第10講平面直角坐標系中圖形面積的求解思路(原卷版+解析)-2021-2022學年七年級數(shù)學下冊?？键c(數(shù)學思想+解題技巧+專項突破+精準提升)

平面直角坐標系中圖形面積的求解思路（原卷版）第一部分專題典例剖析+針對訓練專題1規(guī)則圖形面積求解思路1．求“規(guī)則三角形”的面積典例1（2021春?肥城市期末）△ABC的各頂點坐標為A（﹣5，2），B（1，2），C（3，﹣1），則△ABC的面積為．針對訓練11．如圖，已知在平面直角坐標系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），求△ABC的面積．求規(guī)則四邊形的面積典例2如圖所示，在平面直角坐標系中，AD∥BC∥x軸，AD＝BC＝7，且A（0，3），C（5，﹣1）．（1）求B，D兩點的坐標；（2）求四邊形ABCD的面積．典例3（2021春?豐臺區(qū)校級期末）將長方形OABC先向上平移1個單位長度，再向左平移2個單位長度得新長方形D′A′B′C′，設(shè)A′B′與BC交于點M，求四邊形A′MCO的面積．針對訓練23．長方形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，AD∥x軸，AB∥y軸，已知長方形ABCD的長為3，寬為2，且點A的坐標為（﹣1.5，2），求長方形的頂點B、C、D的坐標及矩形AEOM的面積．專題2不規(guī)則圖形面積求解思路求不規(guī)則三角形的面積典例4（2021秋?靖西市期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B、C三點的坐標分別為（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．（1）畫出三角形ABC，并求其面積；（2）如圖，△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過平移得到的．（3）已知點P（a，b）為△ABC內(nèi)的一點，則點P在△A′B′C′內(nèi)的對應點P′的坐標是（，）．針對訓練44．如圖，已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）在坐標系中描出各點，畫出△ABC；（2）求△ABC的面積．2．求不規(guī)則多邊形的面積典例5（2021春?鳳山縣期末）如圖，已知四邊形ABCD．（1）寫出點A，B，C，D的坐標；（2）試求四邊形ABCD的面積．（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1）典例6（2020秋?羅湖區(qū)校級期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，依次完成下列各問：（1）任選一點作為原點，建立平面直角坐標系；（2）寫出A、B、C、D、E各點的坐標；（3）求五邊形ABCDE的面積．針對訓練55．已知點A（3，0）、B（0，2）、C（﹣2，0）、D（0，﹣1）在同一坐標系中描出A、B、C、D各點，并求出四邊形ABCD的面積．6．如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別為A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四邊形ABCD的面積．7．（2020秋?商河縣校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，圖中的網(wǎng)格是由邊長相等的小正方形組成，點A、B、C的坐標分別為（﹣5，4），（﹣4，0）．（﹣5，﹣3）．（1）請寫出點D、E、F、G的坐標；（2）求圖中陰影部分（多邊形ABCDEFG）的面積．專題3已知面積或已知面積與面積之間的關(guān)系求點的坐標的解題思路典例7（2021春?饒平縣校級期中）如圖，三角形三個頂點坐標分別為O（0，0），A（2，0），B（1，2）．若O，B兩點的位置不變，點M在x軸上，則點M在什么位置時，三角形OMB的面積是三角形OAB面積的2倍？（即求出點M的坐標）典例8（2021春?河北區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（0，3），點B坐標為（2，﹣1）．（Ⅰ）點C在第一象限內(nèi)，AC∥x軸，將線段AB進行適當?shù)钠揭频玫骄€段DC，點A的對應點為點D，點B的對應點為點C，連接AD，若三角形ACD的面積為12，求線段AC的長；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，連接OD，P為y軸上一個動點，若使三角形PAB的面積等于三角形AOD的面積，求此時點P的坐標．針對訓練68．在平面直角坐標系中已知點A（1，0），B（0，2），點P在x軸上，且△PAB的面積為5，求點P的坐標．9．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），B（4，0），C（4，3）三點．（1）求△ABC的面積；（2）如果在第二象限內(nèi)有一點P（m，1），且四邊形ABOP的面積是△ABC的面積的兩倍；求滿足條件的P點坐標．專題4與面積相關(guān)的新定義問題典例9（2020秋?