2025年高考數(shù)學一輪復習：課時作業(yè)五十九 拋物線

五十九拋物線

（時間：45分鐘分值:90分）

【基礎落實練】

1.（5分）（2024?濟南模擬）已知點（1,4）在拋物線產(chǎn)依2上，則拋物線的焦點坐標

為（）

A.（l,0）B.（0,l）C.（0,^）D&0）

【解析】選C.因為點（1,4）在拋物線尸ON上，

所以4=4X12,則q=4,

所以拋物線的標準方程是

則拋物線的焦點坐標為F（o,^）.

2.（5分X2024?南昌模擬）已知拋物線。鏟=4x的焦點為凡拋物線C上一點P到點

F的距離為3,則點P到原點的距離為（）

A.2B.3c.2$D.2/

【解析】選D.拋物線。:儼=4%的準線為％=-1,

由題意，設P（xojo）,

因為|PF|=3=x（）-（-1）,

所以沏=2,尸（2,±2企），

則點0到原點的距罔為

3.（5分）（2024?長春模擬）已知拋物線。:儼=2.3>0）的頂點為O,經(jīng)過點出刖,2）,且

F為拋物線C的焦點，若”|=3|。外則p=（）

1

A-B.lC.巡D.2

【解析】選C.因為點4刖,2）在拋物線上,|/引=3。現(xiàn)

所以刈嚀彳，

所以％0=2,所以

所以4=222,解得p=p

【加練備選】

拋物線。：%2=匕的焦點為E過F且傾斜角為:的直線I與拋物線C交于

A,B兩點，點D為拋物線C上的動點，且點D在I的右下方，則面積的最大

值為（）

A.16^/2B.12^/2C.8"D.6M

2

【解析】選A.由。:%2=匕知/0,2),則直線I的方程為尸+2,設Z)(x,-),

I汽--+2|

則D到直線I的距離為d=%,

又點。在/的右下方，所以d-*丁丁丁.

聯(lián)立方程卜2=弘消元得淳*16=0,

y=x+2

設4alM乃（必/2）,則X1+X2=8^1-X2=-16,

所以|45|=J1++々）2-4%]%2=16,所以5皿產(chǎn)!|/4,d=zS（x-，+2）

12

得~（-/+8%+16）,故當％=4時,8皿3有最大值16①

4.(5分X2024?東城模擬)過拋物線儼=4%的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,

若F是線段AB的中點，則叫=()

A.lB.2C.3D.4

【解析】選D.由題可知線段AB為拋物線的通徑，所以即|=4.

5.(5分)(多選題X2024?漳州模擬)上甘嶺戰(zhàn)役是抗美援朝中中國人民志愿軍進行

的最著名的山地防御戰(zhàn)役在這場戰(zhàn)役中我軍使用了反斜面陣地防御戰(zhàn)術(shù)反斜

面是山地攻防戰(zhàn)斗中背向敵方、面向我方的一側(cè)山坡.反斜面陣地的構(gòu)建，是為

了規(guī)避敵方重火力輸出.某反斜面陣地如圖所示，山腳A,B兩點和敵方陣地D點

在同一條直線上,某炮彈的彈道DCE是拋物線r的一部分，其中E在直線AB上,

拋物線的頂點。至I」直線"的距離為100米QE長為400米C7)=CE,N

C45=30。,建立適當?shù)淖鴺讼凳沟脪佄锞€r的方程為X2=_2加偽＞0),則()

反斜面c

EABD

A.p=200

B7的準線方程為產(chǎn)100

C/的焦點坐標為(0,-50)

D.彈道CE上的點到直線4。的距離的最大值為呼

【解析】選ABD.如圖所示,建立以C為坐標原點x軸平行于AB,y軸垂直于AB

的平面直角坐標系.

此時。(0,0)4(-200,-100)0(200,-100)拋物線廠的方程為x2=-2.py(p>Q),

即2002=22x(_100),解得p=200,故A正確；

拋物線r的方程為％2=一400乂準線方程為產(chǎn)100,焦點坐標為(0,-100),故B正確,C

錯誤；

3

因為/。43=30。,。（0,0）,故心Gtan30。得,

所以直線4。的方程為尸殺，

即%-退產(chǎn)0，不妨設CE上一點為0aoJo）,X（）e[-200,0],

當。點處的切線與直線4c平行時,0到直線力。的距離最大.

由尸-焉婷可得戶景，

13

200u3

此時。點到直線4。的距離為哆其故D正確.

