2024年天津市中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)模擬題分類(lèi)匯編：圓解答題（共50道）（解析版）

二輪復(fù)習(xí)2024年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)

名校模擬題分類(lèi)匯編專(zhuān)題01

旋轉(zhuǎn)（選擇題共36道）（天津?qū)Ｓ茫?/p>

1.（2024上?天津和平?九年級(jí)天津二十中?？计谀┤鐖D，4B是。。的直徑，尸為。。上一

點(diǎn)，AC平分NF4B交0。于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)C作CD14F交2尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

⑴求證：CD是。。的切線.

（2）若DC=6,AB=13,求4F的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）5

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定和性質(zhì)以及切線的判定定理即可得到結(jié)論;

（2）連接BF,交AC與點(diǎn)、E,首先借助圓周角定理證明四邊形CEFD為矩形，由矩形性質(zhì)可

得EF=CD=6,OC1BF,利用垂徑定理即可推導(dǎo)BF=12；然后在RtAABF中，由勾股

定理計(jì)算力F的長(zhǎng)即可.

【詳解】（1）證明：連接。C,如下圖，

IMC平分N凡4B,

^\Z-FAC=匕CAO,

朋。=CO,

^ACO=Z.CAO,

=Z-ACO,

BADWOC,

SCD1AF,

SCD1OC,

回。C為O。半徑，

回CD是。。的切線；

（2）解：連接BF,交4C與點(diǎn)E,如下圖,

財(cái)B為。。的直徑，

回N4FB=90°,

0ZDFE=180°-/LAFB=90°,

SCDLAF,CD10C,

0ZFDC=Z.DCE=90°,

回四邊形CEFD為矩形，

EEF=CZ）=6,4CEF=90°,即CE1BF,

EIOC為O。半徑，

0BF=2EF=2X6=12,

回在Rt△ABF中，由勾股定理可得2F=7AB2-BF2=V132-122=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、平行線

的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.（2024上?天津和平?九年級(jí)天津市第五十五中學(xué)?？计谀┤鐖D，在AABC中，AB=4C,

。為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的。。與4B相切于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸，F(xiàn)G1AB,垂足為G.

⑴求證：FG是。。的切線；

(2)若BG=1,CF=1V2,求8尸的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)BF=3

【分析】(1)連接。吃。尸，設(shè)4。。尸=6，4OFC=a,根據(jù)已知條件以及直徑所

對(duì)的圓周角相等，證明a+￡=90。，進(jìn)而求得NDFG=a,NDF。=/?,即可證明FG是0。的

切線；

(2)根據(jù)已知條件結(jié)合(1)的結(jié)論可得四邊形GEOF是正方形，進(jìn)而求得DC的長(zhǎng)，根據(jù)

乙BFG=LFDC=B，sin￡=^=^|,即可求解.

【詳解】(1)如圖，連接DF,OF,

OF=OD,

貝iJziODF=乙OFD,

^Z.ODF=Z.OFD=B，AOFC=a,

???OF=OC,

???乙OFC—Z.OCF-a,

???DC為。。的直徑，

???乙DFC=90°,

???Z.DFO+OFC=乙DFC=90°,

即a+S=90°,

-AB=AC,

???Z.B-Z.ACB—a,

???FGLAB.

Z.GFB=90°一乙B=90。-a=S,

???(DFB=乙DFC=90°,

???Z.DFG=90°-乙GFB=90。一￡=a,

Z.GFO=Z.GFD+Z-DFO=a+/?=90°,

???OF為。。的半徑，

??.FG是O。的切線；

(2)如圖，

???4B是。。的切線，貝!]OE_L力B,又。F1FG,FG1AB,

???四邊形GEOF是矩形，

0E=OF,

.,?四邊形GEOF是正方形，

GF=OF^-DC,

2

在由△GFB中，BG=1,

???FG=y/BF2-GB2=y/BF2-1,

DC=2FG,

由(1)可得乙BFG=4FDC=0,

???FG1AB.DF1FC,

"BF_2A/BF2-1，

解得BF=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，正弦的

定義，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.（2023上?天津和平?九年級(jí)天津市第五十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，回0的半徑

r=y,弦AB,CD交于點(diǎn)E,C為通的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線交AB延長(zhǎng)線與點(diǎn)F,且DF=EF.

（1）如圖①，試判斷DF與回O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖②，連接AC,若A03DF,BE=|AE,求CE的長(zhǎng).

圖①圖②

【答案】(1)DF與國(guó)。相切，理由見(jiàn)解析；(2)CE=2V10.

【分析】(1)如圖，作輔助線；證明國(guó)ODC+EICDF=90。，即可解決問(wèn)題.

(2)如圖，作輔助線；證明0HI3AB,AH=4入，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明CE=J1加；列

出方程(r-3X)2+(4入)2,求出入=a=導(dǎo)§=2,即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)DF與回。相切.

如圖1,連接OC、0D；

I3C為弧AB的中點(diǎn)，

0OCSAB,0OCE+0AEC=9O°;

0DF=EF,

EEFDE=0FED=0AEC；

回OA=OC,

E0OCE=0ODC,

E0ODC+EICDF=9OO,

即ODEDF,

0DF與回0相切.

