2024-2025學(xué)年湖北省荊門(mén)市某中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖北省荊門(mén)市龍泉中學(xué)高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.如果集合S={K|X-3n+l,nEN},T={x\x=3k—2,kEZ],貝!]()

A.S=rB.TQSC.S=TD.S生T

2.已知下列四個(gè)命題：

U

①命題"v*e的否定是3X0E夫,>就+1<1”；

②若△4BC為銳角三角形，則sinA+sinB>cosA+cosB；

③若/'(久o)=0,則％=久0是函數(shù)/Q)的極值點(diǎn)；

④命題P：若a2-b2>0,則a3-/)3>0；命題q：若aKb,則a2+62>2ab；可知"p或q"為真命題.

其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

3.已知x€(0,兀)，sin(^|^-x)-cos2(|+^)=0,則tan(x+3=()

A.-3—2^/2B.-2^/2C.3—2^/2D.-3

4.已知函數(shù)/(x)=久(乂-1)0—2)(無(wú)一3)(*-4)(%-5),求/''(2)=()

A.0B,-12C,-120D.120

5.克拉麗絲有一枚不對(duì)稱(chēng)的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為p(0<p<1),她擲了k次硬幣，最終有10

次正面向上.但她沒(méi)有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)

以使P(X=10)最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E(X).(若有多個(gè)N使P(X=10)最大，則取其中的最小N值).

下列說(shuō)法正確的是()

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.E(X)=10D.E(X)與10的大小無(wú)法確定

6.已知函數(shù)/O)=3，-2，，xER,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增

B.存在aGR,使得函數(shù)y=%為奇函數(shù)

C.任意久€R,f(%)>—1

D.函數(shù)g(X)=/(%)+%有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

第1頁(yè)，共10頁(yè)

7.已知無(wú)窮等比數(shù)列｛a｝的公比為q,前n項(xiàng)和為S”且limS=S,下列條件中，使得2s<S(neN*)恒成

n九T8nn

立的是()

A.%>0,0.6<Q<0,7B,由<0,-0.7<q<—0.6

C.fli>0,0.7<q<0,8D,at<0,-0,8<q<-0,7

8.已知橢圓-今+^=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,過(guò)F2的直線(xiàn)[與橢圓設(shè)目交于力，B兩

點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,連接％C,F14若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，%C1F14SACOF2=2SAAF1F2,則橢圓廠的離心

率為()

AB在CD—

A-5-51010

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.已知隨機(jī)變量X?B(n,p),若E(X)=30,O(X)=10,則p

1

B.兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是微

C.已知闋=C)則九=8

D.從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率為部

10.已知圓錐S。的底面半徑r=看母線(xiàn)長(zhǎng)1=2,SA,S8是兩條母線(xiàn)，P是SB的中點(diǎn)，貝)

A.圓錐S。的體積為喑

B.圓錐S。的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為:

C.當(dāng)aSAB為軸截面時(shí)，圓錐表面上點(diǎn)4到點(diǎn)P的最短距離為押記區(qū)

D./sSAB面積的最大值為2

11.已知橢圓E：+l(cz>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為鼻,尸2，左、右頂點(diǎn)分別為4B,P是E上異

于4B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若3|4川=出％],則下列說(shuō)法正確的有()

A,橢圓E的離心率為方

B.若PF1IFF2，貝hos/PFzFi建

C.直線(xiàn)P4的斜率與直線(xiàn)PB的斜率之積等于一楙

D.符合條件比-布=0的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)

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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|=1,則|z-3+4i|的取值范圍是.

13.近年來(lái)，我國(guó)外賣(mài)業(yè)發(fā)展迅猛，外賣(mài)小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn).某外賣(mài)小哥每

天來(lái)往于4個(gè)外賣(mài)店(外賣(mài)店的編號(hào)分別為1,2,3,4),約定：每天他首先從1號(hào)外賣(mài)店取單，叫做第1次

取單，之后，他等可能的前往其余3個(gè)外賣(mài)店中的任何一個(gè)店取單叫做第2次取單，依此類(lèi)推.假設(shè)從第2次

取單開(kāi)始，他每次都是從上次取單的店之外的3個(gè)外賣(mài)店取單，設(shè)事件4=｛第k次取單恰好是從1號(hào)店取單

｝，P(40是事件4發(fā)生的概率，顯然PQ4i)=LP(X2)=0,貝〃G4n)=.

