內(nèi)蒙古赤峰市第二中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

內(nèi)蒙古赤峰市第二中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉動，每3秒轉一圈，且當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．如圖所示，建立直角坐標系，將點P距離水面的高度h（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數(shù)，記，則（）A.0 B.1C.3 D.42．某校早上6：30開始跑操，假設該校學生小張與小王在早上6：00~6：30之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張與小王至少相差5分鐘到校的概率為（）A. B.C. D.3．如圖，點，，分別是正方體的棱，的中點，則異面直線和所成的角是（）A. B.C. D.4．函數(shù)的圖像的一條對稱軸是（）A. B.C. D.5．過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則所在直線的方程為（）A. B.C. D.6．定義運算，則函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.7．（）A. B.C. D.8．設奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為A. B.C. D.9．已知矩形，，，沿矩形的對角線將平面折起，若四點都在同一球面上，則該球面的面積為（）A. B.C. D.10．有一組實驗數(shù)據(jù)如下現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最佳的一個是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)（1）當時，求的值域；（2）若，且，求的值；12．已知函數(shù)①當a=1時，函數(shù)的值域是___________；②若函數(shù)的圖像與直線y=1只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是___________13．已知函數(shù)，若正實數(shù)，滿足，則的最小值是____________14．在內(nèi)，使成立的x的取值范圍是____________15．下列四個命題中：①若奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，則它在上單調(diào)遞增②若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則它在上單調(diào)遞增；③若函數(shù)為奇函數(shù)，那么函數(shù)的圖象關于點中心對稱；④若函數(shù)為偶函數(shù)，那么函數(shù)的圖象關于直線軸對稱；正確的命題的序號是___________.16．若角的終邊經(jīng)過點，則___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，，其中a為常數(shù)當時，設函數(shù)，判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并說明理由；設函數(shù)，若函數(shù)有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍18．如圖1所示，在中，分別為的中點，點為線段上的一點，將沿折起到的位置，使如圖2所示.（1）求證：//平面；（2）求證：；（3）線段上是否存在點，使平面？請說明理由.19．若函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，并且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù).（1）研究并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若實數(shù)滿足不等式，求實數(shù)的取值范圍.20．已知直線經(jīng)過直線與的交點.(1)點到直線的距離為3，求直線的方程；(2)求點到直線的距離的最大值,并求距離最大時的直線的方程21．近年來，國產(chǎn)手機因為其炫酷的外觀和強大的功能，深受國人喜愛，多次登頂智能手機銷售榜首.為了調(diào)查本市市民對某款國產(chǎn)手機的滿意程度，專賣店的經(jīng)理策劃了一次問卷調(diào)查，讓顧客對手機的“外觀”和“性能”打分，其相關得分情況統(tǒng)計如莖葉圖所示，且經(jīng)理將該款手機上市五個月以來在本市的銷量按月份統(tǒng)計如下：月份代碼t12345銷售量y（千克）5.65.766.26.5（1）記“外觀”得分的平均數(shù)以及方差分別為，，“性能”得分的平均數(shù)以及方差分別，.若，求莖葉圖中字母表示的數(shù)；并計算與；（2）根據(jù)上表中數(shù)據(jù)，建立關于的線性回歸方程，并預測第6個月該款手機在本市的銷售量.附：對于一組數(shù)據(jù)（）其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，參考數(shù)據(jù)：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)題意設h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，求出φ、A、T和k、ω的值，寫出函數(shù)解析式，計算f（t）+f（t+1）+f（t+2）的值【詳解】根據(jù)題意，設h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），則A＝2，k＝1，因為T＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，又因為t＝0時，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，又因為φ＜0，所以φ，所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；所以f（t）sint﹣cost+1，f（t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，f（t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，所以f（t）+f（t+1）+f（t+2）＝3故選：C2、A【解析】設小張與小王的到校時間分別為6：00后第分鐘，第分鐘，由題意可畫出圖形，利用幾何概型中面積比即可求解.【詳解】設小張與小王的到校時間分別為6：00后第分鐘，第分鐘，可以看成平面中的點試驗的全部結果所構成的區(qū)域為是一個正方形區(qū)域，對應的面積，則小張與小王至少相差5分鐘到校事件(如陰影部分)則符合題意的區(qū)域，由幾何概型可知小張與小王至少相差5分鐘到校的概率為.故選：A【點睛】本題考查了幾何概率模型，解題的關鍵是畫出滿足條件的區(qū)域，屬于基礎題.3、C【解析】通過平移的方法作出直線和所成的角，并求得角的大小.【詳解】依題意點，，分別是正方體的棱，的中點，連接，結合正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線和所成的角，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，是等邊三角形，所以，所以直線和所成的角為.故選：C【點睛】本小題主要考查線線角的求法，屬于基礎題.4、C【解析】對稱軸穿過曲線的最高點或最低點，把代入后得到,因而對稱軸為，選.5、B【解析】先由圓方程得到圓心和半徑，求出的長，以及的中點坐標，得到以為直徑的圓的方程，由兩圓方程作差整理，即可得出所在直線方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，所以，的中點為，則以為直徑的圓的方程為，所以為兩圓的公共弦，因此兩圓的方法作差得所在直線方程為，即.故選：B.【點睛】本題主要考查求兩圓公共弦所在直線方法，屬于?？碱}型.6、B【解析】根據(jù)運算得到函數(shù)解析式作圖判斷.【詳解】，其圖象如圖所示：故選：B7、D【解析】根據(jù)誘導公式以及特殊角的三角函數(shù)值，即可容易求得結果.