北京巿通州區(qū)2024-2025學(xué)年高三第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高三第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若復(fù)數(shù)根（m-2）+（根2-3m+2）2?是純虛數(shù)，則實數(shù)機的值為（）

A.0或2B.2C.0D.1或2

2.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）.

M—2MM-2M

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

0

俯視圖

A.2紅史S，且2代仁5B.2立eS，且26cS

C.20eS，且26仁5D.2點eS，且

3.已知數(shù)列｛%｝是公比為q的等比數(shù)列，且%,生，a2成等差數(shù)列，則公比q的值為（）

1一1一1

A.----B.—2C.—1或一D.1或一不

222

2

4.雙曲線％2—二=1的漸近線方程為()

2

A.y=±^~xB?C.y=AX

y=±%±/2D.y=±y/3x

2

(a7i\1

5.已知sin[,+wJ，貝!Isini的值等于()

7227

A.一一B.一一C.-D.-

9999

z?1nYi

6.已知函數(shù)〃x)=「一,若關(guān)于x的方程"(x)f-何?(x)+z=二0有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)加的取值范圍為

XO

()

A-（0,|）B.（0,點）C.D.（*/）

7.若單位向量可夾角為60。，%=檢式，且同=豆，則實數(shù)％=（）

A.-1B.2C.0或一1D.2或一1

8.若復(fù)數(shù)（2a+i）（l+i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上，則實數(shù),為（）

11

A.-2B.2C.一一D.-

22

2222/T

9.已知。>3>0,橢圓G的方程與+==1,雙曲線。2的方程為二-4=1，G和C，的離心率之積為中，則

a-b-a2b~2

C2的漸近線方程為（）

A.x±V2y=0B.42x+y=0C.x+2y=0D.2x±y=0

10.若直線y=—2與曲線y=l+31nx相切，則左=（）

11

A.3B.-C.2D.-

32

11.相傳黃帝時代，在制定樂律時，用“三分損益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音調(diào).如圖的程序是與“三分損

益”結(jié)合的計算過程，若輸入的x的值為1,輸出的x的值為（）

/輸

12.為得到二=sm（2二-三）的圖象，只需要將二=sin：二的圖象（）

A.向左平移二個單位B.向左平移三個單位

C.向右平移二個單位D.向右平移三個單位

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在等差數(shù)列（nGN*）中，若々1=。2+。4，。8=一3，則。20的值是-

14.已知△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，則sin25+2cos5的最小值

為,最大值為.

15.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖，若四棱錐尸-ABCD為

陽馬，側(cè)棱底面ABC。，且叢=3,BC=AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為廠，則

R

2x—y—6<05

16.設(shè)第一象限內(nèi)的點（x,y）滿足約束條件'"八，若目標函數(shù)z=ax+力（a>0,6>0）的最大值為40,則一+

x-y+2>0a

1的最小值為.

b

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（%）=sinox+cos|OX+]其中XGR,<y>0.

（1）當=l時，求的值；

71

（2）當/（X）的最小正周期為萬時，求/Xx）在0,-上的值域.

_4_

18.（12分）在WAA8C中，^ABC=90°.tanNACB.已知E,F分別是BC,AC的中點.將AC即沿所折

2

起，使C到。'的位置且二面角C—跖―5的大小是60。，連接C'8CA,如圖：

(1)證明：平面AFC'，平面ABC'

(2)求平面AFC與平面BEC所成二面角的大小.

19.(12分)如圖，在四棱錐尸-A5CD中，側(cè)面Q4D為等邊三角形，且垂直于底面A3CD,

AB=BC=1,ZBAD=ZABC=900,ZADC=45°，分別是AD,尸。的中點.

(1)證明：平面CA/N//平面RLB；

—.?--

(2)已知點E在棱PC上且CE=§CP,求直線NE與平面PAB所成角的余弦值.

%=3+/cosa

20.(12分)在直角坐標系x0y中，直線/的參數(shù)方程為《'c.a為參數(shù)).以坐標原點為極點，》軸正半

y=2+/sin。

軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為O=2cos8

(1)求直線/和圓C的普通方程;

11

(2)已知直線/上一點M(3,2),若直線/與圓C交于不同兩點A,3,求網(wǎng)+網(wǎng)的取值范圍.

21.(12分)在平面直角坐標系x0y中，已知拋物線C：y2^2px(p>0)的焦點F在直線x+y—1=0上，平行

于x軸的兩條直線位4分別交拋物線C于A,8兩點，交該拋物線的準線于O,E兩點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若b在線段上，尸是OE的中點，證明：AP//EF.

