江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE21-江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A. B.5 C. D.-5【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的定義干脆得解；【詳解】解：因復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部是，故選：D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.2.已知隨機變量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，則P(﹣2＜Z＜2)＝（）A.2a B.2a﹣1 C.1﹣2a D.2(1﹣a)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】∵隨機變量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，∴P(Z≥2或Z≤﹣2)＝2﹣2a，∴P(﹣2＜Z＜2)＝1﹣(2﹣2a)＝2a﹣1，故選：B【點睛】本題考查正態(tài)分布的計算，屬基礎(chǔ)題.3.若4名學(xué)生報名參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)愛好小組，每人選報1項，則不同的報名方式有（）A.34種 B.43種 C.種 D.種【答案】A【解析】【分析】依據(jù)分步計算原理，每個人選報一科，則每個人有3種報名方法，共有種方法.【詳解】4名學(xué)生，每人有三種可選方案，依據(jù)分步計數(shù)原理，4人共有34種方法.故選：A.【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理，考查了理解分析和數(shù)學(xué)運算實力，屬于基礎(chǔ)題目.4.設(shè)隨機變量X的概率分布如下表所示，且E(X)＝2.5，則a﹣b＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用分布列學(xué)問以及期望列出方程求解即可.【詳解】由題意得：，解得，∴.故選：C.【點睛】本題考查了隨機變量的分布列與均值，考查了理解辨析和數(shù)學(xué)運算實力，屬于基礎(chǔ)題目.5.如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2BB1，P為B1C1的中點.則異面直線AC與BP所成的角為（）A.90° B.60° C.45° D.30°【答案】B【解析】【分析】取A1B1中點Q，可得∠BPQ就是異面直線AC與BP所成的角或補角，進而可證明△BPQ是等邊三角形，從而求得.【詳解】A1B1中點Q，連接PQ，BQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ就是，異面直線AC與BP所成的角或補角，又∵為正四棱柱，且,為中點，∴兩兩垂直，全等，∴，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ＝60°，即異面直線AC與BP所成的角為60°，故選：B.【點睛】本題考查異面直線所成的角，屬基礎(chǔ)題.6.甲、乙兩人投籃，投中概率分別為0.6，0.7，若兩人各投2次，則兩人投中次數(shù)不等的概率是（）A.0.6076 B.0.7516 C.0.3924 D.0.2484【答案】A【解析】【分析】先求出兩人投中次數(shù)相等的概率，再依據(jù)對立事務(wù)的概率公式可得兩人投中次數(shù)不相等的概率.【詳解】兩人投中次數(shù)相等的概率P＝，故兩人投中次數(shù)不相等的概率為：1﹣0.3924＝0.6076.故選：A.【點睛】本題考查了對立事務(wù)的概率公式和獨立事務(wù)的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.7.4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，則恰有2個空盒的放法有（）A.144種 B.120種 C.84種 D.60種【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，先選出兩個空盒，之后可以一個盒放1個，另一個盒放3個，還可以每盒2個，得到結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，可分兩種狀況，可得，故選：C.【點睛】該題考查的是有關(guān)排列組合的綜合題，涉及到的學(xué)問點有分步乘法計數(shù)原理，分類加法計數(shù)原理，在解題的過程中，留意分析清晰對應(yīng)的結(jié)果，屬于簡潔題目.8.已知函數(shù)(aR)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(，) B.(，) C.(，) D.(，)【答案】C【解析】【分析】將有三個不同的零點轉(zhuǎn)化為有三解，然后求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，只需保證與圖象有三個交點即可.【詳解】若，則，令，則，當(dāng)，或時，，當(dāng)時，，所以，在和上遞增，在上遞減，又，作出函數(shù)的圖像如圖所示：要使直線y＝a與曲線有三個交點，則a＞.故選：C.【點睛】本題考查依據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參，難度較大.解答時留意參變分別思想的運用，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值的問題，再利用數(shù)形結(jié)合思想求解參數(shù)的取值范圍.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.已知m，n是兩條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面，下列命題是真命題的有（）A.若m⊥，m⊥，則∥B.若m，n，m∥n，則∥C.若m，n是異面直線，m，m∥，n，n∥，則∥D.若⊥，⊥，則∥【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定，即可求解.【詳解】由垂直于同始終線的兩平面平行，可得若m⊥，m⊥，則∥，所以A正確；由兩條分別在不同平面的直線平行，不能說明這兩個平面平行，故B錯誤；由兩條分別在不同平面的異面直線平行，可得這兩個平面平行，可得“若m，n是異面直線，m，m∥，n，n∥，則∥”，故C正確；由垂直于同一平面的兩平面不肯定平行，可得D錯誤.