專題13三角形-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專題13三角形三角形是中考數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，也是解幾何部分的解答題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，中考主要以選擇題、填空題，以及滲透在解答題中，主要考查三角形的有關(guān)概念，全等三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等。主要體現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等．一、三角形的有關(guān)概念與全等三角形1、三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。三角形有三條邊，三個內(nèi)角，三個頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角;相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，三角形ABC用符號表示為△ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。三角形具有穩(wěn)定性。2、三角形的分類：三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關(guān)系分類如下：直角三角形（有一個角為直角的三角形）三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）3、三角形的主要線段的定義：（1）三角形的中線三角形中，連結(jié)一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的中線.2.BD=DC=BC.注意：①三角形的中線是線段；（2）三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分線.2.∠1=∠2=∠BAC.（3）三角形的高從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．注意：三角形的中線、角平分線、高是均是線段。4、三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.5、三角形的角與角之間的關(guān)系：(1)三角形三個內(nèi)角的和等于180;(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；(3)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.(4)直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余。三角形的外角的定義三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.注意：每個頂點(diǎn)處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.三角形外角的性質(zhì)（1）三角形的外角和等于360°（三個外角的和）。（2）三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．（3）三角形的一個角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．6、特殊三角形的性質(zhì)和判定：1.有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。2.等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。3.等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。4.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°。5.等邊三角形的判定：（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。7、全等三角形的性質(zhì)與判定1.全等三角形的性質(zhì)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1“邊邊邊”：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.全等三角形判定2“角邊角”：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.全等三角形判定3“角角邊”：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）全等三角形判定4—“邊角邊”：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.全等三角形判定5—在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）一、單選題1．下列各組線段能構(gòu)成三角形的是（）A．2cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，4cmC．2cm，2cm，5cm D．2cm，3cm，6cm2．已知，圖中的虛線部分是小明作的輔助線，則（

）A．是邊的高 B．是邊的高C．是邊的高 D．是邊的高3．下列說法中正確的是（

）A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等C．完全重合的兩個三角形全等 D．周長相等的兩個三角形全等4．已知圖中的兩個三角形全等，則∠α的度數(shù)是（）A．72° B．60° C．58° D．50°5．如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，添加的一組條件不正確的是（）A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E6．下列命題：①真命題都是定理；②垂直于同一條直線的兩條直線平行；③三角形的三條高線交于一點(diǎn)；④有兩邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；⑤全等三角形對應(yīng)邊上的高相等；⑥三角形中至少有一個角不小于60°．是真命題的有（

）個A．2 B．3 C．4 D．57．如圖，中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使；分別以，為圓心、以大于為長的半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，為上一動點(diǎn)，則的最小值為（

）A．無法確定 B． C．1 D．28．如圖，將一根筆直的竹竿斜放在豎直墻角AOB中，初始位量為CD，當(dāng)一端C下滑至?xí)r，另一端D向右滑到，則下列說法正確的是（

）A．下滑過程中，始終有B．下滑過程中，始終有C．若，則下滑過程中，一定存在某個位置使得D．若，則下滑過程中，一定存在某個位置使得9．如圖所示，設(shè)甲、乙、丙、丁分別表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，則敘述正確的是（

）A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等10．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F(xiàn)分別是BC，AC上的點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，CF＝BE，DF＝DB，則∠ADE的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．70° D．71°二、填空題11．已知三角形三邊長分別為2，9，，若為偶數(shù)，則這樣的三角形有___________個．12．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，，則_______cm2．13．在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，從這四個條件中選取三個條件能判定△ABC△DEF的方法共有___________種.14．如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，CD與BE相交于點(diǎn)O，且AD=AE，AB=AC．若∠B=20°，CD=5cm，則∠C=____________，BE=______________．15．如圖，，，垂足分別為D點(diǎn)E，CD與AE交于點(diǎn)F，若，，則CF的長是________．16．如圖在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE＋∠BCE＝180°，EF⊥BC交AC于F，AC＝8，BC＝12，則BF的長為________．二、幾何證明

