專(zhuān)題05二次函數(shù)的新定義問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)（原卷版）

專(zhuān)題05二次函數(shù)的新定義問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)【二次函數(shù)的新定義問(wèn)題30道】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，，，則方程的解有(

)個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m、n，定義符號(hào)的含義為m，n之間的最大值，如，．定義一個(gè)新函數(shù)：，則時(shí)，x的取值范圍為（

）A．或 B．或 C． D．或3．（2022秋·河南開(kāi)封·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義一種新函數(shù)，形如（a≠0且）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)，某同學(xué)畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖．并寫(xiě)出了下列結(jié)論：①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1；③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＝﹣1或x＝3函數(shù)有最小值是0；⑤當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)的最大值是4．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（2022·廣東·統(tǒng)考二模）新定義：為二次函數(shù)（，a，b，c為實(shí)數(shù)）的“特征數(shù)”，如：的“特征數(shù)”為．若“特征數(shù)”為的二次函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為（

）A．或2 B． C． D．25．（2022·湖南岳陽(yáng)·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和，給出如下新定義，若則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)，例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)是，若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)．若二次函數(shù)（c為常數(shù)）在的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）定義：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自變量x0，使得函數(shù)值等于x0成立，則稱(chēng)x0為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，該函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜08．（2022秋·安徽蚌埠·九年級(jí)?？计谥校┒x：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱(chēng)為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（2，0），則互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點(diǎn)時(shí)m的最大值和最小值之差為（

）A．5 B． C．4 D．9．（2020秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)P分別作坐標(biāo)軸的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成一個(gè)矩形，若矩形的周長(zhǎng)值與面積值相等，則點(diǎn)P叫作和諧點(diǎn)，所圍成的矩形叫作和諧矩形．已知點(diǎn)P是拋物線上的和諧點(diǎn)，所圍成的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（