22.(10分)如圖，/6。=90。,8。=。=1,46，平面3。,乙4。3=60。,后,歹分別是4。,40上的動點，且

AE_AF

~AC~~AD'

(1)若平面班/與平面的交線為/,求證：EF//Z；

(2)當平面6ER_L平面ACD時，求平面B跖與5CD平面所成的二面角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

試題分析：因為復(fù)數(shù)機（加一2）+。/—3根+2），是純虛數(shù)，所以加（m―2）=。且加2一3〃?+2/0,因此機=0.注意不

要忽視虛部不為零這一隱含條件.

考點：純虛數(shù)

2.D

【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長度，進一步求出個各棱長.

【詳解】

根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，

如圖所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=26，BE=7（2A/2）2+22=2^.

故選：D.

本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

由a1，a3,a2成等差數(shù)列得2a3=a1+a2,利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.

【詳解】

22

由題意2a3=a1+a2,2a{q=a1q+a1,2q=q+l,；7=1或4=-工

故選：D.

本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練.

4.C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程，即可寫出漸近線方程.

【詳解】

2

???雙曲線爐—匕=1,

2

???雙曲線的漸近線方程為y=±V2x,

故選：C

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.

5.A

【解析】

由余弦公式的二倍角可得，cos(a+^)=l-2sin2R+^U1,再由誘導(dǎo)公式有

cos((z+—)=-sincr,所以sina=一?

29

【詳解】

...由余弦公式的二倍角展開式有

cos(a+—)-1-2sin2[―+—=

又'/cos(tz+—)=-sina

..7

..sintz=——

9

故選：A

本題考查了學(xué)生對二倍角公式的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，屬于簡單題

6.C

【解析】

求導(dǎo)，先求出“X)在xe(0,6)單增，在.(如,+8)單減，且/⑴01ax=/(歷=g知設(shè)了⑴=/,則方程

1

[/(%)]29-時(x)+—=0有4個不同的實數(shù)根等價于方程

8

11

/9—加/+—=0在(0,_)上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.

82

【詳解】

、.尤

依題意，、22xelnx_eQ21nx),

f(x)=

X4X3

令解得

r(x)=O,lnx=g,x=y[e故當X￡(0,6)時，/'(%)>0,

當》€(wěn)(風(fēng),+00),/，(x)<0,且

e2

11

故方程/9-7加+—=0在(0,-)上有兩個不同的實數(shù)根,

82

1

A>0根92―>0

2

〉01m1

故＜-------+—>0

824

0<%+。<1

0<m<1

%>0

解得

故選：C.

本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法:

⑴構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)g(x)(g'(x)易求，g'(x)=O可解)，轉(zhuǎn)化為確定g(x)的零點個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)

的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解;

(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端

點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).

7.D

【解析】

利用向量模的運算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)彳的值.

【詳解】

由于所以a=3＞即(猛-可「=3,22^2-22^-^+^2=22-22-COS600+1=3.即萬一幾一2=0,

解得X=2或4=—1.

故選：D

本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0求得。值.

【詳解】

解：?.?（2a+i）（l+i）=（2a—l）+（2a+l）i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上，

.,.2a-1=0,即a=L

2

故選D.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合G和02的離心率之積為也，即可得。力的關(guān)系，進而得雙曲線的離心率

-2

方程.

【詳解】

2222

橢圓C］的方程\+4=1,雙曲線的方程為——2=1，

abab

則橢圓離心率q=,雙曲線的離心率g立2+修,

J”——2=

aa

由G和c2的離心率之積為立，

一2

anyja2-b2yja2+b2^3

即eg=--------x--------=——'

aa2

解得2=±立，

a2

所以漸近線方程為y=±交x，

-2

化簡可得了土收y=0,

故選：A.

本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

3,3

設(shè)切點為（%,也-2）,對y=l+31nx求導(dǎo)，得到,從而得到切線的斜率上=一,結(jié)合直線方程的點斜式化簡

xxo

得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)切點為（升,為-2）,

3一二左①，

,.?y=—,???<玉）

'b;0-2=1+31nx0（2）,

由①得Ax。=3,

代入②得1+=1,

則無o=1,k=3,

故選A.

該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單

題目.

11.B

【解析】

根據(jù)循環(huán)語句，輸入x=l，執(zhí)行循環(huán)語句即可計算出結(jié)果.

