專題08幾何題翻折類和最值類(填空題)(原卷版+解析)

二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題08——幾何題翻折類和最值類（填空題）（成都專用）1．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都七中?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE=3，沿直線EF翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在對(duì)角線AC上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)M為線段AA（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都七中校考階段練習(xí)）已知，如圖所示，矩形ABCD，AB=8，AD=6，F(xiàn)是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)．連接CF，過D作DG⊥CF垂足為G點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)．過A作AH⊥DE，垂足為H，連接CH．則四邊形AGCH面積的最大值為___________．3．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都七中校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，作直線AD∥BC，點(diǎn)E為直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，在CE右側(cè)作等腰直角△CEF，使得∠CEF=90°，EC=EF，連接AF，則4．（2020秋·四川成都·九年級(jí)成都七中校考階段練習(xí)）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=15，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，把△ABE沿BE翻折至△FBE，EF與DC相交于點(diǎn)G且DG=FG，再把△FBE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α0°<α<90°后得到△F'EB',?EF'的延長(zhǎng)線交BP5．（2022春·四川成都·九年級(jí)成都外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在⊙O中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，點(diǎn)C在OA上，且OC＝2AC，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為_______．6．（2021·四川成都·成都外國(guó)語學(xué)校校考二模）如圖，在Rt△ABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將△ADB折疊得到△ADB′，AB′與邊BC交于點(diǎn)E．若△EDB'7．（2021·四川成都·成都外國(guó)語學(xué)校校考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是___．8．（2021·四川成都·成都外國(guó)語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE折疊至△AHE，連接BH，延長(zhǎng)AE，BH交于點(diǎn)F；BF，CD交于點(diǎn)G，則FG=_______．9．（2021春·四川成都·九年級(jí)成都外國(guó)語學(xué)校校考期中）如圖，在?ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，點(diǎn)E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得DF=14DE10．（2020秋·四川成都·九年級(jí)樹德中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊AB，BC上，連接EF，將△BEF沿直線EF翻折得到△HEF，AB=8，BC=6，AE：EB=3：1．連接AH，HC，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則四邊形AHCD面積的最小值是______．11．（2019秋·四川成都·九年級(jí)樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，將?ABCD沿EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝8，則AE的長(zhǎng)為__．12．（2021秋·四川成都·九年級(jí)石室中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，BD＝22，BC＝3，則AB13．（2018秋·四川成都·九年級(jí)石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知∠MON＝30°，B為OM上一點(diǎn)，BA⊥ON于A，四邊形ABCD為正方形，P為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得CE，連結(jié)BE，若AB＝4，則BE的最小值為_____．14．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外校考期中）如圖，小實(shí)同學(xué)先將正方形紙片ABCD沿EF對(duì)折成兩個(gè)完全重合的矩形，再把紙片展平，然后折出上方矩形EFCD的對(duì)角線DF，再把AD邊沿DG折疊，使得A點(diǎn)落在DF上的H點(diǎn)處，若AD=2，則GB=________．【答案】3?5##15．（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求16．（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值是___．17．（2020秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在A'處，則CA'的最小值是__．18．（2021·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃┰诹庑蜛BCD中，∠D=60°,CD=4，以A為圓心2半徑作⊙A，交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CF，點(diǎn)G為CF中點(diǎn)，連結(jié)BG，取BG中點(diǎn)H，連結(jié)AH，則AH的最大值為________．