【課件】新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)43不同函數(shù)增長的差異課件新人教A版必修第一冊

4．4對數(shù)函數(shù)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4．4.3不同函數(shù)增長的差異

[研讀]三種函數(shù)中，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝ax函數(shù)值的增長速度是最快的．

判斷正誤(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?.(1)當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，y增加或減少的量是定值，則y是x的一次函數(shù)． (

)(2)函數(shù)y＝log3x的增長速度越來越慢．(

)(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得x>m時(shí)，1.01x>x10.(

)(4)不存在實(shí)數(shù)m，使得x>m時(shí)，kx>lnx(k>0).(

)√√√×

以下是三個(gè)變量y1，y2，y3隨變量x變化的函數(shù)值表：其中關(guān)于x呈二次函數(shù)變化的變量是______；呈指數(shù)增長的變量是________；呈對數(shù)增長的變量是________．【解析】從表格中可以看出，y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x.所以關(guān)于x呈二次函數(shù)變化的變量是y2；呈指數(shù)增長的變量是y1；呈對數(shù)增長的變量是y3.y2y1y3[規(guī)律方法]常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)：(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點(diǎn)是直

線上升，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)f(x)＝abx＋c(a，b，c為常

數(shù)，a>0，b>1)表達(dá)的函數(shù)模型的增長特點(diǎn)是隨著自變量x的

增大，函數(shù)值增長的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”．(3)對數(shù)函數(shù)模型：能用對數(shù)型函數(shù)f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為

常數(shù)，m>0，x>0，a>1)表達(dá)的函數(shù)模型的增長特點(diǎn)是開始階

段增長得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來越

慢，常稱之為“蝸牛式增長”．(4)冪函數(shù)模型：能用函數(shù)f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，

α≠1)表達(dá)的函數(shù)模型的增長情況由a和α的取值確定．已知函數(shù)y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，在區(qū)間(0，＋∞)上一定存在x0，當(dāng)x>x0時(shí)(

)A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．log2x>2x>x2 D．log2x>x2>2x【解析】由于指數(shù)函數(shù)增長最快，對數(shù)函數(shù)增長最慢，因此當(dāng)x很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)值最大，對數(shù)函數(shù)值最?。丛趨^(qū)間(0，＋∞)上一定存在x0，當(dāng)x>x0時(shí)，2x>x2>log2x，故選A.A

函數(shù)f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的圖象如圖所示，試分別指出各曲線對應(yīng)的函數(shù)，并比較三者的增長差異(以1，e，a，b，c，d為分界點(diǎn)).當(dāng)b<x<c時(shí)，h(x)>g(x)>f(x)；當(dāng)c<x<d時(shí)，h(x)>f(x)>g(x)；函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)指出曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)；(2)比較兩個(gè)函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較).解：(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)>f(x).[規(guī)律方法]由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法：根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．

某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，前三個(gè)月的月生產(chǎn)量依次為100t，120t，130t．為了預(yù)測今后各個(gè)月的生產(chǎn)量，需要以這三個(gè)月的月產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)來模擬月產(chǎn)量y(單位：t)與月序數(shù)x之間的關(guān)系．對此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均為待定系數(shù)，a≠0，x∈N*)或函數(shù)y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均為待定系數(shù)，p≠0，x∈N*)，現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個(gè)月的月產(chǎn)量為137t，則選用這兩個(gè)函數(shù)中的哪一個(gè)作為模擬函數(shù)較好？f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130，g(4)＝－80×0.54＋140＝135.與f(4)相比，g(4)在數(shù)值上更為接近第四個(gè)月的實(shí)際月產(chǎn)量，所以②式作為模擬函數(shù)比①式更好，故選用函數(shù)y＝g(x)＝pqx＋r作為模擬函數(shù)較好．某債券市場發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元；B種面值為50元，半年到期本息和為51.4元；C種面值為100元，但買入價(jià)為97元，一年到期本息和為100元．作為購買者，分析這三種債券的收益，如果只能購買一種債券，你認(rèn)為應(yīng)購買哪種？[規(guī)律方法]建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個(gè)原則：(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素、

主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，

又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論．(3)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型

的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．1．下列函數(shù)中，當(dāng)x不斷增大時(shí)，增長速度最快的是(

)A．y＝2021x B．y＝x2021C．y＝log2021x D．y＝2021x【解析】比較冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快，故選A.A2．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長

到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為(

)【解析】設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.D3．某化工廠2020年12月的產(chǎn)量是2020年1月份產(chǎn)量的n倍，則該

化工廠這一年的月平均增長率是(

)D4．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：下列所給函數(shù)模型較適合的是(

)A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)【解