【詳解】

輸入x=l,由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，可得：

第1次循環(huán)：X=-,z=2<4,不滿足判斷條件；

3

Q

第2次循環(huán)：x=—,i=3<4,不滿足判斷條件；

9

3232

第4次循環(huán)：x=—,z=4>4,滿足判斷條件；輸出結(jié)果％=—.

2727

故選：B

本題考查了循環(huán)語句的程序框圖，求輸出的結(jié)果，解答此類題目時結(jié)合循環(huán)的條件進行計算，需要注意跳出循環(huán)的判

定語句，本題較為基礎(chǔ).

12.D

【解析】

v=sin(2x--)=sin[2(x--)]-

試題分析：因為,S6，所以為得到二=sin(2二一口的圖象，只需要將二=血：二的圖象向

右平移三個單位；故選D.

考點：三角函數(shù)的圖像變換.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-15

【解析】

｛4｝是等差數(shù)列，則有=g+%，可得出的值，再由。8=-3可得d,計算即得.

【詳解】

??,數(shù)列｛。“｝是等差數(shù)列，二。1+%=。2+。4，又《!=4+&，，%=°，

:.d=^~|5-=^=-1,故a2。=%+15d=-15.

故答案為：-15

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，也可以由已知條件求出為和公差d,再計算

14.6+13^/3

2

【解析】

2,2_T2

根據(jù)正弦定理可得26=a+c,利用余弦定理cos3=°一以及均值不等式,可得角3的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)

lac

f(B)=sin2B+2cosB,利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)，可得結(jié)果.

【詳解】

由sinA,sin5,sinC成等差數(shù)列

所以2sin5=sinA+sinC

nc

所以=a+c=b=

laclac

c3a2+3c2-lac、6ac-2ac1

化簡可得cosB=---------->---------=-

當且僅當a=c時，取等號

又3€（0,%）,所以Be］。,（

令/（A）usinZB+ZcosB,5e］o,g

則/（B）=2cos2B-2sinB=2-4sin2B-2sinB

/（B）=-2^sinB-|j（sinB+l）

當sinB〉g,即Be［,］時，/（B）＜0

當sinB＜g,即時，/（B）＞0

則/⑶=sin23+2cos5在］o嗜遞增，在［,遞減

所以盤x⑻=/g=sing+2cos"學(xué)

I。/3oz

由/（0）=sin0+2cos0=2,

（乃）.2乃71A/3

t—=sin-----Fzcos—=-----Fl

^3）332

所以九n（8）=C［="+1

所以sin25+2cos3的最小值為3+1

2

最大值為之叵

2

故答案為：走+1,巫

22

本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理，還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點在于根據(jù)余弦定理以及不等式求

出Be］。,。,考驗分析能力以及邏輯思維能力，屬難題.

15.叵

2

【解析】

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，由此能求出/?=巫，內(nèi)切球。1在側(cè)面B4D內(nèi)的正視圖是

2

R

AR4D的內(nèi)切圓，從而內(nèi)切球半徑為廠_|,由此能求出一.

r

【詳解】

???四棱錐尸—A5CD為陽馬，側(cè)棱底面A3CD,

且上4=3,BC=AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為E，

,該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑，

.-.（27?）2=AB2+AD2+AP2=16+16+9=41,

:心叵，

2

???側(cè)棱24,底面ABCD，且底面為正方形，

???內(nèi)切球。1在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是八出。的內(nèi)切圓，

???內(nèi)切球半徑為r=產(chǎn)=1,

故幺回.

r2

故答案為叵.

2

P

本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問題，補形法的運用，以及數(shù)學(xué)文化，考查了空間想象能力，是中檔題.解

決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有

很多，主要有兩種：（1）補形法（構(gòu)造法），通過補形為長方體（正方體），球心位置即為體對角線的中點；（2）外心

垂線法，先找出幾何體中不共線三點構(gòu)成的三角形的外心，再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線，則

球心一定在垂線上.

【解析】

不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，

當直線ax+0y=z(a>0,Z?>0)過直線x-y+2=0與直線2x-y-6=0的交點(8,10)時,

目標函數(shù)z=ax+by(a>0,6>0)取得最大40,即8a+100=40,即4a+56=20,

,51(5l}4a+5b5C5ba)5,9

abb)204^4tz5b)44

當且僅當￥=5■時取等號，

4a5b

519

則一+7的最小值為7.

ab4

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)B(2)--1

212」

【解析】

⑴根據(jù)。=1,得到函數(shù)/(x)=sinx+cos(x+￡,然后，直接求解/(?)的值；

JTJT

(2)首先，化簡函數(shù)/(x)=sin(ox+g),然后，結(jié)合周期公式，得到0=2,再結(jié)合xe0,-,及正弦函數(shù)的性

質(zhì)解答即可.

