考點(diǎn)03 一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（解析版）

考點(diǎn)三一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識點(diǎn)整合一、正比例函數(shù)的概念一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做正比例系數(shù)．二、一次函數(shù)1.一次函數(shù)的定義一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時，y=kx（k是常數(shù)，k≠0）．這時，y叫做x的正比例函數(shù)．2.一次函數(shù)的一般形式一次函數(shù)的一般形式為y=kx+b，其中k，b為常數(shù)，k≠0．一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）k≠0，（2）x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)b可以為任意實(shí)數(shù).3.注意（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).（2）一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).（3）如果一個函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量x的式子是一次的，系數(shù)k不等于0，而b可以為任意實(shí)數(shù)．（4）判斷一個函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.（5）一次函數(shù)的一般形式可以轉(zhuǎn)化為含x、y的二元一次方程.三、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．正比例函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)（0，0）的一條直線．k的符號函數(shù)圖象圖象的位置性質(zhì)k>0圖象經(jīng)過第一、三象限y隨x的增大而增大k<0圖象經(jīng)過第二、四象限y隨x的增大而減小2.一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)（1）一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0，b)和(-，0)的一條直線圖象關(guān)系一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平移b個單位長度；b<0，向下平移|b|個單位長度圖象確定因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線，由兩點(diǎn)確定一條直線可知畫一次函數(shù)圖象時，只要取兩點(diǎn)即可（2）一次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)字母取值圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)y=kx+b(k≠0)k>0，b>0一、二、三y隨x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k≠0)k<0，b>0一、二、四y隨x的增大而減小k<0，b<0二、三、四3.k，b的符號與直線y=kx+b（k≠0）的關(guān)系在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=-，即直線y=kx+b與x軸交于（–，0）．①當(dāng)–>0時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．②當(dāng)–=0，即b=0時，直線經(jīng)過原點(diǎn)．③當(dāng)–<0，即k，b同號時，直線與x軸交于負(fù)半軸．4.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：①當(dāng)k1=k2，b1≠b2，兩直線平行；②當(dāng)k1=k2，b1=b2，兩直線重合；③當(dāng)k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點(diǎn)；④當(dāng)k1·k2=–1時，兩直線垂直．四、待定系數(shù)法1．定義：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法叫做待定系數(shù)法．2．待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為y=kx（k≠0）．（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系數(shù)k．（4）將求得的待定系數(shù)k的值代入解析式．3．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)出含有待定系數(shù)k、b的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b．（2）把兩個已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k，b的二元一次方程組．（3）解二元一次方程組，求出k，b．（4）將求得的k，b的值代入解析式．五、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系正比例函數(shù)一次函數(shù)區(qū)別一般形式y(tǒng)=kx+b（k是常數(shù)，且k≠0）y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）圖象經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線一條直線k，b符號的作用k的符號決定其增減性，同時決定直線所經(jīng)過的象限k的符號決定其增減性；b的符號決定直線與y軸的交點(diǎn)位置；k，b的符號共同決定直線經(jīng)過的象限求解析式的條件只需要一對x，y的對應(yīng)值或一個點(diǎn)的坐標(biāo)需要兩對x，y的對應(yīng)值或兩個點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．