2025年高考數(shù)學一輪復習 階段滾動檢測（四）

階段滾動檢測(四)

120分鐘150分

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.(2024.萍鄉(xiāng)模擬)已知是空間中兩兩垂直的單位向量，則|3“+尻2c|=()

A.V14B.14C.V2D.2

【解析】選A.依題意得，⑷=|例=|c|=l,08=a-c=cZ=0;所以

\3a+b-2c\-J(3a+b-2c)23=V9a2+b2+4c2+6ab-12ac-4bc-y/9+1+4

=V14.

2.在三棱錐P-ABC中點0為八ABC的重心，點D,E,F分別為側(cè)棱PA,PB,PC的中

點若G=3力=CE,C=玩，則OP=()

A..-1a+-1b,+-1c

333333

C.-2-a--1b2--cD.-2a+2-b+2-c

333333

【解析】選D.取BC的中點為M如圖所示:

貝U“=AF=PF-PA=-PC-PA,

b=CE=PE-PC=iPB-PC,

2

c=BD=PD-PB=-PA-PB

2

相力口可得a+8+c=，(PB+PC)=>~PA+PB+rc=-2(a+Z>+c),

所以OP=AP-AO=-AM

AB+AC)=-叫(PB-PA+PC-PA)

2

PA+PB+pc)=-(a+Z>+c).

3.（2024.無錫模擬）已知m,n,l是三條不重合的直線,a/是兩個不重合的平面，則下

列說法不正確的是（)

A.若a//則m//￡

B.若mua,nu0,a〃.，則m//n

C.若m//"，機J_a,則n±a

D.若m,n是異面直線，租〃a,n//a,l-Lm且/J_"，則/_La

【解析】選B.對于A:兩個平面平行，一個平面內(nèi)的一條直線平行于另外一個平面,

故A正確；

對于B:兩個平行平面內(nèi)的兩條直線位置可以是平行或異面，即機〃〃不一定正確,

故B錯誤；

對于C:兩條平行線中的一條直線垂直于某個平面，則另外一條直線也垂直于此平

面，故C正確；

對于D:如圖,

因為機〃a,所以存在直線a,aua且滿足a//m,

又/L凡所以l±a,

同理存在直線b,bua且滿足b//n,

又耳所以l.Lb,

因為m,n是異面直線，

所以a,b相交，設a^b^A,

又a,〃ua,所以/_La,故D正確.

4.西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一,是一款非常實用的泡茶工具

（如圖1）.西施壺的壺身可近似看成一個球體截去上下兩個相同的球缺的幾何體.

球缺的體積V=*竺（我為球缺所在球的半徑,人為球缺的高）.若一個西施壺的壺

身高為8cm,壺口直徑為6cm（如圖2）,則該壺壺身的容積約為（不考慮壺壁厚度，兀

取3.14）（）

A.494mLB.506mL

C.509mLD.516mL

【解析】選A.作出幾何體的軸截面如圖所示,

依題意,AB=6cm。為球心,。為壺口所在圓的圓心，所以AD-DB-3cm,因為

DE-8cm,

所以OD-OE-4cm,且OD_LAB,OB=732+42=5(cm),所以球的半徑R-5cm,所以

球缺的高h-5-4-1cm,

所以球缺的體積為吟竺=江手

所以該壺壺身的容積約為(兀，53-2x等=詈匚494mL.

5.(2024.北京模擬)如圖,四棱錐P-ABCD中底面ABCD是矩形,AD=2A5,B4，平面

458,下列敘述中錯誤的是()

p

A.A5〃平面PCD

B.PB±BC

C.PC±BD

D.平面平面ABCD

【解析】選C.對于選項A:在矩形ABCD中，因為AB〃CRCDu平面尸CD,AM平

面尸CQ,所以AB//平面尸8,故選項A正確；

對于選項B:B4_L平面A5C35CU平面A5CZ),所以5c在矩形ABCD中,A5

054,所以5。，平面尸5A,而尸5u平面PBA,所以PB

故選項B正確；

對于選項C:因為BO平面A5CZ),而5Qu平面A5C。,所以B4_L5。,所以PA.BD

=0,而PC=PA+AC,PC-BD=(E4+AC)-BD=E4-BD+AC-BD=AC-BD,

在矩形ABCD中,4。與BD不垂直，所以AC.瓦口,即PC-BD#0,PC與BD不垂直

故選項c不正確；

對于選項D:B4±平面45CRB4U平面所以平面B4Z)_L平面45CZ),故選項D

正確.

