北京市某中學2025屆高三年級上冊8月階段測試數(shù)學試卷

北京市第十五中學2025屆高三上學期8月階段測試數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若集合4={%,2+2%<0},八,忖>1},則40案=()

A.{x|-2<x<-l|B.{x|-l<x<0}C.{x|0<x<l}D.{x|l<x<2}

2.在等比數(shù)列｛““｝中，若。1=1,%=4,則電。3=（）

A.2B.±2C.4D.±4

3.若a>b,則下列不等式中正確的是()

A.—<—B.a2>b2C.a+b>2y[abD.a2+b2>2ab

ab

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,+8）上單調遞增的為)

1

A.片一B.y=ln|x|C.y=2xD.y=l-\x\

x

5.下列求導運算不正確的是（）

B.(l+lnx)r=l+—

x

C.(2)'=2"1112D.(cosx)'=-sin%

fx2I1x<[

6.已知函數(shù)/（、）=存在最小值，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-oo,l]B.(一004)C.[L+8)D.(l,+°o)

7.(%-?)4的二項展開式中d的系數(shù)為()

A.15B.6C.-4D.-13

x-l,x<0

8.若函數(shù)/（x）=，0,x=0,則“占+尤2>0”是“，（網(wǎng)）+/（工2）>°”的（）

x+l,x>0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.設。=f—,b—t—,c=f（2+，），其中—貝!]（）

試卷第1頁，共4頁

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

10.已知工為單位向量，向量[滿足雇)=2，卜-幾4=1,則H的最大值為()

A.1B.2C.V5D.4

11.“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實

現(xiàn)方法，它是以神經網(wǎng)絡為出發(fā)點的.在神經網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為

G

L=LM，其中A表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，。表示初始學習率，。表示衰減系數(shù),

G表示訓練迭代輪數(shù)，G。表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為

0.5,衰減速度為18,且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率為0.4,則學習率衰減到0.2以下(不

含0.2)所需的訓練迭代輪數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：坨2。0.3)()

A.75B.74C.73D.72

—(n=2k,斤eN"),

2

12.已知數(shù)列｛an｝滿足。"+i=則()

^-[n=2k-\,左eN*),

A.當/<0時，｛冊｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得見<初恒成立

B.當%>1時，｛冊｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得。">可恒成立

C.當0<%<1時，存在正整數(shù)N。，當〃〉N。時，。“-!<焉

D.當0<%<1時，對于任意正整數(shù)乂，存在"〉N。，使得巴一；>嬴

二、填空題

13.函數(shù)丁=11的定義域是.

X—1

14.已知復數(shù)z=i(2+i),則|z|=_.

15.已知命題。：若見￡為第一象限角，且貝Usine>sin〃.能說明命題。為假命題

的一組a,P的值可以是a=,/3=.

16.已知向量1滿足"=2,^=(2,0),且1+0=2,則cos(a,g)=.

17.在數(shù)列｛an｝中，4=2,a2=-3.數(shù)列｛0｝滿足2=。用-。eN*).若｛%｝是公差為1的

試卷第2頁，共4頁

等差數(shù)列，則｛%｝的通項公式為2=，?！暗淖钚≈禐?

log](1-x),-1<x<n

18.已知函數(shù)/1)=5的值域是[-M],若，則〃，的取值范圍

2f制-3,w<x4加一

是.

三、解答題

19.在VN8C中，乙4=30。，。是邊48上的點，CD=5,CB=7,DB=3.

⑴求cosB與ACBD的面積；

(2)求邊NC的長.

20.某學校組織高一、高二年級學生進行了“紀念建國70周年”的知識競賽.從這兩個年級

各隨機抽取了40名學生，對其成績進行分析，得到了高一年級成績的頻率分布直方圖和高

二年級成績的頻數(shù)分布表.

成績分組頻數(shù)

[75,80)2

[80,85)6

[85,90)16

試卷第3頁，共4頁

規(guī)定成績不低于90分為“優(yōu)秀”.

(1)估計高一年級知識競賽的優(yōu)秀率；

(2)將成績位于某區(qū)間的頻率作為成績位于該區(qū)間的概率.在高一、高二年級學生中各選出1

名學生，記這2名學生中成績優(yōu)秀的人數(shù)為《，求隨機變量J的分布列；

(3)在高一、高二年級各隨機選取1名學生，用X,丫分別表示所選高一、高二年級學生成績

優(yōu)秀的人數(shù).寫出方差。('),。(丫)的大小關系.(只需寫出結論)

21.已知函數(shù)/(X)=sin[x-：].