19．（2021春·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？奸_學(xué)考試）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，則BFAF20．（2021春·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外校考開學(xué)考試）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值________________．二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題08——幾何題翻折類和最值類（填空題）（成都專用）1．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都七中?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE=3，沿直線EF翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在對(duì)角線AC上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)M為線段AA【答案】12【分析】過點(diǎn)M作MN⊥A'E于點(diǎn)N，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG．由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)可得MN=55A'E，從而可得當(dāng)G，M，【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作MN⊥A'E于點(diǎn)N，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG由折疊的性質(zhì)可知，EF⊥AC，AE=∴∠DAC∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4∴AD=∵sin∠DAC∴sin∠A∴MN=∴EM+∴當(dāng)G，M，N三點(diǎn)共線時(shí)GM+MN取得最小值，即EM+5∵∠DAC+∠AEF∴∠EGN∴sin∠EGN∵sin∠DAC=OE∴OE=3∴GE=6∴55∴EN=∴GN=6即EM+55A故答案為：125【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，折疊的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都七中?？茧A段練習(xí)）已知，如圖所示，矩形ABCD，AB=8，AD=6，F(xiàn)是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)．連接CF，過D作DG⊥CF垂足為G點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)．過A作AH⊥DE，垂足為H，連接CH．則四邊形AGCH面積的最大值為___________．【答案】24【分析】由∠ADC=90°，DG⊥CF，AH⊥DE，可得∠HAD=∠GDC，從而得出△AHD∽△DGC，則有DHCG=AHDG=ADDC【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC又∵DG⊥CF，∴∠AHD∴∠HAD∴∠HAD又∠AHD∴△AHD∴DH設(shè)AH=3∴GH∴S=12====?6=?6(∴當(dāng)a=724x時(shí)，∵在Rt△AH2+∴x把a(bǔ)=724得x2∴625四邊形AGCH面積的最大值為：24，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段成比例，勾股定理以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是證明三角形的相似得出對(duì)應(yīng)線段成比例．3．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，作直線AD∥BC，點(diǎn)E為直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，在CE右側(cè)作等腰直角△CEF，使得∠CEF=90°，EC=EF，連接AF，則【答案】2【分析】連接BE，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C'連接BC'交AD于點(diǎn)E'，連接CE'先求得BE+EC的最小值，證明△BCE∽△ACF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出【詳解】解：連接BE，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C'連接BC'交AD于點(diǎn)∴CE當(dāng)E點(diǎn)與E'點(diǎn)重合時(shí)，EC即BE+∵AD∥BC，∴CC∵AB=2∴CC∴BC∵△ABC，△∴BCAC又∠BCE∠ACF∴∠BCE∴△BCE∴ACBC∴當(dāng)△ACF的周長(zhǎng)最小時(shí)，△BCE的周長(zhǎng)最小，最小值為△BCE的周長(zhǎng)2倍，∵BE+EC的最小值為∴△BCE的周長(zhǎng)最小值為BC∴△ACF的周長(zhǎng)最小值為22+2故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱求最小值，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明△BCE∽△ACF是解題的關(guān)鍵．4．（2020秋·四川成都·九年級(jí)成都七中?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=15，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，把△ABE沿BE翻折至△FBE，EF與DC相交于點(diǎn)G且DG=FG，再把△FBE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α0°<α<90°后得到△F'EB',?EF'的延長(zhǎng)線交BP【答案】36【分析】設(shè)AE=EF=x，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，證明可得EG=GH，DE=FH，即有DH=EF=x，DE=【詳解】解：設(shè)AE=∵四邊形ABCD是矩形，∴AB在△DGE和△∠D∴△DGE∴EG∴DH∴BH在Rt△BCH∵C∴(20?