②正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫法一樣，都是過兩點(diǎn)畫直線，但畫一次函數(shù)的圖象需取兩個不同的點(diǎn)，而畫正比例函數(shù)的圖象只要取一個不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可．③一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個單位長度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行．④一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)：a．當(dāng)k>0時，y的值隨x值的增大而增大；b．當(dāng)k<0時，y的值隨x值的增大而減?。?、一次函數(shù)與方程（組）、不等式1．一次函數(shù)與一元一次方程任何一個一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0)的形式．從函數(shù)的角度來看，解這個方程就是尋求自變量為何值時函數(shù)值為0；從函數(shù)圖象的角度考慮，解這個方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．一次函數(shù)與一元一次不等式任何一個一元一次不等式都能寫成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的條件．3．一次函數(shù)與二元一次方程組一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．因此，一個二元一次方程對應(yīng)一個一次函數(shù)，又因?yàn)橐粋€一次函數(shù)對應(yīng)一條直線，所以一個二元一次方程也對應(yīng)一條直線．進(jìn)一步可知，一個二元一次方程對應(yīng)兩個一次函數(shù)，因而也對應(yīng)兩條直線．從數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時，兩個函數(shù)的值相等，以及這兩個函數(shù)值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．考向一一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義1．正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．2．正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx（k≠0）的結(jié)構(gòu)特征：①k≠0；②x的次數(shù)是1．典例引領(lǐng)1．下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義，一般地，形如，（k為常數(shù)，）的函數(shù)叫做一次函數(shù)．根據(jù)定義分析即可．【詳解】解：①的右邊不是整式，不是一次函數(shù)；②的右邊不是整式，不是一次函數(shù)；；③是一次函數(shù)；④的自變量的次數(shù)是2，不是一次函數(shù)；⑤是一次函數(shù)．故選B．2．下列函數(shù)①；②；③；④中，是y關(guān)于x的一次函數(shù)的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義．熟練掌握一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：①中，是一次函數(shù)，正確，故符合要求；②中，不是整式，不是一次函數(shù)，錯誤，故不符合要求；③中，是一次函數(shù)，正確，故符合要求；④中，不是一次函數(shù)，錯誤，故不符合要求；故選：B．3．下列函數(shù)中，一定經(jīng)過的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了判斷點(diǎn)是否在函數(shù)上，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)上的點(diǎn)，必能使關(guān)系式左右相等．把點(diǎn)代入函數(shù)關(guān)系式，只要函數(shù)關(guān)系式左右相等即可．【詳解】解：A、把代入關(guān)系式，關(guān)系式左右不相等，故此點(diǎn)不在此函數(shù)中；B、把代入關(guān)系式，關(guān)系式左右不相等，故此點(diǎn)不在此函數(shù)中；C、把代入關(guān)系式，關(guān)系式左右不相等，故此點(diǎn)不在此函數(shù)中；D、把代入關(guān)系式，關(guān)系式左右相等，故此點(diǎn)在此函數(shù)中；故選：D．4．下列關(guān)系式中，y是x的一次函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義，根據(jù)“形如的是一次函數(shù)”，逐個判斷即可．【詳解】解：A、是一次函數(shù)，符合題意；B、不是一次函數(shù)，不符合題意；C、不是一次函數(shù)，不符合題意；D、不是一次函數(shù)，不符合題意；故選：A．二、填空題5．若函數(shù)是正比例函數(shù)，則的值是【答案】【分析】本題考查正比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵函數(shù)是正比例函數(shù)，∴且，∴且，∴，即的值是．故答案為：．變式拓展6．已知與成正比，當(dāng)時，．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)時的函數(shù)值．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求函數(shù)值；（1）利用正比例函數(shù)的定義得出的值，即可得出答案；（2）將代入（1）中函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：與成正比，設(shè)，把，代入得，，與之間的函數(shù)關(guān)系式為.（2），當(dāng)時，.7．已知y與x成正比例，且當(dāng)時，．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若點(diǎn)在這個函數(shù)的圖象上，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了正比例函數(shù)解析式，求自變量的值．