【詳解】

(1)因為0=1,所以/(x)=sinx+cos

(2)因為/(x)=sin(ox+cos?x+—

I6

.7C.71

-sincox+coscoxcos----sincoxsin—

66

22

=sin(DX+—

I3

即/W=sin[0x+g

2〃

因為T=——="，所以。二2

G)

所以/(x)=sin襄x+g

秒3

jr

因為工￡0,—

_4

~,八?！浮??

所以

3|_3o

所以當x=0時，以Q力.當x=2時，/(幻=1(最大值)

J212

7C1

當兀=:時，/(%)=-

42

nTTTT

/(元)在0,—是增函數(shù)，在—是減函數(shù).

L12J1124j

???/(x)的值域是1,1.

本題主要考查了簡單角的三角函數(shù)值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考

查了運算求解能力，屬于中檔題.

18.(1)證明見解析(2)45°

【解析】

(1)設(shè)AC'的中點為G,連接尸G,設(shè)的中點為〃，連接GH,EH,從而N5EC'即為二面角。'一防―5的

平面角，ZBEC=60°，推導(dǎo)出從而即，平面BEC',則ABLE",即石進而即■，平

面ABC',推導(dǎo)四邊形EHGR為平行四邊形，從而FG〃EH,產(chǎn)G,平面ABC',由此即可得證.

(2)以B為原點，在平面BEC'中過B作8E的垂線為x軸，BE為y軸，冊為z軸建立空間直角坐標系，利用向量

法求出平面AFC與平面BEC'所成二面角的大小.

【詳解】

(1):產(chǎn)是AC的中點，??.AE=C'E.

設(shè)AC'的中點為G,連接尸G.

設(shè)BC'的中點為連接GH,EH.

易證：CE±EF,BEVEF,

ZBEC即為二面角C—跖―3的平面角.

ZBEC=60°;而E為的中點.

易知BE=EC',...ABEC'為等邊三角形，???①

?/EF±CE,EFLBE，。石門3￡=E，EEL平面BEC'.

而EF〃AB,，AB,平面BEC,ABLEW,即②

由①②，3C'nAB=3,平面ASC'.

,:G,H分別為AC,3C的中點.

.??四邊形EHGb為平行四邊形.

AFG//EH,FG，平面ABC',又FGu平面AFC'.

平面AFC'，平面ABC.

(2)如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)A3=2.

則A(0,0,2),8(0,0,0),F(2,0,l),E(2,0,0),C(1,73,0)

顯然平面BEC的法向量沆=(0,0,1),

設(shè)平面AEC'的法向量為為=(x,y,z),AC=(1,43,-2),AF=(2,0,-1),

2x-z=0/、

：.\r-，工萬=1,。3,2.

x+y/3y-2z=0、'

__fh-ii\[2

cosm,n=----=——，

|m|-|n|2

由圖形觀察可知，平面AFC與平面BEC所成的二面角的平面角為銳角.

平面AFC'與平面所成的二面角大小為45。.

本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通?？刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進行

求解.

19.(1)證明見解析；(2)—.

2

【解析】

(1)由平面幾何知識可得出四邊形ABCM是平行四邊形，可得CM//AB〃面R43,再由面面平行的判定

可證得面面平行；

(2)由(1)可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標系，可求得面研8的法向量，再運用線面角的向量

求法，可求得直線NE與平面R45所成角的余弦值.

【詳解】

(1)?.?N5AZ)=ZA5C=90°，..AD/ABC,又ZAOC=45°，AB=BC=1,:.AD=2,

而Af、N分別是AD、PD的中點，.1MN/ARA,故MV//面PLB,

又40//6。且40=3。，故四邊形A3CM是平行四邊形,二。以//48n。0//面7^5,

又MN,CM是面CMN內(nèi)的兩條相交直線，故面Q0N//面R43.

(2)由(1)可知，兩兩垂直，故建系如圖所示，則

A(0,-l,0),B(l,-l,0),C(l,0,0),D(0,l,0),P(0,0,6),N(0,；與,

AB=(1,0,0),PA=(0,-1,-,-：CE=^CP,:.E和孚)...屜=(?今，

JQ——Q

設(shè)“=(X,y,z)是平面出8的法向量＜廠,

=走,

一y

本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.