(2)如圖2,連接。A、0C；

由(1)知OCEIAB,

0AH=BH；

0AC0DF,

00ACD=0CDF；而EF=DF,

00DEF=0CDF=0ACD,

0AC=AE；

設(shè)AE=5入，則BE=3人，

回AH=4入，HE”，AC=AE=5入；

團(tuán)由勾股定理得：CH=3人；

CE2=CH2+HE2=9X2+X2,

0CE=VTOX；

在直角IBAOH中，由勾股定理得：

AO2=AH2+OH2,

即r2=(r-3X)2+(4人)2,

解得：A=^r=^x^=2,

ECE=2V10.

【點(diǎn)睛】該題主要考查了圓的切線的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈

活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、解答.

4.(2023上?天津河北?九年級(jí)天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí))如圖，在。。

中，4B為直徑，弦CD與48交于P點(diǎn)，Z71DC=25°.

(1)如圖①，若NDP8=55。，求42CD的度數(shù)；

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)C作。。的切線與A4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)0,若PQ=CQ,求NC4D的度數(shù).

【答案】⑴60。

(2)110°

【分析】(1)連接BC,先求得N￡MB=30。，得，最后求得N4CD=60。；

(2)連接0C,由切線的性質(zhì)得NOCQ=90°,由。4=OC,PQ=CQ,得N04C=65°,A.QPC=

70°,最后求得的度數(shù)

【詳解】(1)

如圖①，連接BC,

D

團(tuán)N0P8是尸的一個(gè)夕卜角，Z.ADC=25°,Z.DPB=55°,

團(tuán)Z.DAB=乙DPB-^ADC=30°,

0乙DCB=ADAB=30°,

048為回。的直徑，

0/-ACB=90°,

0/-ACD=乙ACB-乙DCB=60°.

(2)如圖②，連接。C.

0/-ADC=25°,

0Z.AOC=2AADC=50°.

團(tuán)QC是團(tuán)。切線,

0Z.OCQ=90°.

團(tuán)Z.OQC=90°-Z,AOC=90°-50°=40°.

00A=0C,PQ=CQ,

0/。女入。以=*您=65。,

乙QPC=“CP=180；OQC=70。,

0/.DAP=Z.QPC-Z.ADC=45°,

0/.CAD=/.DAP+/.OAC=110°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、三角形

的內(nèi)角和定理，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023上?天津和平?九年級(jí)天津市匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在。。中，弦CD與直徑

交于點(diǎn)P.

(El)如圖①，若NBCD=30。,乙40。=50。，求NCDB的度數(shù).

(回)如圖②，過(guò)點(diǎn)。作。。的切線交力B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.若乙BCD=20°,PQ=DQ,求乙CBD

的度數(shù).

【答案】(0)70°；(0)115°

【分析】(回)連接40.由圓周角定理推論可知N4DB=90。.再根據(jù)題意結(jié)合三角形外角性

質(zhì)可求出乙4BC=AAPC-乙BCD=20°,最后再由圓周角定理可知N4DC=乙4BC=20°,

即可求出NCDB大小.

(0)連接0，由圓周角定理可知=2/8C。=40。，再由切線的性質(zhì)可知

NODQ=90。.即Z.Q=90。-NOOB=90。-40。=50。.根據(jù)題意易求出=

180°丁°'=70°,乙QPD=乙QDP==65°.再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可求出NC8P=

“PD-乙BCD=45°,即求出NCBD的大小.

【詳解】(回)如圖，連接4D.

回48是O。的直徑，

S/.ADB=90°.

回N4PC=50°,乙BCD=30°,

H/.ABC="PC-乙BCD=50°-30°=20°

^ADC=^ABC=20°.

團(tuán)NCDB=NADB-乙ADC=90°-20°=70°.

(E)如圖，連接OD.

0ZSCD=20°,

EZDOB=2乙BCD=40°,

回。。切O。于點(diǎn)D,

回。。_LOQ,艮|34。OQ=90。.

0ZQ=90°一七DOB=90°-40°=50°.

回。B=OD,PQ=DQ,

回NODB=Z.OBD=I80f=70°,乙QPD=乙QDP=%衛(wèi)=65°.

2yy2

EZCBP=乙QPD-乙BCD=65°-20°=45°.

回NCBD=乙CBP+Z.OBD=45°+70°=115°.

【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題.考查圓周角定理及其推論，切線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì).正

確的連接輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2023上?天津河西?九年級(jí)天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知AB為回。的直徑，PA,

PC是的切線，A,C為切點(diǎn)，HBAC=30°.

（1）求EIP的大??；

⑵若AB=2,求PA的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.

【答案】（1）fflP=60°；（2）PA=V3.

【詳解】（1）EIPA是回。的切線，AB為回。的直徑,

0PA0AB,

EBBAP=90°；

EHBAC=30°,

E0CAP=9O°-0BAC=6O°.

又回PA、PC切回。于點(diǎn)A、C,

EPA=PC,

H3PAC為等邊三角形，

fflP=60°.

(2)如圖,

連接BC,則EACB=90°.

在RtElACB中，AB=2,EIBAC=30°,

EBC=1,

0AC=V3，

EEPAC為等邊三角形，

0PA=AC,

0PA=V3.

