2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念及其表示（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

第06講函數(shù)的概念及其表示(精講)

題型目錄一覽

①給出函數(shù)解析式求解定義域

②抽象函數(shù)定義域的求法

③函數(shù)值域的求法

④函數(shù)解析式的求法

⑤分段函數(shù)的應(yīng)用

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

1.函數(shù)的概念

(1)一般地，給定非空數(shù)集/,B,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則),使得/中任意元素x,都有3中

唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么從集合/到集合8的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合/到集合8的一

個(gè)函數(shù).記作：x-y=/(x),xe/.集合/叫做函數(shù)的定義域，記為。，集合｛My=/(x),

xe/｝叫做值域，記為C.

(2)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射.

(3)函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為y=/(x),xeD

(4)函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則.

(5)同一函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同.

2.基本的函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

(1)分式的分母不為零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1;

(4)零次幕或負(fù)指數(shù)次幕的底數(shù)不為零；

(5)三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是｛x|xeR,且工/日+^,左ez1；

(6)已知/(x)的定義域求解/[g(x)]的定義域，或已知/[g(x)]的定義域求/(x)的

定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則J下，括號(hào)內(nèi)式子

的范圍相同；

(7)對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的

定義域.

3.基本初等函數(shù)的值域

(1)F=丘+6(我片0)的值域是R.

(2)y=a/+6x+c(aW0)的值域是：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椤?當(dāng)a<0時(shí)，值域

4。

為｛"2?。?

4。

k

(3)y=*#0)的值域是{y\y豐0}.

(4)y=/(。>0且awl)的值域是(0,+oo).

(5)y=log”x(a>0且aw1)的值域是R.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通

常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

提醒：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值

域是各段值域的并集.

二、題型分類精講

題型一給出函數(shù)解析式求解定義域

畬策略方法已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法

(1)簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域：若/(x)是由一些基本初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它

的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集.

(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定

對(duì)應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集

即可.

【典例1】求下列函數(shù)的定義域:

(l)/(x)=2+--；

X-Z

⑵仆)=(1)。+jg；

(3)/(x)=A/3—xy/x—1;

【答案】(l){x|尤R2}.

⑵{X|X>-1且XWl}.

(3){x|l<x<3}.

(4)卜,《1且工片-1}.

【分析】(D根據(jù)分母不為0,列式可求出；

(2)根據(jù)底數(shù)不為0以及二次根式的被開方數(shù)大于等于0且分母不為0,列式可求出；

(3)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于0,列式可得出；

(4)根據(jù)分母不為0和二次根式的被開方數(shù)大于等于0,即可求出定義域.

【詳解】(1)由題意知，尤-2*0,即：x豐2,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xw2}.

%—1w0

2

(2)由題意知，一解得：x〉-1且xwl,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧劉》〉-1且xwl}.

X+1

x+1w0

(3)由題意知，［：［；：；，解得：14xW3,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|lWx<3}.

fx+lwO,.、

(4)由題意知，解得：QI且XW7,所以這個(gè)函數(shù)定義域?yàn)椴穔41且xw-1}.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.下列四組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)表示的是同一個(gè)函數(shù)的是()

A./(x)=一五與/(%)=%+收B./(X)=1。83%2與/(%)=嚏3、

C./(無(wú))=7?與/卜)=XD./卜)=而一1)3與/(x)=x-l

【答案】D

【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，即可判斷它們是同一函數(shù).

2r\

【詳解】對(duì)于A,=x豐也,而〃x)=x+VLxeR,二者定義域不相同，

不是同一函數(shù)；

2

對(duì)于B,/(x)=log3x,xwO,而/(1)=唾3、，x>0,二者定義域不相同，不是同一函數(shù);

對(duì)于C,/(x)=V?=|x|,二者定義域相同，對(duì)應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)；

對(duì)于D,/(x)=V(x-l)3=x-l,xeR,二者定義域、對(duì)應(yīng)法則均相同，是同一函數(shù).

故選：D.

,,ln(x+l)一、，，

2.函數(shù)了=72定義域?yàn)?)

V4-x2

A.(-1,2)B.(-1,2]C.(1,2)D.(1,2]

【答案】A

fx+1>0—

【分析】由/2八計(jì)算得解.

[4-x>0

fx+1>0-ln(x+l)一,

【詳解】由“2八得T<x<2,所以函數(shù)k十W定義域?yàn)?-1,2).

[4-x2>0,4-尤2

故選：A.

