北京市房山區(qū)2023-2024學年高二年級上冊期末考試數學試卷（含解析）

2023-2024學年北京市房山區(qū)高二上學期期末考試

數學

本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共50分）

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

1.在復平面內，復數Z對應的點的坐標是（一1，6）,則Z的共輾復數亍=（）

A.1+73/B.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【解析】

【分析】根據復數的幾何意義先求出復數z,然后利用共軌復數的定義計算.

【詳解】z在復平面對應的點是（_1,道），根據復數的幾何意義，z=-1+信，

由共輾復數的定義可知，z=-l-V3i.

故選：D

2.在三棱柱451G中，。為棱片G的中點.設方=用/=3AAx=c,用基底｛點員可表示向

量而，則45=（）

ill

A.—aH—bcB.a+b+c

22

1-1-］一7一

C.—a----b+7cD.—a+6+c

222

【答案】A

【解析】

【分析】取的中點E，連接DE,根據空間向量線性運算法則計算可得.

【詳解】取的中點E,連接/E,DE,

因為E是的中點，Ze=1(Zs+^c),

所以而二萬+歷=；(而+砌+歷=：(AB+A^+而三AB-h^AC+A^+L

故選：A

3.兩條直線/1：x—2y—4=0與4：x—2y+l=0之間的距離是()

A.5B.1C.石D.

5

【答案】C

【解析】

【分析】依題意代入兩平行線之間的距離公式即可得出結果.

|1+4|「

【詳解】由兩平行線之間的距離公式可得d=[7+(f.

故選：C

4.設直線/的方向向量為兩個不同的平面a,尸的法向量分別為力，玩，則下列說法中錯誤的是()

A.若〃加，則￡_L萬B.若〃//加，則a//月

C.若°//〃，則/J_aD.若a_L〃，則/〃a

【答案】D

【解析】

【分析】利用空間向量判定空間位置關系即可.

【詳解】對于A,若兩個平面的法向量互相垂直，則兩個平面垂直，即A正確；

對于B,若兩個不同的平面的法向量互相平行，則兩個平面互相平行，即B正確；

對于C,若一直線的方向向量與一平面的法向量平行，則該直線垂直于該平面，即C正確;

對于D,若一直線的方向向量與一平面的法向量垂直，則該直線平行于該平面或者在該面內，即D錯誤.

故選：D

5.如圖，四棱錐P—/BCD中，底面45CD是矩形，AD=2AB,0/工平面45CD,下列敘述中錯誤的

是（）

;

BC

A.45〃平面PCDB.PB±BC

C.PCLBDD.平面尸40,平面

【答案】C

【解析】

【分析】用線面平行的判定定理得到選項A是正確的；先證平面用4,再由線面垂直的性質定理得

到B選項正確；計算PC與3。的數量積，得到無?而W0,從而得出選項c錯誤；由面面垂直的判定

定理易證選項D正確.

【詳解】對于選項A：在矩形45co中，CD,CDu平面PC。，48①平面PC。，

45〃平面PCD,故選項A正確；

對于選項B：尸2,平面45c5。匚平面45。。，,24,5。，

在矩形/BCD中，AB±BC,AB[}PA=A,平面用4，

所以平面用4,而PBu平面PBA，；.PB_LBC,故選項B正確；

對于選項C：因為尸2,平面/BCD,而3。u平面/BCD,所以PZLBD,

所以百?前=0,而無=百+元，

PC-BD=（PA+ACyBD=PA-BD+AC-BD=AC-BD,

在一般矩形48c。中，ZC與不垂直，所以太.前wO，即定?麗wO，PC與不垂直，故選

項C不正確；

對于選項D：尸4,平面Z3C。，尸Zu平面尸所以平面尸40,平面Z3C。，故選項D正確.

綜述：只有選項C不正確.

故選：c.

6.已知M為拋物線。：/=_2外（夕＞0）上一點，M到。的焦點廠的距離為6,至口軸的距離為4,則。=

（）

A.6B.4C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由焦半徑的性質即可得.

【詳解】\MF\=\y\+^=4+^=6,故夕=4.

故選：B.

7.下列雙曲線中以＞=±2'為漸近線的是（）

22

A.x~-=1B.---J72=]

44-

22

C.V2--=1D.V2--=1

34

【答案】A

【解析】

【分析】分別求出各個選項的漸近線，找到滿足漸近線為）=±2x的方程即可.