7.(2023上?天津南開(kāi)?九年級(jí)南開(kāi)翔宇學(xué)校校考階段練習(xí))如圖①，在。。中，48為直徑,

C為。。上一點(diǎn)，ZX=30°,過(guò)點(diǎn)C作。。的切線，與4B的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

(0)求NP的大??；

(0)如圖②，過(guò)點(diǎn)B作CP的垂線，垂足為點(diǎn)E,與2C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,

①求NF的大??；②若O。的半徑為2,求4尸的長(zhǎng).

【答案】5)ZP=30°；(13)①NF=30°；@AF=4V3

【分析】(ffl)如圖①中，連接OC.利用切線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；

(E)①證明OCEIBF,即可解決問(wèn)題；

②證明團(tuán)OBC是等邊三角形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】(回)如圖，連接OC.

團(tuán)。。與PC相切于點(diǎn)c,

0OC1PC,即乙。。尸=90。，

回匕4=30°,

團(tuán)=2Z,A=60°,

在R%OPC中，2LP0C+ZP=90°,

0ZP=9O°-6O°=3O°；

(0)①由(I)得乙OCP=90°,

又回BF_LPC,BPzPEB=90°

WC//BF

團(tuán)4F=Z.ACO=4/=30°；

②由①

胤48=BF,

連接BC,

MB是直徑，

^BCA=90°,即

團(tuán)4C=CF

^BOC=60°,OC=OB,

SA是等邊三角形，

回BC=OC=2,

0XC=slAB2-BC2=V42-22=2V3,

0XF=4V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

8.（2023上?天津河?xùn)|?九年級(jí)天津市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AB是。。的直徑，C,D為

O。上的點(diǎn)，S.BCWOD,過(guò)點(diǎn)。作DEL28于點(diǎn)E.

DC

A\EOH

⑴求證：BD平分NABC；

(2)若BC=3,DE=2,求O。的半徑.

【答案】(1)見(jiàn)解析

【分析】⑴利用平行線的性質(zhì)得到NODB=乙CBD,再由NODB=乙OBD,即可證得NOBD=

乙CBD；

⑵過(guò)。點(diǎn)作。尸，8。于R如圖，根據(jù)垂徑定理得到BF=CF=|,再證明AODE三"。尸，

得到DE=OF=2,然后利用勾股定理計(jì)算。B的長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)證明：???BCWOD,

???Z.ODB=Z.CBD,

OD=OB,

:.Z.ODB=Z.OBD,

Z-OBD=乙CBD,

???80平分乙48C；

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)凡

DE1AB,

???￡.DEO=乙OFB=90°,

???BCWD,

???乙DOF=Z.OFB=90°,

???(DOE+乙FOB=90°,

???乙DOE+乙EDO=90°,

???乙EDO=乙FOB,

在△EO。和AFOB中,

ZDEO=Z.OFB

乙EDO=乙FOB

OD=OB

???^EDO=^FOB(AAS).

???DE=OF=2,

???OF1BC,

I3

：,BF=CF=-BC=-,

22

在R30FB中，

???OF2+BF2=OB2,

：.OB=^OF2+BF2=J+（|）=|

??.o。的半徑為|.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，全等

三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

9.（2022?天津?天津市雙菱中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是以BC為直徑的半圓。的切線,

。為半圓上一點(diǎn)，AD=AB,AD,8C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

（1）求證：AD是半圓。的切線；（2）連結(jié)O）,求證：0A=2EICD￡.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）如圖，連接。。，BD,

EL48是回。的切線，

EL4B0BC,即0ABC=9O°,

^AB=AD,

^3\ABD=^\ADB,

^OB=OD,

甌￡)20=回BDO,

^EABD+S\DBO=S\ADB+S\BDO,

fflA￡>0=EA20=90°,

EAD是半圓。的切線.

(2)由(1)知，的。0=她30=90°,

^=360°-^ADO-BABO-^BOD=18Q°-^BOD=^DOC,

明0是半圓。的切線，

團(tuán)團(tuán)0。右二90°,

^\ODC^CDE=90°,

團(tuán)5C是回。的直徑，

團(tuán)團(tuán)O0C+團(tuán)500=90°,

^\BDO=^CDE,

團(tuán)團(tuán)5。。二團(tuán)O3D

^\DOC=2^\BDOf

釀00。=2團(tuán)COE,

WA=2BCDE.

10.(2023?天津河西?天津市新華中學(xué)?？级?圖，A3為。。的直徑，△ACD是。。的內(nèi)

接三角形，尸B切。。于點(diǎn)5,

圖①圖②

⑴如圖①，延長(zhǎng)AO交尸8于點(diǎn)P,若NC=40。，求OP和回8A尸的度數(shù)；

(2)如圖②，連接AP交。。于點(diǎn)E,若ND=NP,琵=AC,求SP和SBAP的度數(shù).

【答案】⑴NP=40°,NBAP=50°

(2)zP=60°,ABAP=30°

【分析】(1)連接2。,利用切線的性質(zhì)得到乙48P=90。,用圓周角定理得到乙4CD=4ABD=

40°,進(jìn)而求出N08P的度數(shù)，再利用”為。。的直徑得到乙4DB=90。，最后利用三角形

外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解；

(2)連接CE與AB相交于點(diǎn)兄由圓周角定理得到N710C=NZEC,結(jié)合NO=NP得到

^AEC=NP,進(jìn)而得到CE||BP,結(jié)合切線的性質(zhì)易得AB是CE的垂直平分線，得到力C=AE,

結(jié)合北=打得到ac=CE,進(jìn)而得到AACE是等邊三角形，求出4P的度數(shù)，再利用三角形

內(nèi)角和定理求解.

