專題08規(guī)律探究（原卷版）

08規(guī)律探究1．如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且）行從左向右數(shù)第個數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（

）A． B． C． D．2．如圖，在矩形中，，，連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形矩形；再連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此規(guī)律作下去．若矩形的面積記作，矩形的面積記作，矩形的面積記作，…，則的值為（）A． B． C． D．3．如圖，△ABC面積為1，第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點(diǎn)A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，順次連接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分別延長A1B1，B1C1，C1A1至點(diǎn)A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此規(guī)律，第n次操作后，得到△AnBnCn，要使△AnBnCn的面積超過2022，則至少需要操作（

）次．A．6 B．5 C．4 D．34．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，延長交x軸于點(diǎn)，作正方形；延長交x軸于點(diǎn)，作正方形…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，正方形的面積為（）A． B． C． D．5．請先在草稿紙上計算下列四個式子的值:①；②；③；④觀察你計算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的值為__________．6．圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形演化而成的．若圖中的，按此規(guī)律繼續(xù)演化，則線段的長為___________

7．已知如下一元二次方程:第1個方程:；第2個方程:；第3個方程:；按照上述方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的排列規(guī)律，則第8個方程為________________；第n(n為正整數(shù))個方程為_____________________，其兩個實(shí)數(shù)根為____________________.8．如圖，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次連接的三邊中點(diǎn)，得到，再依次連接的三邊中點(diǎn)，得到，，按這樣的規(guī)律下去，的周長為____．9．已知一列數(shù)：，，，，，……，認(rèn)真觀察發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，用含有（正整數(shù)）的代數(shù)式表示第個數(shù)是______．10．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC邊在直線a上，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到①位置可得到點(diǎn)，此時；將①位置的三角形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到②位置，可得到點(diǎn)，此時；將②位置的三角形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到③位置，可得到點(diǎn)P3，此時；…，按此規(guī)律旋轉(zhuǎn)，直至得到點(diǎn)為止，則=_______．11．如圖，在邊長為的菱形中，，連接對角線，以為邊作第二個菱形，使，連接，再以為邊作第三個菱形，使…則的長度是______；按此規(guī)律所作的第個菱形的邊長是______．12．如圖，直線l的解析式是，點(diǎn)在直線l上，，交x軸于點(diǎn)，軸，交直線l于點(diǎn)，，交x軸于點(diǎn)，按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．13．觀察下列一組方程：①；②；③；④；…它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個連續(xù)的自然數(shù)，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”。若也是“連根一元二次方程”，則的值為________，第個方程為______________．14．如圖，在中，，，．分別是的中點(diǎn)，連接；分別是的中點(diǎn)，連接；……按此規(guī)律進(jìn)行下去，則中最短邊的長度為_______．15．如圖，在矩形中，，，連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形的相似矩形，則矩形的面積為______；再連接，以對角線為邊作矩形的相似矩形，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形的面積為________．16．如圖，是邊長為1的等邊三角形，取邊中點(diǎn)，作，，，分別交，于點(diǎn)，，得到四邊形，它的面積記作；取中點(diǎn)，作，，，分別交，于點(diǎn)，，得到四邊形，它的面積記作……照此規(guī)律作下去，則______．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，……在x軸上且，，，……按此規(guī)律，過點(diǎn)，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．18．如圖，中，，，BC邊上的高，點(diǎn)、、分別在邊AD、AC、CD上，且四邊形為正方形，點(diǎn)、、分別在邊、、上，且四邊形為正方形，…按此規(guī)律操作下去，則線段的長度為______．19．如圖，在中，，，分別是，邊的中點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)……按這樣的規(guī)律下去，的長為_____（為正整數(shù)）．20．如圖，在等腰直角三角形中，，，分別連接，，的中點(diǎn)，得到第1個等腰直角三角形；分別連接，，的中點(diǎn)，得到第2個等腰直角三角形……以此規(guī)律作下去，得到等腰直角三角形，則的長為______．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)，，在軸上，延長交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；延長交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，若，則正方形的面積為________．22．在平面直角坐標(biāo)系中，若干個邊長為1個單位長度的等邊三角形，按下圖中的規(guī)律擺放．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“……”的路線運(yùn)動．設(shè)第n秒運(yùn)動到點(diǎn)（n為正整數(shù)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．23．如圖，中，，，邊上的高，點(diǎn)分別在邊上，且四邊形為矩形，，點(diǎn)分別在邊上，且四邊形為矩形，，…按此規(guī)律操作下去，則線段的長度為_________．24．如圖，正方形的邊長為1，正方形的邊長為2，正方形的邊長為4，正方形的邊長為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形，且點(diǎn)，，，，…，在同一條直線上，連接交，于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，…記四邊形的面積為，四邊形的面積為，四邊形的面積為，…，四邊形的面積為，則________．25．如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)作，交x軸于點(diǎn)，以為邊，向右作正方形，延長交x軸于點(diǎn)；以為邊，向右作正方形，延長交x軸于點(diǎn)；以為邊，向右作正方形，延長的交x軸于點(diǎn)；…；按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個正方形的邊長為________（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．26．如圖，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，連接OA1，以O(shè)A1為邊，作矩形OA1A2B1使A1A2OA1，連接OA2交A1B于點(diǎn)C；以O(shè)A2為邊，作矩形OA2A3B2，使A2A3OA2，連接OA3交A2B1于點(diǎn)C1；以O(shè)A3為邊，作矩形OA3A4B3，使A3A4OA3，連接OA4交A3B2于點(diǎn)C2；…按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，則△C2019C2020A2022的面積為________．27．觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第4個等式：______；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．28．觀察下列等式：①②③(1)根據(jù)等式規(guī)律寫出第④個等式，并驗證其正確性：______．(2)猜想第個等式，并證明．29．下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定規(guī)律組成的，其中第1個圖形的周長為4，第2個圖形的周長為10，第3個圖形的周長為18，…，按此規(guī)律排列，回答下列問題：(1)第5個圖形的周長為；(2)第個圖形的周長為；(3)若第個圖形的周長為1