6.（2024.北京模擬）已知底面邊長為2的正四棱柱A^CDAiSGA的體積為8V3,

則直線AC與A.B所成角的余弦值為（）

A.-B.-C.-D.-

2244

【解析】選D.如圖，連接A6,5G,則AZ）=A5=2,正四棱柱A5CQ-43GZ）i的體積

V=2x2xAAi=8g,

則AAi=2b,因為AC//A1C1,

則NG4J5為異面直線AC與AiB所成角,

可得22+(2V3)2=4,AICI=V22+22=2V2,

222

故cosXCiAiB-(2V2)+4-4_V2

2-2V2-4-4

7.已知球O的半徑為2,三棱錐0-A5C底面上的三個頂點均在球O的球面上,

NA4C號方。=百,則三棱錐體積的最大值為（）

A.iB.-C.-D.-

4322

【解析】選A.設“小所在外接圓的半徑為八由』=2八得導201,

2

設三棱錐的高為九則/=22-/=22-1=3,所以人=遮;在△4呂。中,如圖:

A點在劣弧詫上運動,

顯然當A點為廢的中點時，高AD最大，

A。的最大值為竽xtan冷，

ZoZ

所以及鉆。面積的最大值為，9g=1,故三棱錐O-ABC體積的最大值為

z24

【加練備選】

（2024德州模擬）在三棱錐P-ABC中,△人臺。是以AC為斜邊的等腰直角三角

形,△出。是邊長為2的正三角形,二面角P-AC-B的大小為150。,則三棱錐P-ABC

外接球的表面積為（）

A.—B.—

39

C28V21H口52Vl3n

?27?81

【解析】選A.如圖取AC的中點”,連接

由題意,A5=5C=號4。=魚,B4=PC=2,

所以BH±AC,PH±AC,

所以/BHP為二面角P-AC-B的平面角，

所以N5”P=150。，

因為及鉆。是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且4。=2,

所以AH=BH=CH=1,H為△ABC外接圓的圓心，

又△勿。是邊長為2的等邊三角形，

所以“尸=聲,過點H作與平面ABC垂直的直線,則球心O在該直線上,

設球的半徑為凡連接OB,OP,

可得0必=0序/必=展1,

在△0P"中,NO”P=60。,利用余弦定理可得op2=o*HP2-2HOHPCOS60°,

所以尺2=尺2-1+3-2*7^3*舊義去解得尺2=（

所以外接球的表面積為4成2=等.

8.（2024.長春模擬）芻曹是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示,其底面

ABCD為矩形，頂棱PQ和底面平行，書中描述了芻疊的體積計算方法:求積術(shù)曰,

倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一,即V=32A5+PQ*C/z（其中/z是芻

疊的高，即頂棱PQ到底面ABCD的距離），已知AB^BC^APAD和△05。均為等

邊三角形，若二面角P-AD-B和Q-BC-A的大小均為120。,則該芻魯?shù)捏w積

為（）

A.30V3B.20V3

C.yV3D.48+4V3

【解析】選D.如圖:分別取AD,BC的中點MN,連接PM,QN,MN,

由底面ABCD為矩形，所以MN//AB,

因為頂棱PQ和底面ABCD平行，且P0u平面B450,平面B450n平面ABCD=AB,

所以所以PQ//MN,

即P,Q,N,M四點共面，過P,Q分別作直線MN的垂線，垂足為P；Q；

因為底面ABCD為矩形，易得ADLMN,

因為為等邊三角形，且M為AD的中點，所以ADLPM,

因為MNC尸N=M,MN,PNu平面PP'Q'Q,

所以Ara平面PPQQ,

因為尸尸匕平面尸p°2所以Ara尸尸；

又因為尸尸」尸且PQCAZ)=MPQ；ADu平面ABCD,

所以尸尸」平面A5C。，

所以PP'為PQ到底面ABCD的距離h,

同理可證平面尸尸'。。。?！蛊矫鍭BCD,

所以NPMN為二面角P-AD-B的平面角,NQW為二面角Q-BC-A的平面角.