武侯區(qū)校級月考）在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S＝ah．例如：三點坐標分別為A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），則“水平底”a＝5，“鉛垂高”h＝4，“矩面積”S＝ah＝20．根據(jù)所給定義解決下列問題：（1）若已知點D（1，2），E（﹣2，1），F(xiàn)（0，6），則這3點的“矩面積”＝；（2）若D（1，2），E（﹣2，1），F(xiàn)（0，t）三點的“矩面積”為6，求點F的坐標．針對訓練710．（2020春?新鄉(xiāng)期末）在平面直角坐標系中，對于任意三點A、B、C的“矩面積”，給出如下定義：水平底a為任意兩點的橫坐標差的最大值，鉛垂高h為任意兩點的縱坐標差的最大值，則“矩面積”S＝ah．若A（1，2），B（﹣2，1），C（0，t）三點的“矩面積”是18，則t的值為．專題提優(yōu)訓練1．（2019秋?會寧縣期末）如圖，右邊坐標系中四邊形的面積是（）A．4 B．5.5 C．4.5 D．52．（2021春?黃埔區(qū)校級期中）平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，﹣1），點C在y軸上，如果三角形ABC的面積等于6，則點C的坐標為．3．（2021春?定州市期末）已知A（1，0），B（0，2），點P在x軸上，且△PAB面積是5，則點P的坐標是．4．（2020春?雁塔區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A、B的對應點C、D，連接AC、BD，在y軸上存在點P，使△PCD的面積為四邊形ABCD面積的一半，則點P的坐標為．5．（2020?廣州）如圖，點A的坐標為（1，3），點B在x軸上，把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點C的坐標為．6．（2021春?崇川區(qū)校級月考）在直角坐標系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），平移線段AB，使B點的對應點剛好與坐標原點O重合，則線段AB在平移過程中掃過的面積．（2020春?臨潁縣期末）如圖，A、B兩點的坐標分別為（2，4），（6，0），點P是x軸上一點，且△ABP的面積為6，則點P的坐標為．7．（2021春?樟樹市期末）已知三角形ABC的頂點分別為A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），三角形A'B'C'是三角形ABC經(jīng)過平移得到的，三角形ABC中任意一點P（x，y）平移后的對應點為P'（x+4，y+6）．（1）請寫出三角形ABC平移的過程；（2）請寫出點A'，B'的坐標；（3）請在圖中畫出直角坐標系，求三角形A'B'C'的面積．8．（2021春?陵城區(qū)期末）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（Ⅰ）如圖①，則三角形ABC的面積為；（Ⅱ）如圖②，將點B向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點D．①求三角形ACD的面積；②點P（m，3）是一動點，若三角形PAO的面積等于三角形CAO的面積．請直接寫出點P坐標．

9．（2021春?陽谷縣期末）在邊長1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系，四邊形ABCD是格點四邊形（頂點為網(wǎng)格線的交點）（1）寫出點A，B，C，D的坐標；（2）求四邊形ABCD的面積．10．（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）如圖1，三角形ABC的面積為；（2）如圖2，將點B向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點D．①求三角形ACD的面積；②P（m，3）是一動點，若三角形PAO的面積等于三角形AOC的面積，請求出點P的坐標．

11．（2021春?勃利縣期末）三角形ABC和三角形A'B'C'在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）分別寫出下列各點的坐標：A，B，C；（2）三角形ABC由三角形A'B'C'經(jīng)過怎樣的平移得到？（3）若點P（x，y）是三角形ABC內(nèi)部一點，則三角形A'B'C'內(nèi)部的對應點P'的坐標是多少？（4）求三角形ABC的面積．12．（2021春?長白縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣3b，0）為x軸負半軸上一點，點B（0，4b）為y軸正半軸上一點，其中b滿足方程3（b+1）＝6．（1）求點A，B的坐標；（2）點C為y軸負半軸上一點，且△ABC的面積為12，求點C的坐標；13．（2021春?柳南區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，同時將點A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2個單位長度再向右平移1個單位長度，分別得到A、B的對應點C、D．連接AC，BD（1）求點C、D的坐標，并描出A、B、C、D點，求四邊形ABDC面積；（2）在坐標軸上是否存在點P，連接PA、PC使S△PAC＝S四邊形ABDC？