【詳解】(1)：連接80,如圖①

圖①

SP2切O。于點(diǎn)8,

回ZJ4BP=90°.

0Zi4CD=Z.ABD=40°,

0ZDBP=90°-Z.ABD=90°-40°=50°.

0AB為0。的直徑，

^ADB=90°,

回NP=90°-乙DBP=90°-50°=40°,

0ZS4P=180°-AABP-NP=180°-90°-40°=50°；

(2)：連接CE與A3相交于點(diǎn)尸，如圖②

圖②

^1Z.ADC=Z.AEC,Z-D=乙P,

^AEC=Z.P,

0CE||BP.

團(tuán)尸3切。。于點(diǎn)3,

^Z-ABP=^AFE=90°,

^\AB_LCE.

她3為。。的直徑，

是CE的垂直平分線,

朋C=AE.

回）=由

固4c=CE,

團(tuán)4C=AE=CE,

回△4CE是等邊三角形,

^AEC=60°.

團(tuán)24EC=Z-P,

回乙尸=60°.

^Z.ABP=90°,

^BAP=180°-"BP一乙P=180°-90°-60°=30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，理

解相關(guān)知識(shí)和作出輔助線是解答關(guān)鍵.

n.（2023?天津河西?天津市新華中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在。。中，為直徑，弦CD與。4交

于點(diǎn)E,連接AC,ZXDC=26°.

（1）如圖①，若4DEB=55。,求乙4CD的度數(shù)；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)C作。。的切線與B4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若=求44。的度數(shù).

【答案】（1）乙4CD=61°；

(2)^CAD=109°.

【分析】（1）連接BD,先求得4DAB=29。,最后求得N4CD=61。；

（2）連接OC,由切線的性質(zhì)得/。。尸=90°,由。A=OC,EF=CF,得=64°,Z.FEC=

ZFCF=71°,最后求得NC4D的度數(shù).

【詳解】（1）解：如圖①，連接BD,

團(tuán)是a/OE的一個(gè)外角，Z-ADC=26°,Z.DEB=55°,

^DAB=2DPB-Z.ADC=29°,

團(tuán)為。。的直徑，

團(tuán)乙408=90°,

^ACD=LB=90°-乙DAB=61°；

(2)解：如圖②，連接。C.

團(tuán)乙40c=26°,

團(tuán)乙4。。=2乙ADC=52°.

是。。切線，

0ZOCF=90°.

團(tuán)4F=90°-Z.AOC=90°-52°=38°.

回。/=OC,EF=CF,

180°—乙40c

團(tuán)404c=/.OCA=64°,

乙FEC=乙ECF=幽W71°,

2

^DAE=AFEC-乙ADC=45°,

^CAD=/.DAE+Z.OAC=109°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、三角形

的內(nèi)角和定理，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?天津河西?天津市新華中學(xué)?？既＃┤鐖D，48為。。的直徑，點(diǎn)C,D為直徑AB

同側(cè)圓上的點(diǎn)，且點(diǎn)。為標(biāo)的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)以延長(zhǎng)DE,交。。于點(diǎn)F,47與

交于點(diǎn)G.

（1）如圖①，若點(diǎn)C為力S的中點(diǎn)，求乙4GF的度數(shù);

（2）如圖②，若力C=12,AE=3,求。。的半徑.

【答案】⑴60。

喈

【分析】（1）根據(jù)題意可推得加=眈=CB,根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系可求得乙4。。=

乙DOC=LCOB=6Q°,根據(jù)圓周角定理可求得/CAB=30。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解;

（2）根據(jù)垂徑定理可得DE=EF,根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系可推得DF=4C,求得

DE=6,設(shè)。。的半徑為r,貝UOE=r—3,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：連接。D,OC,如圖：

團(tuán)點(diǎn)。為此的中點(diǎn)，點(diǎn)C為DB的中點(diǎn)，

固4。=ETC,ETC=CB,

比=既=CB,

團(tuán)乙4。0=乙DOC=乙COB,

又朋8為。。的直徑，

1QG°

^AOD=2DOC=乙COB=—=60°,

3

^CAB=-^COB=30°,

2

在RtUEG中，Z,GAE=30°,

0Zi4GF=9O°-3O°=6O°.

(2)連接。。，如圖:

回點(diǎn)。為T(mén)tt1的中點(diǎn)，

固步=ETC,

^\DELAB,48為。。的直徑，

WE=EF,

固4力=AF,

團(tuán)用定=DAF,

即DF=ZC,

團(tuán)OE=-DF=-AC=6,

22

設(shè)。。的半徑為r,貝iJOE=0A-AE=r-3,

在RtADOE中，。。2=*+煙，

即產(chǎn)=62+(r—3)2,

解得r=梟

故O。的半徑為停

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)

系，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

13.(2023下?天津和平?九年級(jí)天津市雙菱中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)如圖，線段AB經(jīng)過(guò)。。的圓

心。，交圓。于點(diǎn)A,C,BC=1,為O。的弦，連接8D,乙BAD=N4B0=30。，連

接。。并延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)E,連接BE交O。于點(diǎn)M.