【詳解】對于選項A：由——/=1,焦點在x軸上，易得。=1,6=2,所以漸近線為y=±2x,即^=±2'，

4〃

故選項A正確；

對于選項B:由二―歹2=1,焦點在X軸上，易得4=21=1,所以漸近線為y=±'x,即y=±—X,故選

4。2

項B錯誤；

對于選項C:由/一（=1，焦點在y軸上，易得a=l,b=G,所以漸近線為y=±]X=土用X,即

J3

y=±—X，故選項C錯誤；

-3

對于選項D:由「一；=1,焦點在了軸上，易得a=l,b=2，所以漸近線為y=±￡x=±gx,即y=土;x,

故選項D錯誤.

故選：A.

8.已知點4(-1,0),5(1,0).若直線歹二丘—2上存在點尸，使得N4P3=90。，則實數左的取值范圍是

()

「叫一百］B.+oo

卜百,百］

【答案】D

【解析】

【分析】將問題化為直線＞=丘-2與圓/+/=1有交點，注意直線所過定點(0,—2)與圓的位置關系,

再應用點線距離公式列不等式求k的范圍.

【詳解】由題設，問題等價于過定點(0,-2)的直線y=Ax-2與圓1+/=1有交點,

又(0,—2)在圓外，所以只需/2W1,可得比

+00.

41+左-'」

故選：D

22

9.已知雙曲線。與橢圓氏|^+卷=1有公共焦點，且左、右焦點分別為片，外，這兩條曲線在第一象限

的交點為尸，乙是以期為底邊的等腰三角形，則雙曲線。的標準方程為()

A.--j2=l

3

D.=1

,3

【答案】C

【解析】

【分析】根據橢圓的和雙曲線的定義結合焦點三角形的性質求解即可.

X2V2

【詳解】設雙曲線。的方程為。：=+二=1,

a；b；

22

在橢圓E:土+二=1中/=25,Z?2=21,c2=tz2-Z>2=4,

2521

則a=5,c=2,因為鳥是以尸片為底邊的等腰三角形，

所以歸閭=閨閶=2c=4,由橢圓的定義可知，歸周+戶閭=2a=10,

所以歸娟=6,再由雙曲線的定義可得歸周—歸閭=2%=6—4=2,

22

所以q=1,因為雙曲線。與橢圓￡:三+上=1有公共焦點，

2521

所以q=2力=—a：=44-1=A/3，

故雙曲線。的標準方程為f一匕=i.

io.如圖，在棱長為2的正方體48co中，P為線段4G的中點，0為線段BG上的動點，則

A.存在點Q,使得PQ//BDB.存在點0,使得尸。工平面48CQ

JT

C.三棱錐4PD的體積是定值D.存在點。，使得尸。與AD所成的角為一

【答案】B

【解析】

【分析】A由AD〃用A、用2口尸。=尸即可判斷；B若。為5G中點，根據正方體、線面的性質及判

定即可判斷；C只需求證BG與面4PD是否平行；D利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷.

而P為線段4G的中點，即為耳2的中點,

所以用"。尸0=尸，故5RPQ不可能平行，錯;

B：若。為BG中點，則P。////,而45,2與，故尸。，48「

又/。，面4Bu面,則故

AB\CAD=4,AB},40u面ABXCXD,則尸。1面AB￡D,

所以存在。使得PQ-L平面AB^D,對；

C：由正方體性質知：BCJIAD,,而2。1口面4PD=/,故BQ與面4PD不平行,

所以0在線段2G上運動時，到面4PD的距離不一定相等,

故三棱錐。的體積不是定值，錯;

D：構建如下圖示空間直角坐標系?！獂yz,則/(2,0如),尸(1,1,2),。(2—a,2,a)且0＜。＜2,

所以方=(2,0,0),PQ=^-a,l,a-2),若它們夾角為。，

CI2(1—a)||1-?|

則cos0=|-----1|=———,=-,

2x-a)?+1+(Q-2)2V2.J/一3〃+3

cos0--------—------------------

令/=l—ae[T[]，則V2-VPT7+TR.L11

當/e(0,1],則「[L+co),cos0e

當/=0則cos6=0；

16

當/e[-1,0),貝I]：e(-oo,-l],cos6e(0,^-];

所以cos巴=9■不在上述范圍內，錯.

第二部分(非選擇題共100分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.若直線2x+(l—a)>+a=0與直線依+歹+2=0垂直，則0的值為—.

【答案】-1

【解析】

【分析】由兩直線垂直的條件求解.

【詳解】結合題意：由兩直線垂直可得：2a+(l-a)xl=0,解得：?=-1.

故答案為：-1.

12.復數（2-，）2的實部為.

【答案】3

【解析】

【分析】利用復數的乘法化簡復數（2-if,由此可得出復數（2-爐的實部.

【詳解】?.?（2-z）2=4-4z+z2=3-4z,因此，復數（2-爐的實部為3.

故答案為：3.

13.已知圓4：/+。一1）2=1,。2：（工一百）2+/=/&>0）.則圓G的圓心坐標為—；若圓G與圓。2內

切，貝!1廠=—.

