2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論匯編

2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

匯編(精編版)

1.包含關(guān)系

AB=Ac^A[B=BoAjBoCuB項(xiàng)CuA

<4>A(:聲:①Q(mào)CUAB=R

2.集合｛%,g，「4｝的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1個(gè);

非空的真子集有2〃-2個(gè).

3.充要條件

若p=q，則〃是4的充分條件,q是P的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q4p

p是q的必要不充分條件p#q且q=p

p是q的充要條件poq

p是q的既不充分也不必要條件p今夕且滬p

4.全稱命題、特稱命題及含一個(gè)量詞的命題的否定

命題名稱語(yǔ)言表示符號(hào)表示命題的否定

對(duì)M中任意一

全稱命題個(gè)工，有p(%)成YxRM,〃(%)〃(%o)

、、/:

存在M中的一

特稱命題個(gè)X0，使P(xo)現(xiàn)￡冊(cè)〃(%o)Vx￡M,女弟p(x)

成立

5.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)石?々e[a,/X]Rx2BP么

(%-x2)[/(^)-/(x2)]>0O"f/)〉0=/(x)在[a,"上是增函數(shù)；

(七一馬)[〃%)一/(%2)]<00"一)一<0u>/(x)在[。用上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果尸(x)>0,則為增函數(shù)；如果

f'(x)<0,則/(x)為減函數(shù).

6.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；

如果函數(shù)y=/(“)和"=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=〃g(x)]是增

函數(shù).

7.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

8.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則/(x+a)=/(-x-a);若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù),則

/(x+a)=f(—x+a).

9.對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xwH),/(x+a)=/@-%)恒成立,則函數(shù)7(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)

x="；2；兩個(gè)函數(shù),=/(x+a)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線x="，對(duì)稱.

10.若f(x~)=-/(-%+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(go)對(duì)稱；若/(%)=-/(%+?),則函

數(shù)y=為周期為2a的周期函數(shù).

11.函數(shù)y=的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱o/(?+%)=/(?-%)of(2a-x)=/(x).

(2)函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線x=一對(duì)稱

f(a+mx)=f(b—mx)<?f(a+b-mx)=f(mx).

12.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程

⑴正比例函數(shù)/(x)=cx⑵指數(shù)函數(shù)/(》)=優(yōu)(3)對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log“x(4)幕函數(shù)

f(x)=xa,.

(5)余弦函數(shù)/(%)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx

13.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),則/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=-f(x+d),f(x+a)=*0),或/(x+a)=-^^(/(x)/0),則/(x)的

/(x)/(x)

周期T=2a；

(3)=1(/(%)^0),則/(x)的周期T=3a；

j{x+a)

14.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

m4m-t

(1)an=,——(a>0,m,neN*,且〃>1).(2)a〃=—^Qa>a,m,neN*,且〃>1).

<aQn

15.根式的性質(zhì)

⑴而)"=a.(2)當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，=a-,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，=\a\=[a，a~°.

-a.a<Q

16.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

k>g“N=bod'=N(a>0,"1,N>0).

17.對(duì)數(shù)的換底公式

bgmN

logaN=(。>0,且a2l,7〃>0,且wwl,N>0).

logi

推論logb"=—logb(。>0,且a>l,m,n>Q,Mm1,n^l,N>0).

ama

18.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWLM>0,N>0,則

(1)logfl(2W)=logflM+logflN；(2)loga—=logaM-logflN；(3)logflM"=〃log,M(neR).

19.設(shè)函數(shù)/(x)=log,“(ax2+6x+c)(awO),記A=/-4ac.若f(x)的定義域?yàn)镽,則a>0,且

△<0；若/(x)的值域?yàn)镽,則a>0,且A20.對(duì)于a=0的情形，需要單獨(dú)檢驗(yàn).

20.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y,有

y=N(l+”.

21.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

4=<"'n1(數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)的和為%=%+a,++a“).

22.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a“=q+(?-l)d=dn+%-d(neN*);

其前n項(xiàng)和公式為s.=幽答=叫+若%

23.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a“=%q"T=-4"5eN*);

q

q(1-q")仁烏包g

'"1或S"

其前n項(xiàng)的和公式為s“=1-q「q

nax,q=1navq=1

24.常見(jiàn)三角不等式

(1)若則sinxv%vtan%.(2)若尤￡(0,叁)，則1vsinx+cos犬"血.