∴x∴AE=12∵EM∴∠MEB∴∠∴△EAN∴AE∴12∴AN【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·四川成都·九年級(jí)成都外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在⊙O中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，點(diǎn)C在OA上，且OC＝2AC，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為_______．【答案】4【分析】延長(zhǎng)OB至點(diǎn)N，使得OB=BN，連接CN，CN與圓O交于M，證明△MOD∽△NOM，得到2DM=MN，將CM+2DM的最小值轉(zhuǎn)化為為CM+MN，即CN，再利用勾股定理求解即可.【詳解】解：延長(zhǎng)OB至點(diǎn)N，使得OB=BN，連接CN，CN與圓O交于M，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OC＝2AC，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，∴AC=2，OC=4，OD=BD=3，OB=BN=6，∵∠MOD=∠NOM，OMON∴△MOD∽△NOM，∴DM：MN=1:2，即2DM=MN，∴CM+2DM的最小值為CM+MN，即CN，在△CNO中，ON=12，OC=4，∴CN=OC故答案為：410【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形將多線段的最值轉(zhuǎn)化為單線段的值.6．（2021·四川成都·成都外國(guó)語學(xué)校?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將△ADB折疊得到△ADB′，AB′與邊BC交于點(diǎn)E．若△EDB'【答案】17或75【分析】先利用勾股定理可得BC=24，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AB'=AB【詳解】解：在Rt△ABC中，∴BC由折疊的性質(zhì)得：AB則分以下兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠EDB'=90°過點(diǎn)B'作AC的垂線，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F則四邊形CDB∴CD設(shè)DB'=∴AF在Rt△AFB'中，解得x=17或x即此時(shí)BD=17②如圖2，當(dāng)∠DEB'=90°由對(duì)頂角相等得：∠AEC∵∠ACB∴此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，∴B設(shè)DB'=在Rt△CDB'中，解得y=75即此時(shí)BD=綜上，BD的長(zhǎng)為17或754故答案為：17或754【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與折疊問題、一元二次方程的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2021·四川成都·成都外國(guó)語學(xué)校?？级＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是___．【答案】6+【分析】如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點(diǎn)T，使得AT＝TK．證明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)KE⊥AD時(shí)，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解決問題．【詳解】如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點(diǎn)T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)KE⊥AD時(shí)，KE的值最小，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，設(shè)AE＝a，則AT＝TK＝2a，ET=3a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+3a）2＝4，∴a＝6?∴EK＝2a+3a＝6+∴AF的最小值為6+故答案為6+【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等的三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．8．（2021·四川成都·成都外國(guó)語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE折疊至△AHE，連接BH，延長(zhǎng)AE，BH交于點(diǎn)F；BF，CD交于點(diǎn)G，則FG=_______．【答案】2【分析】過點(diǎn)H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，通過證明△AMH∽△HNE，可得AMHN=MH【詳解】解：過點(diǎn)H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∴∠BAD＝∠BMN＝90°，∠D＝∠MNC＝90°，∴四邊形ADNM是矩形，∴AM＝DN，MN＝AD＝2，∵將△ADE沿AE折疊至△AHE，∴AH＝AD＝2，∠AHE＝90°，HE＝DE＝1，∴∠AHM＋∠EHN＝90°，且∠MAH＋∠AHM＝90°，∴∠MAH＝∠EHN，且∠AMH＝∠ENH＝90°，∴△AMH∽△HNE，∴AMHN∴1+NE∴MH＝2NE，HN＝1+NE2∵M(jìn)H＋HN＝MN＝2，∴2NE＋1+EN2∴NE＝35∴MH＝65，HN＝45，AM＝∴BM＝25∴BH＝BM∵AB∥CD，∴BMNG∴NG＝415，HG＝4∴BG＝2103，EG＝∵AB∥CD，∴EGAB=∴FG＝210故答案為：210【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是本題的關(guān)鍵．9．（2021春·四川成都·九年級(jí)成都外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，點(diǎn)E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得DF=14DE【答案】93．