因為二面角P-AD-B和Q-BC-A的大小均為120°,

所以NPMN=ZQW=120。，

由AB^2BC^,APAD和△05。均為等邊三角形，

易得pQ^p'M+MN+NQ^8+2V3,/7=PP-3,

所以V=-(2AB+P2)BC-/Z=-(2X8+8+2V3)X4X3=48+4V3.

66

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知平面a的一個法向量為小=(1,-2,-9,平面夕的一個法向量為〃2=(-1,0,-2),直

線I的方向向量為。=(1,0,2),直線m的方向向量為8=(0,1,-2),則()

A.l//a

C.l與m為相交直線或異面直線

D.a在方向量上的投影向量為(0,g￡)

【解析】選BC.對于A,因為”=(1,0,2),"1=(1,-2,-|),且a?篦尸1+0-1=0,所以aLn\,l//

?或/ua,選項A錯誤；

對于B,因為〃1=(1,-2,[)，〃2=(-1,0,-2),且Hi-M2—1+0+1=0,

所以平面選項B正確；

對于C,因為"=(1,0,2)力=(0,1,-2),“與方不共線，所以直線/與根相交或異面，選項C

正確；

對于D,a在b向量上的投影向量為百小義(0,1,一2)=(0,-:,勻,選項D錯誤.

10.(2024.長沙模擬)已知S為圓錐的頂點,45為該圓錐的底面圓0的直徑，

ZSAB^5°,C為底面圓周上一點,/瓦1。=60。,5。=應，則()

A.該圓錐的體積為g

B.AC=V3

C該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大于180°

D.二面角A-BC-S的正切值為四

【解析】選AC.如圖，因為NS45=45。，

所以△必臺為等腰直角三角形，

又SC=a,則SA=SB=g

所以A5=VSZ2+SB2=2,則『AO=SO=1,

所以該圓錐的體積為胃兀己50=觸正確;

易知△A5C為直角三角形，且NAC5=90。，

又/氏4。=60°則NA5C=30°,

所以AC=/5=1,B錯誤；

該圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其弧長/=2幾，

扇形半徑尺=SA=VX設扇形圓心角為a,

所以a=!=企兀＞九,

所以該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大于180°,C正確；

取BC的中點Z）,連接SROZ）,則SD±BC,OD為八ABC的中位線，

所以OD±BC,OD^AC^,

所以NODS為二面角A-BC-S的平面角，易知△SO。為直角三角形，

所以tanN8S=*2,D錯誤.

11.（2024.葫蘆島模擬）如圖,及鉆。為等腰直角三角形,斜邊上的中線AD=2,E為線

段BD的中點將“5。沿AD折成大小為用勺二面角，連接5C,形成四面體C-ABD,

若P是該四面體表面或內(nèi)部一點，則下列說法正確的是（）

A.若點P為CD的中點，則過A,E,P的平面將三棱錐A-BCD分成兩部分的體積比

為1：4

B.若直線PE與平面ABC沒有交點，則點P的軌跡與平面ADC的交線長度為近

C.若點P在平面ACD上,且滿足B4=2PD,則點P的軌跡長度為:

D.若點P在平面ACD上,且滿足B4=2PD,則線段PE長度的取值范圍是（手,空）

【解析】選BC.對A,如圖所示，由題意可知AD±DC,AD±DB,DC（^DB^D,DC,DBcz

底面故底面BCD.