25.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2^+cos2^=l?tan—二疝'

cos。

26.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

公式―*二三四五六

2祈十71

+ot

角7i+a~a7i—a2-ot2

a(kUZ)

—sin—siW2,1

--n")&os

正弦sina2aCOS。

aa

—cos—COS

余弦cosacosssina一sinn

aa

正切tanatann—tan—tan

aa

函數(shù)名改變，符號(hào)

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限

看象限

27.和角與差角公式

sin（a±/3）=sinacosJ3±cosasin（3；cos（6Z±/?）=cosacosJ3zsinasin[3；

,c、tana±tan￡

tan（z6z±,）二-------—.

I.tanatan（3

asin。cos。=1a2+/sin（a+0）（輔助角0所在象限由點(diǎn)（a,6）的象限決定，tan.

a

28.二倍角公式

sin2a—2sinorcoscr.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2cr-l=l-2sin2a（升累公式）

°1+cos2a.01—cos2a

cosa=；sin%=(降嘉公式)

八2tana

tan2a=--------.

1-tana

29.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（G%+0）,x￡R及函數(shù)y=COS（GX+0）,x￡R（A,3,。為常數(shù)，且AW0,3

>0）的周期7=主；函數(shù)y=tan（G%+°）,xw版■+工，左￡Z（A,3,。為常數(shù)，且AW0,3>

co2

0)的周期7=2.

(D

30.正弦定理

，一=工=工=2R.

sinAsinBsinC

31.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC.

32.面積定理

(1)5=—ah=—bh.=—ch(h>%、4分另U表示a、b、c邊上的［Wj).

222

(2)S=—absinC=—bcsmA=—casmB.

222

33.三角形內(nèi)角和定理

在Z\ABC中,有4+5—(4+5)0_1=^—^1^o2C=2?—2(A+3).

34.平面向量基本定理

如果白、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1、入2,使得a=Lei+入2e2.

不共線的向量&、e?叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

35.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b=|a||b|cos9.

36.a,b的幾何意義

數(shù)量積a,b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積.

37.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)a=a，%),b=(x2，%)，則a+b=?+%,%+%)?

(2)設(shè)a=&,%),b=(x2,y2),則a-b=(x1-x2,y1-y2).

⑶設(shè)A(X1,%),BQ,%),則超=05-04=(X2-%,%-

(4)設(shè)a=(x,y),4eH,則Xa=(Ax,..

(5)設(shè)a=(無(wú)1，%),b=(x2,y2),則a?b=(x1x2+y1y2).

兩向量的夾角公式

cose=-r==^7==(a=(為，乂)，b=(%,%)),

村+才?收+￡

平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAB=\AB\=siABAB

=J(%2—為)2+(%一%)2(A(X],%)，B(%,%))?

向量的平行與垂直

設(shè)a=a,%),b=O2，%)，且bwO,則

ab<^>b=A.a=0.

a_l_b(aw0)oa,b=0oxtx2+%%=0.

38.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x>%)、B(x2)y2),C(X3，y3),則AABC的重心的坐標(biāo)

是C盧+々+尤3%+%+%)

'3'3'?

39.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為AABC所在平面上一點(diǎn)，角AB,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,反c,則

(1)。為AABC的夕卜心oOA2=OB2=OC2.

(2)。為AABC的重心o0A+03+0C=0.

(3)。為AAfiC的垂心^OAOB=OBOC=OCOA.

(4)。為AABC的內(nèi)心oa0A+A03+c0C=0.

(5)。為A/WC的NA的旁心oaQ4=Z?03+c0C.

40.基本不等式：

(1)。,牝氏="+/22"(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào)).

(2)見(jiàn)…工色之猴(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào)).

2

注：已知羽y都是正數(shù)，則有

(1)若積孫是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和尤+y有最小值2折；

(2)若和％+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積移有最大值;§2.

41.含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a〉0時(shí)，有

國(guó)<〃。入?<“。一av%<〃,

國(guó)>aOf%>〃或％v—a.