【答案】?.（0,1）②.3

【解析】

【分析】第一空：由圓標準方程即可得出圓心坐標.第二空：由幾何關系表示出內切即可.

【詳解】/_1）2=1=圓心為（0,1）,半徑矢=1；

（x-百r+/=/n圓心為（百⑼,半徑廠；

則d=《0_逝『+(1_0)2=2

設兩圓的圓心距為d,

由幾何關系知兩圓內切nr=d+八=2+1=3.

14.如圖，在正方體48Go-4司。1。中，直線/耳與直線3G所成角的大小為—；平面48CD與平面

/C用夾角的余弦值為

D]C,

【答案】0.45°##-②.—

43

【解析】

【分析】根據線線角、面面角等知識求得正確答案.

【詳解】由于AB〃na，所以NB/B是異面直線451與直線QG所成角或其補角,

而四邊形是正方形，所以/445=45。.

連接AD交ZC于。，則NC工3D,連接。耳，

由于48]=80,。是ZC的中點，所以。鳥，ZC,

所以NBQB是平面ABCD與平面ACBX夾角,

2

設正方體的邊長為2,則BBl=2,0B=亞QB[=^2+（正『=加，

V2_73

所以在直角三角形0A8]中,cosNBQB=

V6-3

15.已知直線4:3x-〉+l=0,A：x+V-5=0,4：x-即一3=0,則乙與4的交點坐標為;若

直線4,/2,/3不能圍成三角形，寫出一個符合要求的實數。的值.

【答案】①.（1,4）②.答案不唯一（只需寫出-1,-上工中的一個即可）

23

【解析】

【分析】聯(lián)立方程組解得交點坐標；列出直線4,，2,4不能圍成三角形的條件，分別解出。即可.

3x-j+1=0x=1

【詳解】解方程組《所以4與4的交點坐標為。,4）；

x+y-5=0y=4

由x—砂—3=0得，直線4恒過定點（3,0）；若直線4,附4不能圍成三角形，

只需4經過（L4）,或4與4平行，或6與4平行.

當4經過（1,4）時，圖1所不，1—4a—3=0,「?a=—5；

當4與4平行時，圖2所示，-3。=一1,a=~；

3

當，2與4平行時，圖3所示，一4=1,，"-1.

故答案為：（L4）一或—（只需寫出中的一個即可）.

圖2

圖3

16.已知曲線/:》2+必=機，生：/+/二?、恕?。），給出下列四個命題：

①曲線％關于無軸、了軸和原點對稱；

②當加=1時，曲線％,%共有四個交點；

2242

②當加=1時，^:x+y=l,W2:x+y=l

③當加=2時，曲線名圍成的區(qū)域內（含邊界）兩點之間的距離的最大值是3；

④當0〈加＜1時，曲線幽圍成的區(qū)域面積大于曲線唯圍成的區(qū)域面積.

其中所有真命題的序號是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】①將點（x,-y）,（-x/）,（-x,-_y）代入方程，判斷方程是否滿足/+必=加（加＞o）即可；②聯(lián)立

曲線方程求得了=0或*=±1,進而求交點個數；③④由曲線?是圓心為原點，半徑為血的圓，利用二

次函數性質求曲線名上任意一點（xj）到原點距離d的范圍，結合對稱性即可判斷.

【詳解】①設點（x,y）在％:x2+y-（m＞0）±,

對于點（x,—y）,代入方程—+（-4=/+/=加，也在?上；

對于點（-X/）,代入方程（―xp+j?=爐+/=加，也在?上；

對于點（一羽一了），代入方程（-x）2+（-月2=%2+/=加，也在/上；

所以曲線/關于x軸、y軸和原點對稱，正確；

②聯(lián)立可得/+1—彳2=1，即必卜2—1）=00%=0或》=±1,

當x=0時，都有y=±l,即存在交點（0,—1）,（01）；

當*=±1時，都有y=0,即存在交點（—1,0）,。,0）；

綜上，共有四個交點，正確；

42

③當加=2時，貝1]W2:x+y=2,

故/=2-xbo,可得—血

曲線唯上任意一點（x,y）到原點距離

結合對稱性知：曲線名對圍成的平面區(qū)域內（含邊界）兩點之間的距離

的最大值是3,正確.

④當0＜?。?時，對于曲線?是圓心為原點，半徑為血的圓，

設曲線/圍成的區(qū)域為Q,曲線%圍成的區(qū)域為02，

設VP（x,y）eQ],貝！〈加，故V〈加〈而，

故9＜彳2,故—+/〈加，故尸（x,y）在G的內部,

故Q的面積不大于2的面積，故④錯誤.

故答案為：①②③

三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.已知復數z=l—2i.

