廣東省深圳市某中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

南實(shí)集團(tuán)麒麟中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期開(kāi)學(xué)考試

九年級(jí)數(shù)學(xué)試題2024年9月

注意事項(xiàng)：

1.全卷共4頁(yè).

2.考試時(shí)間為90分鐘，滿分100分.

3.答題時(shí)，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)、考號(hào)、考試科目、試卷類(lèi)型用2B鉛筆填涂在答題卡上，

并用黑色簽字筆填寫(xiě)相應(yīng)信息.請(qǐng)考生按要求在答題卷規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷

上答題一律無(wú)效.

第I卷（選擇題共24分）

一、選擇題（8小題，每小題3分，共24分）

1.下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（）

2a2aa+ba2-ab

A.---B.—C.—3------yD.—

3a~b4ba~+b~a"-b2

2.已知關(guān)于x的一元二次方程機(jī)/-4x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則加的取值范圍是（）

A.m>—2B.m>—2C.機(jī)N-2且加w0D.機(jī)>一2且機(jī)/0

3.下列說(shuō)法：①四邊相等的四邊形一定是菱形；②順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形；③對(duì)

角線相等的四邊形一定是矩形④經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩

部分.其中正確的有（）個(gè).

A.4B.3C.2D.1

4.在4x4的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4民。均為小正方形的頂點(diǎn)，老師要求同學(xué)們作邊NC上的高.現(xiàn)有的工具

只有無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，兩同學(xué)提供了如下兩種方案，對(duì)于方案I,n,下列說(shuō)法正確的是（）

方案II

①以點(diǎn)5為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)、D,E；①按如圖方式取點(diǎn)尸，點(diǎn)尸為小正方形的頂點(diǎn)；

②連接AP交邊/C于點(diǎn)。.8。即為所求.BG

②分別以點(diǎn)2E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩

即為所求.

弧交于點(diǎn)尸；

③連接5廠，交邊NC于點(diǎn)G.

A.i可行、ii不可行B.i不可行、n可行c.I、ii都可行D.I、n都不可行

5.某個(gè)正六邊形螺帽需要擰4圈才能擰緊，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)扳手的手柄來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)螺帽（如

圖所示）.以此方式把這個(gè)螺帽擰緊，他一共需要轉(zhuǎn)動(dòng)扳手的次數(shù)是（）

A.4B.16C.24D.32

6.若平行四邊形的一邊長(zhǎng)為8cm,一條對(duì)角線的長(zhǎng)為6cm,則另一條對(duì)角線長(zhǎng)X的取值范圍為（）

A.2cm<x<14cmB.5cm<x<11cmC.10cm<x<22cmD.4cm<x<28cm

7.如圖，在平行四邊形紙片48co中，對(duì)角線NC與8。相交于點(diǎn)瓦NAE5：二45。,50=4,將紙片沿對(duì)角

線NC對(duì)折，使得點(diǎn)8落在點(diǎn)8'的位置，連接￡■',則。8'的長(zhǎng)為（）

BC尸---------C

A.272B.2GC.472D.V5

8.如圖，在正方形48c。中，￡是邊40中點(diǎn)，尸是邊48上一動(dòng)點(diǎn)，G是所延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

GF=EF.若40=4,則￡6?+。62的最小值為（）

AED

BC

A.52B.60C.68D.76

第H卷（非選擇題共76分）

二、填空題（5小題，每小題3分，共15分）

V2-1

9.已知分式/、/、，當(dāng)》=___________時(shí)，分式的值為0.

（x-2）（1）

:加x+2相交于點(diǎn)Z1-1?，-1]

10.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)5（-4,0）的直線y=左％+6與直線歹二

則不等式加工+2<kx+b<0的解集為.

11.對(duì)于實(shí)數(shù)加、n,定義運(yùn)算"※"：加※〃=機(jī)〃+例如，4^2=4x2x（4+2）=48.若西,》2

是關(guān)于x的一元二次方程5x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則項(xiàng)※/=.

12.如圖，△48C中，8c=10,ZC—48=4,40是/氏4c的平分線，CDVAD,則△ADC面積的最

大值為?

13.如圖，在△48C中，NC=90°,Z8=4,8C=2,￡＞是48的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊NC上，將34DE沿DE

翻折，使點(diǎn)4落在點(diǎn)H處，連接//'、A'B,當(dāng)△///是等腰直角三角形時(shí)，43的長(zhǎng)為.

三、解答題（本大題有7題，其中14題10分，15題6分，16題8分，17題8分，18題8分,

19題9分，20題12分，共61分）

14.用指定方法解下列方程：

（1）2/—5x+l=0（公式法）;

（2）x2-8x+1=0（配方法）.

（2_A\24,

15.先化簡(jiǎn)，再求值：-^―---------——且a的值滿足〃+2。—8=0.