A

B

由于E為線段BD的中點，點P為CD的中點，故SADEP^SADBC,

又三棱錐A-DEP與三棱錐A-DBC等高，故以9=打4曲也融。=|以一曲,

故過A￡P(guān)的平面將三棱錐A4C。分成兩部分的體積比為1：3,故A錯誤;

對B,若直線PE與平面ABC沒有交點，則點P在過點E和平面ABC平行的平面

上,

如圖所示，設CD的中點為F,AD的中點為G,連接E尸1G,EG,則平面E/G〃平面

ABC,

則點P的軌跡與平面ADC的交線即為GF,

由于原△人呂。為等腰直角三角形,斜邊上的中線AZ)=2,故AC=2V2,

貝UG尸=)。=魚，故B正確；

對C,若點P在平面ACD上,且滿足B4=2PQ,以D為原點所在直線分別為

軸建立平面直角坐標系，如圖，則A(0,2),C(2,0),

設尸(%,y),則J%2+(y-2)2=2“2+y2,

即反+什+|)2號,

故P點在平面ADC上的軌跡即為圓弧防(如圖所示)，

由巴什+|)2若可得圓心M(O,-|),T(O,|),M^,O),

則N7MN4則點P的軌跡長度為白"子,故C正確；

DDDy

對D,由題意可知BD±AD,BD±DC,AD,DCC：^^A。。,故5。，平面ADC,

故PEZED2+PD2=\\+吵,由于p在圓弧病上,圓心為M,

故當尸在T時PD取最小值|,此時PE取最小值手；

當尸在N時PD取最大值竽，此時PE取最大值號.

故線段PE長度的取值范圍是［W,亨］，故D錯誤.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.兩個零向量。也定義|axA|=|a||例sin<a,A〉.若”=(1,0,1),。=(0,2,2),則|0<團=

答案：2遍

【解析】設向量。力的夾角為仇

因為。=(1,0,130,2,2),

所以|。|=魚,|例=2魚,0。=2,

ab21

所以cos。=

\a\-\b\V2X2V22'

因為。引0,用，所以sin。=為

所以|axA|=|a||A|sin。=近義2聲義日=2次.

13.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中,%，底面A5C。,且底面各邊都相等,V是PC

上的一動點，當點M滿足_________時，平面平面尸CD(只要填寫一個你

認為是正確的條件即可)

答案(或BMLPC等，答案不唯一)

【解析】連接AC交BD于點0(圖略)，因為B4_L平面A5CD,5Z)u平面ABCD,^

以

又由底面各邊都相等得AC,5D又B4nAe=A,所以BD±平面B4G所以BD±PC.

所以當尸。(或尸O時，即有PC,平面MBD,

而PCu平面pc。,所以平面平面PCD.

14.(2024.沈陽模擬)如圖,正方體A5CD4SG01的棱長為2,1是過頂點氏0,5,&

的圓上的一點,。為CCi的中點.當直線PQ與平面ABCD所成的角最大時，點P的

坐標為；直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是_______.

答案:(1,1，土遮+1)[0,卓]

【解析】過點O作石下，平面ABCD,交二，于點瓦交助于點尸，易得

OE=OF=V3,2(0,2,1),E(1,1,V3+1),F(1,1,-V3+1),

所以QE=(1,-1,V3),QF=(1,-1,-V3).

由圖可知當點P在點E或點F的位置，即P的坐標為(1,1，士g+1)時，直線PQ與平

面ABCD所成的角最大.

z

_________Cl

易得平面ABCD的一個法向量為〃=(0,0,1).

設直線QE與平面ABCD所成的角為e,

.QE?n

則sin0=|cos<QE,〃〉|=||QE|?Inl|=-^===^-=^p,

即直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為誓.

當尸?！ㄆ矫鍭BCD時，直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值最小為0,

所以直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是［0,誓］.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AC=3,5C=A4i=4,A5=5,點。為A5的

中占

I/\w

(1)求證:AC_LBG;

【解析】(1)在中，因為AC=35A5=51。=4,

所以及45。為直角三角形

又在直三棱柱A5cAl3G中平面ABC,

所以所以AC_L平面5CG,因為5C1U平面5CG,所以AC,

BCi；

(2)求三棱錐ArCQB的體積.