(1)求證：直線8。是。。的切線;

(2)求線段的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得48。。=2/.BAD=60°,從而得到Z.ODB=90°,即可求

證；

(2)連接。他80。中,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得8。=2?！?gt;,從而得到0D=0C=1,

BD=V3,再由OE為O。的直徑，可得DE=2,^.DME=90°,從而得到BE=夕，再由

SABDE=^BD,DE=^BE,DM,可得DM=第，再由勾股定理，即可求解?

【詳解】(1)證明：^BOD=2^\BAD,

0ZBOD=2ABAD=60°,

又回N4BD=30°,

團(tuán)NODB=90°,即。。1BD,

又回。。為。。的半徑，

團(tuán)直線8。是。。的切線；

(2)解：如圖，連接。

團(tuán)B。=2OD=OC+BC,

又BC=1,OD=OC,

回。。=。。=1,

而。=V3,

即用為。。的直徑，

0PF=2,4DME=90°,

在RtS\BDE中，BE=VDE2+BD2=V7,

11

^SABDE=-BD-DE=-BE-DM,

BE7

在Rt^BDM中，BM=7BD2—DM?=”

7

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí),

熟練掌握切線的判定，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

14.(2023下?天津?yàn)I海新?九年級(jí)天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知回。中,

AC為直徑，MA、MB分別切回0于點(diǎn)A、B.

(0)如圖①，若回BAC=25。，求回AMB的大小；

(0)如圖②，過(guò)點(diǎn)B作BDEIAC于點(diǎn)E,交回。于點(diǎn)D,若BD=MA,求回AMB的大小.

【答案】(回)50°;(0)60°

【分析】(回)由AM與圓。相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AM垂直于AC,可得出EIMAC為直

角，再由mBAC的度數(shù)，用EIMAC-EIBAC求出EIMAB的度數(shù)，又MA,MB為圓。的切線，根

據(jù)切線長(zhǎng)定理得到MA=MB,利用等邊對(duì)等角可得出E1MAB=E]MBA,由底角的度數(shù)，利用三角

形的內(nèi)角和定理即可求出EIAMB的度數(shù).

(E)連接AB,AD,由直徑AC垂直于弦BD,根據(jù)垂徑定理得到A為優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，根

據(jù)等弧對(duì)等弦可得出AB=AD,由AM為圓。的切線，得到AM垂直于AC,又BD垂直于AC,

根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行可得出BD平行于AM,又BD=AM,利用一組對(duì)邊平行

且相等的四邊形為平行四邊形得到ADBM為平行四邊形，再由鄰邊MA=MB,得到ADBM為

菱形，根據(jù)菱形的鄰邊相等可得出BD=AD,進(jìn)而得至IJAB=AD=BD,即回ABD為等邊三角形，

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到E1D為60°,再利用菱形的對(duì)角相等可得出EIAMB=EID=60。.

【詳解】解：(回)EIMA切回。于點(diǎn)A,EHMAC=90°.

又IBBAC=25",00MAB=EMAC-0BAC=65".

EIMA、MB分別切回。于點(diǎn)A、B,EMA=MB.

EEIMAB=0MBA.

E0AMB=18O--(0MAB+0MBA)=50°.

(ffl)如圖，連接AD、AB,

0MA0AC,又BD0AC,

0BD0MA.

又回BD=MA,四四邊形MADB是平行四邊形.

又團(tuán)MA=MB,回四邊形MADB是菱形.0AD=BD.

又回AC為直徑，AC0BD,

0AB="AD".

0AB=AD=BD.H3ABD是等邊三角形.E0D=6O°.

國(guó)在菱形MADB中，0AMB=0D=6O°

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，弦、弧及圓心角之間的關(guān)系，菱形的判定與

性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性

質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

15.（2023下?天津和平?九年級(jí)天津一中?？茧A段練習(xí)）在。。中，弦CD與直徑48相交于點(diǎn)

P,AABC=16°.

⑴如圖①,若乙BAD=52°,求乙4PC和NCDB的大小;

（2）如圖②，若CD1AB,過(guò)點(diǎn)。作。。的切線，與A8的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,求NE的大小.

【答案】⑴入4Pp=68°；Z.CDB=74°

（2）58°

【分析】（1）由同弧所對(duì)圓周角相等求得NC,進(jìn)而求得N4PC；連接AC,求得ABAC,進(jìn)而

由同弧所對(duì)的圓周角相等求得NCDB.

（2）連接OD,求得NPCB,進(jìn)而求得其所對(duì)圓心角NBOD,再由三角心外角和內(nèi)角的關(guān)系

求得乙￡

【詳解】(1)解：回附=附

0ZC=匕BAD=52°

團(tuán)N/PC=4。+Z.ABC=68°

如圖，連接AC,她5為。。直徑

^ACB=90°

^BAC=180°-乙ACB-^ABC=74°

團(tuán)阮=舐

^CDB=/.BAG=74°

(2)解：如圖，連接。。

團(tuán)CO1AB

團(tuán)4CP8=90°

^PCB=90°-Z-PBC=74°

團(tuán)在。。中，上BOD=2么BCD

^BOD=148°

即用是。。的切線

團(tuán)。。LDE^^ODE=90°

團(tuán)4E=乙BOD-90°=58°.