42.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)。>1時(shí)：Z>/⑴o>(x)>g(x)；

7(x)>0

log,J(X)〉log,,g(x)=<g(x)〉0?

f(.x)>g(x)

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)：afM>as(x)o/(x)<g(x)；

V(x)>0

log。/W>log。g(x)=<g(x)>0

f(x)<g(x)

43.?斜率公式

A：=—~—(《a，%)、P,(x2,y2)).

x2一再

44.直線的五種方程

(1)點(diǎn)斜式>-％=左0-再)(直線/過(guò)點(diǎn)片(石,,%),且斜率為左).

(2)斜截式y(tǒng)=fcc+8(b為直線/在y軸上的截距).

(3)兩點(diǎn)式—~上="*(丁產(chǎn)%)(々(石，必)、6(々,%)(石/々)).

為一%X2~X1

(4)截距式二+上=13、匕分別為直線的橫、縱截距，a、“0)

ab

(5)一般式小+為+。=0(其中A、B不同時(shí)為0).

45.兩條直線的平行和垂直

(1)若乙：y=左科+仇，%：y=k2x+b?

①11|，2=匕=七也wZz,；②4J_4o左K=—1.

(2)若/1：4%+5°+。1=0,/2：4%+32丁+。2=0，且八1、A2>BI、B2都不為零，

①/i甩09=空/6;②I=44+用為=0；

4B?C2

46.常用直線系方程.

(1)平行直線系方程：直線,=履+匕中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線

系方程.與直線上+為+。=0平行的直線系方程是小+為+/1=0(4工0),人是參變量.

(2)垂直直線系方程：與直線加+為+。=0(AWO,BW0)垂直的直線系方程是

Bx-Ay+A=Q,入是參變量.

47.點(diǎn)到直線的距離

d=坐+」％+°!(點(diǎn)P(XQ,%)，直線/：Ax+By+C=0).

VA2+B-

48.圓的方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0(￡>2+E2-4F>0).

(3)圓的參數(shù)方程卜a+rcos。.即三角換元

49.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)尸(看,%)與圓(x-a)2+(y-6)2=/的位置關(guān)系有三種

若d={(a-%)2+(〃-%)2,則

d>r=點(diǎn)尸在圓夕卜"=廠=點(diǎn)尸在圓上；d<r=點(diǎn)尸在圓內(nèi).

50.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+By+C=0與圓(x-+(y-6)2=r2的位置關(guān)系有三種：

d>ro相離oA<0；d=ro相切=A=O；d<ro相交oA>0.

\Aci+Bb-\-C,|

51.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為Oi,。2,半徑分別為八，r2,\OxO^=d

d>八+々o外離o4條公切線；d=八+馬o外切o3條公切線；

［八一』<4<〃+40相交o2條公切線；。一2|o內(nèi)切ol條公切線；

0<J<|F1-r2|o>內(nèi)含o>無(wú)公切線.

52.圓的切線方程

(1)已知圓好+)?+￡)x+Ey+E=0.

①若已知切點(diǎn)(%,%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

當(dāng)(…)圓外時(shí)，……生產(chǎn)+空7+八。表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦

方程.

②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y-%=左(%-%)，再利用相切條件求k,這時(shí)必

有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為'=丘+"再利用相切條件求b,必有兩條切線.

(2)已知圓龍2+J?=戶.

①過(guò)圓上的片(%,%)點(diǎn)的切線方程為不》+為丁=/；

②斜率為左的圓的切線方程為y=kx+ryll+k2.

53.橢圓的概念

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)尸1，/2的距離的和等于常數(shù)(大于|尸1/2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩

個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

集合尸={M||MB|+|M&|=2a},|FiF2|=2c<2a,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù).

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

^+1=1

吞=1

標(biāo)準(zhǔn)方程

(a>b>Q)(a>Z?>0)

y

Bi

圖形

%

8

—bWxWb

范圍

一bWyWb

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原爆=1

Ai(—a,0)>A2(a,0)4(0,—a),A2(0,

頂點(diǎn)

Bi(O,~b),B(0,a)

坐標(biāo)2

o),員3,0)

性b)

長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸的長(zhǎng)

質(zhì)軸

為2b

焦距|FIF2|=2C

離心率e=^e(0,l)

a,b,c

屋="+02

的關(guān)系

橢圓的切線方程

22

（1）橢圓T+3=1（?！?〉0）上一點(diǎn)尸（如為）處的切線方程是誓+誓=1.

abab

22

（2）過(guò)橢圓三+方=1（?！?〉0）外一點(diǎn)「（不，線）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