、a—4a+4a—2ja—2

16.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

△48C的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

(1)將LABC向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到△44G，請(qǐng)畫(huà)出△451G；

(2)畫(huà)出△4名。］關(guān)于點(diǎn)o的中心對(duì)稱(chēng)圖形△4與。?；

(3)若將△4BC繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△a&C2，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為；

(4)以4民。,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形且點(diǎn)。是歹軸上一點(diǎn)，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是

17.如圖，將Y48C。的邊延長(zhǎng)至點(diǎn)￡,使AB=BE,連接。瓦EC,QE交于點(diǎn)O.

(1)求證：LABDm4BEC；

(2)連接BD,若NBOD=2NA,求證：四邊形8EC。是矩形.

18.三星堆遺址被稱(chēng)為20世紀(jì)人類(lèi)最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，昭示了長(zhǎng)江流域與黃河流域一樣，同屬中華文明

的母體，被譽(yù)為“長(zhǎng)江文明之源”.為更好的傳承和宣傳三星堆文化，三星堆文創(chuàng)館一次次打破了自身限定，

讓文創(chuàng)產(chǎn)品充滿創(chuàng)意.已知文創(chuàng)產(chǎn)品“青銅鳥(niǎo)文創(chuàng)水杯”有48兩個(gè)系列，Z系列產(chǎn)品比5系列產(chǎn)品的售價(jià)

低5元，100元購(gòu)買(mǎi)Z系列產(chǎn)品的數(shù)量與150元購(gòu)買(mǎi)5系列產(chǎn)品的數(shù)量相等.按定價(jià)銷(xiāo)售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)B

系列產(chǎn)品按定價(jià)銷(xiāo)售，每天可以賣(mài)50件，若8系列產(chǎn)品每降1元，則每天可以多賣(mài)10件.

(1)4系列產(chǎn)品和5系列產(chǎn)品的單價(jià)各是多少？

(2)為了使8系列產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售額為960元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求8系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定

為多少元/件？

19.探究不同長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與面積的關(guān)系

【項(xiàng)目化情境與問(wèn)題】

某學(xué)習(xí)小組在一次參觀畫(huà)展時(shí)，一同學(xué)發(fā)現(xiàn)作品甲的邊框是矩形，它的長(zhǎng)、寬、周長(zhǎng)C和面積S分別如圖所

示.根據(jù)以上，這個(gè)同學(xué)提出一個(gè)有趣問(wèn)題，任意給定一個(gè)矩形/,是否存在另一個(gè)矩形8,它的周長(zhǎng)和面

積分別是已知矩形A周長(zhǎng)和面積的工，即或=邑=」是否成立？

2Q5力2

24

C甲專(zhuān)6

4甲

S甲=96

【項(xiàng)目支架與探究】

為了進(jìn)一步深入探究提出的問(wèn)題，小組成員對(duì)任務(wù)進(jìn)行了如下分解，先從最簡(jiǎn)單情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后

猜想得出結(jié)論.

探研究小組成員研究過(guò)后得知一定存在作品乙的矩形邊框與原作品甲的矩形邊框滿足

究1特殊

J=相=L,則0=__________;S乙=___________.設(shè)作品乙的矩形邊框的長(zhǎng)為x,

情況Q邑2乙

寬為y,貝!Jx=__________；y=___________.

探研%在探究1得到作品乙的矩形邊框數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究，是否存在作品丙的矩

究特殊

2形邊框是作品乙的矩形邊框周長(zhǎng)和面積的使得金=良=!仍然成立？若存在，

情況2QS，2

請(qǐng)求出作品丙的矩形邊框的長(zhǎng)和寬.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【項(xiàng)目成果】

任意給定一個(gè)矩形4,長(zhǎng)為加，寬為1（加〉1）,若一定存在另一個(gè)矩形5,滿足￡2=還=4，則加的最

QS42

小值是.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)幺（2刀），點(diǎn)8（0,6）,點(diǎn)。（—6,0）,以48、4D為邊作Y4BCD,點(diǎn)E

為5c中點(diǎn)，連接DE、AE.

備用圖

（1）分別求出線段4E和線段所在直線解析式；

（2）點(diǎn)尸為線段ZE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)尸的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸，設(shè)點(diǎn)尸橫坐標(biāo)為a,用含a的代數(shù)

式表示點(diǎn)尸的坐標(biāo)（不用寫(xiě)出a的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，

①當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到△/￡>￡的邊上時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

②M為尸E中點(diǎn)，N為PA中點(diǎn)、,連接〃尸、版.請(qǐng)利用備用圖探究，直接寫(xiě)出在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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九年級(jí)數(shù)學(xué)試題

參考答案與試題解析

1.C.2.D.3.C.4.C.