若存在，求點P坐標；若不存在，請說明理由．14．已知：在平面直角坐標系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面積；（2）設(shè)點P在x軸上，且△ABP與△ABC的面積相等，求點P的坐標．15．（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）已知：如圖，把△ABC向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到△A′B′C′．（1）寫出A′、B′、C′的坐標；（2）求出△ABC的面積；（3）點P在y軸上，且△BCP與△ABC的面積相等，求點P的坐標．16．（2021春?鳳山縣期末）如圖，已知四邊形ABCD．（1）寫出點A，B，C，D的坐標；（2）試求四邊形ABCD的面積．（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1）17．（2021春?圍場縣）四邊形ABCD各頂點的坐標分別為A（0，1），B（5，1），C（6，3），D（2，5）．（1）如圖，在平面直角坐標系中畫出該四邊形；（2）四邊形ABCD內(nèi)（邊界點除外）一共有個整點（即橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點）；（3）求四邊形ABCD的面積．18．（2021春?定陶區(qū)期末）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）在坐標系中描出各點，畫出△ABC．（2）求△ABC的面積；（3）設(shè)點P在坐標軸上，且△ABP與△ABC的面積相等，求點P的坐標．19．（2021春?陽谷縣期末）在邊長1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系，四邊形ABCD是格點四邊形（頂點為網(wǎng)格線的交點）（1）寫出點A，B，C，D的坐標；（2）求四邊形ABCD的面積．20．2021?柳南區(qū)校級模擬）如圖在直角坐標系中，已知A（0，a），B（b，0）C（3，c）三點，若a，b，c滿足關(guān)系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+c?4（1）求a，b，c的值．（2）求四邊形AOBC的面積．（3）是否存在點P（x，?12x），使△AOP的面積為四邊形AOBC的面積的兩倍？若存在，求出點21．（2021秋?阜陽月考）在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a為任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h為任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S＝ah．例如：三點的坐標分別為A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），則“水平底”a＝5，“鉛垂高”h＝4，“矩面積”S＝ah＝20．（1）若點A（﹣1，4），B（3，1），C（﹣3，﹣3），則A，B，C三點的“矩面積”S為；（2）若點A（1，2），B（﹣3，1），P（0，﹣t），則A，B，P三點的“矩面積”S的最小值為．平面直角坐標系中圖形面積的求解思路（解析版）第一部分專題典例剖析+針對訓練專題1規(guī)則圖形面積求解思路專題解讀：有一邊平行坐標軸或有一邊在坐標軸上的三角形，不妨稱其為“規(guī)則三角形”，其面積可以直接利用三角形面積公式．平行四邊形，矩形，梯形，正方形，菱形都屬于規(guī)則四邊形，其面積可以直接分別利用規(guī)則四邊形各自擁有的面積公式．根據(jù)坐標得到線段的長度是解題的關(guān)鍵．1．求“規(guī)則三角形”的面積典例1（2021春?肥城市期末）△ABC的各頂點坐標為A（﹣5，2），B（1，2），C（3，﹣1），則△ABC的面積為．思路引領(lǐng)：作CD⊥AB交AB的延長線于D，根據(jù)坐標與圖形性質(zhì)求出線段AB、CD的長，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．解：作CD⊥AB交AB的延長線于D，∵A（﹣5，2），B（1，2），C（3，﹣1），∴AB＝6，CD＝3，∴△ABC的面積=12×AB故答案為：9．點睛：本題考查的是坐標與圖形性質(zhì)，正確描出各點的坐標、根據(jù)坐標得到線段的長度是解題的關(guān)鍵．針對訓練11．如圖，已知在平面直角坐標系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），求△ABC的面積．解：∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴AO＝1，BC＝6，∴△ABC的面積=1求規(guī)則四邊形的面積典例2如圖所示，在平面直角坐標系中，AD∥BC∥x軸，AD＝BC＝7，且A（0，3），C（5，﹣1）．（1）求B，D兩點的坐標；（2）求四邊形ABCD的面積．思路引領(lǐng)：（1）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知線段和A，C點坐標分別得出B，D點坐標；