熟練掌握正比例函數(shù)解析式，求自變量的值是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)正比例函數(shù)為，將，代入得，，計(jì)算求解，然后作答即可；（2）將代入得，，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)正比例函數(shù)為，將，代入得，，解得，∴；（2）解：將代入得，，解得，，∴a的值為．8．已知：是的函數(shù)，函數(shù)關(guān)系式為．(1)當(dāng)m為何值時，該函數(shù)是一次函數(shù)?(2)當(dāng)m、n為何值時，該函數(shù)是正比例函數(shù)?(3)當(dāng)m、n為何值時，該函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限?【答案】(1)(2)且(3)且【分析】本題考查的是一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義．（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的定義解答即可；（3）根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系解答即可．【詳解】（1）解：該函數(shù)是一次函數(shù)，，；（2）解：該函數(shù)是正比例函數(shù)，且，且；（3）解：該函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，，，且．9．已知是關(guān)于的正比例函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)是該函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查正比例函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、點(diǎn)在圖像上求參數(shù)等知識，熟練掌握正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可得到答案；（2）由（1）中所求表達(dá)式，將代入解析式即可得到答案．【詳解】（1）解：和x成正比例，設(shè)，當(dāng)時，，∴，；（2）由（1）知，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，把點(diǎn)代入，得，解得．10．寫出下列各題中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并判斷y是否為x的一次函數(shù)，是否為正比例函數(shù)．(1)長方形的面積為3，長方形的長y與寬x之間的關(guān)系；(2)剛上市時西瓜每千克元，買西瓜的總價y元與所買西瓜x千克之間的關(guān)系；(3)倉庫內(nèi)有粉筆400盒，如果每個星期領(lǐng)出36盒，倉庫內(nèi)余下的粉筆盒數(shù)y與星期數(shù)x之間的關(guān)系；(4)小林的爸爸為小林存了一份教育儲蓄，首次存入10000元，以后每個月存入500元，存入總數(shù)y元與月數(shù)x之間的關(guān)系．【答案】(1)，y是x反比例函數(shù)，不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)；(2)，y是x的一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)；(3)，y是x的一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)；(4)，y是x的一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)．【分析】本題考查一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義，熟練掌握它們的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義判斷即可．（2）根據(jù)題意寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義判斷即可．（3）根據(jù)題意寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義判斷即可．（4）根據(jù)題意寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)一次函數(shù)及正比例函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】（1）解：由題意的：，∴y不是x的一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)（2）解：由題意的：，∴y是x的一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)（3）解：由題意的：，∴y是x的一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)（4）解：由題意的：，∴y是x的一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)考向二一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．通常畫正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象時只需取一點(diǎn)（1，k），然后過原點(diǎn)和這一點(diǎn)畫直線．2．當(dāng)k>0時，函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象從左向右，呈上升趨勢；當(dāng)k<0時，函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象從左向右，呈下降趨勢．3．正比例函數(shù)y=kx中，|k|越大，直線y=kx越靠近y軸；|k|越小，直線y=kx越靠近x軸．4．一次函數(shù)圖象的位置和函數(shù)值y的增減性完全由b和比例系數(shù)k的符號決定．典例引領(lǐng)1．有下列函數(shù)：①；②；③；④．當(dāng)自變量在各自的取值范圍之內(nèi)時，其中隨的增大而增大的函數(shù)有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的增減性，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對①②判斷，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對③判斷，先求出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對④進(jìn)行判斷即可；【詳解】①是正比例函數(shù)，，故y隨著x增大而減小，故不符合題意；②是一次函數(shù)，，故y隨著x增大而增大，故符合題意；③是反比例函數(shù)，，在第二象限，y隨x增大而增大，故符合題意；④是二次函數(shù)，對稱軸為直線，當(dāng)圖象在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；而在對稱軸左側(cè)時，y隨著x的增大而減小，故不符合題意；隨的增大而增大的函數(shù)有②③，共2個．故選：B．2．對于一次函數(shù)：，圖像上兩點(diǎn)、，則下列說法正確的是（