5.C

解：根據(jù)題意的擰1圈需要轉(zhuǎn)動(dòng)6次，

???正六邊形螺帽需要擰4圈才能擰緊，

.??他一共需要轉(zhuǎn)動(dòng)扳手的次數(shù)是4x6=24（次），

6.C.

7.A

解：由折疊的性質(zhì)可得，入4BE咨AAB'E,

ZBEA=ZB'EA

???ZAEB=45°

ZBEB'=90°

ZDEB'=90°

?；BD=4,四邊形48C。是平行四邊形，

ED=B'E=2,

B'D=2V2,

8.B

解：過(guò)點(diǎn)G作。于〃，過(guò)G作交D4的延長(zhǎng)線于交直的延長(zhǎng)線于N,如圖:

設(shè)AF=x,

?.?四邊形4BC。為正方形，/。=4,點(diǎn)E為4。的中點(diǎn)，

AB=AD=BC=4,ZBAD=ZABC=90°,AE=DE=2,

ZMAB=ZNBA=90°,

又MN〃AB,GHLAB,

NM=NN=90°,AGHA=ZGHB=90°

四邊形AHGM和四邊形BHGN均為矩形，

AGHF=ZEAF=90°,

NGHF=NEAF=90°

在XHGF和AAEF中，JZHF=ZAFE,

GF=EF

￡\HGF^/\AEF(AAS),

:.GH=AE=2,HF=AF=x,

MG=AH=2x,AM=GH=NB=2,

NG=BH=AB-AH=4-2x,

在Rt^EMG中，MG=2x,ME=AM+AE=4,

由勾股定理得：EG-=MG2+ME-=4x2+16,

在RtZ\CGN中，NG=4-2X,CN=BC+NB=6,

由勾股定理得：CG2=NG2+CN2=(4—2x)2+36=4x2—16》+52,

EG2+CG~=8X2-16X+68=8(X-I)2+60,

8(x-l)2>0,

.-.8(X-1)2+60>60,

EG"+CG2>60,

EG?+CG?的最小值為60.

9.-1?.10.-4,<x<——3.

2

11.20解：?.?西,》2是關(guān)于x的一元二次方程/一5%+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

匹+%2=5,再％2=4

%※=玉％2(玉+)=4x5=20

12.10

解：如圖：延長(zhǎng)4民。。交點(diǎn)于￡,

?/4D平分NA4C,

A

By-\----------^r

/j—D

E

/CAD=ZEAD

?.?CD±AD

/ADC=/ADE=90°

'/ADE=/ADC

在△4?！旰?/。。中，1AD=AD,

ZEAD=/CAD

AADE^AADC(ASA),

,\AC=AE,DE=CD,

:.BE=AC-AB=AE-AB=4,

?.?DE=DC,

一SgDC~2SgEC，

???當(dāng)時(shí)，面積最大，

即SaBDC最大面積=%><gxio><4=10,

13.V6+A/2.

解：如圖1,由折疊得，DA=DA"

?.?。是48的中點(diǎn)，

DA=DB=DA',

：./\AA'B是RtAV,且ZAA'B=90°,

MAAE是等腰直角三角形，

EA=EA',ZEA'A=ZEAA'=45°,ZAEA'=90°,

AEAB=90°-45°=45°,

ZC=90°,

BC//EA',

過(guò)點(diǎn)8作垂足為M,則BC=ME=2,8M=EC,

在Rt^ABC中，AC=A/42-22=273,

設(shè)EC=x,則W=HW=x,/'E=x+2,ZE=2G—x,

因出S有x+2=2A/3-x,

解得x=G—1,

在RtZXHW中，AB=?BM=6（也-，=仇-6,

如圖2,由題意得，HEC戶(hù)是矩形，△Z'B尸是等腰直角三角形,

設(shè)EC=x,則4E=AE=2乒x,CF=BF-BC=x-2,

因止匕有x—2=2Vs—x,

解得x=6+1,

在RtZXHB尸中，A'B=41EC=V2（V3+1）=76+72,

14.解：（1）2%2—5x+1=0,

?：a=2,b=-5,c=1,

A=Z?2—4ac=（—5）2—4x2x1=17>0,

5±V175±V17

/.x=---------=----------

2x24

5+V175-V17

X]=---,x2=---

（2）x~—8x+1=0,

-8x=-1,

x2—8x+16=-1+16,

(x-4>=15,

x—4=±VL5,

x-4=V15或x—4=-V15,

=

%]=4+Jl5,x24—Jl5.

(Q+2)(a2)aa—2

15.解：原式=

("2)2a—2Q(Q+2)

Q+2aQ—2

a—2a—2Q(Q+2)

2a—2

a-2Q(Q+2)

2

a2+2。

a?+2cl—8—0,

a?+2cl=8，

?.?原式=2=工.