54.雙曲線的概念

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，尸2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|尸1尸2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙

曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

集合尸={MI|MB|一|M/211=2。},\FiF2\=2c>2a,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

x2y2二龍=1

7一〃=122

標(biāo)準(zhǔn)方程ab~

(a>0,Z?>0)3>o,z?>o)

圖形

或,V

范圍%￡R,yW—a或vA

yQR

對(duì)稱

對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)

性

頂點(diǎn)4(—q,0),A2(a,O)Ai(0,—a),A2(0,a)

漸近ba

性y=±=xm砂

線工-------a

質(zhì)

離心

e=pe^(l,+°°),其中c=y/a2+t>2

率

線段AIA2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|4自2|

實(shí)虛=2a,線段叫做雙曲線的虛軸，它的

軸長(zhǎng)國(guó)&尸功；q叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng),b

叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

a,b,c

c2=a2+Z?2(c>a>0,c>Z?>0)

的關(guān)系

雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

2222

（1）若雙曲線方程為二-4=ln漸近線方程：二-斗=0。町±-.

a~b-crb-a

22

⑵若漸近線方程為,=±302±；=0=雙曲線可設(shè)為4="

aabab

2222

⑶若雙曲線與==1有公共漸近線，可設(shè)為三-2=九（九〉0,焦點(diǎn)在x軸上,

abab

x<o,焦點(diǎn)在y軸上）.

雙曲線的切線方程

22

⑴雙曲線5-與=1（“>0力>0）上一點(diǎn)Pg,%）處的切線方程是警-普=1.

abab

22

（2）過(guò)雙曲線,方=1（心0）>0）外一點(diǎn)P（“。）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

55.拋物線的概念

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1（1不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）的距離相簧的點(diǎn)的軌跡叫做拋物

線.點(diǎn)■叫做拋物線的焦點(diǎn),直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

y2=2pxy2=~2px~=2pyx2=~2py

標(biāo)準(zhǔn)

⑦>0)⑦>0)S〉o)(P>0)

方程

p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離

11J/

圖形tfr

±P

頂點(diǎn)

0(0,0)

坐標(biāo)

對(duì)稱

%軸y軸

軸

隹占

八、、八、、1-多°)

坐標(biāo)歐a

離心

e=1

率

準(zhǔn)線__2_p_2P_

xx~2y=~i尸2

方程~2

范圍x^O,y￡Ry^O,yWO,

開口

向右向左向上向下

方向

隹半

xo+2—xo+2y0+2-州+々

徑

通徑

2P

長(zhǎng)

拋物線產(chǎn)=2px的焦半徑公式

拋物線/=2px[p>0)焦半徑=七+”.

過(guò)焦點(diǎn)弦"bc|co|=x1+々+%+T=X]+x2+p-

2

拋物線y2=2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(}%)或尸(2p產(chǎn),2pt)或P(x,y),其中y；=2px.

56.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式

\AB\=-\/(1+A2)[(xi+%2)2—4xiX2]=AKyi+y2)2—4yi/2](左為直線斜率).

57.(1)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

平面外一條直線與此

平面內(nèi)的一條直線平l//a\

判定定

行，則該直線與此平面aUa；=/〃a

理

平行(簡(jiǎn)記為“線線平HaJ

行=線面平行”)

一條直線與一個(gè)平面

平行，則過(guò)這條直線的l//a]

性質(zhì)定任一平面與此平面的/U￡>=>

an6=bj

理交線與該直線平行(簡(jiǎn)

記為“線面平行=線l//b

線平行”)

(2)面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一個(gè)平面內(nèi)的兩

條相交直線與另a〃B]

〃

一個(gè)平面平行，bB

判定定aGb=P>=

則這兩個(gè)平面平

理b__/aUa

行(簡(jiǎn)記為“線面bUaJ

平行=面面平

a///3

行”)

如果兩個(gè)平行平allB'

?