⑴若/(x())=g,x0e[0,2?i],求毛的值；

(2)設g(x)=/(x>cosx,求g(x)在區(qū)間0,"上的最大值和最小值.

22.已知函數(shù)/(x)=e*，-ax-q).

(1)若曲線y=f(x)在點(1,7(1))處的切線平行于x軸，求實數(shù)a的值；

⑵求函數(shù)”無)的單調區(qū)間.

23.已矢口函數(shù)/(x)=2x3-3x2+尤.

(1)若曲線y=/(x)在點卜。,[(%))處的切線的斜率為1,求曲線y=/(x)在點(尤。,/(%))處

的切線方程；

(2)定義:若均有/(x)Vg(x),則稱函數(shù)g(x)為函數(shù)/⑺的控制函數(shù).

①試問g(x)=x是否為函數(shù)/(x)=2》3-3/+尤的“控制函數(shù)”？并說明理由；

@Vxe[0,3],若g(x)=x+/n為函數(shù)/(力=2%3-3J?+X的“控制函數(shù)”,求實數(shù)加的取值范

圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案ACDBBABCCc

題號1112

答案CD

1.A

【分析】根據(jù)集合描述求集合，應用集合交運算求交集即可.

【詳解】4={%k2+{%[-2<x<0},3={x卜|>1}={x>1或x<-1},

4cB={x|—2<x<—1},

故選：A

【點睛】本題考查了集合的基本運算，利用集合交運算求交集，屬于簡單題.

2.C

【分析】由等比數(shù)列的性質計算即可.

【詳解】由于{%}是等比數(shù)列，且％=1,%=4,

所以42a3=aia4=4,

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)不等式的性質，賦值，如。=1,6=-1,即可判斷A、B、C,再根據(jù)基本不等

式即可判斷D.

【詳解】解：由令=

則，=71=-7,則4>；,故A錯誤；

則“2=1,62=1,則/=/,故B錯誤；

則成=-1,則而無意義，故C錯誤；

因為a>b,則小20,/>0,所以。2+/>2必

故選：D.

4.B

【解析】結合函數(shù)的單調性與奇偶性的定義與判定方法，以及初等函數(shù)的性質，逐項判定,

即可求解.

答案第1頁，共13頁

【詳解】由題意，對于/中，函數(shù)/(-x)=-：=_/(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；

對于8中，函數(shù)/(無)=111m滿足/(-%)=111|-%|=111|_￥|=/(%),所以函數(shù)為偶函數(shù)，

當x>0時，函數(shù)y=lnx為(0,+8)上的單調遞增函數(shù)，符合題意；

對于C中，函數(shù)了=2,為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

對于。中，y=l-|x|為偶函數(shù)，當x>0時，函數(shù)y=l-x為單調遞減函數(shù)，不符合題意，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調性的判定與應用，其中解答中熟記函數(shù)

的單調性與奇偶性的判定方法，以及初等函數(shù)的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與論證

能力，屬于基礎題.

5.B

【解析】直接利用導數(shù)公式和運算法則求解.

【詳解】A.由導數(shù)公式得=_1,故正確；

B.由導數(shù)運算法則得(l+lnx)=L,故錯誤；

X

C.由導數(shù)公式得(24=2,In2，故正確；

D.由導數(shù)公式得(cosx)，=-sinx,故正確；

故選：B

【點睛】本題主要考查導數(shù)公式和運算法則的應用，屬于基礎題.

6.A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調性求解即可.

【詳解】當時，f(x)=x2+l,

所以/(x)在(-%0)上單調遞減，在(0』上單調遞增，則/(工'“=/(0)=1,

當x>l時，f(x)=T-a,所以/(x)在。,+⑹上單調遞增，無最小值，

根據(jù)題意，/(x)存在最小值，

所以2—即aVl.

故選：A.

7.B

答案第2頁，共13頁

【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令X的次數(shù)為3,求出?從而可求得結果.