84

16.解：(1)如圖，△4月。1即為所求;

(2)如圖，△4與。2即為所求;

（3）旋轉(zhuǎn)中心"的坐標(biāo)為（一3,0）；

（4）點(diǎn)。的坐標(biāo)是（0,6）.

17.證明：（1）在平行四邊形4BCD中，AD=BC,AB=CD,AB//CD,則

又AB=BE,

BE=DC,

：.四邊形BEC。為平行四邊形，

BD=EC.

.,.在△48。與△5EC中，

AB=BE

<BD=EC

AD=BC

:.△4BD0ABEC（SSS）

（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則?！?gt;=0E,0C=08.

四邊形ABCD為平行四邊形，

ZA=/BCD，即乙4=AOCD.

又ZBOD=2ZA,ZBOD=ZOCD+ZODC,

ZOCD=ZODC,

OC=OD,

:.OC+OB=OD+OE,即=

平行四邊形5ECZ）為矩形.

E

18.解：（1）設(shè)4系列產(chǎn)品的單價(jià)是x元/件，則5系列產(chǎn)品的單價(jià)是（x+5）元/件,

150

根據(jù)題意得：—

Xx+5

解得：x=10,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是所列方程的解，且符合題意,

/.x+5=10+5=15（元）.

答：4系列產(chǎn)品的單價(jià)是10元/件，B系列產(chǎn)品的單價(jià)是15元/件;

(2)設(shè)8系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為p元/件，則每天可以賣(mài)50+10(15-y)=(200-10y)件，

根據(jù)題意得：j(200-10v)=960,

整理得：/-20v+96=0,

解得：必=8,先=12,

又：要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，

y=8?

答：8系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為8元/件.

19.解：探究1：C甲=56,S甲=96,

...。乙=28,5乙=48,

???設(shè)長(zhǎng)方形乙的長(zhǎng)為x,寬為

2(x+y)=28,砂=48,

x+y-14,即x=14-y,

代入xy=48得：(14-j=48,

解得y=6或y=8(不合題意，舍去)，

x=8；

故答案為：28；48；8；6；

探究2：不存在作品丙的矩形邊框是作品乙的矩形邊框周長(zhǎng)和面積的工，使得％=鼠=!仍然成立；理由

2Q52

如下：

要使分'成立，

c乙s乙2

.cC728S48

則C丙=3=5=14,S丙=57=5=24，

設(shè)長(zhǎng)方形丙兩條鄰邊長(zhǎng)分別為a和7-a,

S丙=a,(7-a)=-a~+7a=24,

A=62-4ac=72-4x(-l)x(-24)=-47<0,

方程無(wú)解,

???不存在;

7m+1

c+a------

2

【項(xiàng)目成果】設(shè)長(zhǎng)方形5的兩邊長(zhǎng)分別為C,d則：《

7m

cd——

2

消去d得：2c2-(m+l)c+m=0,

/.A=62-4ac=[一(加+1)]2-4x2xm>0,

解得m<3-2A/2或冽23+2A/2,

*/m>1

/.m的最小值為3+2V2，

故答案為：3+2后.

20.解：（1）???/（2,0）,。（一6,0）,

/.AD=8,

?.?四邊形為平行四邊形，8（0,6）,

.-.C（-8,6）,

?.?點(diǎn)￡為5C的中點(diǎn)，

，￡（-4,6）,

設(shè)AE所在直線的解析式為y=klx+bl,

2kl+4=0

把/（2,0）,￡（—4,6）代入得，,

—4左1+A=6

k——\

解得<1}

匠2

AE所在直線的解析式為y=—x+2；

設(shè)DE所在直線解析式為y=k2x+b2,

_6k2+<=°

把點(diǎn)。（一6,0）,￡（-4,6）代入得，＜

—4k2+年=6

后2=3

解得《

也=18'

DE所在直線解析式為y=3x+18.

(2)所在直線的解析式為y=—x+2,點(diǎn)尸橫坐標(biāo)為a,

點(diǎn)P(a,—a+2),

設(shè)點(diǎn),

?.?點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)尸的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8(0,6),

〃」

?.?ci—__+0,a°十?/2—+6，

22

整理得：X]=2a,%=-2。-2.F(2a,-2a-2)

(3)①當(dāng)點(diǎn)尸在4D上時(shí)，

:點(diǎn)尸在4D上,

:.—2d—2=0,

解得〃=—1,

.?.尸(-1,3)；

當(dāng)點(diǎn)尸在。E上時(shí)，

vF(2a,-2a-2),且尸在DE上,

—2a—2=3x2a+18,

解得a=-2,

2

y

CEB

綜上，尸(—1,3)或尸

②???幺（2,0