1．命題和證明（1）命題定義：判斷一件事情的句子.判斷為正確的命題，叫做真命題；判斷為錯誤的命題，叫做假命題.（2）演繹證明（簡稱證明）從已知的概念、條件出發(fā)，依據(jù)已被確認(rèn)的事實(shí)和公認(rèn)的邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出某結(jié)論為正確的過程.要點(diǎn)：命題通常由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”開始的部分是題設(shè)，“那么”開始的部分是結(jié)論.2.公理和定理（1）公理：人們從長期的實(shí)踐中總結(jié)出來的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原始依據(jù).（2）定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并能進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.3.逆命題與逆定理（1）在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)，則這兩個命題叫互逆命題.其中一個命題叫原命題；另一個命題叫它的逆命題.（2）如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，則這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫另一個的逆定理.三、線段的垂直平分線和角的平分線1.線段的垂直平分線（1）線段垂直平分線的定義垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線.（2）線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.MNBAMNBAP∴PA=PB（3）線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)：線段的垂直平分線定理與逆定理往往與邊相等、角相等的證明密切相關(guān)，它提供了證明邊、角相等的又一種重要的方法，在以后的學(xué)習(xí)中還會與直角三角形、角平分線、勾股定理等連在一起綜合應(yīng)用.2.角的平分線（1）角的平分線的定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.（2）角的平分線有下面的性質(zhì)定理：①角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.ABOABODEP如圖：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.3.垂線的性質(zhì)性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.要點(diǎn)：（1）當(dāng)題目中的條件涉及到角平分線上的點(diǎn)與角的兩邊的垂直關(guān)系時(shí)，利用角的平分線性質(zhì)可直接得到垂線段相等，而不必用全等三角形來證，但是在書寫過程中，不要漏掉垂直關(guān)系；（2）已知角的平分線，有兩種常用的添加輔助線的方法：一是把角沿著角平分線翻折，在這個角的兩邊截取相等線段，從而創(chuàng)設(shè)兩個全等的三角形；二是過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段，利用角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理來解題.四、軌跡

1.軌跡的定義把符合某些條件的所有點(diǎn)的集合叫做點(diǎn)的軌跡.要點(diǎn)：軌跡定義包含以下兩層含義：其一、軌跡圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說，圖形上的任何一點(diǎn)都符合條件（也稱圖形的純粹性）；其二、軌跡圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上（也稱圖形的完備性）；所謂軌跡問題的證明就是用論證的方法證明得到的軌跡符合上述兩層含義.2.三條基本軌跡軌跡1：和已知線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線；軌跡2：到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個角的平分線；軌跡3：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心、以定長為半徑的圓.3.交軌法作圖利用軌跡相交進(jìn)行作圖的方法叫做交軌法.如果要求作的點(diǎn)（圖形）同時(shí)要滿足兩個條件時(shí)，我們通常先作出滿足條件A的軌跡，然后再作出滿足條件B的軌跡，兩軌跡的交點(diǎn)則同時(shí)滿足條件A和條件B.交軌法是常用的作圖方法，我們在利用尺規(guī)作三角形、線段的垂直平分線、角平分線時(shí)，都運(yùn)用了交軌法.要點(diǎn)：“尺規(guī)作圖”是指限用無刻度直尺和圓規(guī)來作幾何圖形，基本的尺規(guī)作圖有如下幾種：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作已知角的平分線；（4）經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線；（5）作線段的垂直平分線.五、直角三角形1.直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也適用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記為：HL）綜上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余；定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°.一、單選題1．已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝100°，D、E為AB邊上的兩點(diǎn)，且AC＝AE，BC＝BD，則∠DCE的度數(shù)為（）A．45° B．40° C．35° D．30°3．下列命題中，逆命是假命題的是（）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)B．直角三角形的兩個銳角互余C．全等三角形的對應(yīng)角相等D．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方4．如圖，已知中，，F(xiàn)是高和的交點(diǎn)，，則線段的長度為（