（2）直接利用平行四邊形面積求法得出答案．解：（1）∵點C（5，﹣1），即點C到y(tǒng)軸的距離為5，又∵BC＝7，∴點B到y(tǒng)軸的距離為：7﹣5＝2．∵BC∥x軸，∴點B（﹣2，﹣1）．∵AD∥x軸，點A（0，3），AD＝7，∴點D（7，3）．（2）∵AD∥BC∥x軸，AD＝BC＝7，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵點O到BC的距離為1，點A到x軸的距離為3，∴四邊形ABCD的面積＝BC×（1+3）＝7×4＝28．點睛：此題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)，正確掌握平行四邊形面積求法是解題關(guān)鍵．典例3（2021春?豐臺區(qū)校級期末）將長方形OABC先向上平移1個單位長度，再向左平移2個單位長度得新長方形D′A′B′C′，設(shè)A′B′與BC交于點M，求四邊形A′MCO的面積．思路引領(lǐng)：首先根據(jù)題意畫出圖形，得出四邊形A′MCO為梯形，再根據(jù)梯形的面積公式即可求解．解：如圖，四邊形A′MCO的面積=12（A′M+OC=1＝3．點睛：本題考查了坐標系中點、線段的平移規(guī)律，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．也考查了梯形的面積，準確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．針對訓練23．長方形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，AD∥x軸，AB∥y軸，已知長方形ABCD的長為3，寬為2，且點A的坐標為（﹣1.5，2），求長方形的頂點B、C、D的坐標及矩形AEOM的面積．解：∵AD∥x軸，AB∥y軸，點A的坐標為（﹣1.5，2），∴AM＝1.5，AE＝2，∵長方形ABCD的長為3，寬為2，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，∴BE＝CF＝1，MD＝CN＝0.5，∴B點坐標為（﹣1.5，﹣1），C點坐標為（0.5，﹣1），D點坐標為（0.5，2）；故矩形AEOM的面積＝1.5×2＝3．專題2不規(guī)則圖形面積求解思路專題解讀：不規(guī)則圖形的面積問題求解策略，利用補形或分割將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積的和或者差的形式，把所要解決的問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為另一個較容易的問題或已經(jīng)解決過的問題來解決．同時需要將已知點的坐標轉(zhuǎn)化為線段的長度，以滿足求面積的需要.求不規(guī)則三角形的面積典例4（2021秋?靖西市期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B、C三點的坐標分別為（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．（1）畫出三角形ABC，并求其面積；（2）如圖，△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過平移得到的．（3）已知點P（a，b）為△ABC內(nèi)的一點，則點P在△A′B′C′內(nèi)的對應點P′的坐標是（，）．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)點的位置作出圖形，利用分割法求出三角形的面積即可；（2）結(jié)合圖象，利用平移變換的性質(zhì)解決問題；（3）利用平移變換的規(guī)律解決問題．解：（1）如圖，△ABC即為所求，S△ABC＝4×5?12×2×4?（2）△ABC向右平移4個單位，再向下平移3個單位得到△A′B′C′，故答案為：△ABC向右平移4個單位，再向下平移3個單位得到△A′B′C′，（3）P′（a+4，b﹣3），故答案為：a+4，b﹣3．點睛：本題考查坐標與圖形變化﹣平移，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．針對訓練44．如圖，已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）在坐標系中描出各點，畫出△ABC；（2）求△ABC的面積．解：（1）描點，畫出△ABC，如圖所示．（2）S△ABC＝3×4?12×2×4?2．求不規(guī)則多邊形的面積典例5（2021春?鳳山縣期末）如圖，已知四邊形ABCD．（1）寫出點A，B，C，D的坐標；（2）試求四邊形ABCD的面積．（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1）思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)各點所在的象限，對應的橫坐標、縱坐標，分別寫出點的坐標；（2）首先把四邊形ABCD分割成規(guī)則圖形，再求其面積和即可．解：（1）A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（1，2）；（2）S四邊形ABCD＝3×3+2×12×點睛：此題主要考查了點的坐標，以及求不規(guī)則圖形的面積，關(guān)鍵是把不規(guī)則的圖形正確的分割成規(guī)則圖形．