）A．圖像經(jīng)過點(diǎn) B．圖像經(jīng)過一、二、四象限C．將它向下平移2個單位經(jīng)過原點(diǎn) D．當(dāng)時，【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、當(dāng)時，，所以圖像經(jīng)過點(diǎn)，不經(jīng)過，故選項(xiàng)不符合題意；B、因?yàn)?，，所以圖像經(jīng)過一、二、四象限，故選項(xiàng)符合題意；C、將它向下平移2個單位得，此時圖像不通過原點(diǎn)，故選項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)?，所以y隨x的增大而減小，所以，當(dāng)時，，故選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．已知一次函數(shù)，那么下列結(jié)論正確的是（

）A．圖象必經(jīng)過點(diǎn) B．圖象經(jīng)過第一、二、三象限 C．y的值隨x的值增大而增大 D．當(dāng)時，【答案】A【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)以及圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)時，，圖象必經(jīng)過點(diǎn)，故本選項(xiàng)符合題意；B、∵，，∴圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴隨的增大而減小，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵隨的增大而減小，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．4．若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則與的大小關(guān)系（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了比較一次函數(shù)值的大小，根據(jù)函數(shù)解析式得到y(tǒng)隨x增大而減小，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)解析式為，，∴y隨x增大而減小，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，∴，故選：B．5．已知一次函數(shù)，且y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)的增減性即在中，k>0時y隨x的增大而增大；k<0時，y隨x的增大而減小即可求解．【詳解】依題意得，解得故選C．變式拓展6．某一次函數(shù)具有如下性質(zhì)：函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，請你寫出一個滿足要求的一次函數(shù)表達(dá)式．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式．根據(jù)題意可得，即可求解．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為，∵函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴一次函數(shù)表達(dá)式為．故答案為：（答案不唯一）7．若，這兩個不同點(diǎn)在y關(guān)于x的一次函數(shù)圖象上，且，則a的取值范圍．【答案】【分析】本題考查了點(diǎn)在函數(shù)圖象上的意義，參數(shù)不等式；由點(diǎn)在函數(shù)圖象上得，，從而可表示出，代入已知不等式，即可求解；將不等式化為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，在一次函數(shù)圖象上，，，，，，，是兩個不同點(diǎn)，，，，；故答案：．8．已知，是一次函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，且，則m的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先判斷出與異號，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性求解即可得．【詳解】解：∵，∴與異號，∴對于一次函數(shù)，隨的增大而減小，∴，解得，故答案為：．三、解答題9．已知一次函數(shù)．(1)為何值時，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)？(2)若一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入一次函數(shù)，可得關(guān)于的一元一次方程，求解即可獲得答案；（2）根據(jù)該函數(shù)的增減性，可得，求解即可獲得答案．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入一次函數(shù)，可得，解得，∴當(dāng)時，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)；（2）若一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，則有，解得，∴的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式、根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)、解一元一次方程和解一元一次不等式等知識，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．