14.已知函數(shù)/'(久)在定義域(一方t)上為偶函數(shù)，并且xNO時(shí)，/■'(%)>/(x)tan%,若/'(9=2,則不等式

的解集為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

222

在①sinAsinBsinC=-^-(sin7!+sinC—sinB)；②焉+焉=A：；￡SB；③設(shè)△"BC的面積為S,

且4Ps+3(/—a2)=302,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上.并加以解答.

在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,且b=28.

(1)若a+c=6,求△ABC的面積；

(2)若△ABC為銳角三角形，求羨的取值范圍.(如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)

16.(本小題15分)

某網(wǎng)游經(jīng)銷(xiāo)商在甲地區(qū)5個(gè)位置對(duì)“電信”和“網(wǎng)通”兩種類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)在相同條件下進(jìn)行游戲掉線(xiàn)測(cè)試，

得到數(shù)據(jù)如表：

ABCDE

電信438612

網(wǎng)通57943

(1)如果在測(cè)試中掉線(xiàn)次數(shù)超過(guò)5次，則網(wǎng)絡(luò)狀況為“糟糕”，否則為“良好”，那么在犯錯(cuò)誤的概率不超

過(guò)0.15的前提下，能否說(shuō)明游戲的網(wǎng)絡(luò)狀況與網(wǎng)絡(luò)的類(lèi)型有關(guān)？

(2)若該游戲經(jīng)銷(xiāo)商要在上述接受測(cè)試的電信的5個(gè)地區(qū)中任選3個(gè)作為游戲推廣，求4、B兩個(gè)地區(qū)同時(shí)選

到的概率；

(3)在(2)的條件下，以X表示選中的掉線(xiàn)次數(shù)超過(guò)5個(gè)的位置的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

nQad-bc}2

參考公式：笈=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),

第3頁(yè)，共10頁(yè)

P(K2>ko)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

kq0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

17.(本小題15分)

在三棱臺(tái)ABC-&BiCi中，底面△力8C是等邊三角形，側(cè)面4遇。的是等腰梯形，。是4C的中點(diǎn)，是兩

異面直線(xiàn)BiB和4C的公垂線(xiàn)，且48=94/1=24，BB、=2顯

(1)證明：側(cè)面483遇11平面BMC；

(2)若麗=瓦瓦且8/與平面R4C之間的距離為1,求二面角4-EC-/的正切值.

18.(本小題17分)

在xOy平面上，我們把與定點(diǎn)%(-。,0)、F2(a，0)(a>0)距離之積等于a2的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為伯努利雙紐線(xiàn)，

F1、&為該曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn).已知曲線(xiàn)C：(/+y2)2=9Q2—y2)是一條伯努利雙紐線(xiàn).

(1)求曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)F1、尸2的坐標(biāo)；

(2)判斷曲線(xiàn)C上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)4、8(異于坐標(biāo)原點(diǎn)。)，使得以4B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。.如果存

在，求點(diǎn)4、B坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(本小題17分)

自然常數(shù)，符號(hào)e,為數(shù)學(xué)中的一個(gè)常數(shù)，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，且為超越數(shù)，其值約為2.71828.它是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù).有時(shí)稱(chēng)它為歐拉數(shù)(E僅enunn屁r),以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名；也有個(gè)較為少見(jiàn)的名字“納皮

爾常數(shù)”，以紀(jì)念蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰.納皮爾(/o/mNapier)引進(jìn)對(duì)數(shù).它就像圓周率兀和虛數(shù)單位3是數(shù)學(xué)

中最重要的常數(shù)之一，它的其中一個(gè)定義是e=%78(1+$支.設(shè)數(shù)列｛?九｝的通項(xiàng)公式為。=(1+》九，

nEN*,

(1)寫(xiě)出數(shù)列｛5｝的前三項(xiàng)ei，e2,e3.

(2)證明：2We.<3.

第4頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案

l.A

2.D

3.X

4.B

5.B

6.D

7.B

8.4

9.BC

1Q.BCD

11.7IC

12.[4,6]

13.W）x

id,7171.