【詳解】解：(工-6)4的通項公式為：&[=(_1)°.”.盧=(-1)(：:5,

r

令4-歹3,可得r=2,

所以二項展開式中/的系數(shù)：C<(-1)2=6.

故選：B.

8.C

【分析】根據(jù)題意分析可知/(x)為奇函數(shù)且在R上單調遞增，分析可知王+%>0等價于

/(x1)+/(x2)>0,即可得結果.

【詳解】由題意可知：/(無)的定義域為R,且"0)=0,

若x>0,貝i]-x<0,可知y(x)+/(-x)=(無+l)+(-x-l)=0,

若x<0,同理可得/(尤)+/(-x)=0,所以/(無)為奇函數(shù)，

作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示，

由圖象可知/(x)在R上單調遞增，

若國+%>0,等價于占>一丫2,等價于/(玉)>/(一％)=-/(々)，等價于/(%)+/(%)>0,

所以“國+%>0”是“/(尤J+/卜)>0”的充要條件.

故選：C.

9.C

【分析】借助正負性、對勾函數(shù)的性質及二次函數(shù)的性質判斷即可得.

【詳解】由故)€(-00,-1),故4=:一;>0,

由對勾函數(shù)性質可得6=/+；<-(1+1)=-2,

答案第3頁，共13頁

c=，2+/)<0,且c=%,(2+%)=/2+2,=9+1)-12-1,

綜上所述，有6<。<”.

故選：C.

10.C

【分析】設二(1,0),a=(x,y),根據(jù)力=2求出X,再根據(jù)得=1得到V=1_(2T『,

最后根據(jù)向量模的坐標表示及二次函數(shù)的性質計算可得.

【詳解】依題意設：=(1,0),Z=(xj),

由a,e=2，所以x=2,貝(］。=(2,歹)，

又"雙=(2,了)-(；1,0)=(2-A,y),J3.|a-2e|=1,

所以1(2-獷+丁=1,即/=1-(2-%『，

所以口=，22+j?=14+1-(2-2)《火,當且僅當2=2時取等號,

即的最大值為6.

故選：C

11.C

【分析】由已知可得。=，，再由0.5xg,<0.2,結合指對數(shù)關系及對數(shù)函數(shù)的性質求解即

可.

1o4

【詳解】由題設可得0.5。后=0,4,則。=：，

2

G2181g5_18（lg2-lg5）_18（21g2-^砥2x0.3-）

所以O5x<02,即G>18*1==7：,

14-21g2-lg5-31g2-l3x03-1

e5

所以所需的訓練迭代輪數(shù)至少為73次.

故選：C.

12.D

【分析】直接構造反例即可說明A和B錯誤；然后證明引理：當0<q<1時，對任意的正

整數(shù)N。，都存在〃〉既，使得?！?擊.最后由該引理推出C錯誤，D正確.

答案第4頁，共13頁

【詳解】當為=時，。2=/=；，?3=^=1<2=?2>所以此時｛a?｝不是遞增數(shù)列，

乙乙I4OI

A錯誤；

當%=[時,%=￥=!，&=幺/=^|>，=。3，所以此時｛冊｝不是遞減

ZZ4Zo210o

數(shù)列，B錯誤；

我們證明以下引理：當0<%<1時，對任意的正整數(shù)既，都存在〃〉N。，使得。“一^?焉.

若該引理成立，則它有兩個直接的推論：

①存在0<q<l,使得對任意的正整數(shù)N。，都存在〃〉N。，使得擊；

②當0<%<1時，對任意的正整數(shù)N。，都存在〃〉乂，使得凡—>焉.

然后由①是C的否定，故可以說明C錯誤；而②可以直接說明D正確.

最后，我們來證明引理:

當0<%<1時，對任意確定的正整數(shù)N。：

1111e11

如果心。+1生2-100,2+100則標+「矛而;

；+

(2-1002〃可+1+1

如果。為+1G則。為+2或4

2Wo+2~2-

此時若0.+2=3，貝U

Ao+22

j,J_

,觀一+1001=111Jn—L］」—L；

224200420021420()j210(

若%2=%+1，貝！1

/丫0十22

3>2-100+1/J

為+22242002420021420"210(

無論哪種情況,都有0%+2任一焉,；+2],從而0為+2一;焉.

