考點(diǎn)02 相交線與平行線（解析版）

考點(diǎn)二相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)整合知識(shí)框架圖一、相交線1．三線八角（1）直線a，b被直線l所截，構(gòu)成八個(gè)角（如圖）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是內(nèi)錯(cuò)角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁內(nèi)角．（2）除了基本模型外，我們還經(jīng)常會(huì)遇到稍難一些的平行線加折線模型，主要是下面兩類：做這類題型時(shí)，一般在折點(diǎn)處作平行線，進(jìn)而把線的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角的關(guān)系，如圖：2．垂直（1）定義：兩條直線相交所形成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角時(shí)叫兩條直線互相垂直．（2）性質(zhì)：過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；垂線段最短．3．點(diǎn)到直線的距離從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離．4．鄰補(bǔ)角（1）定義：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．（2）鄰補(bǔ)角是補(bǔ)角的一種特殊情況：鄰補(bǔ)角既包含位置關(guān)系，又包含數(shù)量關(guān)系，數(shù)量上兩角的和是180°，位置上有一條公共邊．（3）鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個(gè)角不能稱為鄰補(bǔ)角，兩條直線相交形成四對(duì)鄰補(bǔ)角．5．對(duì)頂角（1）定義：兩個(gè)角有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．（2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等．但相等的角不一定是對(duì)頂角．二、平行線1．定義在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．2．平行線的判定（1）定義．（2）同位角相等，兩直線平行．（3）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（5）平行于同一直線的兩直線互相平行．（6）垂直于同一直線的兩直線互相平行．3．平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等．（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．4．平行線間的距離（1）定義同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線的距離．（2）性質(zhì)兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的平行線段相等．典例引領(lǐng)1．如圖，和是對(duì)頂角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了對(duì)頂角的定義，如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，且角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由對(duì)頂角的定義可知，只有A選項(xiàng)中的和是對(duì)頂角，故選：A．2．風(fēng)箏是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于東周春秋時(shí)期的產(chǎn)物，其材質(zhì)在不斷改進(jìn)之后，坊間開始用紙做風(fēng)箏，稱為“紙鳶”．如圖所示的紙骨架中，與構(gòu)成同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是同位角的定義，關(guān)鍵是知道哪兩條直線被第三條直線所截．根據(jù)同位角的定義解答即可【詳解】解：如圖可知，和是同位角，故選：．3．如圖，將一款教室護(hù)眼燈用兩根電線吊在天花板上，A、B是護(hù)眼燈上的兩個(gè)固定點(diǎn)，C、D是天花板上的兩個(gè)固定點(diǎn)，已知，為保證護(hù)眼燈與天花板平行（即），下面添加的條件中，正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的判定，熟知同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角線段，兩直線平行，同位角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)平行線的判定條件可知，當(dāng)，有，則，故D符合題意；A、B、C中的條件都不能證明，故選：D．4．如圖，，，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，合理作出平行線是解題的關(guān)鍵．如圖所示，作交于，作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出的度數(shù)，根據(jù)垂直的性質(zhì)可求出的度數(shù)，最后根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖所示，作交于，作，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴．二、填空題5．如圖，若被所截，則與是內(nèi)錯(cuò)角．

【答案】【分析】本題考查內(nèi)錯(cuò)角定義．根據(jù)兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角進(jìn)行分析解答即可．【詳解】解：若被所截，則與是內(nèi)錯(cuò)角，故答案為：．6．如圖，已知：，平分，如果，那么．【答案】【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由可得，則；根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴．故答案為：．7．如圖，在一片高新技術(shù)經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的旁邊修了一條公路，已知公路的第一個(gè)拐角，第二個(gè)拐角，第三個(gè)拐角記為，如果公路段與公路段恰好平行，那么的度數(shù)為．【答案】/150度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)定理及三角形的外角性質(zhì)，先延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)，可得，根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)題意，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．變式拓展8．如圖，已知，，垂足分別為D、F，．試說明：，在下列解答中，在橫線填空（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵，（），∴（）∴（）∴（）又∵（），∴（）∴（）∴（）【答案】已知；垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；同角的補(bǔ)角相等；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等【分析】本題考查了垂直的定義，平行線的判定和性質(zhì)，同角的補(bǔ)角相等．根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)逐一判斷填空即可．【詳解】解：∵，（已知），∴（垂直的定義）∴（同位角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又∵（已知），∴（同角的補(bǔ)角相等）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同位角相等）9．、相交于點(diǎn)O，平分，