14.（一布）

15.解：（1）選①，由題意利用正弦定理得acs譏B=岑（。2+02-

由余弦定理可得acsinB=^-X2accosB,

可得sinB=避cosB,

所以tcmB=4，

因?yàn)?e（0,兀），

,,71

故3=

又b=28，a+c=6,

由余弦定理可得12=小+c2—ac=（a+c）2-3ac=36—3ac,

解得ac=8,

所以△ABC的面積S=^acsinB=^x8x號(hào)=2平；

選②h因?yàn)閠an4+tanB—~^3sinAcosB,

第5頁(yè)，共10頁(yè)

_sinBcosA+cosBsinA

sinAsinB

_sinC

sinAsinB

sinC

psinAcosB'

因?yàn)?Ce(0,7T),

所以sinCHO,sinAHO,

所以sinB=避cosB,

所以tcmB=避，

因?yàn)?e(0"),

故5=全

又b=2避，a+c=6,

由余弦定理可得12=a2+c2—ac=(a+c)2—3ac=36—3ac,

解得ac=8,

所以△ABC的面積S=^acsinB8x^=2平；

選③，設(shè)△ZBC的面積為S,由題意可得4和xaacsiziB=3c2-3(Z?2-a2)=3(a2+c2-b2),

所以24acsinB=3x2accosB,

所以tcmB=避，

因?yàn)?e(0,兀)，

故5=全

又b=2避，a+c=6,

由余弦定理可得12=a?+c2—ac=(a+c)2—3ac=36—3ac,

解得ac=8,

所以△&8C的面積S=^acsinB=，x8x岑=2展

(2)由(1)可知8=pb=2避,

因?yàn)檫鋋1=*c?=^=*可得a=4s譏4c=4sinf,

所以？

_sinA

sinC

第6頁(yè)，共10頁(yè)

^sin(^-C)

sinC

=^cosC+^sinC

sinC

_1

2tanC2，

TT

因?yàn)椤?BC為銳角三角形，B=§,

■jl7T

所以0<C<5，五<B+C<7T,

解得"C<p

所以tanC>孚，可得。<焉(避，

所以義<品+9<2,

乙2tanCN

所以割取值范圍是6,2).

16.解：(1)根據(jù)題意列出2x2列聯(lián)表如下:

位置

糟糕良好合計(jì)

類(lèi)型

電信325

網(wǎng)通235

合計(jì)5510

K2=口q=黑言=0.4<2.07,故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下，不能說(shuō)明游戲的網(wǎng)絡(luò)狀

況與網(wǎng)絡(luò)的類(lèi)型有關(guān).

(2)依題意，所求概率P=￡=條

⑶隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,P(X=1)=與召=高P(X=2)=%重=，；P(X=3)=]

1

~To,

故X的分布列為

X123

331

P

10510

331

???E(X)=lx京+2*>3x點(diǎn)=1.8.

第7頁(yè)，共10頁(yè)

17.1?：（1）證明：:Bi。是異面直線(xiàn)BiB與AC的公垂線(xiàn)，

B\BJ_B10,B1。_LAC->

又△力BC是等邊三角形，。是力C的中點(diǎn)，AC1B。，

.-.AC1平面BiB。，

又u平面/BO,???ACISiS,

B]B_L平面BMC,

又B]Bu平面BiB44i，

?-?平面4B81&1平面Bp4C；

⑵???~B0=~B^E,：.四邊形B/OE是平行四邊形，

BrB//OE,且B/=OE,

由（1）知Bi。1平面E4C,

線(xiàn)段Bi。的長(zhǎng)為直線(xiàn)B聲與平面△E4C的距離，即為0=1,

在平面E4C內(nèi)，過(guò)。作直線(xiàn)。F1EC于F,連BF，

則1EF,ABiF。為二面角4—EC—Bi的平面角，

???AB=2避，BB、=26,

：.0C=8，EC="產(chǎn)+0c2=J（2?2+（0）2=力,

tanzBiFO=翌==遐,

OF疝12

故所求二面角2-EC-%的正切值為里.

18.解：（1）設(shè)焦點(diǎn)%（-。,0）,尸2（。，。）（口>0），

曲線(xiàn)C:（X2+y2）2=9（%2—y2）與久軸正半軸交于點(diǎn)尸（3,0）,

由題意知IPF1IIP&I=（3+a）（3-a）=9-a2=a2,

于是F=3，a

因比%（一￥，0）？2（挈0）；

（2）假設(shè)曲線(xiàn)C上存在兩點(diǎn)4B,使得以48為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，即。41OB,

第8頁(yè)，共10頁(yè)

由題意知直線(xiàn)。40B斜率均存在，

不妨設(shè)直線(xiàn)。4的方程為y=fcix,直線(xiàn)。8的方程為y=k2x,