二、填空題

1

3.函數(shù)L兩尹的定義域是----------

【答案】q,l]u(l,+⑹

【分析】根據(jù)題意可得出無(wú)所滿足的不等式組，進(jìn)而可得函數(shù)的定義域.

f2x-l>01

【詳解】由題意可得Jbg(2x7)70'解得X>]且XXL

因此，函數(shù)廣則；1)的定義域是加U(l,+⑹.

故答案為：g,l]u(l,+m).

4.函數(shù)y=Igsiwc+jg-cosx的定義域是.

【答案】,+費(fèi)+0口

【分析】根據(jù)偶次開方的被開方數(shù)為非負(fù)且對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0可以得到不等式組求解

即可.

sinx>0

【詳解】要使函數(shù)有意義，需1c

12

2E<x<7i+2kn,keZ

解得：，兀o,，，5兀

—F2kliSxsF2kn,kGN

[33

兀

即2癡+—<x<2左兀+it,kGZ

故答案為：2版+：2也+弓(左eZ)

三、解答題

5.求下列函數(shù)的定義域：

3x

(1)/w-

(2)/(x)=E；

(3)/(x)=7^7I

(4)△x)=E

【答案】(1)&|xw4｝；(2)R；(3)｛x|x*l,且xw2｝；(4)｛x|xV4且xwl｝

【解析】(1)根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；

(2)根據(jù)偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)直接求解即可；

(3)根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；

(4)根據(jù)偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)、分式中的分母為不為零直接求解即可

【詳解】解：(1)vx-4^0,

：.x^4,定義域?yàn)?|x*4｝；

(2)不論x取什么實(shí)數(shù)，二次根式都有意義，所以定義域?yàn)镽；

(3):—3x+2w0,

且x#2,定義域?yàn)椋鹸|xRl,且無(wú)#2｝；

4-x0,\x4

且

(4)無(wú)一1W0]x片14xw1.

...定義域?yàn)椋鹸|xW4且方1｝.

【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

匕二+尤的定義域?yàn)椤?

6.已知函數(shù)了=lg(3-4x+2)

1-X

(1)求林

(2)當(dāng)XEM時(shí)，求/(%)=42+2+3x4"(。>-3)的最小值.

33

2a+-(?>--)

44

【答案】(1)M=[—U)(2)/(x)=

min42「3、

——a(-3<a<——)

34

【分析】(1)根據(jù)被開方數(shù)大于等于零、分式分母不為零、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零求解定義域;

(2)將/(%)看成是關(guān)于2、的二次函數(shù)，根據(jù)2、的范圍討論。的范圍來(lái)確定最小值.

且20且XW1

【詳解】解：(1)..?由題意可得1-X

3-4x+x2>0

可解得M=[-1,1)

?/74

(2)/(x)=0.2"2+3x4*=3(2,+>丁2

又一<2X<2,a>—39

2

-T<2

①若-?V：,即心-|■時(shí)，/(x)min=/(-1)=2?+1,

J，44

②若L-包<2,即-3<q<-之時(shí),

234

ga,即x=log2(-g)時(shí),/(x)=-：〃

所以當(dāng)2、=1nto

33

2。+—(a>—-)

44

42/,3、

——a(-3<a<—)

134

【點(diǎn)睛】(D常見的定義域問(wèn)題中會(huì)涉及：分式分母不為零、對(duì)數(shù)真數(shù)大于零、根號(hào)下數(shù)

■JT

大于等于零、tanx中xw左;r+萬(wàn),左￡Z等;

(2)對(duì)于形如/(%)=。2、+4/+。形式的函數(shù)，可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，然后完成

問(wèn)題的求解.

題型二抽象函數(shù)定義域的求法

畬策略方法抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由gg(x)助求

出.

(2)若已知函數(shù)/(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則/(x)的定義域?yàn)間(x)在xe[a,瓦)時(shí)的

值域.

提醒：明確定義域是自變量“x”的取值范圍.

【典例1】求下列函數(shù)的定義域：

⑴已知函數(shù)/(幻的定義域?yàn)閇1,2],求函數(shù)＞=/(2x+l)的定義域;

⑵己知函數(shù)＞=/（2x+l）的定義域[1,2],求函數(shù)/（x）的定義域；

⑶已知函數(shù)y="2x+l）的定義域口，2],求函數(shù)y=/（2x-D的定義域.