故選：AC.【點睛】本題主要考查了線面位置的判定與證明，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證實力.10.關(guān)于排列組合數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)排列與組合的計算公式一一驗證選項正誤即可.【詳解】依據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)或組合數(shù)的計算公式，可知A，B選項正確；，而，故C選項錯誤；，故D選項正確；故選：ABD.【點睛】本題主要考查排列與組合公式，屬于基礎(chǔ)題，解決此類問題也可利用特別值驗證公式是否正確.11.為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位安排利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周.則（）A.某學(xué)生從中選3門，共有30種選法B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法C.課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法D.課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最終一周，共有504種排法【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)排列組合的相鄰關(guān)系和不相鄰關(guān)系，以及有限制排列的關(guān)系，逐個分析選項即可.【詳解】6門中選3門共有種，故A錯誤；課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有種排法，故B錯誤；課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有種排法，故C正確；課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最終一周，共有種排法，故D正確．故選：CD【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的遞減區(qū)間是(，1) B.函數(shù)在(e，)上單調(diào)遞增C.函數(shù)的最小值為1 D.若，則m＋n＞2【答案】BCD【解析】【分析】計算以及函數(shù)的定義域，然后依據(jù)的符號推斷原函數(shù)的單調(diào)性以及最值，可知ABC正誤，然后采納換元法，以及導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，可知D正誤，最終可得結(jié)果【詳解】因為，所以，由于函數(shù)的定義域為(0，)，故A錯誤；當(dāng)x(e，)時，，所以函數(shù)在(e，)上單調(diào)遞增，B正確；令，則令，則所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以當(dāng)x＝1時，函數(shù)有最小值為，故C正確；選項D，姑且令m＜n，由得，欲證m＋n＞2，只要證明，令，即成馬上可，令，所以當(dāng)時，，所以在遞增所以，故不等式成立，故選項D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，熟識導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系，同時換元法的運用，使問題便于計算，考查分析問題實力以及計算實力，屬中檔題.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.其中第16題共有2空，第一個空3分，其次個空2分；其余題均為一空，每空5分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知i為虛數(shù)單位，設(shè)，，若為實數(shù)，則m＝_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算，然后利用復(fù)數(shù)的分類，簡潔計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，要使為實數(shù)，則，解得.故答案為：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類以及復(fù)數(shù)的運算法則，考查學(xué)問的理解以及計算，屬基礎(chǔ)題.14.已知函＝tanx，那么＝_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)的解析式，計算即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，，則，則.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，留意導(dǎo)數(shù)的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．15.若的二項綻開式中常數(shù)項為，則常數(shù)a的值是_______.【答案】2【解析】【分析】利用二項式綻開式的通項公式和綻開式中的常數(shù)項列方程，解方程求得的值.【詳解】的第r＋1項為，常數(shù)項為，則r＝3，，解得a＝2.故答案為：【點睛】本小題主要考查二項式綻開式的通項公式的運用，屬于基礎(chǔ)題.16.棱長為12的正四面體ABCD與正三棱錐E—BCD的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體ABCDE的頂點均在一球的球面上，則正三棱錐E—BCD的體積為_______，該正三棱錐內(nèi)切球的半徑為_______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)，正三棱錐側(cè)棱長，列出方程組，求得的值，利用體積公式，即可求得三棱錐的體積與表面積，再結(jié)合等體積法，即可求得內(nèi)切球的半徑，得到答案.【詳解】由棱長為12的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體的頂點均在一球的球面上，所以多面體的外接球即為正四面體的外接球，且其外接球的直徑為，設(shè)，正三棱錐側(cè)棱長x，則，解得，由題意得證四面體的高為，外接球的半徑為，設(shè)正三棱錐的高為，因為，所以，因為底面的邊長為，所以,則正三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，可得正三棱錐的表面積為，體積為V＝，設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由，解得.