6.（5分）（多選題）（2022?新高考〃卷）已知O為坐標原點，過拋物線C:儼=2.g>0）

焦點F的直線與C交于A,B兩點，其中A在第一象限，點M30）,若月=0M，則

A.直線43的斜率為2^/6

B.\OB\^\OF\

C.\AB^\OF\

D.ZOAM+ZOBM<180°

【解析】選ACD.根據(jù)題意如圖，對于A,易得少傳,。），由⑷7HzM可得點%在FM

P,

的垂直平分線上，則點A橫坐標為白手，代入拋物線可得儼=2p22,則A

通

#,字）,則直線北的斜率為1r2依A正確;

T-2

對于B,由斜率為2m可得直線的方程為產(chǎn)第號

1

聯(lián)立拋物線方程得儼-酒-22=0,

設5alM）,則其+為4?，

則為=當代入拋物線得（-字『=22》,解得修寺則嵋，一孚

對于C,由拋物線定義知:|/引*+—?金＞2〃=4QP，C正確;

□2

手＜0,則N/O5為鈍角，又

4

r2

加?麗=（4券z2p=-<<0,貝UN/MB為鈍角,

（可O

又ZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360。,則ZOAM+ZOBM＜180°,D正確.

7.（5分X2024?南昌模擬）在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的

運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分.這些碎片能達到的區(qū)域的邊界和該區(qū)

域軸截面的交線是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物

線.若某次定向爆破中碎片達到的最大高度為40米,碎片距離爆炸中心的最遠水

平距離為80米,則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準線的距離為米

【解析】以拋物線最高點為坐標原點，平行于地面的直線為x軸,建立平面直角

坐標系，

設拋物線方程為x2=-2py(p>0),

由題意得4(80,-40),將其代入拋物線方程得6400=80”

解得p=80,故安全拋物線的焦點到其準線的距離為80米.

答案：80

8.(5分)直線產(chǎn)平(%-1)與拋物線y2=4x相交于A,B兩點，且A在第一象限下是拋

物線的焦點，則露.

【解析】設如1,%)乃(必㈤,

聯(lián)立直線和拋物線的方程得"I),

消去V可得,3%2一10%+3=0,

1

解得％1=3,%2與

由于直線過拋物線的焦點凡且A在第一象限夕=2,

P

4F%1+2-

以

所-

B+P

X22-

答案3

9.（10分）（2024?遂丁模擬）直線尸質(zhì)-2父拋物線產(chǎn)=22于A,B兩點，線段AB

中點的橫坐標為2,拋物線的焦點到y(tǒng)軸的距離為2.

（D求拋物線方程；

【解析】⑴拋物線儼=28。＞0）的焦點為相,0）,

因為拋物線的焦點到y(tǒng)軸的距離為2,則卜2,可得片4,所以拋物線的方程為

儼=8%.

（2）設拋物線與x軸交于點。，求&4AD的面積.

【解析】（2）若Q0,則直線AB與拋物線儼=8%只有一個交點，不符合題意，則胖0,

"v-kx-2

設點力（為凹）乃（%2㈤,聯(lián)立；J，可得

y=ox

N%2_（4左+8）x+4=0,

/=（4左+8）2-16左2=64左+64>0,解彳導k>-l,

因為線段力5中點的橫坐標為2,所以竺詈4,整理可得左2上2=0,

k

又因為左>-1,解得仁2,

易知拋物線V=8x交x軸于點D(0,0),

則有4%2-16X+4=0,可得N-4X+1=0,

由根與系數(shù)的關系可得0+%2=4,%1%2=1,

由弦長公式可得|48|=J1+22-|%1-%2|="不(久1+%2『-4%]%2="*(42-4=2/^,

原點Q到直線4A2%少2=0的距離為原,222：

/+(一1)25

所以,5a8￡(q/引二2/

【加練備選】

(2024包頭模擬)拋物線y=289>0)的準線被圓x2+y2-2y-3=0截得的弦長為

2聒

⑴求夕的值；

【解析】⑴圓N+產(chǎn)2產(chǎn)3=0,即N+(y-l)2=4,圓心。(0,1),半徑為2,

則。到準線距離為所以準線方程為產(chǎn)-±1，可得P=2,

所以拋物線標準方程為儼=4工

⑵過點M4,0)的直線交拋物線于點4反證明以力為直徑的圓過原點O.