(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)若于點(diǎn)O，射線在的內(nèi)部，并將分成兩個(gè)部分，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了對(duì)頂角，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）由對(duì)頂角相等，得出，進(jìn)而得到，再由角平分線的定義，得到，即可求出的度數(shù)．（2）設(shè)，，進(jìn)而得到，，再由角平分線的定義，得出，求出的值，即可得出的度數(shù)．【詳解】（1）解：，且，，，平分，，；（2）解：，，射線在的內(nèi)部，并將分成兩個(gè)部分，設(shè)，，，，平分，，，，．10．探索發(fā)現(xiàn)：如圖是一種網(wǎng)紅彈弓的實(shí)物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動(dòng)皮筋可形成平面示意圖如圖1圖2，彈弓的兩邊可看成是平行的，即．各活動(dòng)小組探索與，之間的數(shù)量關(guān)系．已知，點(diǎn)不在直線和直線上，在圖1中，智慧小組發(fā)現(xiàn)：．智慧小組是這樣思考的：過點(diǎn)作．

(1)填空：如圖1，過點(diǎn)作．∴（①__________），∵，，∴（②__________），∴，∴（③__________），即．(2)在圖2中，猜測(cè)與，之間的數(shù)量關(guān)系，并完成證明．(3)善思小組提出：①如圖3，已知，則角，，之間的數(shù)量關(guān)系為__________．（直接填空）②如圖4，，，分別平分，．則與之間的數(shù)量關(guān)系為__________．（直接填空）【答案】(1)①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②平行于同一條直線的兩條直線互相平行；③等式的性質(zhì)；(2)，理由見解析(3)①；②【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，過“拐點(diǎn)”作輔助線構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)推理過程即可求解；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)、即可求解；（3）①過點(diǎn)作．根據(jù)，即可求解；②過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)以上推理過程可得,，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作．∴（①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，，∴（②平行于同一條直線的兩條直線互相平行），∴，∴（③等式的性質(zhì)），即．故答案為：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②平行于同一條直線的兩條直線互相平行；③等式的性質(zhì)；（2）解：，理由如下：過點(diǎn)作．

∴，∵，，∴∴，∴即（3）解：①過點(diǎn)作．

∴，∵，，∴∴，∴即,故答案為：②過點(diǎn)作，過點(diǎn)作

∴，∵，，∴∴，∴即,同理可得：∵，分別平分，∴∴故答案為：11．觀察下面表格，并閱讀相關(guān)文字：示意圖

…相交情況1條直線與2條直線相交1條直線與3條直線相交1條直線與4條直線相交…同位角對(duì)數(shù)（）對(duì)（）對(duì)（）對(duì)…內(nèi)錯(cuò)角對(duì)數(shù)（）對(duì)（）對(duì)（）對(duì)…同旁內(nèi)角對(duì)數(shù)（）對(duì)（）對(duì)（）對(duì)…則由上述規(guī)律可知：(1)1條直線與6條直線相交產(chǎn)生___________對(duì)同位角，___________對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；(2)1條直線與n條直線相交產(chǎn)生___________對(duì)同位角，___________對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；(3)利用（2）中的結(jié)論，解決下列問題：三條直線兩兩相交（不交于同一點(diǎn)），可構(gòu)成同位角的對(duì)數(shù)是（）A．12對(duì)

B．8對(duì)

C．6對(duì)

D．4對(duì)【答案】(1)；(2)(3)A．【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角問題中的規(guī)律問題，旨在考查學(xué)生的抽象概括能力．（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可求解；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可確定一般規(guī)律；（3）當(dāng)條直線兩兩相交時(shí)，產(chǎn)生對(duì)同位角，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：從表中的規(guī)律可知1條直線與6條直線產(chǎn)生：對(duì)同位角，對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；故答案為：；（2）解：1條直線與n條直線相交產(chǎn)生：對(duì)同位角，對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；故答案為：（3）解：根據(jù)第（2）問的結(jié)論可知，當(dāng)條直線兩兩相交時(shí)，產(chǎn)生對(duì)同位角，故當(dāng)時(shí)，即：，產(chǎn)生對(duì)同位角．故選：A．12．如圖，已知，，垂足分別為點(diǎn)、，．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行得到，則，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到，則，據(jù)此即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．13．如圖，已知，，，求（請(qǐng)?zhí)羁眨┙猓骸?，∴________（________________）又∵，∴（________________）∴________（________________________）∴________（________________________）∵，∴________（____________）【答案】，兩直線平行，同位角相等；等量代換；，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；，補(bǔ)角的定義．【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定及其應(yīng)用．【詳解】∵，∴（兩直線平行，同位角相等）又∵，∴（等量代換）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角