\乙J.\J\J乙JL\J\JJ4■!vzVz

這說明觀一或叫+2-;所以可以選取〃€｛乂+1,乂+2｝,使得

乙L\J\J乙-L

?！芬?；2擊.這就說明存在〃〉N。，使得。"一；2擊.

這就證明了引理，從而可以推出C錯誤，D正確.

故選：D.

【點睛】最關鍵的地方在于引理：當0<%<1時，對任意的正整數(shù)N。，都存在〃〉N。，使

答案第5頁，共13頁

得一；N焉.這一引理可以幫助我們判斷出較難判斷的c和D選項.

13.{x|x2-l且無H1}

【分析】求使函數(shù)有意義的X的范圍即為定義域，逐項求解即可.

[x+l>0

【詳解】解：由題意得,八，解得X2-1且XW1,

[x-1N0

故函數(shù)的定義域為“1xN-1且XW1}.

故答案為：{尤且XH1}

14.V5

【分析】先計算復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的模的定義求結果.

【詳解】由z=i（2+i）=2i-l,故|z|=j22+（—1）2=花.

故答案為：V5

15.多（1答3兀案不唯一）571（答案不唯一）

66

【分析】只要找到一組滿足題意的角即可.

【詳解】因為鬼尸為第一象限角，且a>4，

13兀兀

取c==則a>￡且在第一象限，

66

”H_u?.13兀..兀1

止匕時sina=sin---=sinpn=sin—=—,

662

故命題）為假命題，滿足題意，

所以a,￡的值可以是a=—137r,/?=TT?,

66

故答案為：子1311（答案不唯一）；IT7（答案不唯一）.

66

16.—/-0.5

2

【分析】由向量模長的計算和數(shù)量積計算即可.

【詳角星】-\a+b\=2,

卜+q=a+2a-b+b2=8+2|正卜。$,,B）=8+8cos,[）=4,

/.cos（a,B）=一;,

故答案為：.

2

答案第6頁，共13頁

17.n-6-13

【分析】求出等差數(shù)列｛"｝的首項，直接求出｛"｝的通項公式即可，利用數(shù)列｛an｝的單調性

得最小項為《，利用累加法即可求解.

【詳解】由題意。=出-4=-5,又等差數(shù)列｛勾｝的公差為1,所以，=-5+("-1)-1=〃-6；

故%+「%=〃-6,所以當"V6時，a?+l-an<0,當”>6時，an+i-an>0,

所以4>>%>的>%>。6=。7<。8<。9<…，顯然?！钡淖钚≈凳?。6.

又見+1_%=?-6,所以。6=。1+(。2-q)+(。3_%)+(。4-%)+(/-%)+(&-/)

=2+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)=-13,即%的最小值是-13.

故答案為："-6,-13

18.[1,2]

【分析】先判斷出了=22TXT-3在(-M)上單調遞增，在(1,+⑹上單調遞減，然后作出

y=log,(1-x)與22*4-3在[-1,+s)上的圖象，求出>=四工(1一無)在xe[-1,〃]上的值域,

22

再結合圖象可求得結果.

【詳解】當x>l時，尤-1>0,此時了=22TE_3=22TM-3=23T-3單調遞減，

當一1<X<1時，x-l<0,此時了=2?小-"-3=22+1-3=25-3單調遞增，

所以y=22T，T一3在(-1,1)上單調遞增，在(1,+℃)上單調遞減，

所以當x=l時，y=22+T-3取得最大值，為2=3=1,

作出y=log1(1-x)與22Tli3在[-1,+功上的圖象如圖所示：

2

答案第7頁，共13頁

當〃e[0」），xe[-l㈤時，此時/'⑴=四霜一幻e[-"（^《一明，

222

止匕時—l4/（x）41ogi（l—"）＜l,

2

因為“X）的值域為[7,1],則xe（",〃7]時，/（x）=l必有解，即22Tl_3=1，解得x=l,由

圖知me[1,2],

故答案為：[1,2]

【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數(shù)的綜合問題，考查分段函數(shù)，考查由函數(shù)的值域確定參

數(shù)的范圍，解題的關鍵是根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，結合圖象求解，考查數(shù)形結合的思想，屬

于較難題.

]c/1\n11?15-\/3

19.（1）COSJB=—,SMBD=F~

⑵5G

【分析】（1）借助余弦定理與面積公式計算即可得;

（2）借助正弦定理計算即可得.