22

【解析】⑵設直線48方程為廣叩+4必。，%）,5。咫）,

聯(lián)立方程1=2.1+4消去》得尸4.16=0,

ty=4x

貝U/=16加2+64>0,可得為?乃=-16,

22

又因為04=（不乃）,08=（不㈤，

27

—>―>（力力）（-16）

則。4-+yiy2^^-+（-16）=0,

可得就，瓦，即以線段力5為直徑的圓過原點Q

【能力提升練】

10.（5分X多選題）（2024?深圳模擬）已知拋物線C:儼=4%的焦點為EMxoM）是拋

物線C上一個動點，點4（0,2）,則下列說法正確的是（）

A.若|叱=5,則為=4

B.過點A與拋物線C有一個公共點的直線有3條

C.連接M,F并延長與拋物線交于點N,若M,N的中點0（1,1）,則此W=4

D.點M到直線x-y+3=0的最短距震為2^/2

【解析】選BC.由拋物線。:儼=4%的方程可得焦點網(wǎng)1,0）,準線方程x=-l,

A中，由拋物線的性質(zhì)|叱=沏+1=5,則沏=4代入拋物線的方程可得加=±4,所以A

不正確；

B中，將/點的坐標代入:22>4x0,可得/點在拋物線的外面，

所以過A有兩條直線與拋物線相切，還有一條平行于x軸的直線與拋物線有一個

公共點，

所以有3條直線與拋物線有一個公共點,B正確；

C中,|W^=X（）+XN+夕=2和+2=4,所以C正確；

2

%2

D中，點M到直線x-y+3=0的距離一彳+引一仇+同之今",所以

V2V24“24^/2丫

d的最小值為々,D不正確.

11.（5分）（多選題）（2023?新高考〃卷）設O為坐標原點，直線丁=-十（%-1）過拋物線

。:儼=2.g>0）的焦點，且與C交于M,N兩點，/為C的準線，則（）

A.p=2

B.L=|

C.以MN為直徑的圓與/相切

□為等腰三角形

【解析】選AC.A選項:直線產(chǎn)-平01)過點(1,0),所以拋物線。:y=22地>0)的焦

點為/(1,0),

所以夕=2,2〃=4,則A選項正確，且拋物線C的方程為儼=4%.

B選項:設Mxi,yi)，N(%2j2),

由『=-°消去y并化簡得3x2-10x+3=(x-3)(3x-l>0,

解得修=3,%2=|,所以幽A1=%i+x2+p=3+：+2肯,B選項錯誤.

C選項:設〃N的中點為A,M,NA到直線I的距離分別為dx,di,d,

111

因為d^dx+d^MF\+\NF\)^MN\,

即A到直線I的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線I相切,C選

項正確.

D選項:直線產(chǎn)-避(%-1)，即展

O到直線灰+產(chǎn)&=0的距離為目，

所以△。兒W的面積為》?義手=程，

由上述分析可知為=-\/^(3-1)=-2"\/^^2=~\8(5-1)jj，

所以。M=j3?+(-2G/比

所以△。兒W不是等腰三角形,D選項錯誤.

丁『3匹1）

12.（5分）（多選題）（2022?新高考/卷）已知O為坐標原點，點4（1,1）在拋物線

。:%2=2加g>0）上，過點5（0廣1）的直線交C于P,Q兩點，則（）

A.C的準線為產(chǎn)-1

B.直線45與。相切

C.\OP\\OQ\>\OA^

^.\BP\\BQ\>\BA^

【解析】選BCD.將點A代入拋物線方程得1=2'所以拋物線方程為J》,故準

線方程為產(chǎn)-1,A錯誤；

1-（-1）

膜B」TT=2,

所以直線力5的方程為產(chǎn)2%-1,

,y2V—1

聯(lián)立2，可得％2-2x+l=0,解得x=l,故B正確；

%=y

設過點B的直線為/,若直線I與y軸重合，則直線I與拋物線C只有一個交點，

所以，直線I的斜率存在，

設其方程為y^kx-1/。1,乃）,。（%2加2）,

?Jy=kX_1gc

聯(lián)U2，得％2_履+1=0,

x=y

Z=必-4>o

所以％1+%2=左，

%1%2=1

所以k>2或左<-2)U2=(XlX2)2=l,

所以。尸「|OQ|=河亟+y。。+Ek師X-2=1牛2=Q|2,故C正確;

因為|AP|=J1+憶2刈,巧@=J1+必刈,

所以5尸卜區(qū)0|=（1+12）|%1刈=1+杉＞5而阿2=5,故D正確.