【詳解】因為.故選：D.8、D【解析】由f(x)為奇函數(shù)可知，＝<0.而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.當x>0時，f(x)<0＝f(1)；當x<0時，f(x)>0＝f(－1)又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)所以0<x<1，或－1<x<0.選D點睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi)9、C【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的對角線AC=10為該球的直徑，所以該球面的面積為.故選C.10、C【解析】選代入四個選項的解析式中選取所得的最接近的解析式即可.【詳解】對于選項A：當時，，與相差較多，當時，，與相差較多，故選項A不正確；對于選項B：當時，，與相差較多，當時，，與相差較多，故選項B不正確；對于選項C：當時，，當時，，故選項C正確；對于選項D：當時，，與相差較多，當時，，與相差較多，故選項D不正確；故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）（2）【解析】（1）化簡函數(shù)解析式為，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域即可；（2）由已知得，利用同角之間的關系求得，再利用湊角公式及兩角差的余弦公式即可得解.【小問1詳解】，，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)知，則【小問2詳解】，又，，則則12、①.（－∞，1]②.（－1，1]【解析】①分段求值域，再求并集可得的值域；②轉化為＝在上與直線只有一個公共點，分離a求值域可得實數(shù)a的取值范圍【詳解】①當a＝1時，即當x≤1時，，當x＞1時，，綜上所述當a＝1時，函數(shù)的值域是，②由無解，故＝在上與直線只有一個公共點，則有一個零點，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.13、9【解析】根據(jù)指數(shù)的運算法則，可求得，根據(jù)基本不等式中“1”的代換，化簡計算，即可得答案.【詳解】由題意得，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是9故答案為：914、【解析】根據(jù)題意在同一個坐標系中畫出在內(nèi)的函數(shù)圖像，由圖求出不等式的解集【詳解】解：在同一個坐標系中畫出在內(nèi)的函數(shù)圖像，如圖所示，則使成立的x的取值范圍是，故答案為：15、②③【解析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷①②，結合平移變換可判斷③④.【詳解】奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，故①錯誤，②正確；因為函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，的圖象可以由的圖象向右平移1個單位長度得到，故的圖象關于點對稱，故③正確；函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度得到，因為為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，所以的圖象關于直線軸對稱，故④錯誤.故答案為：②③16、【解析】根據(jù)定義求得，再由誘導公式可求解.【詳解】角的終邊經(jīng)過點,則，所以.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2），【解析】代入a的值，求出的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；由題意把函數(shù)有且僅有一個零點轉化為有且只有1個實數(shù)根，通過討論a的范圍，結合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關于a的不等式組，解出即可【詳解】（1）由題意，當時，，則，因為，又由在遞減，所以遞增，所以根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在單調(diào)遞增函數(shù)；由，得，即，若函數(shù)有且只有1個零點，則方程有且只有1個實數(shù)根，化簡得，即有且只有1個實數(shù)根，時，可化為，即，此時，滿足題意，當時，由得：，解得：或，當即時，方程有且只有1個實數(shù)根，此時，滿足題意，當即時，若是的零點，則，解得：，若是的零點，則，解得：，函數(shù)有且只有1個零點，所以或，，綜上，a的范圍是，【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應用，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點，以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的綜合應用，同時把函數(shù)有且僅有一個零點轉化為方程有且只有1個實數(shù)根，合理令二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.18、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】（1）∵DE∥BC，由線面平行的判定定理得出（2）可以先證，得出，∵∴∴(3)Q為的中點，由上問，易知,取中點P，連接DP和QP，不難證出，∴∴,又∵∴19、（1）見解析；（2）.【解析】（1）設，則，所以，根據(jù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，可得，從而可得函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）先證明在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù)，根據(jù)奇偶性可得在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù)，再將變形為，可得，進而可得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）設，顯然恒成立.設，則，，，則，所以，又在區(qū)間上是單調(diào)遞增，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).（2）因為是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，又因為在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以當時，，當時，，，所以當，有.設，則，所以，即，所以，所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).綜上所述，在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù).所以由得，即所以.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應用以及抽象函數(shù)與復合函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任取；（2）作差；（3）判斷的符號（往往先分解因式，再判斷各因式的符號），可得在已知區(qū)間上是增函數(shù)，可得在已知區(qū)間上是減函數(shù).20、(1)x＝2或4x－3y－5＝0(2)見解析【解析】（1）設過兩直線的交點的直線系方程，再根據(jù)點到直線的距離公式，求出的值，得出直線的方程；（2）先求出交點P的坐標，由幾何的方法求出距離的最大值【詳解】(1)因為經(jīng)過兩已知直線交點直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，點到直線的距離為3，所以＝3，解得λ＝或λ＝2，所以直線l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由解得交點P(2，1)，如圖，過P作任一直線l，設d為點A到直線l的距離，則d≤|