）A．16 B．4 C．12 D．1810．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）新定義：若兩個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)圖象為牽手函數(shù)．已知拋物線與線段是牽手函數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．11．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）定義：橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．當(dāng)二次函數(shù)的圖象與直線（a為常數(shù)）圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)時(shí)，則a的取值范圍是______．12．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如，函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的解為_(kāi)________．13．（2022秋·北京西城·九年級(jí)北京十四中?？计谥校?duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．如果函數(shù)是以3為上確界的有上界函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________．14．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足時(shí)，；時(shí)，，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，則點(diǎn)的限變點(diǎn)是____________．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是____________．15．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)、兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，的取值范圍為_(kāi)_____．16．（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┒x{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值為a，b，c的中位數(shù)，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}與直線y＝x+b有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則b的值為_(kāi)____．17．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春市第五十二中學(xué)?？计谀┒x：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把這樣的點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”．如：A(1，0)，B(﹣3，2)都是“整點(diǎn)”，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，若該拋物線在P，Q之間的部分與線段PQ所圍的區(qū)域（不包括邊界）恰有3個(gè)整點(diǎn)，則a的取值范圍是_____．18．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱(chēng)作拋物線關(guān)于直線的“割距”，如圖，線段MN長(zhǎng)就是拋物線關(guān)于直線的“割距”．已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)B恰好是拋物線的頂點(diǎn)，則此時(shí)拋物線關(guān)于直線y的割距是______．19．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足m≥0時(shí)，n′＝n?4；m＜0時(shí)，n′＝?n，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)P2（?2，3）的限變點(diǎn)是（?2，?3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝?x2＋4x＋2的圖象上，則當(dāng)?1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是______．20．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谀┒x：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”如：、都是“整點(diǎn)”．當(dāng)拋物線與其關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有個(gè)整點(diǎn)時(shí)，的取值范圍______．21．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于某函數(shù)圖象上的一點(diǎn)P，先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q也在該函數(shù)圖象上，則稱(chēng)點(diǎn)P為該函數(shù)圖象的“n倍平點(diǎn)”．(1)函數(shù)①；②；③中，其圖象存在“2倍平點(diǎn)”的是_______（填序號(hào)）；(2)若反比例函數(shù)，圖象恰有1個(gè)“n倍平點(diǎn)”，求n的值；(3)求函數(shù)圖象的“3倍平點(diǎn)”的坐標(biāo)．22．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）定義：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱(chēng)軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的兩個(gè)二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：的友好同軸二次函數(shù)為．(1)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為_(kāi)_________．其友好同軸二次函數(shù)為_(kāi)_________．(2)已知二次函數(shù)（其中且且），其友好同軸二次函數(shù)記為．①若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)），求線段的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為8，求a的值．23．（2021春·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)貴陽(yáng)市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：同時(shí)經(jīng)過(guò)x軸上兩點(diǎn)，的兩條拋物線稱(chēng)為同弦拋物線．如拋物線：與拋物線：是都經(jīng)過(guò)，的同弦拋物線．(1)任意寫(xiě)出一條拋物線的同弦拋物線．(2)已知拋物線是的同弦拋物線，且過(guò)點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值．24．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？计谥校┒x：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱(chēng)兩個(gè)不同的點(diǎn)和為“反射對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”、如：點(diǎn)（1，3）和（3，1）是一對(duì)“反射對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”．(1)下列函數(shù)：①；②；③，其中圖像上存在，“反射對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的是________（填序號(hào)）(2)直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，點(diǎn)P和點(diǎn)Q為一對(duì)“反射對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，若，求k的值；(3)拋物線上是否存在一對(duì)“反射對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”？如果存在，求出這一對(duì)“反射對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的M中，其最小值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的上邊界值；對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的N中，其最大值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的下邊界值；若一個(gè)函數(shù)既有上邊界值又有下邊界值，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，其上邊界與下邊界的差稱(chēng)為邊界差．例如，圖中的函數(shù)上邊界值是，下邊界值是．所以這個(gè)函數(shù)是“有界函數(shù)”，邊界差為．(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“有界函數(shù)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“√”，不是“有界函數(shù)”的打“×”．①（_________）；②（___________）；③（_________）(2)若函數(shù)（為常數(shù)，且），當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的邊界差為2，求的值；(3)若關(guān)于x的函數(shù)（為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其邊界差為1，求t的值．26．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）【概念認(rèn)識(shí)】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直線行走到目的地，只能按直角拐彎的方式行走．我們可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)兩點(diǎn)和，用以下方式定義兩點(diǎn)間的“折線距離”：．

【數(shù)學(xué)理解】(1)①已知點(diǎn)，則___________；②函數(shù)的圖象如圖（1），是圖象上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)函數(shù)的圖象如圖（2），該函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出其坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展運(yùn)用】(3)函數(shù)的圖象如圖（3），是圖象上一點(diǎn)，求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．27．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足（其中，a為常數(shù)），則稱(chēng)點(diǎn)P為函數(shù)圖象的“a級(jí)和點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象的“1級(jí)和點(diǎn)”，則______，______；(2)若時(shí)，直線上有“a級(jí)和點(diǎn)”，求k的取值范圍；(3)若拋物線的“a級(jí)和點(diǎn)”恰有一個(gè)，求a的取值范圍．28．（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和．給出如下定義：如果，那么稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“沉毅點(diǎn)”．例如點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)．(1)若直線上點(diǎn)M的“沉毅點(diǎn)”是，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若雙曲線上點(diǎn)P的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)Q，且=4，求k的值；(3)若點(diǎn)P在函數(shù)上，其“沉毅點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，結(jié)合圖象寫(xiě)出的取值范圍．29．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖像上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖像的“等值點(diǎn)”，例如：點(diǎn)是函數(shù)的圖像的“等值點(diǎn)”．(1)分別判斷函數(shù)，的圖像上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；(2)設(shè)函數(shù)，的圖像的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值；(3)若函數(shù)的圖像記為，將其沿直線翻折后的圖像記為，當(dāng)，兩部分組成的圖像上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．30．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市北雅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）【定義】對(duì)于函數(shù)圖象