人教版八年級(jí)數(shù)學(xué) 12.3角的平分線的性質(zhì)（學(xué)習(xí)、上課課件）

12.3角的平分線的性質(zhì)第十二章全等三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2作已知角的平分線角的平分線的性質(zhì)證明幾何命題的一般步驟角的平分線的判定三角形的角平分線的性質(zhì)(拓展點(diǎn))1.角的平分線的作法(1)折疊法：將已知角折疊，使角的兩邊重合，折痕就是角的平分線所在的直線.(2)度量法：用量角器度量已知角的度數(shù)，并除以2，再用量角器畫(huà)出這個(gè)角的平分線.(3)尺規(guī)作圖法：保留作圖痕跡，并指出結(jié)論.知識(shí)點(diǎn)作已知角的平分線1知1－講2.尺規(guī)作圖步驟與圖示已知：∠AOB.求作：∠AOB

的平分線.作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.知1－講

知1－講(3)畫(huà)射線OC.射線OC

即為所求(如圖12.3-1).2.“畫(huà)射線OC”不能敘述為“連接OC”，因?yàn)榻瞧椒志€是射線而不是線段.3.用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線，實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用“SSS”構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，找出平分一個(gè)角的射線.知1－講證明：根據(jù)前兩步作法可知OM=ON，CM=CN.在△OMC和△ONC中，OM=ON，CM=CN，OC=OC，∴△

OMC≌△ONC(SSS).∴∠AOC=∠BOC.知1－講

例1解題秘方：利用尺規(guī)作圖作兩次角平分線即可.知1－練

知1－練1-1.已知：∠AOB，如圖所示，求作：∠AOB的鄰補(bǔ)角的平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)知1－練解：如圖，射線OP即為所求．(答案不唯一)知1－練1.性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角的平分線的性質(zhì)的兩個(gè)必要條件(1)點(diǎn)在角平分線上；(2)這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離即點(diǎn)到角兩邊的垂線段的長(zhǎng)度.兩者缺一不可.知識(shí)點(diǎn)角的平分線的性質(zhì)2知2－講2.幾何語(yǔ)言：如圖12.3-3，∵OP

平分∠AOB，PE⊥OA

于點(diǎn)E，PF⊥OB

于點(diǎn)F，∴PE=PF.只要符合基本模型，直接得出結(jié)論不需要證全等知2－講特別解讀1.角的平分線的性質(zhì)是由兩個(gè)條件(角平分線，垂線)得到一個(gè)結(jié)論(線段相等).2.利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等時(shí)，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”，如圖12.3-4①所示，而不是“垂直于角平分線的線段”，如圖12.3-4②所示.知2－講如圖12.3-5，OD平分∠EOF，在OE，OF

上分別取點(diǎn)A，B，使OA=OB，P為OD

上一點(diǎn)，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM=PN.例2解題秘方：在圖中找出符合角的平分線的性質(zhì)的模型，利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等.知2－練證明：∵OD

平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD.在△BOD

和△AOD

中，∴△BOD≌△AOD(SAS).∴∠BDO=∠ADO，即DO

平分∠BDA.又∵

P為DO

上一點(diǎn)，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN.OB=OA，∠BOD=∠AOD，OD=OD，知2－練2-1.如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，點(diǎn)E，D

分別為垂足，CF=CB．求證：BE=FD．知2－練知2－練如圖12.3-6，在△ABC

中，∠C=90°，AD

平分∠CAB，BD=2CD，點(diǎn)D到AB

的距離為5.6cm，求BC

的長(zhǎng).例3解題秘方：依據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BD

的長(zhǎng)，依據(jù)BC=CD＋BD即可得出結(jié)論.知2－練解：如圖12.3-6，過(guò)點(diǎn)D

作DE⊥AB

于點(diǎn)E.∵∠C=90°，AD

平分∠CAB，點(diǎn)D

到AB

的距離為5.6cm，∴

CD=DE=5

.6cm.又∵BD=2CD，∴BD=2×5.6=11.2(cm).∴BC=CD＋BD=5.6＋11.2=16.8(cm).知2－練

C知2－練如圖12.3-7，在△ABC

中，AD

是∠BAC

的平分線，DE⊥AB

于點(diǎn)E，DF⊥AC

于點(diǎn)F，△ABC

的面積是225cm2，AB=28cm，AC=17cm，求DE

的長(zhǎng)．例4解題秘方：緊扣總面積等于各部分面積的和求解.知2－練

知2－練4-1.[中考·湖州]如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，BD

平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，則四邊形ABCD的面積是()A.24 B.30C.36 D.42B知2－練如圖12.3-8，在△ABC