BC°+BD?-CD。72+S2-52_n

【詳解】（1）在中，由余弦定理得cos2=

2BCBD2x7x3-14

SCBD=-BD-BC-sin8=-x3x7x應=巴更；

?D22144

(2)由(1)知sinB=辿，；//=30°,Asin^=-,

142

答案第8頁，共13頁

在V/8C中，由正弦定理得空;=1,

S1IL4S1IW

75^3

即AC=8八*x14=5班.

siM

2

20.（1）30%

（2）答案見解析

⑶。（x）＜z）（y）

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接求解即可；

（2）先分別求出在高一、高二年級學生中選中成績優(yōu)秀學生的概率和不優(yōu)秀學生的概率，

由題意可知《的所有可能取值為0,1,2,然后求出對應的概率，從而可求出隨機變量J的

分布列；

（3）由題意可知x,y均符合兩點分布，從而可求出。（x）,o（y）的值，進而可比較大小.

【詳解】⑴高一年級知識競賽的優(yōu)秀率為（0.04+0.02）x5=0.3.

所以高一年級知識競賽的優(yōu)秀率為30%

（2）在高一年級學生中選中成績優(yōu)秀學生的概率為0.3,選中成績不優(yōu)秀學生的概率為

1-03=0.7；

14+2

在高二年級學生中選中成績優(yōu)秀學生的概率為F—=0.4,選中成績不優(yōu)秀學生的概率為

40

1一0.4=0.6.

4的所有可能取值為0,1，2；

尸它=0）=0.7x0.6=0.42；

尸仁=1）=0.3x0.6+0.7x0.4=0.46；

P（^=2）=0.3X0.4=0.12.

所以隨機變量J的分布列為：

P012

0.420.460.12

答案第9頁，共13頁

(3)顯然X,y均符合兩點分布，且尸(x=0)=0.7,尸(X=l)=0.3,p(y=0)=0.6,

p(y=l)=o.4,

所以D(X)=0.3X0.7=0.21,D(Y)=0.6x0.4=0.24

所以。(x)<o(y)

.、571Tl3兀

21.(1)—或——

v71212

(2)最大值為」-①，最小值為-克

242

【分析】(1)根據(jù)條件，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求出結果；

(2)根據(jù)條件得到g(x)=；sin(2x-6-亨，再利用尸sinx的圖象與性質，即可求出結

果.

【詳解】(1)因為〃幻=$也L-智，由〃%)=:，得到sin,-：)],

ITTTTT

解得%—1=7+2kTi(k￡Z)或/—]=展+2kn(kGZ),

517T13t7T

即X。=—+2kn(keZ)或X。=—+2kn(keZ),又/e[0,2可，

所以為=1|或薦

(2)因為

g(x)=/(x)-cosx=sin(x—-cos(sinxcosx-co^x)gsin2x好c;s2:

4m(2x_/一,

jrIT

令，=2x-“因為0,—,得到,￡

由y=sinx的圖象與性質知，sin,￡[-,所以g(x)?~~~

2224

所以g(x)在區(qū)間圍]上的最大值為宗字，最小值為一￡

22.(1)1

(2)答案見解析

【分析】(1)先求函數(shù)/(x)的導函數(shù)，若曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線平行于無軸,

答案第10頁，共13頁

只需保證/'(1)=0,求實數(shù)。的值即可；

(2)求得/''(刈=。有兩個根“x=-2和x=a"，再分。＜一2、。=-2和。＞-2三種情況分析

函數(shù)“X)的單調性即可.

【詳解】(1)由題可得/'。)=的/+(2-a-2°],

因為在點(1J⑴)處的切線平行于x軸，所以/■'⑴=0,

即e(3-3a)=0,解得a=l,經檢驗a=1符合題意.

(2)因為廣(幻=++(2-a)x-2a],

令/'(x)=0，得尤=-2或x=a.

當a＜-2時，隨x的變化，/(X),/(x)的變化情況如下表所示：

Xy,a)a(a,-2)-2(-2,+8)

廣⑴+0-0+

fW單調遞增單調遞減/(-2)單調遞增

所以/(x)在區(qū)間E。)上單調遞增，在區(qū)間(。,-2)上單調遞減，在區(qū)間(-2,-+W)上單調遞增.

當a=