已知與成正比，且當(dāng)時，．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)取什么范圍時，．【答案】(1)(2)【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)圖象及性質(zhì)．（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，再待定系數(shù)法求解即可；（2）利用一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，代入后即可得到本題答案．【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，將當(dāng)時，代入中得：，即：，∴；（2）解：∵，∴，隨增大而減小，當(dāng)時，，即：，∴時，，綜上所述：當(dāng)時，．考向三用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的步驟可簡單記為：一設(shè)，二代，三解，四回代．典例引領(lǐng)1．《國務(wù)院關(guān)于印發(fā)全民健身計(jì)劃（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身場地設(shè)施供給，建立健全場館運(yùn)營管理機(jī)制，提升場館使用效益．某健身中心為答謝新老顧客，舉行大型回饋活動，特推出兩種“冬季喚醒計(jì)劃”活動方案．方案1：顧客不購買會員卡，每次健身收費(fèi)30元．方案2：顧客花200元購買會員卡，每張會員卡僅限本人使用一年，每次健身收費(fèi)10元．設(shè)王彬一年內(nèi)來此健身中心健身的次數(shù)為（次），選擇方案1的費(fèi)用為（元），選擇方案2的費(fèi)用為（元）．(1)分別寫出，與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在如圖的平面直角坐標(biāo)系中分別畫出它們的函數(shù)圖象；(3)預(yù)計(jì)王彬一年內(nèi)能來此健身中心12次，選擇哪種方案比較合算？并說明理由．【答案】(1)，(2)見解析(3)他選擇方案二比較合算，理由見解析【分析】（1）本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)兩種方案分別列出函數(shù)關(guān)系式即可，理解題意是解題的關(guān)鍵；（2）本題主要考查了畫函數(shù)圖像，分別確定兩個函數(shù)圖像上的兩個點(diǎn)，然后連接即可；理解函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵；（2）本題主要考查了不等式的應(yīng)用，解不等式，即可確定來此健身中心12次費(fèi)用較小的方案．正確求解不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，；所以與x之間的函數(shù)表達(dá)式分別為，．（2）解：當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．據(jù)此描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖像如下：（3）解：王斌擇方案二比較合算，理由如下：解不等式，解得：，所以當(dāng)時，方案二優(yōu)惠，因?yàn)?，王斌擇方案二比較合算．2．已知與成正比例，且時，(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為【分析】（1）利用正比例函數(shù)的定義，設(shè)，然后把已知的對應(yīng)值代入求出即可；（2）把代入（1）中的解析式得到關(guān)于的方程，然后解方程即可．【詳解】（1）設(shè)與的表達(dá)式為，把時，代入得，解得，∴與的關(guān)系式為，即；（2）∵點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，∴，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：一次函數(shù)，則需要兩組的值．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．3．已知能分解成兩個一次因式之積．(1)求值；(2)令兩個一次因式分別等于0，視為x的函數(shù)，可以產(chǎn)生兩個一次函數(shù)，當(dāng)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)，得到，，求出，的值，即可求出的值；（2）由，得到，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）解：能分解成兩個一次因式之積，設(shè)，，，，，；（2）令兩個一次因式分別等于0，，，，，，或，的取值范圍是或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，因式分解分組分解法，因式分解十字相乘法，關(guān)鍵是用待定系數(shù)法，設(shè)．4．在某次抗震救災(zāi)中，鄭州市組織20輛汽車裝運(yùn)食品，藥品，生活用品三種救災(zāi)物資共100噸到災(zāi)民安置點(diǎn)．按計(jì)劃20輛汽車都要裝運(yùn)，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種救災(zāi)物資，且必須裝滿．請根據(jù)下表信息，回答問題：物資種類食品藥品生活用品每輛汽車運(yùn)載量（噸）654每噸所需運(yùn)費(fèi)（元）120160100(1)設(shè)裝運(yùn)食品的車輛數(shù)為x，裝運(yùn)藥品的車輛數(shù)為y，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)若裝運(yùn)食品的車輛數(shù)不少于5，裝運(yùn)藥品的車輛數(shù)不少于4，那么車輛的安排有幾種方案？