【答案】（1）[0,1|

⑵[3,5]

（3）[2,3]

【分析】（1）由/（X）的定義域可得1V2X+1V2,求出X的取值集合即可得出/（2尤+1）的定義域;

⑵由/（2x+l）的定義域可得1WX42,求出2x+l的取值集合即可得出的定義域；（3）由

〃2x+l）的定義域可得1VXV2,求出2x+l的取值集合即可得出/*）的定義域，進(jìn)而得出

2x-l的取值集合，再求出x的取值集合即可；

⑴設(shè)2x+l=f,由于函數(shù)了=/（。定義域?yàn)閇1,2],

故1W2,即1V2X+1V2,解得OWxW』，

2

所以函數(shù)y=/（2x+i）的定義域?yàn)閇0,1];

（2）設(shè)2x+l=f,因?yàn)?4x42,

所以3M2X+1V5,即34/45,函數(shù)尸f⑺的定義域?yàn)閇3,5],

由此得函數(shù)了=/（尤）的定義域?yàn)閇3,5]；

⑶因?yàn)楹瘮?shù)y=/（2x+l）的定義域?yàn)閇1,2],即1WXV2,

所以3M2X+1V5,所以函數(shù)y=/（尤）的定義域?yàn)閇3,5],

由3V2X-1V5,得2V尤V3,

所以函數(shù)y=/（2x-l）的定義域?yàn)閇2,3].

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.若函數(shù)〃力的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)g（x）=/（x+2）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

【答案】A

【分析】由函數(shù)“X）的定義域，可得OWx+244,求出x的范圍，即可得到函數(shù)g（x）的定

義域.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X）的定義域?yàn)閇0,4],

所以0VX+2W4,解得-24x42,

所以函數(shù)8（司=/"+2）的定義域?yàn)閇-2,2].

故選：A.

2.已知函數(shù)了=/（尤+1）的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)y=/（2x-l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

i3

A.—,1B.—,2C.[-1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】???函數(shù)V=/(x+l)的定義域?yàn)閇1.2],即14x42,可得2VX+1V3,

二函數(shù)了=/@)的定義域?yàn)閇2,3],

3

令2—43,解得

故函數(shù)y=/(2x-l)的定義域?yàn)?,2.

故選:B.

3.函數(shù)“X)的定義域?yàn)?2,4],則夕=/9的定義域?yàn)?)

X-1

A.(1,8]B.[-4,l)u(l,8]

C.(1,2]D.[-1,1)U(1,2]

【答案】D

【分析】利用抽象函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求解.

[-2<2x<4,

【詳解】解：由題意得?八

解得-14x42且x/1.

故選：D

二、填空題

4.若已知函數(shù)了(4尤-1)的定義域?yàn)閇0,問(wèn)，則可求得函數(shù)f(2x-l)的定義域?yàn)閇0,2]；問(wèn)實(shí)

數(shù)m的值為.

【答案】1

【分析】分別求得4x7和2x-l的取值范圍，由這兩個(gè)范圍相同可得加值.

【詳解】函數(shù)中，0Wx(冽n-1V4x-lV4加一1,

函數(shù)/(2x-l)中，”2x-”3,

所以4m-1=3,m=l.

故答案為：L

5.已知函數(shù)〃X+1)的定義域?yàn)閇-2,3],則函數(shù)+11的定義域.

【答案】hX"；或xwg

【分析】根據(jù)函數(shù)于(x+1)的定義域關(guān)系轉(zhuǎn)化求解-1<-+1<4即可得解.

X

【詳解】已知函數(shù)/(X+1)的定義域?yàn)椋?2,3］,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?L4］,

在函數(shù)/(一+1］中，-1V：+1V4,

-2<-<3

X

所以x-g或

所以函數(shù)”的定義域：卜或x］｝.

故答案為：卜“3或2比

三、解答題

6.已知函數(shù)/(l-2x)的定義域?yàn)镹=1,1.

(1)求/(X)的定義域3;

⑵對(duì)于(1)中的集合8,若大€8,使得一x+1成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴8=［-1,0］

⑵。，+°°)

【分析】(1)由復(fù)合函數(shù)的定義域定義求解，即由已知尤的范圍求得l-2x的取值范圍；

(2)求出/_x+l在xeB時(shí)的最小值即得.

【詳解】(1)的定義域?yàn)?=1,1,

l,.-.-l<l-2x<0,貝ijB=［-1,0］.