【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合問(wèn)題，熟練掌握三角形和圓的相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

16.（2023下?天津南開(kāi)?九年級(jí)南開(kāi)翔宇學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在國(guó)ABC中，ZC=90°,以邊AB

上一點(diǎn)。為圓心，OA為半徑的圈與BC相切于點(diǎn)D,分別交AB,AC于點(diǎn)E,F

<I)如圖①，連接AD,若NC4D=25°,求IBB的大??；

(0)如圖②，若點(diǎn)F為旭的中點(diǎn)，。。的半徑為2,求AB的長(zhǎng).

圖①圖②

【答案】(1)回B=40°；(2)AB=6.

【分析】(1)連接0D,由在0ABe中,垢=90。,2。是切線，易得A60D,即可求得EICM)=0A￡)。,

繼而求得答案；

(2)首先連接?！?。。由AO3。。得團(tuán)。朋=跖。。，由點(diǎn)尸為弧A。的中點(diǎn)，易得EAOF是等邊

三角形，繼而求得答案.

【詳解】解:⑴如解圖①，連接0D,

0BC切回。于點(diǎn)D,

EBODB=90°,

EHC=90°,

0ACSOD,

00CAD=0ADO,

0OA=OD,

E0DAO=0ADO=0CAD=25",

EEIDOB=0CAO=0CAD+[?IDAO=5OO,

00ODB=9O°,

E0B=9O0-0DOB=9O°-50°=40°;

⑵如解圖②，連接OFQD,

EEOFAWFOD,

回點(diǎn)F為弧AD的中點(diǎn)，

E0AOF=EFOD,

00OFA=0AOF,

0AF=OA,

0OA=OF,

甌AOF為等邊三角形，

EBFAO=60°,貝胞DOB=60°,

回配=30°,

回在Rt0ODB中,OD=2,

0OB=4,

0AB=AO+OB=2+4=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，弧弦圓心角的關(guān)系，

等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì).熟練掌握切線的性質(zhì)是解（1）的

關(guān)鍵，證明EAOP為等邊三角形是解（2）的關(guān)鍵.

17.（2023下?天津河北?九年級(jí)天津二中?？茧A段練習(xí)）在回。中，AB為直徑，C為。。上一

?。?/p>

（2）如圖②,D為AC上一點(diǎn),連接DC并延長(zhǎng)，與4B的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,連接2D,若4D=CD,

NP=30°,求NC4P的大小.

【答案】（1）36°；（2）10°

【分析】（1）連接0C,首先根據(jù)切線的性質(zhì)得到EIC）CP=90。，利用EICAB=27。得到

團(tuán)C0B=2團(tuán)CAB=54。，然后利用直角三角形兩銳角互余即可求得答案；

(2)分另lj證明乙4。0=乙COD,乙OAD=CADO=乙ODC=Z.DCO=50°,再證明4COP=20°,

最后根據(jù)圓周角定理可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖，連接。C.

回。。與PC相切于點(diǎn)C,

WC1PC,即NOCP=90。.

^CAB=27°,

團(tuán)4COB=2Z.CAB=54°.

在RtzkOPC中，Z.P+/.COP=90°,

團(tuán)4P=90°-Z.COP=36°.

(2)如圖，連接0C,。。.

回44。。=乙COD.

回。4=OD=OC,

團(tuán)4。=/-ADO=/-ODC=Z.DCO.

團(tuán)乙P=30°,

^PAD+^LADP=150°.

團(tuán)4OC。=50°.

團(tuán)NCOP=乙DCO一乙P=20°.

^CAP=-/.COP,

2

團(tuán)4cap=io°

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是能夠利用圓的切線垂直于經(jīng)

過(guò)切點(diǎn)的半徑得到直角三角形.

18.（2023下?天津河?xùn)|?九年級(jí)天津市第五十四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在ATIBC中，BC1

AB.2B是O。的弦，AC交。。于點(diǎn)D,且。為4C的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接AE.

（回）如圖①，若NE=50°,求NE4C的大??；

（即如圖②，過(guò)點(diǎn)E作。。的切線，交4C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若CF=2CD,求NC48的大小.

【答案】（EI）NE4C=65°；（EI）NC4B=30°.

【分析1（1）連接ED,由EIABE=90?？傻肁E是回。的直徑,根據(jù)圓周角定理可得EIADE=I3ABE=9O。，

由于AD=DC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE,則!3AED=[aCED=25。，則在直角三角形AED

中，可求得EIEAD的度數(shù)；（2）首先證明三角形AEC是等邊三角形，由于AB0CE,則易求出IBCAB

的度數(shù).

【詳解】解：（助連接DE.

BC1AB,延長(zhǎng)CB交O。于點(diǎn)E,

???AABE=90°.

???AE為O。的直徑.

???^LADE=90°.

又。為力C的中點(diǎn)，

???DE垂直平分4c.

???AE—CE.

???^AED=MED=-AAEC=iX50°=25°.

22

???/.EAC=90°-^AED=90°-25°=65°.

A

D

（助???EF是。。的切線，

又由（助得4E為。。的直徑，

???EF1AE.

???Z,AEF=90°.

。為2C的中點(diǎn)，

AC=2CD.

???CF=2CD,

AC=CF.

???CE=-AF=AC.

2

又由（助得=

AE=CE=AC.