【答案】(1)(2)安排方案有4種，見解析【分析】（1）先表示出裝運(yùn)生活用品的車輛數(shù)為，再結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)解答即可；（2）先根據(jù)題意得出關(guān)于x的不等式組，求出解集后結(jié)合x為整數(shù)即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，裝運(yùn)食品的車輛數(shù)為x，裝運(yùn)藥品的車輛數(shù)為y，那么裝運(yùn)生活用品的車輛數(shù)為，則有，整理得，，∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）由（1）知，裝運(yùn)食品，藥品，生活用品三種物資的車輛數(shù)分別為x，，x，由題意，得，解這個不等式組，得，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x的值為5，6，7，8．所以安排方案有4種：方案一：裝運(yùn)食品5輛、藥品10輛，生活用品5輛；方案二：裝運(yùn)食品6輛、藥品8輛，生活用品6輛；方案三：裝運(yùn)食品7輛、藥品6輛，生活用品7輛；方案四：裝運(yùn)食品8輛、藥品4輛，生活用品8輛．【點(diǎn)睛】本題考查了列出實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式和一元一次不等式組的應(yīng)用，正確理解題意、列出函數(shù)關(guān)系式和不等式組是解題的關(guān)鍵．5．習(xí)主席在二十大報(bào)告中提到“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對甲、乙兩個水稻品種進(jìn)行種植對比實(shí)驗(yàn)研究．去年甲、乙兩個品種各種植了100畝，收獲后甲、乙兩個品種的售價均為2.8元/千克，且甲的平均畝產(chǎn)量比乙的平均畝產(chǎn)量低100千克，甲、乙兩個品種全部售出后總收入為644000元．(1)請求出甲、乙兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少；(2)今年，科技小組加大了水稻種植的科研力度，在甲、乙種植畝數(shù)不變的情況下，預(yù)計(jì)甲、乙兩個品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加千克和千克．由于甲品種深受市場的歡迎，預(yù)計(jì)售價將在去年的基礎(chǔ)上每千克上漲元，而乙品種的售價將在去年的基礎(chǔ)上每千克下降元．若甲、乙兩個品種全部售出后總收入為元，請寫出與的關(guān)系式；若今年甲、乙兩個品種全部售出后總收入比去年增加9500元，水的值．【答案】(1)甲水稻品種去年平均畝產(chǎn)量是1100千克，乙水稻品種去年平均畝產(chǎn)量是1200千克(2)的值為5【分析】（1）設(shè)甲水稻品種去年平均畝產(chǎn)量是千克，乙水稻品種去年平均畝產(chǎn)量是千克，根據(jù)：甲的平均畝產(chǎn)量比乙的平均畝產(chǎn)量低100千克，甲、乙兩個品種全部售出后總收入為644000元，即可求解；（2）根據(jù)總收入等于甲乙兩個品種的收入之和即可列出與的關(guān)系式，進(jìn)而得到關(guān)于x的方程，解方程即得答案．【詳解】（1）設(shè)甲水稻品種去年平均畝產(chǎn)量是千克，乙水稻品種去年平均畝產(chǎn)量是千克，根據(jù)題意得，解得．答：甲水稻品種去年平均畝產(chǎn)量是1100千克，乙水稻品種去年平均畝產(chǎn)量是1200千克．（2）根據(jù)題意得：，整理得，∴y與x的關(guān)系式．∵今年甲、乙兩個品種全部售出后總收入比去年增加9500元，可得，解得．答：的值為5．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，列出實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式拓展6．如果一個函數(shù)的圖象由兩支組成，且每一支都滿足y隨x的增大而減小，那么稱這個函數(shù)為“雙減函數(shù)”，例如，我們學(xué)過的反比例函數(shù)就是“雙減函數(shù)”．(1)已知“雙減函數(shù)”的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，求該“雙減函數(shù)”的解析式；(2)若關(guān)于x的函數(shù)是“雙減函數(shù)”（為整數(shù)），與直線（d為常數(shù)）有兩個交點(diǎn)，且兩點(diǎn)間的距離為定值，求的取值范圍；(3)若關(guān)于的函數(shù)是“雙減函數(shù)”，當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．當(dāng)時，的最大值為，的最小值為，且，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)和列方程即可解答；（2）根據(jù)雙減函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)函數(shù)與有兩個交點(diǎn)并且交點(diǎn)距離是一個定值即可解答；（3）根據(jù)題意求出雙減函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的性質(zhì)分三種情況分別得到的值．【詳解】（1）解：依題意得，即，解得，∴該“雙減函數(shù)”的解析式為．（2）解：依題意得解得，又∵為整數(shù)，∴，∴，①當(dāng)時，如圖1．由，解得，由，解得∴，∴，由圖象可得，，∴；②當(dāng)時，如圖2．的圖象與直線（為常數(shù)）沒有兩個交點(diǎn)，∴不符合要求．綜上所述，的取值范圍是．（3）解：根據(jù)題意可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，．∵當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴，解得，∴函數(shù)圖象如圖3．①當(dāng)時：當(dāng)時，最大；當(dāng)時，最小，∴，，∵，∴，解得；②當(dāng)時：當(dāng)時，最大；當(dāng)時，最小，∴，，∵，∴，，解得（舍去）；③當(dāng)時：當(dāng)時，y最大：當(dāng)時，y最小，∴，．∵，∴，解得，綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義雙減函數(shù)，一次函數(shù)性質(zhì)和圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，理解雙減函數(shù)定義和性質(zhì)是解的關(guān)鍵．7．甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步米，先到終點(diǎn)的人原地休息，甲先出發(fā)2秒．