且，所以邊上的高是邊上的高的倍，，即，同理可得：，，所以有，又因為，那么，故的面積與的面積的比值為.故選：A.多選題9．（2024下·全國·高一專題練習）已知非零向量、，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】對于A，向量是具有方向的量，若，則向量與的大小一樣，方向不確定，不一定共線，故A錯誤；對于B，若，則一定有，故B正確；對于C，若，則只能說明非零向量、共線，當、大小不同或方向相反時，都有，故C錯誤；對于D，若，則、共線且方向相同，所以，故D正確．故選：BD．10．（2023下·河南·高一校聯考期中）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，則下列等式正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】解法一：建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨令，則，，，，，對于A，，令，解得，，所以，故A正確；對于B，，令，解得，所以，故B正確；對于C，，令，代入坐標可解得，，故C正確；對于D，，代入坐標可解得，，故D錯誤.解法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨令，則，，，，，故，，，，，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：ABC.11（2023上·湖南岳陽）已知，下列說法正確的是（

）A．B．若，則銳角等于C．若，則D．若，則【答案】BC【解析】A：，錯；B：，又，則，所以，若為銳角，則等于，對；C：由，則，故，即，對；D：由，則，故，錯.故選：BC12．（2023上·海南?。┮阎?，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】ABC【解析】對于A，若，則，解得，故A正確；對于B，若，則，解得，故B正確；對于C，，則，當時，，故C正確；對于D，因為向量與向量的夾角為鈍角，所以且不共線，由，得，由得，所以的取值范圍為，故D錯誤.故選：ABC.填空題13．（2024下·全國·高一專題練習）已知向量，不共線，如果，，，則共線的三個點是.【答案】，，【解析】因為，所以，共線，且有公共點，所以，，三點共線.故答案為：，，14．（2024下·全國·高一專題練習）如圖所示，在中，，P是上的一點，若，則實數m的值為．【答案】【解析】因為，所以，所以，因為P，B，N三點共線，所以，解得.故答案為：.15．（2023下·新疆喀什·高一統考期中）已知向量，其中，，則.【答案】【解析】由，可得：，則.故答案為：.16．（2024上·黑龍江雞西）如下圖，在平行四邊形中，，點在上，且，則=．【答案】18【解析】因為平行四邊形中，，所以，，，，故.故答案為：18解答題17．（2024·山東）設向量滿足，且.(1)求與夾角的大小；(2)求與夾角的大??；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由得：，解得：，，，.(2)，，，，.(3)，，.18．（2024上·廣東茂名）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知