性質(zhì)定面同時(shí)和第三個(gè)aC。=〃}=

76n尸一

理平面相交，那么4

它們的交線平行a//b

(3)直線與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一條直線與一個(gè)

a,bUa、

平面內(nèi)的兩條相

判定定/》

交直線都垂直，LLa

理7

則該直線與此平lib>

面垂直=/_La

垂直于同一個(gè)平

性質(zhì)定aba-La\

面的兩條直線壬

理7

在

(4)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一個(gè)平面過(guò)

另一個(gè)平面

判定定/_La|

的垂線,則這

理lU/3)〃

兩個(gè)平面垂

直

兩個(gè)平面垂

直，則一個(gè)平a_L4、

IU/3

性質(zhì)定面內(nèi)垂直于)=

otn

理交線的直線

17l-La)

與另一個(gè)平

/_La

面垂直

58.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(bWO),a〃bo存在實(shí)數(shù)入使a=入b.

尸、48三點(diǎn)共線oAP||ABoAP=rA5oOP=(lT)OA+fOB.

AB||CD^AB.CD共線且AB、CD不共線oA3=fCD且AB、CD不共線.

59.共面向量定理

向量P與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的o存在實(shí)數(shù)對(duì)尤,y,使°=必+勿.

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的o存在有序?qū)崝?shù)對(duì)九,y,使=

或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使OP=OM+xMA+yA".

60.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)

組x,y,z,p=xa+yb+zc.

推論設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有

序?qū)崝?shù)X，y，z,^OP^xOA+yOB+zOC.

61.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=(《，?用)，b=(4也也)則

(1)a+b=(q+4，4+&)；(2)a—b=(q-Z?15?2-Z?2,a3-b3)；

(3)-a=(丸q//，2a3)(-RR);(4)a?b=。占+。24+%4;

62.設(shè)A。,%/。,B(x2,y2,z2),則

AB=OB-OA-(九2一%,%一X，Z2一4).

63.工間的線線平勺或垂直

設(shè)a=(%，X，zJ,b=(x2,y2,z2),則

x=AX2

111111{11i1

aPbOa=Ab(b0)o1%=Ay2;Q_LboqZ?=0oX1X2+yry2+zxz2=0.

/1=^Z2

64.夾角公式

設(shè)3=(4,%%)，b=$1力2，瓦),則

coska,b).姐+吟+她.

'a；+a；+a；J+以+

65.(1)異面直線所成角

1I

AI/rf\\a-b\I-^%+yy+zz\

cos0=|cos(tz,o)|=-￥——12>八12Y'2-=.

'/\a\-\b\Jx；+y；+zj?+%2+*

(其中8(0°<^<90°)為異面直線a力所成角，。，力分別表示異面直線a力的方向向量)

(2)直線A6與平面所成角

(口為平面&的法向量).

(3).二面角。-/-尸的平面角

或(機(jī)，鞏為平面a,夕的法向量).

66.(1)空間兩點(diǎn)間的距離公式

若B(x2,y2,z2),則

222

dAB=\AB\=siABAB=)+(j2-)+(z2-z；).

（2）.異面直線間的距離

d=坨川"%是兩異面直線，其公垂向量為〃，C、。分別是上任一點(diǎn)，d為15

\n\

間的距離）.

（3）點(diǎn)8到平面。的距離

d=四俱（〃為平面a的法向量，AB是經(jīng)過(guò)面a的一條斜線，Ae?）.

\n\

67.球的半徑是R,則

其體積V=3萬(wàn)收，其表面積S=4兀R2.

68.球的組合體

（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：

長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

（2）球與正方體的組合體：

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)

角線長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

69.柱體、錐體的體積

腺體=S/Z（S是柱體的底則釉體的高）?

Vw=^Sh（s是錐體的底面積、力是錐體的高）.

70.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）N=^+鈾++%.

分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）

71.排列數(shù)公式

A?=n（ji-1）???（?-m+1）=—————.（〃，mGN*,且mW”）.注：規(guī)定O!=l.

（n-m）!

72.組合數(shù)公式

=7二的7…加"+1）=d，meN,且加。）.

A：lx2x---xmm）l

73.組合數(shù)而兩個(gè)性質(zhì)

⑴C：=C：m；（2）C：+C：T=（Zi.注:規(guī)定C；=1.

⑶c°+c*+C>---+C；+---+C>2\

⑷C：+C；+C；+…=C；+盤+C：+…2〃T.

（5）C：+2C；+3C；+…+nC：=〃2"T.

74.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系

A—?

75.二項(xiàng)式定理（a+b）n=C”+C：af+CM2b2+.?.+C；an-rbr+??■+C?'；

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

Tr+l=C；Q1（r=0,12…,ri）.

76.n