⑵令gG)=x2_x+l,.?祗eB,使得0>/_苫+1成立，即。大于g(x)在［T。］上的最小

值，

因?yàn)?卜)=1_3+：.”(尤)在［-1,0］上的最小值為8(0)=1,

，實(shí)數(shù)。的取值范圍為。,+8).

7.已知函數(shù)/(》)=2,的定義域是［0是］,設(shè)g(x)=〃2x)-/(x+2),

(1)求g(x)的定義域;

(2)求函數(shù)g(x)的最大值和最小值.

【答案】⑴[0,1]

⑵最大值為-3,最小值為-4

【分析】(D根據(jù)/(x)的定義域列出不等式即可求出；

(2)可得g(x)=(2-2)2-4,即可求出最值.

【詳解】⑴/("=2"的定義域是[0,3],g(x)=/(2x)-/(x+2),

/、「If02x3

因?yàn)椤╔)的定義域是[0,3],所以，解得0X1.

IU兒I乙D

于是g(x)的定義域?yàn)閇0』.

(2)設(shè)g(x)=(2，『_4x2，=(2工-2j一4.

因?yàn)閤e[0,l],即2飛[1,2],所以當(dāng)2'=2時(shí)，即x=l時(shí)，

g(x)取得最小值，值為-4；

當(dāng)2—1時(shí)，即x=0時(shí),g(x)取得最大值,值為-3.

題型三函數(shù)值域的求法

畬策略方法函數(shù)值域的求法主要有以下幾種

(1)觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域(如/沙,優(yōu)〉0及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的

計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域.

(2)配方法：對(duì)于形如尸加+6x+c(叱0)的值域問(wèn)題可充分利用二次函數(shù)可配

方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.

(3)圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型.

(4)基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.

(5)換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形y=ax+6+F2的值城，

可通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).

(6)分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)

化內(nèi)便于分析.

(7)判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的一元二次方程，利用一元二次方程

的判別式求值域，一般地，形如N=/x+8,d&+bx+c或y="2c的函數(shù)

值域問(wèn)題可運(yùn)用判別式法(注意X的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R).

(8)單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域(或它的子集)內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對(duì)

于形如y=slax+b+-Jcx+dy=ax+b+y/cx+d的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)

性法.

【典例1】試求下列函數(shù)的值域.

(l)y(x)=(x-l)2+l,xe(-1,0,1,2,3)

⑵f(x)=x?-2x+2

(4)y=x-Jx+1

【答案】⑴定義域?yàn)閧T，0，l，2,3},值域?yàn)閧1,2,5}.

(2)定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇1,+s)

(3)定義域?yàn)閧尤|xwl},值域"5,+oo).

(4)定義域是{x|xNT},值域

【分析】(1)定義域已知，代入計(jì)算得到值域.

(2)變換〃X)=(X-1)2+1N1,得到答案.

(3)確定定義域，變換/(x)=5+」？，得到值域.

(4)設(shè)夕=「-1-/=0-；：-(,計(jì)算得到定義域和值域.

【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧TO123},則=一iy+]=5,

同理可得〃0)=2,/(1)=1,"2)=2,/(3)=5,所以函數(shù)的值域?yàn)閧1,2,5}.

(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,H^/(X)=X2-2X+2=(X-1)2+1>1,所以函數(shù)的值域?yàn)閇1,+8).

(3)函數(shù)的定義域?yàn)閤lxwl,因?yàn)?(無(wú)卜==

x-lx-lx-1

所以函數(shù)的值域?yàn)?-8,5)"5,+8).

(4)要使函數(shù)有意義，需滿足x+120,即x'T,故函數(shù)的定義域是{x|x2-1}.

設(shè)貝1]x=J一1(d0),于是y=f2-i7=k一口二*,

又給0,所以所以函數(shù)的值域?yàn)?8

44

【題型訓(xùn)練】

一、解答題

1.求下列函數(shù)的值域：

(l?=2x+l；

(2)y=x2—4x+6,xG[l,5)；

(4)y=x+4x-

【答案】⑴R；

(2)[2,11)；

(3){y|yr3}；

⑷[0,+孫

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求其值域；

⑵作二次函數(shù)在[1,5)之間的圖像，數(shù)形結(jié)合即可求其值域；

(3)函數(shù)解析式分離常數(shù)法即可求其值域；

(4)利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求其值域.

(1)因?yàn)閤WR,所以2x+lGR,即函數(shù)的值域?yàn)镽.

(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因?yàn)閤G[l,5),如圖所示:

y

所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋?,11).