CiBi

4

U

夕'B

A

【解析】（2）在及鉆。中過。作。尸，4民垂足為F,

因為平面A53Aj_l平面A5C,且平面平面A5C=A氏所以平面

ABB\Ai^

ACBC3X412

而。尸二-5一5

因為以廣&CD~^C-A1DB1，

而441=5*5乂4=10,

所以匕1/CD=*10X￡=8.

16.（15分）如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形9〃。。,

ZABC=90°,AB=4,JBC=CD=2,AB4D為等邊三角形,5。±PA.

⑴證明平面B4。；

【解析】（1）取AB中點E,連接因為AB〃CZ）,乙鉆。=90。5A5=4,50=8=2,

所以四邊形EBCD為正方形,△AE。為等腰直角三角形，

貝U/ADE=45°,NBDE=45°,

得NADE+N&)E=90°,故BD±AD,

因為5。，%,%04。=4,%八。(=平面PAD,

所以5D_L平面B4D

(2)求點C到平面PBD的距離.

【解析】⑵設點。到平面尸的距離為小

由(1)得PD=BD=2a,BD1PD,

則△5DP面積為^尸少與口二幺

取AD中點。連接尸。則POLAD且尸0=遙，

因為5。，平面B4RP0U平面PAD,

所以BD±POADHBD^D,AD,BD^^ABCD,

所以尸0_L平面45CD,

又XBCD的面積為匏CS=2,三棱錐C-PBD的體積為

Vc-PBD^SkBDP?h=VP-BCD'SkBCD?P>

得力岑即點c到平面PBD的距離為日

17.(15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中底面ABCD為菱形，&F分別為PA,BC的中

點

⑴證明:石尸〃平面PCD.

【解析】⑴取尸。的中點G,連接CG,EG,

因為E,F分別為PA,BC的中點，

所以EG//AD,EG^AD,

又因為底面ABCD為菱形，所以CF//AD,CF^AD,^XEG//CF,EG=CF,

所以四邊形EGCF為平行四邊形，所以EF//CG,

又CGu平面尸。。,石廣,平面PCD,

所以E尸〃平面PCD.

(2)若尸/〃平面ABCD,ZADC=120°,HPD=2AZ)=4,求直線AF與平面DEF所成

角的正弦值.

P

【解析】⑵連接5。，

因為尸。,平面ABCD,DF,DACL^^ABCD,

所以PD±DF,PD±DA,

因為四邊形為菱形,NA0C=12O。，

所以△38為等邊三角形，

因為尸為的中點，所以DFLBC,

因為5C〃D4,所以DF±DA,

所以DF,DA,DP兩兩垂直，

所以以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,

X

因為4。=之尸。=2,所以D(0,0,0),F(V3,0,0)4(0,2,0),E(0,1,2),

則無=(0,1,2),DF=(V3,0,0),AF=(V3,-2,0),

設平面DEF的法向量m^x,y,z),

'm,DE=y+2z:=0

則Ini?DF=V3x=0，令z=l,得WI=(0,-2,l),

設直線AF與平面DEF所成的角為e,

Int.

則sin0-\cos<m,AF>|=ImlIAFI

所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為甯.

18.(17分)(2024.武漢模擬)如圖，在四棱錐尸-A5C。中底面A5C。是矩形，側(cè)面BW

，底面ABCD,E為線段PA的中點，過C,D,E三點的平面與線段PB交于點尸，且

*PD=AB=2.

(1)證明：石尸，人。；

【解析】⑴由題意得9〃。。，

又A5u平面B45coe平面PAB,

所以8〃平面PAB.

又Su平面CDE/，平面CDE尸n平面PAB=EF,

所以CD〃EE

又COU。,所以EFLAD.

⑵若四棱錐P-ABCD的體積為*則在線段PB上是否存在點G,使得二面角

G-CZ)力的正弦值為黑若存在，求黑的值;若不存在,請說明理由.

【解析】⑵取AD的中點。連接P0,

因為B4=PD所以POLAD,

又平面平面A5CD,平面平面A5cO=AD,POu平面PAD,

所以尸0,平面A5CZ）,

所以VP-ABCD^AB-AD-PO^]ADP0=4,

又PO2+（|AD）2=4,

所以f0=應4。=2企.