【分析】連接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，進(jìn)一步得出DM=45FO，EO=98EN，過C作CH⊥AB于H，可求出CH=43，根據(jù)題意，EG必過點(diǎn)N，當(dāng)EN⊥【詳解】解：連接FC，交EG于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DM//FC，交EG于點(diǎn)M，如圖所示，∵DF∴DE∵DM//FC，∴△DEM∽△FEO，∴DMFO∵DM//FC，∴△DMN∽△CON，∴MNNO∵四邊形ECGF是平行四邊形，∴CO=FO，∴MNNO∴EN?∴EO=過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，在Rt△CBH，∠B=60?，BC=8，∴CH=BCsin60?=43，根據(jù)題意得，EG必過點(diǎn)N，當(dāng)EN⊥CD時(shí)，EG最小，此時(shí)四邊形EHCN是矩形，∴EN=CH=43，∴EO=98∴EG=2EO=93．故答案為：93．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．10．（2020秋·四川成都·九年級(jí)樹德中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊AB，BC上，連接EF，將△BEF沿直線EF翻折得到△HEF，AB=8，BC=6，AE：EB=3：1．連接AH，HC，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則四邊形AHCD面積的最小值是______．【答案】32【分析】連接AC，作EM⊥AC于點(diǎn)M，利用△AME∽△ABC得到AEAC=EMBC【詳解】如圖，連接AC，作EM⊥AC于點(diǎn)M，在Rt△ABCAC=∵AE：EB∴EB∵∠EAM=∠∴△AME∴AE即：6∴EM∵S四邊形AHCD∴當(dāng)△ACH的面積最小時(shí)，四邊形AHCD∵當(dāng)EH與EM重合時(shí)，點(diǎn)H到直線AC的距離最小，最小值為：185∴S△ACH最小值為：∴四邊形AHCD的面積最小值為：故答案為：32．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分割法表示四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．11．（2019秋·四川成都·九年級(jí)樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，將?ABCD沿EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝8，則AE的長(zhǎng)為__．【答案】28【分析】過點(diǎn)C作CG⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易證△D′CF≌△ECB（ASA），從而可知D′F＝EB，CF＝CE，設(shè)AE＝x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．【詳解】過點(diǎn)C作CG⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在?ABCD中，∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，由于?ABCD沿EF對(duì)折，∴∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，D′C＝AD＝BC，∴∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF＝∠ECB，且∠D'＝∠EBC，D'C＝BC∴△D′CF≌△ECB（ASA）∴D′F＝EB，CF＝CE，∵DF＝D′F，∴DF＝EB，AE＝CF設(shè)AE＝x，則EB＝8﹣x，CF＝x，∵BC＝4，∠CBG＝60°，∴BG＝12在Rt△BCG中，由勾股定理可知：CG＝BC∴EG＝EB+BG＝8﹣x+2＝10﹣x在Rt△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）2+（23）2＝x2，∴x＝28∴AE＝28故答案為：28【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本題屬于中等題型．12．（2021秋·四川成都·九年級(jí)石室中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，BD＝22，BC＝3，則AB【答案】1【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．作BH⊥AB于點(diǎn)B，CH⊥BC于點(diǎn)C，CH和BH交于點(diǎn)H，取BH中點(diǎn)G，連接AG、CG．由所作輔助線可知△BDF為等腰直角三角形，即可求出DF=BF=2．由AD//BC，即可推出AE=DF=2．根據(jù)∠ABE+∠HBC=∠【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．作BH⊥AB于點(diǎn)B，CH⊥BC于點(diǎn)C，CH和BH交于點(diǎn)H，取∵∠DBC=45°，BD∴DF=∵AD//BC∴AE=∵∠ABH∴∠ABE∴∠HBC∴△HBC∴BHAB設(shè)AB=2x，則∵G為BH中點(diǎn)，∠BCH∴BG=∴在Rt△ABG中，∴ABAC故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．作出輔助線是解題的關(guān)鍵，本題較難．13．（2018秋·四川成都·九年級(jí)石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知∠MON＝30°，B為OM上一點(diǎn)，BA⊥ON于A，四邊形ABCD為正方形，P為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得CE，連結(jié)BE，若AB＝4，則BE的最小值為_____．【答案】23+2【分析】將BC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得FC,作直線FE交OM于H,則∠BCF=90°，BC=FC，證△BCP≌△FCE(SAS)，得∠BHF=90°，故點(diǎn)E在直線FH上，即點(diǎn)E的軌跡為直線FH，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，BE=BH最短，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得CP,正方形CPHE中，PH=CP=2，BH=BH+PH.