(3)借助反比例函數(shù)的特征求.

3(x+l)-44/、

y=——-=3--------(x?1)

x+1x+1'7

4

顯然可取。以外的一切實(shí)數(shù)，即所求函數(shù)的值域?yàn)閧y|yr3}.

21IT〃NO),

(4)設(shè)〃=?(xNO),貝!Jx=u2(*0),y-u+u=U+

由UNO,可知(u+；］q,所以yK).

所以函數(shù)y=x+6的值域?yàn)椋?,+(?).

二、單選題

2.函數(shù)/(x)=，3x—2,xe{1,3,5},則/(x)的值域是()

阮同

A.{1,B.[0,+oo]C.[1,+℃]D.R

【答案】A

【分析】由函數(shù)值域定義可得答案.

【詳解】由題意得：/（1）=1,/（3）=77,/（5）=713.

故“X）的值域是卜,〃,V13）.

故選：A.

\-x,x<0

3.下列四個(gè)函數(shù)：①了=3-尤；②>」；③y=x2+2x-10；@y=i.其中定

X——,x>0

義域與值域相同的函數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式分別求得每個(gè)函數(shù)的定義域和值域，即可判斷出答案.

【詳解】①y=3-x的定義域和值域均為R,

②y=L定義域?yàn)閧xeRIxRO},.?.值域?yàn)閧yeRlyHO},定義域與值域相同；

X

③了=/+2-10=（》+1）2—11的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?

定義域與值域不相同；

-x,x<0

@y=\1八的定義域?yàn)镽,當(dāng)時(shí)，y=-x>0.

——,%>0

當(dāng)x>0時(shí)，^=--<0,則函數(shù)值域?yàn)镽,故函數(shù)定義域與值域相同，

所以函數(shù)定義域與值域相同的函數(shù)是①②④，共有3個(gè).

故選：C.

4.下列函數(shù)中，值域是（O,+e）的是（）

x+2

A.y=yjx2-2x+lB.y=-----XG（0,+GO）

x+1

21

C.y=—；-----------，xeND.y=I

x1+2x+\\x+i\

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：y=Vx2-2x+l=7（x-l）2=|x-l|>0,即函數(shù)的值域?yàn)樗?少），錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)B：^=￡±|=1±1!1=1+1,則函數(shù)在（0,+句上為減函數(shù)，貝！Jl<y<2,即函

x+1x+lX+1

數(shù)的值域?yàn)椋?,2）,錯(cuò)誤；

2

對(duì)選項(xiàng)C：函數(shù)的定義域?yàn)镹,函數(shù)的4=2；「xeN值域不連續(xù)，錯(cuò)誤；

%+2%+1

對(duì)選項(xiàng)D：>=向>。，函數(shù)的值域?yàn)椋?,+s）.

故選：D

三、多選題

4Y]

5.已知函數(shù)/（x）=^—,則（）.

x—2

A.“X）的值域是{引尸4}B./（X）的定義域?yàn)橹?

C./（2026）+/（-2022）=8D./（2023）+/（-2019）=8

【答案】ACD

【分析】由分式性質(zhì)求定義域，分離常量法確定值域，進(jìn)而得到的對(duì)稱中心，即可判

斷C、D正誤.

【詳解】由/（》）=止4=4+工，則定義域?yàn)閧x|xw2},值域?yàn)閧用了力4},

x-2x-2

所以（2,4）是〃x）的對(duì)稱中心，貝！]/（2026）+/（-2022）=/（2023）+/（-2019）=8,

綜上，A,C、D正確，B錯(cuò)誤.

故選：ACD

6.下列函數(shù)最小值為2的是（）

21

A.y=x+4x+6B.y=x+—

x

C.y=2x+^D.j=|lnx|+2

【答案】ACD

【分析】利用配方法判斷A,利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)判斷B,利用均值不等式判斷C,利用對(duì)

數(shù)函數(shù)的值域判斷D.

【詳解】）/=x2+4x+6=（x+2）2+2>2,最小值為2,選項(xiàng)A正確；

當(dāng)x<0時(shí)，y=x+—<0無(wú)最小值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

xt

JC

y=r+—=2.2~=2,當(dāng)且僅當(dāng)2'=1,即x=0時(shí)取得最小值2,選項(xiàng)C正確；

2XyT2X

InxeR,所以|lnx|?0,y=|lnx|+2>2,當(dāng)x=l時(shí)取得最小值2,選項(xiàng)D正確.故選：ACD

四、填空題

7.函數(shù)/G）=￡,工4-1,1]的值域?yàn)?（結(jié)果用區(qū)間表示）

【答案】1,1

【分析】xe[-M],則f+le[1,2],得到/（%）=為,的值域.