在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與乙出發(fā)的時間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示．(1)求出圖中a、b、c的值；(2)在乙出發(fā)多少秒后，甲、乙兩人相距米？【答案】(1)，，；(2)乙出發(fā)秒或者秒后，甲、乙兩人相距米．【分析】（1）由函數(shù)圖象可以分別求出甲的速度為4米/秒，乙的速度為5米/秒，就可以求出乙追上甲的時間a的值，b表示甲跑完全程時甲、乙之間的距離，c表示乙出發(fā)后多少時間，甲走完全程就用甲走完全程的時間?2就可以得出結(jié)論；（2）分別求出8秒到100秒和100秒到123秒的解析式，再把代入即可解出x值．【詳解】（1）解：由題意及函數(shù)圖象可以得出：甲的速度為：（米/秒），乙的速度為：500÷100＝5（米/秒），（秒）；（米），（秒），所以．（2）設(shè)秒和秒的解析式分別為和，把代入得解得，把代入得解得，秒解析式：，秒的解析式，當(dāng)時，則，所以在乙出發(fā)秒或者秒后，甲、乙兩人相距米【點(diǎn)睛】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，一次函數(shù)的運(yùn)用，清晰準(zhǔn)確從圖像獲得信息是解題的關(guān)鍵．8．某公交公司的16路公交車每月的支出費(fèi)用為4000元，每月的乘車人數(shù)（人與這趟公交車每月的利潤（利潤收入費(fèi)用支出費(fèi)用）（元的變化關(guān)系如表所示（每位乘客乘一次公交的票價是固定不變的）（人50010001500200025003000（元010002000請回答下列問題：(1)自變量為，因變量為；(2)與之間的關(guān)系式是；(3)當(dāng)每月乘車人數(shù)為4000人時，每月利潤為多少元？【答案】(1)每月的乘車人數(shù)，公交車每月的利潤(2)(3)當(dāng)每月乘車人數(shù)為4000人時，每月利潤為4000元【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)量變化可得答案；（2）根據(jù)乘坐人數(shù)與每月的利潤的變化關(guān)系可求出每位乘客坐一次車需要的錢數(shù)，進(jìn)而得出函數(shù)關(guān)系式；（3）把x=4000代入函數(shù)關(guān)系式求出y的值即可．【詳解】（1）解：由題意可知：自變量是：每月的乘車人數(shù)，因變量是：公交車每月的利潤．故答案為∶每月的乘車人數(shù)，公交車每月的利潤．（2）解：從表格中數(shù)據(jù)變化可知，每月乘車人數(shù)每增加500人，其每月的利潤就增加1000元，每位乘客坐一次車需要（元，即函數(shù)關(guān)系式為：．（3）解：當(dāng)時，（元．答：當(dāng)每月乘車人數(shù)為4000人時，每月利潤為4000元．【點(diǎn)睛】本題考查常量與變量，函數(shù)關(guān)系式，理解表格中兩個變量的變化關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．9．設(shè)一次函數(shù)，（m，n是常數(shù)，且m≠0，m≠n，n>0）當(dāng)m=3，n=2時(1)求函數(shù)y1，y2圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)若>，求自變量x的取值范圍．【答案】(1)(5，12)(2)【詳解】（1）解：當(dāng)m=3，n=2時，，聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得：，解得，∴函數(shù)y1，y2圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5，12)．（2）解：令得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、解二元一次方程組、解不等式等，熟練掌握上述知識點(diǎn)并結(jié)合應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．10．經(jīng)過武漢人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武漢市全面復(fù)工復(fù)產(chǎn)的過程中，專家建議要定期對辦公場所進(jìn)行消毒殺菌（簡稱“消殺”），現(xiàn)有A，B，C三個公司針對中小企業(yè)開展消殺業(yè)務(wù)，價格如下：公司器材租賃費(fèi)（單位：元）人工費(fèi)用（單位：元/平方米）A00.5B400.3C2980（1）設(shè)某辦公場所需要消殺的面積為x平方米（0＜x≤1000），公司A，B的收費(fèi)金額y1，y2都是x的函數(shù)，則這兩個函數(shù)的解析式分別是，．若選擇公司A最省錢，則所需要消殺的面積x的取值范圍為；若選擇公司B最省錢，則所需要消殺的面積x的取值范圍為；若選擇公司C最省錢，則所需要消殺的面積x的取值范圍為．（2）A公司為了開拓市場推出了以下優(yōu)惠活動：前a平方米按原價收費(fèi)，超過的部分半價優(yōu)惠，經(jīng)過價格比較：消殺面積為700平方米的某企業(yè)選擇了B公司，消殺面積為860平方米的某幼兒園選擇了A公司，試根據(jù)以上信息，求a的取值范圍．【答案】（1）y1＝0.5x，y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860；860≤x≤1000；（2）300≤a≤332．【分析】（1）根據(jù)題意，A公司人工費(fèi)用每平方米0.5元，可得，y1＝0.5x；B公司需要器材租賃費(fèi)40元，人工費(fèi)用每平方米0.3元，則y2＝0.3x+40；若選擇公司A最省錢，則需要讓A公司的收費(fèi)金額小于等于B公司和C公司的費(fèi)用，列出不等式組進(jìn)行求解；依此類推．（2）已知消殺面積為700平方米的某企業(yè)選擇了B公司，消殺面積為860平方米的某幼兒園選擇了A公司，由此可列出不等式組，進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）由題意可得，y1＝0.5x，y2＝0.3x+40，若選擇公司A最省錢，則有，解得x≤200，∵0＜x≤1000，∴0＜x≤200；若選擇公司B最省錢，則有，解得200≤x≤860；∵0＜x≤1000，∴200≤x≤860；若選擇公司C最省錢，則有，解得x≥860，∵0＜x≤1000，∴860≤x≤1000．