（1）求|z|；

z

（2）若Z]=----7，求當；

3+41

（3）若|Z2|=V^，且ZZ2是純虛數，求Z2.

【答案】（1）V5

⑵二二i

55

（3）z2=2—iz2——2+i

【解析】

【分析】（1）根據模的計算公式直接求解;

（2）利用復數的除法進行計算；

(3)設Z2=a+加，根據條件列方程求解即可.

【小問1詳解】

|Z|=712+(-2)2=V5；

【小問2詳解】

_2_1-2i_(l-2i)(3_4i)_3-4i-6i+8i2_-5-10i

4—3+41-3+4i-(3+4i)(3-4i)-32_(4i)2—————；

【小問3詳解】

設=a+bi,

22

則|z2|=y/a+b=yj~5,所以"+〃=5①

zz2=(l—2i)(a+bi)=(Q+2b)+(b—2a)i,

因為ZZ2是純虛數，所以a+26=0,Z?-2aw0②

a=2[a=—2

由①②聯(lián)立，解得[1或｛,1

b=-l[b=I.

所以Z2=2-i或Z2=-2+i.

18.已知AABC的三個頂點分別為41,3),5(3,1),C(-1,O).

(1)設線段48的中點為求中線CM所在直線的方程；

(2)求邊上的高線的長.

【答案】⑴2x-3y+2=0

⑵

2

【解析】

【分析】（1）由中點坐標公式可得線段的中點為"的坐標，再根據點斜式即得中線CA/所在直線的方

程；

（2）由題意可得直線N3的斜率，由直線的點斜式可得方程x+y-4=0,然后由點C到直線的距離

公式代入可求得AB邊上的高線的長.

【小問1詳解】

設〃的坐標為(玉),%),則/=；—=2,yQ==2,

即M(2,2),所以kMC=^-=^,

2

則中線CM所在直線方程為y=§(x+l),即2x—3y+2=0.

【小問2詳解】

1—3

由題意得"——=-1.

3-1

則直線AB的方程為y-3=-1(%-1),即x+y—4=0

。中，N5邊上的高線的長就是點C到直線的距離^H1+°~4,=—.

V22

19.已知直線/：y=—x+2與拋物線C：V=8》相交于43兩點.

(1)寫出拋物線。的焦點坐標和準線方程；

(2)求弦長|/國.

【答案】(1)焦點坐標為(2,0),準線方程為x=-2

(2)16

【解析】

【分析】(1)根據拋物線的方程求出焦點坐標和準線方程即可；

(2)直線與拋物線方程聯(lián)立，根據弦長公式求得弦長.

【小問1詳解】

由拋物線C的方程可知夕=4,拋物線開口向右，

所以拋物線C的焦點坐標為(2,0),準線方程為x=-2.

【小問2詳解】

將y=—x+2代入=8%，整理得X2—]2X+4=0.

設)(占,必),3(冷必)，則%+尤2=12,卒2=4,

所以|/同=行XJ(X]+X2)2_4X|X2=拒X,122-4x4=16.

20.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，VADE是等邊三角形,平面ADE1平面ABCD,

EF//AB,EF=T,AB=2,O是40的中點.

(2)求直線48與平面8c尸所成角的大小;

(3)求三棱錐E-3C尸的體積.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用面面垂直的性質定理來證明線面垂直；

(2)建立空間直角坐標系，然后利用向量發(fā)求線面角；

(3)先利用向量法求點到面的距離，然后利用體積公式求解棱錐體積.

【小問1詳解】

因為V4DE是等邊三角形，。是40的中點，

所以E0±AD.平面4DE,

又平面ADE1平面ABCD,平面ADEPl平面ABCD=AD,

所以￡0,平面/BCD；

【小問2詳解】

記的中點為。，易知石。,。4。。兩兩互相垂直，

以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。-乎.

則A(l,0,0),BQ,2,0),C(-1,2,0),E(0,0,6),尸(0,1,⑨,

所以無=(2,0,0),而=(-1,-1,肉，刀=(0,2,0),

設平面8cF的一個法向量為萬=(x,y,z),

則〈一L令z=l,此時元=(0,G,l).

n-BF=-x-y+y]3z=0.

設直線48與平面5Cb所成角為e,則

/—,、148詞|0x0+2x>/3+0x11/?

sin8=cos(48㈤—--------/---——

'/\AB^n\2xV0+3+l2

jr

所以直線48與平面BCR所成角為一；

3

【小問3詳解】

設點E到平面BCF的距離為〃，麗=(0,1,0),

,\EF-ri\0x0+1x73+0x173

則％==-------——=—.

同A/O+3+I2

由平面幾何知識，易知在直角梯形EFQO中&=小商n=2,

所以/