典例6（2020秋?羅湖區(qū)校級期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，依次完成下列各問：（1）任選一點作為原點，建立平面直角坐標系；（2）寫出A、B、C、D、E各點的坐標；（3）求五邊形ABCDE的面積．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)坐標系的概念建立坐標系即可；（2）由坐標系可得點的坐標；（3）割補法求解即可．解：（1）如圖所示：（2）A（0，2）、B（1，0）、C（3，0）、D（4，2）、E（3，3）；（3）S五邊形ABCDE＝3×4?12×1×2?12＝12﹣1﹣1﹣1.5﹣0.5＝8點睛：本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是建立坐標系后明確點所在的象限及坐標，求不規(guī)則多邊形的面積，一般用“割補法”．針對訓練55．已知點A（3，0）、B（0，2）、C（﹣2，0）、D（0，﹣1）在同一坐標系中描出A、B、C、D各點，并求出四邊形ABCD的面積．解：如圖所示：SABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=12（3×2+2×2+2×1+1×3）=152．所以，四邊形6．如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別為A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四邊形ABCD的面積．解：過D，C分別作DE，CF垂直于AB，E、F分別為垂足，則有：S＝S△OED+SEFCD+S△CFB=12×AE×DE+12×（CF+DE）×=12×2×8+故四邊形ABCD的面積為42平方單位．7．（2020秋?商河縣校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，圖中的網(wǎng)格是由邊長相等的小正方形組成，點A、B、C的坐標分別為（﹣5，4），（﹣4，0）．（﹣5，﹣3）．（1）請寫出點D、E、F、G的坐標；（2）求圖中陰影部分（多邊形ABCDEFG）的面積．解：（1）點D、E、F、G的坐標分別為：（0，﹣2）、（5，﹣3）、（3，4）、（﹣1，2）；（2）陰影部分（多邊形ABCDEFG）的面積為：[5﹣（﹣5）]×[4﹣（﹣3）]﹣[4﹣（﹣3）]×1÷2﹣[3﹣（﹣5）]×2÷2﹣2×[4﹣（﹣3）]÷2﹣[5﹣（﹣5）]×1÷2＝10×7﹣3.5﹣8﹣7﹣5＝70﹣23.5＝46.5．∴陰影部分（多邊形ABCDEFG）的面積為46.5．點睛：本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，明確三角形和四邊形的面積計算并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．專題3已知面積或已知面積與面積之間的關(guān)系求點的坐標的解題思路專題解讀：已知面積或已知面積與面積之間的關(guān)系求點的坐標，一般是設(shè)出要求點的坐標，利用坐標表示出線段的長度，再根據(jù)上面求面積的方法列出方程。需要注意的是，這類問題通常有兩解，需要分類討論，或者列絕對值方程求解。典例7（2021春?饒平縣校級期中）如圖，三角形三個頂點坐標分別為O（0，0），A（2，0），B（1，2）．若O，B兩點的位置不變，點M在x軸上，則點M在什么位置時，三角形OMB的面積是三角形OAB面積的2倍？（即求出點M的坐標）思路引領(lǐng)：設(shè)M點的坐標為（a，0），分兩種情況：M點在y軸左側(cè)和右側(cè)進行討論．解：S△ABO=1設(shè)M點坐標為（a，0），分兩種情況：①M點在y軸右側(cè)時，S△OBM=12∴a＝4，即當M在（4，0）時，S△OBM＝2S△ABO；②M點在y軸左側(cè)時，S△OBM=12×∴a＝﹣4，即當M在（﹣4，0）時，S△OBM＝2S△ABO．綜上所述，M在（4，0）或（﹣4，0）．點睛：本題考查了三角形的面積及坐標與圖形性質(zhì)的知識，注意M點可以在y軸左側(cè)和右側(cè)，不要漏解．典例8（2021春?河北區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（0，3），點B坐標為（2，﹣1）．（Ⅰ）點C在第一象限內(nèi)，AC∥x軸，將線段AB進行適當?shù)钠揭频玫骄€段DC，點A的對應點為點D，點B的對應點為點C，連接AD，若三角形ACD的面積為12，求線段AC的長；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，連接OD，P為y軸上一個動點，若使三角形PAB的面積等于三角形AOD的面積，求此時點P的坐標．思路引領(lǐng)：（Ⅰ）如圖1中，連接BC．證明四邊形ABCD是平行四邊形，可得結(jié)論．（Ⅱ）如圖2中，連接OD．設(shè)P（0，m）．由（Ⅰ）可知C（6，3），D（4，7），構(gòu)建方程可得結(jié)論．解：（Ⅰ）如圖1中，連接BC．