【詳解】則，+1中,2],故〃x）=±,xe[T,l]的值域?yàn)?故答案為:

P1

8.函數(shù)y=W的值域?yàn)?

【答案】1,2）

【分析】應(yīng)用分離常量法求函數(shù)值域即可.

【詳解】由2（〉+1）_3_2_3,又一+121,則0<—7W3,所以ye[T,2）.

x2+lx2+lX2+1

故答案為：[T,2）

題型四函數(shù)解析式的求法

畬策略方法函數(shù)解析式的常見求法

待廣、/一陪巨血菌藪帝親塞百甫番兔聚藪京!

數(shù)法

工沙已知復(fù)合函數(shù)/（g（%））的解析式，可用換

換兀法元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍

通巨而秦祥…二八）兩花可習(xí)

I配湊法]一；改寫成關(guān)于g（“）的表達(dá)式，然后以先替代

―）,便得了（%）的解析式

R-r-n!已知八％）與/（工）或八一%）之間的關(guān)系:

消去（萬(wàn)''"）\

程組）法一：式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等1

，式組成方程組，通過(guò)解方程組求出￡（冤）：

【典例11（1）己知〃尤）是一次函數(shù)，且滿足3/（尤+1）-/（0=2尤+9,求的解析式.

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,均有〃x）-2/（-x）=9x+2,求）卜）的解析式.

【答案】（D/（%）=x+3；（2）/（x）=3x-2.

【分析】（D設(shè)〃x）=Ax+6,利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）構(gòu)造關(guān)于/（x）J（r）方程組求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)是一次函數(shù)，所以設(shè)/(%)=h+6,JO,

又因?yàn)?/(x+l)-/(x)=2x+9,

所以3[左(x+1)+6]—(丘+b)=2x+9,整理得2日+3左+26=2尤+9,

2k=2k-\

故3k+2b=9'解得

6=3

所以/'(x)=x+3.

(2)因?yàn)?(x)-2/(-x)=9x+2①,

所以「(-尤)-2/(元)=一9尤+2②,

由①+2x②得：—if(x)——9x+6,

解得：/(x)=3x-2.

【典例2】(1)已知〃x+l)=2x-3,求〃x)的解析式；

(2)已知/(耳+3/(-》)=/+/-2》，求“X)的解析式.

【答案】(D/(x)=2x—5；(2)/(x)=-1x3+^2+x

【分析】(1)應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式；

(2)構(gòu)造方程組并作差求函數(shù)解析式.

【詳解】(D令f=x+l,貝曦="1,故/⑺=2("1)-3=2-5,

所以/(x)=2x-5；

(2)由題設(shè)/(-x)+3/(x)=--+x2+2x①，結(jié)合/(x)+3/(-x)=x3+無(wú)2-2x②,

3x①一②得：Sf(x')--4X3+2X2+8X,故/'(x)=+x.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.已知函數(shù)〃x)滿足/(2，+1)=4/-6x+5,則/(x)=()

A./(x)=x2+5x+9B./(x)=x2+5x-9

C./(X)=X2-5X+9D./(X)=X2-5X-9

【答案】C

【分析】利用換元法求解即可.

【詳解】因?yàn)椤?x+l)=4f—6X+5,xeR,

令/=2x+l,貝！=/GR,

191

所以/(/)=4x1(f-l)~-6xi9-l)+5=f2-2/+l-3/+3+5=/2-5/+9,

故/(力=工2-5x+9.

故選：C.

2.一次函數(shù)〃x)滿足〃1)+〃2)=〃3),且/⑵〃3)=/(4),則〃x)的解析式為()

23

A.f^x)=—xB./(x)=—xC./(x)=x+lD.f[x}=-2x+1

【答案】A

【分析】由題意，設(shè)〃可=依+6,依wO).根據(jù)/■⑴+〃2)=/(3),且〃2)/(3)=/(4),

利用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】由題意，設(shè)〃到=由+6,(后片0).

+/■⑵=〃3),

即4+6+2無(wú)+6=3無(wú)+6,

可得：b=Q.

又?."(2)/(3)=/(4)

即2kx3k=4k

：.k=~,

3

.?./(目的解析式為〃力=>.