）A．6 B．8 C．10 D．125．下列說法錯誤的是（

）．A．在一個角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個角的平分線B．到點(diǎn)距離等于的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑長為的圓C．到直線距離等于的點(diǎn)的軌跡是兩條平行于且與的距離等于的直線D．等腰三角形的底邊固定，頂點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線6．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°7．已知a，b是一個等腰三角形的兩邊長，且滿足，則這個等腰三角形的周長為（）A．10 B．11 C．10或11 D．128．如圖，已知中，，是的平分線，是邊上的高，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中，不一定成立的是（

）A． B． C． D．二、填空題9．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為__________．10．如圖，在中，，D為上一點(diǎn)，且，，則____度11．如圖，在等邊ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AD=CE，則∠BCD+∠CBE=_____度．12．到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是______．13．如圖分別是的中線和角平分線，若，則的度數(shù)是_______．14．如圖，在中，，，，，則為______．15．在中，，，在直線上取一點(diǎn)，使，E為邊上的中點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為______．16．已知，在中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，則___________°．三、解答題17．如圖，已知△ABC為等邊三角形，D為BC延長線上的一點(diǎn)，CE平分∠ACD，CE＝BD，求證：(1)△ABD≌△ACE；(2)試判斷△ADE的形狀，并證明．18．如圖，在ΔABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G．(1)若BC＝7，求ΔAEG的周長．(2)若∠BAC=110°，求∠EAG的度數(shù)．19．如圖，已知△ABC和△CDE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，連接OC、FG，(1)求證：BD=AE，并求出∠DOE的度數(shù)；(2)判斷△CFG的形狀并說明理由；(3)求證：OA+OC=OB．六、勾股定理①直角三角形直角邊與斜邊之間的大小關(guān)系定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊.②勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.③勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.一、單選題1．如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．62．下列三個數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（

）A．，， B．，，C．12，15，9 D．，，3．如圖，點(diǎn)P是以A為圓心，AB為半徑的圓弧與數(shù)軸的交點(diǎn)，則數(shù)軸上點(diǎn)P表示的實(shí)數(shù)是（

）A．－2 B． C． D．4．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為

A．米 B．米 C．2米 D．米5．適合下列條件的中，直角三角形的個數(shù)為（

）①,,；②；③；④；⑤．⑥A．個 B．個 C．個 D．個6．如圖，的頂點(diǎn)，，在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則邊長的高為（

）A． B． C． D．7．如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積之和為7，2號、3號兩個正方形的面積之和為4，則a、b、c三個正方形的面積之和為（

）A．11 B．15 C．10 D．228．如圖，在中，，平分，垂直平分，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．9．我們在學(xué)習(xí)勾股定理的第二課時(shí)時(shí)，以下圖形可以用來驗(yàn)證勾股定理的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為，則BD的長為（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．12．命題“等邊三角形的三個角都相等．”這個命題的逆命題是_________________________．這個逆命題是_________命題．（填真或假）13．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，，且，那么的值是_______．14．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，則四邊形ABCD的面積為________15．如圖，有一個圓柱形杯子，底面周長為12cm，高為8cm，A點(diǎn)在內(nèi)壁距杯口2cm處，在A點(diǎn)正對面的外壁距杯底2cm的B處有一只小蟲，小蟲要到A處飽餐一頓至少要走_(dá)_____cm．（杯子厚度忽略不計(jì)）16．如圖，已知等腰，，過點(diǎn)、分別做，的垂線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，，則的長為________．一、單選題1．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）下列說法中，不正確的是（

）A．周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合 B．面積相等的兩個圓一定能夠重合C．面積相等的兩個正方形一定能夠重合 D．周長相等的兩個菱形一定能夠重合2．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊的延長線上，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2020·上海·統(tǒng)考一模）三角形的外心是三角形的（

）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)4．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（

）A．62° B．56° C．52° D．46°5．（2021·上海普陀·統(tǒng)考二模）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列條件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°6．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考二模