,,27711＜逑

20.(1)xsin(z-_ycos(z+2cosa-3sin(z=0,%2+y2-2x=0；(2)?〈

7

【解析】

p2=%2+y1

分析：(1)用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程，由公式可化極坐標方程為直角坐標方程;

pCOS0=X

(2)把直線/的參數(shù)方程代入曲線。的直角坐標方程，其中參數(shù)/的絕對值表示直線上對應(yīng)點到〃的距離，因此有

11

|M4|=同，I網(wǎng)=%卜,直接由韋達定理可得西+網(wǎng)，注意到直線與圓相交，因此判別式＞0,這樣可得a滿足

11

的不等關(guān)系，由此可求得阿的取值范圍.

x=3+tcosa

詳解：(1)直線/的參數(shù)方程為《

y=2+tsina'

普通方程為xsintz-ycosoc+2cosc-3sina=0,

將夕=G+Jcos。=二代入圓。的極坐標方程p=2cos，中,

P

可得圓的普通方程為V+V-2x=0,

%=3+tcosa

(2)解：直線/的參數(shù)方程為《代入圓的方程為爐+y2—2%=。可得:

y=2+tsina

r+(4cosa+4sina"+7=0(*),

且由題意tx+t2=-4(coscif+sincr),64=7,

11_\MA\+\MB\=,+』=4]?

\MB\~\MA\-\MB\-皿-711-

因為方程(*)有兩個不同的實根，所以△=16(cosa+sino)2-28>0,

即|sina+coscrl>，

112

又sina+cos。=

所以卜ina+cosa|

,所以472

因為卜ina+cosa|gkina+cosa|歸￡沔,

1,1/4夜

\MA\\MB\~7

點睛：(1)參數(shù)方程化為普通方程，一般用消參數(shù)法,而消參法有兩種選擇:一是代入法，二是用公式cos?o+sii?。=1；

x=pcos3

(2)極坐標方程與直角坐標方程互化一般利用公式I>二Psin。；

x2+y2=2p

JQ—x+1cosa

(3)過P(%,%)的直線/的參數(shù)方程為°.(，為參數(shù))中參數(shù)/具有幾何意義：直線上任一點”對應(yīng)

y=%+%sm。

參數(shù)/,則

21.(1)y2=4x；(2)見解析

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的焦點在直線x+y-1=。上，可求得。的值，從而求得拋物線的方程;

(2)法一：設(shè)直線4，6的方程分別為丁=。和J=匕且。W0，b^O,a'b,可得A，B,D,E的坐標，進而

可得直線A3的方程，根據(jù)尸在直線A3上，可得ab=T,再分別求得您?，k■EF>即可得證；法二：設(shè)A(%,yJ,

5(%,%)，則根據(jù)直線A5的斜率不為0,設(shè)出直線的方程為％—1=沖，聯(lián)立直線和拋

物線C的方程，結(jié)合韋達定理，分別求出左"，左EF，化簡左AP—左EF，即可得證.

【詳解】

(1)拋物線C的焦點廠坐標為［々刀］,且該點在直線x+y-1=0上，

所以—1=0,解得。=2,故所求拋物線C的方程為V=4x

/2A

(2)法一：由點尸在線段AB上，可設(shè)直線/r4的方程分別為丁=。和丁=人且a/0,b刈，出b,則Aga,

I4y

(12、

B—,b,_D(—l,a),E(-1,b).

、4

_b-a(a1、

a2

..?直線AB的方程為＞~b4J，即4x—(a+b)y+ab-Q.

4-4

又點歹(1,0)在線段AB上，=

；產(chǎn)是OE的中點，,

a+b4

ci〃+o44

?k=_____2_=___Q-=-h——?

..a2,—/+「/超=V=_=

k'

—+1-2-2aAP

42

由于AP,所不重合，所以AP//EF

法二：設(shè)B(x2,y2),貝ijp11,

當直線AB的斜率為0時，不符合題意，故可設(shè)直線A6白勺方程為1—1=加丁

x-l=myc

聯(lián)立直線AB和拋物線C的方程《，，得丁―4口y-4=0

y~=4x

,k，一;(%十%)—…,k-

又%,為為該方程兩根，所以％+%=4m,％%=-4

AP2

~x1+l2(x1+l)-

%—4%

k_k二X_%+%(=+1)必+%\X+%4X+4kEF=kA