??.△ZCE是等邊三角形.

Z.EAC=60°.

又BCLABf

?-?/.CAB=-Z.EAC=30°.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)的性質(zhì)等知識(shí).

19.（2022上?天津和平?九年級(jí)天津二十中校考期末）如圖，己知等邊△ABC中，AB=12.以

為直徑的半。。與邊4C相交于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)。作DE1BC,垂足為E；過(guò)點(diǎn)E作EF1AB,

垂足為尸，連接DF.

（1）求證：DE是。。的切線;

(2)求EF的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析:

(2)第

【分析】(1)連接。D,證明。DIIBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE1?！?,根據(jù)切線的判定

定理證明結(jié)論；

(2)求出CD=6,進(jìn)而求出CE,即可求出BE,在RtABEF中，根據(jù)勾股定理即可求出.

【詳解】(1)證明：連接0。，

為等邊三角形，

ZTI=Z.C,

v0A=0D,

???Z.A=Z,0DA,

:.匕ODA=Z-C,

??.0D||BC,

vDE1BC,

DE10D,

???。。是o。的半徑，

??.OE是o。的切線；

(2)由(1)知，0D||BC,

v0A=0B,

???AD=CD,

???AC=AB=12,

:.CD=6,

在Rt△COE中，ZC=60°,

???乙CDE=30°,

???CE^-CD=3,

2

BE=BC-CE=12-3=

在RtABEF中，乙B=60°,

???乙BEF=30°,

1Q

???BF=-BE=一，

22

EF=y/BE2-BF2=心—0)2=第.

c

E

AOFB

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、切線的判定、勾股定理、含30度角的直角

三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.

20.（2023上?天津和平?九年級(jí)天津市第十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，回。的直徑AB與弦CD相

交于點(diǎn)E,且DE=CE,00的切線BF與弦AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

（2）若回0的半徑為6,回A=35。，求OBt的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）等

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理、切線的性質(zhì)求出AB團(tuán)CD,AB團(tuán)BF,即可證明;

（2）根據(jù)圓周角定理求出回COD,根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：團(tuán)AB是回。的直徑，DE=CE,

回AB回CD,

團(tuán)BF是回0的切線,

回AB回BF,

0CD0BF；

(2)解：連接OD、0C,

團(tuán)團(tuán)A=35°,

回回BOD=2回A=70°,

團(tuán)團(tuán)COD=2團(tuán)BOD=140°,

1407TX6147r

回/用C的長(zhǎng)為:

1803

A

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握切線的性質(zhì)定理、垂徑定

理和弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

21.（2023上?天津?九年級(jí)天津十四中?？计谀┤鐖D，點(diǎn)C在以A2為直徑的回。上，4。垂

直于過(guò)點(diǎn)C的切線，垂足為D

（1）僅用無(wú)刻度的直尺在圖1中作出的平分線，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)回BA￡）=45°,OC=4時(shí)，

①連接BC,求0ABe的度數(shù)；②扇形AOC的面積（陰影部分）.

【答案】⑴見(jiàn)解析；（2）①67.5。;②18.8.

【分析】（1）連接AC,AC為回BAZ）的平分線，證明，連接。C,利用條件可證得AOBOC,

再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角之間的關(guān)系aDAC=^C4。；

（2）①根據(jù)圓周角定理可求得回COB的度數(shù)，因?yàn)?C=02,從而可以求出0ABC的度數(shù)；

②由①可知EICOB的度數(shù)，從而可求出0Aoe的度數(shù)，扇形AOC的面積=圓的面積x黑，

360

從而求出答案.

【詳解】（1）連接AC,AC為回吐4。的平分線，證明：連接AC,OC,由題意可知：OC0ZJC,

ADSDC,故OCEIDC,i^3\DAC=SOCA,^OC=OA,故團(tuán)OCA=EIOAC,^\DAC=SOAC,EAC

平分EIBA。；

（2）①aaBA￡）=45°,OCSDC,故HBOC=45°,而OC=OB,故回0C2=EI0BC,可得：EL4BC

1

=-x（180°-45°）=67.5°；

2

②故可知EAOC=180°-45°=135°,扇形AOC的面積=71x42、空=6H=18.8.

360°

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的概念、平行線的基本性質(zhì)以及圓周角定理.

22.（2023上?天津河北?九年級(jí)天津十四中?？计谀┮阎狝B是。。的直徑，C是。。上一

點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作o。的切線，交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

⑴如圖，連接AC,BC,若BP=0B,求NP的大小;

⑵若BP=2,CP=4,求力B的長(zhǎng).

【答案】（l）NP=30°

（2）6

【分析】（1）連接。C,根據(jù)等邊對(duì)等角可得AP=NBCP,NOCB=NOBC,根據(jù)三角形的外

角關(guān)系得NOBC=NP+NBCP=2N8CP,最后得到3/BCP=90。，從而計(jì)算得解；

（2）設(shè)OC=OB=x,根據(jù)勾股定理列方程、解方程，利用半徑與直徑的關(guān)系得到4B的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：如圖，連接。C,OC=0B,

???PC是。。的切線，

OC1PC,乙OCP=90°,

BP=OB,

BC—BP—OB,

4P=Z.BCP,Z.OBC=Z.P+乙BCP=2/.BCP,

???OC=0B,

Z.OCB=Z.OBC=2/.BCP,

???AOCP=4OCB+乙BCP=90°,

???342cp=90°,4BCP=30°

???乙P=30°；

(2)解：解：4OCP=90°,

設(shè)。C=OB=x,

???OC2+CP2=OP2,

x2+42=(x+2)2,

解方程得％=3,

AB=20B=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線、勾股定理、等邊對(duì)等角、三角形外角等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)

知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

23.（2022上,天津和平,九年級(jí)天津一中?？计谀髁C內(nèi)接于。。，點(diǎn)。在邊AC上，射

線AO交8。于點(diǎn)E,^AED=^ABC.