中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E.若AB=8cm，求△DEB

的周長(zhǎng).例5知2－練思路引導(dǎo)：知2－練解：在△ABC

中，∠C=90°，∴DC⊥AC.又∵DE⊥AB，AD

平分∠CAB，∴

DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED

中，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC.∴△DEB

的周長(zhǎng)=DE＋DB＋EB=DC＋DB＋EB=BC＋EB=AE＋EB=AB=8cm.AD=AD，DC=DE，知2－練5-1.如圖，已知△

ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC

交BC

于D，DE⊥AB

于E，點(diǎn)F在AC

上，且BD=FD.求證：AE－BE=AF．知2－練知2－練知2－練1.證明一個(gè)幾何命題的一般步驟(1)明確命題中的已知和求證；(2)根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；(3)經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過(guò)程.已知：命題中的題設(shè)部分；求證：命題中的結(jié)論部分知識(shí)點(diǎn)證明幾何命題的一般步驟3知3－講2.推理證明中常見(jiàn)的分析方法(1)綜合法：從已知條件入手，根據(jù)已學(xué)過(guò)的定義、定理、全等的判定方法等，逐步推出要證的結(jié)論.(2)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已學(xué)過(guò)的定義、定理、全等的判定方法等，尋找使結(jié)論成立所需的條件，這樣一步步逆推，一直追溯到結(jié)論成立的條件與已知條件吻合.知3－講(3)“兩頭湊”的方法：分別從已知條件和結(jié)論入手，當(dāng)從已知條件推導(dǎo)出的結(jié)論與從結(jié)論倒推出所需的條件相吻合時(shí)，問(wèn)題可得證.知3－講特別提醒1.證明一個(gè)命題的步驟不是固定不變的，要根據(jù)題目的情況而定，但是總體必須是完整的，并且證明的過(guò)程必須“步步有據(jù)”.2.證明幾何命題所畫(huà)圖形應(yīng)符合題意，并具有一般性和代表性.在畫(huà)圖時(shí)，要考慮是否存在不同的情形，若存在，則要分別畫(huà)出圖形，再分別證明.知3－講求證：兩角和其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.解題秘方：為了便于分清命題中的已知和求證，可以將命題改寫成“如果……那么……”或“若……則……”的形式.根據(jù)命題的題設(shè)結(jié)合圖形寫出已知，根據(jù)命題的結(jié)論結(jié)合圖形寫出求證.例6知3－練解：已知：如圖12.3-9，在△

ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分別為∠BAC，∠B′A′C′的平分線，且∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，AD=A′D′.知3－練求證：△ABC≌△A′B′C′

∠B=∠B′，∠1=∠2，AD=A′D′，知3－練在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).∠B=∠B′，AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′，知3－練6-1.命題：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高相等.(1)寫成“如果??，那么??”的形式：________________________________________________________________；如果兩條線段是一對(duì)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高，那么這兩條線段相等知3－練(2)根據(jù)所給圖形寫出已知、求證和證明過(guò)程.解：已知：如題圖，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′.求證：AD＝A′D′.證明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′.∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.知3－練知3－練6-2.求證：三角形一邊的兩端到這條邊的中線所在直線的距離相等.解：已知：如圖，AD為△ABC的BC邊上的中線，且CF⊥AD于點(diǎn)F，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.知3－練求證：BE＝CF.證明：∵AD為△ABC的BC邊上的中線，∴BD＝CD.∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠E＝∠CFD＝90°.知3－練知3－練1.判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.知識(shí)點(diǎn)角的平分線的判定4知4－講2.幾何語(yǔ)言：如圖12.3-10，∵點(diǎn)P

為∠AOB

內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB

的平分線OC

上.知4－講應(yīng)用角的平分線的判定所具備的條件(1)位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；(2)數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.知4－講3.角的平分線的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系(1)如圖12.3-10，都與距離有關(guān)，即條件PD⊥OA，PE⊥OB都具備；(2)點(diǎn)在角的平分線上(角的內(nèi)部的)點(diǎn)到角兩邊的距離相等.知4－講特別提醒1.使用該判定定理的前提是這個(gè)點(diǎn)必須在角的內(nèi)部.2.角的平分線的判定是由兩個(gè)條件(垂線，線段相等)得到一個(gè)結(jié)論(角平分線).3.角的平分線的判定定理是證明兩角相等的重要依據(jù)，它比利用三角形全等證兩角相等更方便快捷.知4－講4.有相等，無(wú)垂直，不能證明角平分線，如圖12.3-11，QM=QN，但QM

和QN

不是點(diǎn)Q

到OA，OB

的垂線段，不能得出OQ

是∠AOB的平分線.知4－講如圖12.3-12，BE=CF，BF⊥AC

于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF

和CE交于點(diǎn)D.求證：AD

平分∠

BAC.例7知4－練思路引導(dǎo)：知4－練證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠

DEB=∠DFC=90°.在△BDE

和△

CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴

AD平分∠BAC.∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF，知4－練7-1.已知：如圖，DE⊥AB

于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF.求證：AD平分∠BAC.知4－練知4－練已知：如圖12.3-13，BP，CP分別是△

ABC的外角平分線，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．求證：AP平分∠MAN．例8知4－練思路引導(dǎo)：知4－練證明：如圖12.3-13，作PD⊥BC于點(diǎn)D，∵BP

是∠MBC

的平分線，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM=PD，同理可得PN=PD，∴PM=PN.又PM⊥AB，PN⊥AC，∴AP

平分∠

MAN．知4－練8-1.已知：如圖，△ABC的角平分線BE，CF相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P在∠A的平分線上.知4－練證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PM⊥BCPN⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，M，N.∵BE平分∠ABC，點(diǎn)P在BE上，∴PD＝PM.同理可得PM＝PN，∴PD＝PN.∴點(diǎn)P在∠A的平分線上．知4－練1.性質(zhì)定理：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.這一點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心

.知識(shí)點(diǎn)三角形的角平分線的性質(zhì)(拓展點(diǎn))5知5－講2.幾何語(yǔ)言：如圖12.3-14，在△ABC

中，AD，BM，CN

分別是∠BAC，∠ABC，∠

ACB的平分線，AD，BM，CN

交于一點(diǎn)O，且點(diǎn)O

到三邊BC，AB，AC

的距離