∵AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ACD＝S△ACB＝12，∴12?AC∴AC＝6．（Ⅱ）如圖2中，連接OD．設(shè)P（0，m）．由（Ⅰ）可知C（6，3），D（4，7），由題意12?|m﹣3|?2=解得m＝9或﹣3，∴P（0，9）或（0，﹣3）．點睛：本題考查坐標與圖形變化﹣平移，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．針對訓練6在平面直角坐標系中已知點A（1，0），B（0，2），點P在x軸上，且△PAB的面積為5，求點P的坐標．解：∵S△PAB=12解得AP＝5，若點P在點A的左邊，則OP＝5﹣1＝4，此時，點P的坐標為（﹣4，0），若點P在點A的右邊，則OP＝1+5＝6，此時，點P的坐標為（6，0），綜上：點P的坐標為（﹣4，0）或（6，0）．9．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），B（4，0），C（4，3）三點．（1）求△ABC的面積；（2）如果在第二象限內(nèi)有一點P（m，1），且四邊形ABOP的面積是△ABC的面積的兩倍；求滿足條件的P點坐標．解：（1）∵B（4，0），C（4，3），∴BC＝3，∴S△ABC=1（2）∵A（0，2）（4，0），∴OA＝2，OB＝4，∴S四邊形ABOP＝S△AOB+S△AOP=12×4×2+12又∵S四邊形ABOP＝2S△ABC＝12，∴4﹣m＝12，解得：m＝﹣8，∴P（﹣8，1）．專題4與面積相關(guān)的新定義問題專題解讀：理解新定義中“水平底”、“鉛錘高”的含義，為后續(xù)學習函數(shù)中三角形面積的求法提供思路，提高學生分析能力理解能力。解題的關(guān)鍵是明確題目中的新定義，能利用新定義解答問題．典例9（2020秋?武侯區(qū)校級月考）在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S＝ah．例如：三點坐標分別為A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），則“水平底”a＝5，“鉛垂高”h＝4，“矩面積”S＝ah＝20．根據(jù)所給定義解決下列問題：（1）若已知點D（1，2），E（﹣2，1），F(xiàn)（0，6），則這3點的“矩面積”＝15；（2）若D（1，2），E（﹣2，1），F(xiàn)（0，t）三點的“矩面積”為6，求點F的坐標．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題目中的新定義可以求得相應的a，b和“矩面積”；（2）首先由題意得：a＝3，然后分別從①當t為最大值時，h＝t﹣1，當t為最小值時，h＝2﹣t，列等式求解即可求得答案．解：（1）∵D（1，2），E（﹣2，1），F(xiàn)（0，6），∴a＝1﹣（﹣2）＝3，h＝6﹣1＝5，∴S＝ah＝3×5＝15，故答案為：15；（2）對于D（1，2），E（﹣2，1），F(xiàn)（0，t），其“水平底”a＝3，∵“矩面積”S＝6＝ah，∴h＝2，若t為最大值，則h＝t﹣1＝2，t＝3，若t最小值，則h＝2﹣t＝2，t＝0，若1＜t＜2，則h＝2﹣1≠2，綜上所述，F(xiàn)點的坐標為（0，3）或（0，0）．點睛：本題是新定義：“水平底”，“鉛垂高”，“矩面積”的學習，考查坐標與圖形的性質(zhì)及學生的理解分析能力的培養(yǎng)，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中的新定義，利用新定義解答問題．針對訓練710．（2020春?新鄉(xiāng)期末）在平面直角坐標系中，對于任意三點A、B、C的“矩面積”，給出如下定義：水平底a為任意兩點的橫坐標差的最大值，鉛垂高h為任意兩點的縱坐標差的最大值，則“矩面積”S＝ah．若A（1，2），B（﹣2，1），C（0，t）三點的“矩面積”是18，則t的值為．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可以求得a的值，然后再對t進行討論，即可求得t的值．解：由題意可得，“水平底”a＝1﹣（﹣2）＝3，當t＞2時，h＝t﹣1，則3（t﹣1）＝18，解得，t＝7，故點C的坐標為（0，7）；當1≤t≤2時，h＝2﹣1＝1≠6，故此種情況不符合題意；當t＜1時，h＝2﹣t，則3（2﹣t）＝18，解得t＝﹣4，故答案為：﹣4或7．專題提優(yōu)訓練1．（2019秋?會寧縣期末）如圖，右邊坐標系中四邊形的面積是（）A．4 B．5.5 C．4.5 D．5解：如圖，作AE⊥BC，垂足為E，則：S四邊形ABCD＝S△OCD+S梯形ODAE+S△ABE，=12×1×1+故選：C．2．（2021春?黃埔區(qū)校級期中）平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，﹣1），點C在y軸上，如果三角形ABC的面積等于6，則點C的坐標為．解：設(shè)點C坐標為（0，y），∵點B的坐標為（0，﹣1），點A的坐標為（2，0），則BC＝|y+1|，OA＝2，∵S△ABC=12BC?∴12|y則|y+1|＝6，即y+1＝6或y+1＝﹣6，解得：y＝5或y＝﹣7，∴點C的坐標為（0，5）或（0，﹣7），故答案為：（0，5）或（0，﹣7）．3．（2021春?定州市期末）已知A（1，0），B（0，2），點P在x軸上，且△PAB面積是5，則點P的坐標是．