取BC的中點為“，以OAQHQP所在直線分別為次軸,y軸,z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系，

貝UP(0,0,V2),B(V2,2,0),D(-V2,0,0),C(-V2,2,0),

所以PB=(V2,2,-V2),而=(0,-2,0),

假設存在點G,設PG=2W￡[0,l]),G(xbyi,zi),

所以(%1,%/1-2)=2(&,2,-/),

則G(V22,2/1,72(14)),

所以DG=(V2(1U),2A,72(14)),

設平面GCD的法向量為〃1=(%2,》2,Z2),

ln-[,DG=0

IHi,CD=0,

即｛V^(l+a)%2+2Ay2+V2(1-A)Z2—0

可取m=（九1,0/+1）,

又平面ABCD的一個法向量"2=（0。1）,

因為二面角G-CD-B的正弦值為今

所以|cos<〃i,〃2〉|=-j="+”=亭，解得2W或7=3（舍去）.

2253

J（Z-1）+（Z+1）

所以線段PB上存在點G,使得二面角G-CD-B的正弦值為此時北三.

【加練備選】

（2024.岳陽模擬）如圖1，平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和RtAB4D拼接而成,

其中AB=BC=1,BC〃AD,a=PD3邛上PD,ABLAD,PCAD相交于點O,現(xiàn)沿著

AD折成四棱錐P-A5CZ）（如圖2）.

⑴當四棱錐P-ABCD的體積最大時，求點A到平面PCD的距離.

【解析】⑴在題圖1中，在RtABW中序=尸。=應,尸。，

所以AD=2易知四邊形ABCO為正方形，

所以AO=1,即。為AD的中點，

在題圖2中，當四棱錐P-ABCD的體積最大時，

即側(cè)面底面ABCD,

因為POLARPOu側(cè)面PAD,

所以POL底面A5CD以。為原點”,8QP所在直線分別為％軸、y軸、Z軸,

建立如圖所示空間直角坐標系.

則P(O,O,1),A(O,-1,O),B(1,-1,O),C(1,O,O),D(O,1,O),

所以雄=(0,1,1),CP=(-1,O,1),PD=(O,1,-1),

方法一：設平面PCD的法向量為加=(%,y,z),

Im?CP=O

所以k?PD=O,

所以償之；°所以冽=(1,1,1),

IAP?m|/—

所以點A到平面尸CD的距離為Ml二方第

方法二:(等體積法)

由題意得△尸8為等邊三角形，且

2

PC=PD=CD=V2,SAPCD^x(V2)=y,SAAco=|x2x1=1,

設點A到平面PCD的距離為d,

因為VP-ACD=VA-PCD,

所以］SaACD,尸。三S△尸CD,d,

所以91義1與曰&所以仁手

(2)線段P。上是否存在一點。，使得平面0AC與平面48的夾角的余弦值為學?

若存在，求出意的值;若不存在,請說明理由.

【解析】⑵假設存在,且設的=丸而(OS於D,

因為西=(0,1,-1),

所以AQ=AP+PQ=(0,1,1)+APD=(0,l+尢1-1),

且AC=(l,l,0),

設平面QAC的法向量為"=3也c),

lu?AC=O

所以匕?AQ=O,

所以｛a+b=0

(1+2)b+(l-2)c=O'

所以w=(l-A,/l-l,/l+l),

易知平面ACD的一個法向量為v=(O,O,D,

因為平面與平面ACD的夾角的余弦值為唱，

所以|cos"y〉|=，+二*

"IMJ(1U)2+(4-1)2+(Z+1)2X1

化簡整理得6在13丸+6=0,

解得耳或丸=|(舍去)，線段PD上存在滿足條件的點。，且孤=2.

19.(17分)(2024.鄭州模擬)三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法,其運算法則如

@2。3k

下：b2怎=Q]b2C3+a2b3Cl+a3ble2-a3b2C1-Q2ble3-。必3c2.若ax》=ytZ],則

%2y2Z2

稱axb為空間向量a與b的叉乘，其中a-xii+yij+zik(xi,yi,zi