【詳解】如圖所示，將BC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得FC,作直線FE交OM于H,則∠BCF=90°，BC=FC，∵將CP繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得CE，∴∠PCE=90°，PC=EC，∴∠BCP=∠FCE，在△BCP和△FCE中，BC=FC，∠BCP=∠FCE，PC=EC，∴△BCP≌△FCE(SAS)，∴∠CBP=∠CFE，又∵∠BCF=90°，∴∠BHF=90°，∴點(diǎn)E在直線FH上，即點(diǎn)E的軌跡為直線FH，∵BH⊥EF，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，BE=BH最短，∵當(dāng)CP⊥OM時(shí)，Rt△BCP中，∠CBP=30°，∴CP=12BC=2，BP=3CP=23又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，∴正方形CPHE中，PH=CP=2，∴BH=BH+PH=23+2，即BE的最小值為23+2，故答案為23+2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等以及垂線段最短進(jìn)行判斷.14．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，小實(shí)同學(xué)先將正方形紙片ABCD沿EF對(duì)折成兩個(gè)完全重合的矩形，再把紙片展平，然后折出上方矩形EFCD的對(duì)角線DF，再把AD邊沿DG折疊，使得A點(diǎn)落在DF上的H點(diǎn)處，若AD=2，則GB=________．【答案】3?5##【分析】設(shè)BG=x，則可得AG=2?x=HG．連接GF，即可構(gòu)造Rt△GFH和Rt△【詳解】解∶如圖所示，連接GF，在Rt△CDF中，∴DF=又∵DH=∴FH=設(shè)BG=x，則由折疊可得，∠GHD∴∠GHF在Rt△GFH和GH2+解得x=3?5∴BG=3?故答案為∶3?5【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及翻折變換(折疊問題)以及勾股定理，折疊的本質(zhì)屬于軸對(duì)稱變換，關(guān)鍵是抓住折疊前后的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．15．（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求【答案】6【分析】將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為FD+BP+PF，此時(shí)當(dāng)B、P、【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，連接PF、AD、DB，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=60°，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=60°∴PA+∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；∵∠CAB=90°，∠CAD=∴∠EAD=30°，∴DE=∴AE=∴BE=1+∴BD=∴PA+PB+故答案為：6+【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，將三條線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到一條直線上．16．（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值是___．【答案】6【分析】連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，通過證明ΔAED?ΔGFE(AAS)，確定F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)；作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，從而確定C'點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上；當(dāng)D、F、C【詳解】解：連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)∵EF∴∠AED∵∠AED∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，∠∴ΔAED∴FG∴F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)C'∵EG=DA∴AE∴BG∴∠FBG∴∠CBF∴C'點(diǎn)在當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF在RtΔADC'中，AD∴D∴DF+CF故答案為：65【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑．能夠?qū)⒕€段的和通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．17．（2020秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在A'處，則CA'的最小值是__．【答案】410﹣4【分析】根據(jù)勾股定理求出CE，利用折疊的性質(zhì)EA=EA'，根據(jù)三角形三邊關(guān)系和角的和差關(guān)系即可出【詳解】解：如圖，連接CE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝8，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝EA∴CE＝DE2+C∵C∴C故答案為：410﹣4．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．18．（2021·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃┰诹庑蜛BCD中，∠D=60°,CD=4，以A為圓心2半徑作⊙A，交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CF，點(diǎn)G為CF中點(diǎn)，連結(jié)BG，取BG中點(diǎn)H，連結(jié)AH，則AH的最大值為________．【答案】2【分析】連接FA，GE，BE，取BE中點(diǎn)P，連接HP和PA，由圓的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可求出AE的長(zhǎng)，利用中位線的性質(zhì)求出HP的值，