故選:A.

3.已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)/(x),其值域也是R,并且對(duì)于任意的x,yeR,都有

f(xf(y))=xy,則V(2022)|等于()

A.0B.1C.20222D.2022

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件可得“存在為eR,使得了(%)=1"，再利用給定函數(shù)關(guān)系式，求出解

析式即可計(jì)算作答.

【詳解】由于/(x)在R上單調(diào)，且值域?yàn)镽,則必存在％?R,使得1(%)=1,

令歹=為得，/(力(州))=叫)，即/(x)=%x,

于是Vx/eR,f[xf(y))=/(xyoy)=y0(xyoy)=y1xy=,貝=

從而〃x)=±x,有|〃2022)|=2022.

故選：D

4.設(shè)是定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)，且/'("x)-3x)=4,則()

A.〃T)=TB./(O)=lC./(1)=2D./(2)=3

【答案】B

【分析】換元，利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值即可求出函數(shù)解析式，然后求函數(shù)值.

【詳解】令f=〃x)-3x,則/⑺=4,

因?yàn)?'(x)是定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)，

所以t為常數(shù)，即/(x)=3x+f,

所以"=4,解得y1,

所以〃x六3x+l,

故/(O)=lJ(-l)=-2J(1)=4J(2)=7.

故選：B

二、填空題

5.已知函數(shù)［(；1一1)=￡一4x,則/(2x+l)=.

【答案】4X2-4

【分析】利用換元法求得/⑺=/-2/-3,即可求得答案.

【詳解】令￡=xT,，eR,x=什1,故由/(x-1)=x2-4x,

22

可得f(()=(t+1)-4(Z+l)=t-2t-3,

所以〃2x+l)=(2x+iy-2(2x+l)-3=4f-4.

故答案為：4x2-4

6.已知/［嚀j=J+l,則的值域?yàn)?

【答案】。,+⑹

【分析】先求出〃x)=(x-l)2+l(xwl),再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出值域.

【詳解】解：令才=區(qū)，則7=1+工/1,所以工="1,

XXX

所以/(/)=(-1『+1，

故/(X)的解析式為/(尤)=(x-l)2+l(xH1),其值域?yàn)?1,+8).

故答案為：(1,+s).

7.設(shè)定義在(。,+紇)上的函數(shù)g(x)滿足g(x)=2??g1j-l,則g(x)=.

【答案】|V^+1(x>0)

【分析】利用方程組法求函數(shù)解析式，將X換成兩式聯(lián)立即可求解.

X

【詳解】因?yàn)槎x在(0,+句上的函數(shù)g(x)滿足g(x)=26超[,1,

將x換成!可得：g(-)=4=g?-l,將其代入上式可得：

xx7x

g(x)=2Vx-gQ^-l=2Vx-[-p-g(x)-l]-l=4g(x)-2Vx-l,

所以g(無(wú))=g?+g(x>0),

故答案為：§6+§(x>0).

三、解答題

8.在①/(2尤-3)=4x?-6無(wú)，(2)/(%)+2/(-x)=3x2-3x,③對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,均有

f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答.

已知函數(shù)"X)滿足,求/(x)的解析式.

【答案】f(x)=xi+3x.

【分析】選①，利用換元法即可求出函數(shù)的解析式；

選②，利用方程法即可求出函數(shù)的解析式；

選③，利用賦值法即可求出函數(shù)的解析式.

【詳解】選①，令，=2》-3,貝!|x==，

因?yàn)?(2x-3)=4x2-6x,

所以/?)=4x(m一6x等，

=t2+6，+9-3--9,

=t2+3t9

即/(x)=/+3%.

選②，因?yàn)?(x)+2/(-x)=3/—3x,(1)

所以/(-%)+2/(x)=3(-x)2-3(-x)=3x2+3x,(2)

(2)x2-(1)得3/(x)=3x2+9x,

即/(X)=X2+3X.

選③，令x=y=O,

則〃0)=2〃0),BP/(O)=O,

令>=0,貝!J/(x)=2/(0)+X?+3x=x?+3x,

所以/(x)-X2+3x.

9.求下列函數(shù)的解析式

⑴若f\x+—\=x"+—，求〃X）的表達(dá)式.

\X)X

(2)已知3〃x)+2〃-x)=x+3,求/(x)的表達(dá)式.

(3)已知“X)是二次函數(shù),且滿足/⑼=l,/(x+l)-/(x)=2x,求.