⑴如圖1,求證：BDLAC；

（2汝口圖2,當(dāng)13cA時(shí)，求證：AB^AC.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）延長(zhǎng)AE交。。于點(diǎn)F,連接CF,由圓周角定理可得乙4CF=90。，由題意可證

EDWCF,可得EAOB=N4CF=90。，可得結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)AO交8C于由直角三角形的性質(zhì)可得NC4E+NC=90。=乙4MB,由垂徑定

理可得=CM,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】（1）延長(zhǎng)AE交O。于點(diǎn)F,連接CF,

0Z.4CF=9OO,

^\AC—AC,

0ZF=0ABC,

0EIA￡D=0ABC,

0ZF=E1AED,

SEDHCF,

^\ADB=^ACF=9Q°,

麗。1AC；

(2)延長(zhǎng)AO交5。于M,

BD1AC,

???(CBD+ZC=90°,

Z-CAE=乙CBD,

???Z.CAE+ZC=90°=Z,AMB,

AMIBC,且/M過(guò)圓心0,

???BM=MC,且AMIBC,

???AB—AC.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，平行線的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性

質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理以及判定定理是解本題的關(guān)鍵.

24.(2022上?天津南開(kāi)?九年級(jí)南開(kāi)翔宇學(xué)校?？计谀?在△ABC中，ZC=90°,以邊48上

一點(diǎn)。為圓心，。4為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)。，分別交AB,4C于點(diǎn)E,F.

⑴如圖①，連接4D,若NC4D=26。，求NB的大??；

(2)如圖②，若點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，。。的半徑為1,求力B的長(zhǎng).

【答案］⑴NB=38°

(2)AB=3

【分析】(1)連接。。，由在A4BC中，NC=90。，BC是切線，易得。0I4C,即可求得NC4D=

Z-BAD,繼而求得答案；

(2)首先連接。F,0D,由(1)得：O0MC,由點(diǎn)尸為他的中點(diǎn)，易得△ZOF是等邊三角

形，繼而求得答案.

【詳解】(1)解：連接00,如圖1,

圖1

???。4為半徑的圓與相切于點(diǎn)。,

???0D1BC,

??.Z,ODB=90°,

???在中，Z.C=90°,

Z.ODB=Z.C,

???OD\\ACf

???Z-CAD=AADO=26°,

vOA=OD,

??.Z.OAD=2LODA=26°,

???乙BOD=2^OAD=52°,

???乙B=90°一乙BOD=38°；

(2)解：連接。尸，OD,如圖2,

圖2

由(1)得：0DII4C,

/.AFO=Z.FOD,

OA^OF,點(diǎn)F為腦的中點(diǎn)，

Z.A=Z.AFO,Z.AOF=Z.FOD,

：.Z.A=Z.AFO=Z.AOF,

.??△4。尸是等邊三角形,

團(tuán)乙4=60°,

0ZC=90°,

???乙B=90°-Z.A=30°,

團(tuán)。。與相切于點(diǎn)O,

^ODB=90°,

OA=OD=1,

OB=2OD=2,

???ZB=。2+。8=1+2=3.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，直角三角形

的性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

25.(2022上?天津河西?九年級(jí)天津市第四十二中學(xué)?？计谀?如圖，48是。。的直徑，射

線BC交。。于點(diǎn)D￡是劣弧4。上一點(diǎn)，且8E平分"84過(guò)點(diǎn)E作EF18C于點(diǎn)延長(zhǎng)

FE,交B力延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

⑴求證：GF是。。的切線；

(2)若=10,EF=4,求DB的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)6.

【分析】(1)連接。氏根據(jù)角平分線的定義，得到Nl=Z2,再利用半徑相等，得到42=43,

進(jìn)而得到Nl=N3,推出。磯BC,又因?yàn)镋F_LBC,得到。E1GF,即可證明結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。M_L80,證明四邊形OEFM是矩形，得到。M=EF=4,再利用勾股定理

得到BM=3,最后利用垂徑定理即可求出DB的長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：如圖，連接。凡

???BE平分NFB4

???z.1=Z.2,

vOB=OE,

?'?Z.2=43,

???z.1=Z.3,

???OE\\BCf

???EF1BC,

OE±GF,

???點(diǎn)E在。。上，

??.GF是。。的切線;

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)M,

???ZOMF=90°,

???OE1GF,

???Z.OEF=90°,

???EF1BC,

???乙EFM=90°,

???四邊形OEFM是矩形，

??.OM=EF=4,

???48=10,

OB=5,

???BM=y/OB2-OM2=V52-42=3,

???OMLBD,

：.BD=2BM=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)和判定，垂徑定理，矩形的判定和