故答案為：y1＝0.5x；y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860；860≤x≤1000．（2）根據(jù)題意可得，推出優(yōu)惠活動后，y1＝0.5a+0.25（x﹣a）＝0.25x+0.25a，則有，解得300≤a≤332．∴此時a的取值范圍為：300≤a≤332．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，明確題意，列出不等式組是解題的關(guān)鍵．考向四一次函數(shù)與方程、不等式1．方程ax+b=k（a≠0）的解?函數(shù)y=ax+b（a≠0）中，y=k時x的值.2．方程ax+b=k（a≠0）的解?函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與直線y=k的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3.一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）與一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的關(guān)系：ax+b>0的解集?y=ax+b中，y>0時x的取值范圍，即直線y=ax+b在x軸上方部分圖象對應(yīng)的x的取值范圍；4.ax+b<0的解集?y=ax+b中，y<0時x的取值范圍，即直線y=ax+b在x軸下方部分圖象對應(yīng)的x的取值范圍．5．二元一次方程kx-y+b=0（k≠0）的解與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)是一一對應(yīng)的．6．兩個一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是相應(yīng)二元一次方程組的解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．典例引領(lǐng)1．直線：過點(diǎn)和，直線：和y軸交于點(diǎn)B和直線交于C點(diǎn)．(1)求兩條直線交點(diǎn)C的坐標(biāo)及的面積；(2)x取何值時，．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與一元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式組．（1）把點(diǎn)A，D的坐標(biāo)代入直線：，求出k和b的值，從而得到直線的解析式．解直線和直線的解析式組成的方程組，即可得到交點(diǎn)C的坐標(biāo)．根據(jù)三角形的面積公式即可求的的面積．（2）由得，求解即可．【詳解】（1）∵直線：過點(diǎn)和，∴，解得，∴直線的解析式為，解方程組得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，把代入直線：，得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，如圖所示，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)N，∵，，，∴，，∴．（2）∵，，∴當(dāng)時，，解得：．2．已知直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，另一直線過點(diǎn)，且把分成兩部分．(1)若被分成的兩部分面積相等，求k與b；(2)若被分成的兩部分面積比為，求k與b．【答案】(1)，(2)，或，【分析】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與幾何圖形，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．（1）先求出直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再證明點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，得到所求直線過A，C兩點(diǎn)，最后用待定系數(shù)法求直線的解析式，即得答案；（2）因?yàn)楸环殖傻膬刹糠置娣e比為，所以分兩種情況，即或，分別用待定系數(shù)法求直線或的解析式，即得答案．【詳解】（1）解：令，則，所以，令，則，所以，，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且把分成兩部分，它必過點(diǎn)A，，解得；（2）如圖，當(dāng)時，點(diǎn)D必在線段上，設(shè)，則，解得，，將C，D的坐標(biāo)代入，得，解得；如圖，當(dāng)時，點(diǎn)E必在線段上，設(shè)，則，解得，將C，E的坐標(biāo)代入，，解得．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)B，直線分別交x軸y軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，兩條直線交于點(diǎn)A．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)在直線上求點(diǎn)M，使得．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】本題主要考查了直線圍成的圖形面積，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：（1）聯(lián)立兩直線解析式求出對應(yīng)的x、y的值即可得到答案；（2）分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A下方時，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A上方時，兩種情況求出與的關(guān)系進(jìn)而得到與的關(guān)系，從而求出，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解；聯(lián)立，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A下方時，∵，∴，∵，，∴∴，∵，∴，在中，當(dāng)時，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A上方時，∵，∴，∵，，∴∴，∵，∴，在中，當(dāng)時，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為