【答案】⑴/(X)=/-2(x?-2或XN2)

3

⑵/(x)=x+w

(3)/(X)=X2-X+1

【詳解】(1)解：令；x+L當(dāng)》>0時(shí)，貝卜=彳+!22、曰=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等

XX\X

號(hào)，

當(dāng)x<0時(shí)，Z=%+—=-(-%)+—<-2^X)—=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時(shí)取等號(hào)，

所以，t<-2^t>2,

且.，+±=(工+!]-2=〃_2,所以，/?)=/-2,其中一2或

XIX)

因此，/(X)=X2-2(x4-2或xN2).

[3/(x)+2/(-x)=x+33

解：由已知條件可得二\「解得=x+"

[3/(-x)+2/(x)=-x+35

(3)解:由題知/(x)是二次函數(shù)，

不妨設(shè)1(x)=ax2+Zzx+G。，0,

因?yàn)椤∣)=lJ(x+l)-/(x)=2x,

所以C=1,Q(X+1)2+6(%+1)+o-("2+6x+c)=2x,

即2ax+a+b=2X9

2a=2

故有

a+b=0

解得:。=1/=一1,

故/卜）=/7+1；

題型五分段函數(shù)的應(yīng)用

速2策略方法

1.分段函數(shù)求值的策略

(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入

該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式求值.

(2)當(dāng)出現(xiàn)/丁伍))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(3)當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不

同段的端點(diǎn).

2.求參數(shù)或自變量的值

解決此類問(wèn)題時(shí)，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該

段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(lái)(取并集)即可.

3.分段函數(shù)與不等式問(wèn)題

解由分段函數(shù)構(gòu)成的不等式，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行分類討

論.如果分段函數(shù)的圖象比較容易畫出，也可以畫出函數(shù)圖象后，結(jié)合圖象求解.

【典例1］已知

［2x-l,x>0

⑴求/(2),/(/(-3))

(2)若/(。)=。+6,求實(shí)數(shù)。的值

【答案］⑴42)=3,”/(-3))=5

(2)a=-3或a=7

【分析】(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算即可；

(2)分情況討論，代入求解，再驗(yàn)證后得出實(shí)數(shù)。的值

［詳解］(D/(2)=3,/(/(-3))=/(3)=5

(2)若a>0,貝！)/(a)=2a-l,由/(a)=a+6得2a-l=a+6,解得a=7>0

若a<0,貝!］/(a)=a~+2a,由=ct+6+2a=a+6)

解得a=-3或a=2,由于。<0,a=-3

綜上a=-3或。=7

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

［2尸,(無(wú)<2),

1.設(shè)?/2n則/(/(2))=()

10g3(X-l),(xN2),

A.-1B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求/(2),再求/(/(2))即可.

【詳解】由已知〃2)=log3(22-1)=1,

"(〃2))=Xl)=2ei=2.

故選：C.

2*x?1

2.函數(shù)〃x)=；~,則/(5)的值為()

A.vB.2C.32D.—

232

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可得〃5)=〃1).

【詳解】/(5)=/(3)=/(1)=21=2,

故選：B.

fX?+]X<]

3.已知函數(shù)f(x)=c;，若則實(shí)數(shù)。的值是()

[2x,x>l

A.-3或5B.3或一3C.5D.3或一3或5

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分別討論a<1,兩種情況，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.

【詳解】若a<1,則/(。)=/+1=10,???。=-3(。=3舍去)，

若貝?。?(Q)=2Q=10,:,a=5,

綜上可得，。=5或。=一3.

故選：A.

-%2-CLX—5,xW1

4.已知函數(shù)/(%)=q是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是()

一,X>1

A.[-3,0)B.(-oo,-2]

C.D.[-3,-2]

【答案】D

【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍即

可.

【詳解】函數(shù)Ax)是R上的增函數(shù)，則/(x)在(f』上單調(diào)遞增，故-羨

此時(shí)滿足函數(shù)f(x)在(1,+8)上也是單調(diào)遞增；

最后，只需在x=l處滿足-仔-a-5<a^a>-3f

綜上：。的取值范圍是[-3,-2].

故選：D

二、多選題

、[%+3,xK—1/、

5.已知函數(shù)〃zX)=2,2,關(guān)于函數(shù)〃x)的結(jié)論正確的是()

x.—l<x<3

“X)的定義域?yàn)镽B./(X)的值域?yàn)?F,9)

C."1)=1