故答案為：，.【點睛】本題主要考查了組合體的結(jié)構(gòu)各種，以及正三棱錐內(nèi)切球的半徑的求法，三棱錐的體積的計算，其中解答中嫻熟應(yīng)用組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查空間想象實力，以及推理與計算實力.四、解答題（本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.江蘇省新高考方案要求考生在物理、歷史科目中選擇一科，我市在對某校高一年級學(xué)生的選科意愿調(diào)查中，共調(diào)查了名學(xué)生，其中男、女生各人，男生中選歷史人，女生中選物理人.（1）請依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表；（2）推斷性別與選科是否相關(guān).附：.【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）有的把握認(rèn)為，學(xué)生選科與性別有關(guān).【解析】【分析】（1）依據(jù)題中數(shù)據(jù)可得出列聯(lián)表；（2）計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得列聯(lián)表如下表所示：選物理選歷史合計男生女生合計（2）依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.，所以我們有的把握認(rèn)為，學(xué)生選科與性別有關(guān).【點睛】本題考查列聯(lián)表的完善，同時也考查了利用獨立性檢驗解決實際問題，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知的綻開式中，第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為14：3.（1）求正整數(shù)n；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先列出的第5項與第3項的二項式系數(shù)，依據(jù)二項式系數(shù)之比為14：3求出的值；（2）將（1）中求出的值代入原式，依據(jù)其綻開式的特點，代特值計算.【詳解】解：（1）由第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為14∶3得，，所以，（舍）.（2）由得，，①當(dāng)時，代入①式得；因為，所以，令得，，，所以.【點睛】本題考查二項式定理，考查二項式系數(shù)問題及利用賦值法求解項的系數(shù)有關(guān)問題，難度一般.解答時，留意項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)分、留意利用賦值法求解項的系數(shù)和問題.19.今年年初，我市某醫(yī)院安排從3名醫(yī)生、5名護士中隨機選派4人參與湖北新冠肺炎疫情狙擊戰(zhàn).（1）求選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率；（2）設(shè)選派的4人中醫(yī)生人數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為.【解析】【分析】（1）分別對“4人中有2名醫(yī)生2名護士”、“4人中有3名醫(yī)生1名護士”記事務(wù)，然后依據(jù)互斥事務(wù)以及組合學(xué)問，進行求解可得結(jié)果.（2）列出的全部可能結(jié)果，并計算相應(yīng)概率，然后列出分布列，最終依據(jù)數(shù)學(xué)期望公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）記選派的4人中至少有2名醫(yī)生為事務(wù)A，記4人中有2名醫(yī)生2名護士為事務(wù)，記4人中有3名醫(yī)生1名護士為事務(wù)，且與互斥.則當(dāng)事務(wù)A發(fā)生時，有或發(fā)生，所以有.又；；所以.故選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率為.（2）由題意選派的醫(yī)生人數(shù)可以是0，1，2，3.所以；；；.所以，隨機變量的概率分布表為0123故隨機變量的數(shù)學(xué)期望為=.故的數(shù)學(xué)期望為.【點睛】本題考查互斥事務(wù)的概率以及離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，考查分析實力以及運算實力，屬中檔題.20.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與直線6x﹣3y﹣7＝0相切，求實數(shù)a的值；（2）求在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）假設(shè)切點，計算，然后依據(jù)點斜式可得切線方程，計算可得，最終可得（2）計算，然后分，進行探討，依據(jù)符號推斷原函數(shù)的單調(diào)性，并計算最大值即可.【詳解】解：（1）設(shè)切點，因切線方程為，所以，①又，②由①得③，將③代入②得，，得或，當(dāng)時，代入③得；當(dāng)時，代入③得.因，所以實數(shù)=1.（2）因，當(dāng)時，則，當(dāng)時，，所以在上遞增，當(dāng)時，，所以在上遞減，所以；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，當(dāng)時，，所以在上遞減，當(dāng)時，，所以在上遞增，又，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上有【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的推斷常采納分類探討的方法，重在對分析問題實力的考查，屬難題.21.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°，A1B＝A1A＝AC＝2，AB＝.（1）求證：平面ACC1A1⊥平面ABC；（2）求二面角B1—A1B—C大小的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先利用正三角形證明，再利用勾股定理證明，可證明平面，即可證明平面ACC1A1⊥平面ABC；（2）分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦即可.【詳解】（1）取