解：∵A（1，0），B（0，2），點P在x軸上，∴AP邊上的高為2，又∵△PAB的面積為5，∴AP＝5，而點P可能在點A（1，0）的左邊或者右邊，∴P（﹣4，0）或（6，0）．故答案為（﹣4，0）或（6，0）．4．（2020春?雁塔區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A、B的對應點C、D，連接AC、BD，在y軸上存在點P，使△PCD的面積為四邊形ABCD面積的一半，則點P的坐標為．解：由平移可得，C（0，2），D（4，2），∴CD＝AB＝4，CD∥AB，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD面積＝4×2＝8，又∵△PCD的面積為四邊形ABCD面積的一半，∴△PCD的面積為4，即12×CD×∴CP＝2，∴當點P在CD下方時，P（0，0）；當點P在CD上方時，P（0，4），故答案為：（0，0）或（0，4）．5．（2020?廣州）如圖，點A的坐標為（1，3），點B在x軸上，把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點C的坐標為．解：∵把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AC＝BD，A和C的縱坐標相同，∵四邊形ABDC的面積為9，點A的坐標為（1，3），∴3AC＝9，∴AC＝3，∴C（4，3），故答案為（4，3）．6．（2021春?崇川區(qū)校級月考）在直角坐標系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），平移線段AB，使B點的對應點剛好與坐標原點O重合，則線段AB在平移過程中掃過的面積．解：平移后的圖形如圖所示：線段AB掃過的面積＝4×5?12×2×3﹣1×2?12＝20﹣3﹣2?32＝7．故答案為：7．（2020春?臨潁縣期末）如圖，A、B兩點的坐標分別為（2，4），（6，0），點P是x軸上一點，且△ABP的面積為6，則點P的坐標為．解：如圖，設(shè)P點坐標為（x，0），根據(jù)題意得12?4?|6﹣x解得x＝3或9，所以P點坐標為（3，0）或（9，0）．故答案為：（3，0）或（9，0）．7．（2021春?樟樹市期末）已知三角形ABC的頂點分別為A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），三角形A'B'C'是三角形ABC經(jīng)過平移得到的，三角形ABC中任意一點P（x，y）平移后的對應點為P'（x+4，y+6）．（1）請寫出三角形ABC平移的過程；（2）請寫出點A'，B'的坐標；（3）請在圖中畫出直角坐標系，求三角形A'B'C'的面積．解：（1）∵三角形ABC中任意一點P（x，y）平移后的對應點為P'（x+4，y+6），∴平移后對應點的橫坐標加4，縱坐標加6，∴三角形ABC先向右平移4個單位，再向上平移6個單位得到△A′B′C′；（2）A′（0，5），B′（﹣1，2）；（3）如圖，三角形A′B′C′的面積：3×4?12×1×3?8．（2021春?陵城區(qū)期末）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（Ⅰ）如圖①，則三角形ABC的面積為；（Ⅱ）如圖②，將點B向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點D．①求三角形ACD的面積；②點P（m，3）是一動點，若三角形PAO的面積等于三角形CAO的面積．請直接寫出點P坐標．解：（Ⅰ）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，∴S△ABC=12?BC?AO故答案為6．（Ⅱ）①如圖②中由題意D（5，4），連接OD．S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC=12×2×5+②由題意：12×2×|m|解得m＝±4，∴P（﹣4，3）或（4，3）．9．（2021春?陽谷縣期末）在邊長1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系，四邊形ABCD是格點四邊形（頂點為網(wǎng)格線的交點）（1）寫出點A，B，C，D的坐標；（2）求四邊形ABCD的面積．解：（1）由圖可知點A（4，1）、B（0，0）、C（﹣2，3）、D（2，4）；（2）四邊形ABCD的面積＝4×6?12×2×3?1210．（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）如圖1，三角形ABC的面積為；（2）如圖2，將點B向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點D．①求三角形ACD的面積；②P（m，3）是一動點，若三角形PAO的面積等于三角形AOC的面積，請求出點P的坐標．解：（1）∵點A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，∴S△ABC=1故答案為：6．（2）①連接OD．由題意D（5，4），S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC=12×2×5+②由題意，12×2×|m|解得m＝±4，∴點P的坐標為（﹣4，3）或（4，3）．11．（2021春?