13.（5分）經(jīng)過拋物線爐=4歹的焦點的直線與拋物線相交于4,5兩點，若|/引=4,則

△OAB（O為坐標原點）的面積為

【解析】由題意知,拋物線％2=句的焦點網(wǎng)0,1）,

設4alM),5。2,丁2),直線AB:y^kx+l,

y=kx+1

聯(lián)立方程，

(x2=4/y

)肖去%可彳導>2_(2+4F?+I=O/=(2+4左2)2_4=163+16NN0,

由根與系數(shù)的關系得刃+h=2+4左2yly2=1,

因為尸|+|阿=%+"+2=2+4舊+2=4,

所以左2=0,即k=0.

所以直線AB:y^l,

所以點O到直線"的距離為

11

所以S^OAB^\OF\-\AB\^<1*4=2.

答案：2

【加練備選】

（2024運城模擬）已知拋物線C:產(chǎn)2"偽>0）的焦點方到其準線的距離為2,

圓M:（x-1）2+儼=1過F的直線I與拋物線。和圓M從上到下依次交于A,P,Q,B

四點則9Mpi+4因。的最小值為.

【解析】因為拋物線的焦點到準線的距離為2,所以p=2,所以拋物線方程為

儼=%

如圖，冏=|如=1,

因為914Pl+410|=9(|4年|尸網(wǎng))+4(1即-|。尸|尸9|4口|+4|毋］43,

設4alM),5(%2,V2),所以⑷

所以914Pl+4"。|=如+仇,

因為直線I與x軸平行時顯然不符合題意,故可設l:x^my+l,

因為直線所過定點網(wǎng)1,0)在拋物線內(nèi)部，則直線I必然與拋物線有兩交點,同樣與

圓也有兩交點，

聯(lián)立，y=41,%2-(2+4m2)x+1=0,

久=my+1

所以修%2=1,所以9|4?|+4|50|=9/+4%222平菽￡=12,當且僅當9修=4應即修=|

典=5時取等號，所以914Pl+4啰0的最小值為12.

答案：12

14.(10分)(2023?南京模擬)已知O為坐標原點，拋物線E/=2加①>0),過點0(0,2)

作直線I父拋物線E于點4與(其中點力在第象限),。4，。8=-4且AC=/lCB(/l>()).

(1)求拋物線E的方程；

【解析】⑴直線/的斜率顯然存在,設直線I的方程為產(chǎn)質(zhì)+2,設直線I與拋物線

的交點坐標為省修,%),5(%2加2)(修>0)4與在拋物線上，

22

X2

則為?咫=^，

由?2,消并整理得x2_2kx-4P=0,

%=2py,

所以(;x.％+x,=L2pk,

又辦行=-4則/向+丁次-%

22

所以修%2+二，k-4,

所以-4〃+4=-4夕=2,所以拋物線E的方程為爐=你

⑵當1=2時過點A,B的圓與拋物線E在點A處有共同的切線求該圓的方程

【解析】⑵由養(yǎng)窯2,

消y并整理得一一4履-8=0,

%=4k,

所以；支58

當1=2時，由前=2而知%I=-2X2,

所以線段45的中點坐標為(1$M的坐標為(4,4),線段的垂直平分線方程為

59

廣二-2(%-1),即>=-2%+萬，

y!2求導得yg,拋物線E在點A處的切線斜率為2,過點A且與切線垂直的直

11

線方程為y-4=--(x-4),gPy=--x+6,

由y=-2x+|及y=-|x+6得圓心坐標為(-1,多，

圓的半徑為?一1-4)2+(4一4)2=#,

所以所求圓的方程為(%+1)2+6

15.(10分)(2024?臨沂模擬)已知拋物線E產(chǎn)2加偽>0)/(4,%)為E上位于第一象

限的一點，點P到E的準線的距離為5.

(1)求E的標準方程;

【解析】⑴由題可知4+$5,解得p=2.

所以E的標準方程為儼=4%;

(2)設0為坐標原點尸為E的焦點&與為E上異于P的兩點，且直線PA與PB

斜率乘積為-4.

①證明:直線過定點；

②求以卜|郎的最小值.

【解析】(2)①由⑴知,翥=4義4,且必>0魂軍得為=4,所以尸(4,4).

22

設4GMm4,及)，則kp/；-??；于同理可得上巴

7-4

44

x

貝U