勃利縣期末）三角形ABC和三角形A'B'C'在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）分別寫出下列各點的坐標：A，B，C；（2）三角形ABC由三角形A'B'C'經(jīng)過怎樣的平移得到？（3）若點P（x，y）是三角形ABC內(nèi)部一點，則三角形A'B'C'內(nèi)部的對應點P'的坐標是多少？（4）求三角形ABC的面積．解：（1）A（1，3），B（2，0），C（3，1）．故答案為：（1，3），（2，0），（3，1）．（2）三角形ABC由三角形A'B'C'先向右平移4個單位，再向上平移2單位．（3）P′（x﹣4，y﹣2）．（4）三角形ABC的面積＝2×3?12×1×3?12．（2021春?長白縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣3b，0）為x軸負半軸上一點，點B（0，4b）為y軸正半軸上一點，其中b滿足方程3（b+1）＝6．（1）求點A，B的坐標；（2）點C為y軸負半軸上一點，且△ABC的面積為12，求點C的坐標；解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1，∴A（﹣3，0），B（0，4）．（2）∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵S△ABC=12?BC?∴BC＝8，∵點C在y軸的負半軸上，∴OC＝4，C（0，﹣4）．13．（2021春?柳南區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，同時將點A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2個單位長度再向右平移1個單位長度，分別得到A、B的對應點C、D．連接AC，BD（1）求點C、D的坐標，并描出A、B、C、D點，求四邊形ABDC面積；（2）在坐標軸上是否存在點P，連接PA、PC使S△PAC＝S四邊形ABDC？若存在，求點P坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意知點C坐標為（﹣1+1，0+2），即（0，2），點D的坐標為（3+1，0+2），即（4，2），如圖所示，S四邊形ABDC＝2×4＝8；（2）當P在x軸上時，∵S△PAC＝S四邊形ABDC，∴12∵OC＝2，∴AP＝8，∴點P的坐標為（7，0）或（﹣9，0）；當P在y軸上時，∵S△PAC＝S四邊形ABDC，∴12∵OA＝1，∴CP＝16，∴點P的坐標為（0，18）或（0，﹣14）；綜上，點P的坐標為（7，0）或（﹣9，0）或（0，18）或（0，﹣14）．14．已知：在平面直角坐標系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面積；（2）設(shè)點P在x軸上，且△ABP與△ABC的面積相等，求點P的坐標．解：（1）過點C作CD⊥x軸，CE⊥y，垂足分別為D、E．S△ABC＝S四邊形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD＝3×4?12×2×4?＝12﹣4﹣1﹣3＝4．（2）設(shè)點P的坐標為（x，0），則BP＝|x﹣2|．∵△ABP與△ABC的面積相等，∴12×1×|解得：x＝10或x＝﹣6．所以點P的坐標為（10，0）或（﹣6，0）．15．（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）已知：如圖，把△ABC向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到△A′B′C′．（1）寫出A′、B′、C′的坐標；（2）求出△ABC的面積；（3）點P在y軸上，且△BCP與△ABC的面積相等，求點P的坐標．解：（1）如圖所示：A′（0，4）、B′（﹣1，1）、C′（3，1）；（2）S△ABC=1（3）設(shè)點P坐標為（0，y），∵BC＝4，點P到BC的距離為|y+2|，由題意得12×4×|解得y＝1或y＝﹣5，所以點P的坐標為（0，1）或（0，﹣5）．16．（2021春?鳳山縣期末）如圖，已知四邊形ABCD．（1）寫出點A，B，C，D的坐標；（2）試求四邊形ABCD的面積．（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1）解：（1）A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（1，2）；（2）S四邊形ABCD＝3×3+2×12×17．（2021春?圍場縣）四邊形ABCD各頂點的坐標分別為A（0，1），B（5，1），C（6，3），D（2，5）．（1）如圖，在平面直角坐標系中畫出該四邊形；（2）四邊形ABCD內(nèi)（邊界點除外）一共有個整點（即橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點）；（3）求四邊形ABCD的面積．解：（1）如圖所示，四邊形ABCD即為所求；（2）由圖可知，四邊形ABCD內(nèi)（邊界點除外）的整點有11個，故答案為：11；（3）四邊形ABCD的面積為4×6?12×2×4?18．（2021春?定陶區(qū)期末）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（