2025屆河南省許昌市長葛一中數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題含解析

2025屆河南省許昌市長葛一中數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知直線，若圓C的圓心在軸上，且圓C與直線都相切，求圓C的半徑（）A. B.C.或 D.3．關于實數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列4．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.5．經(jīng)過點且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（）A. B.C. D.6．等差數(shù)列中，已知，，則的前項和的最小值為（）A. B.C. D.7．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓8．已知橢圓的上下頂點分別為，一束光線從橢圓左焦點射出，經(jīng)過反射后與橢圓交于點，則直線的斜率為（）A. B.C. D.9．如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂距離水面6米，水面寬米，若水面下降6米，則水面寬()A.米 B.米C.米 D.米10．拋物線y＝4x2的焦點坐標是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.11．設點關于坐標原點的對稱點是B，則等于（）A.4 B.C. D.212．平面上動點到點的距離與它到直線的距離之比為，則動點的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點，且的中點坐標為，則___________.14．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________.15．當曲線與直線有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍是____________16．射擊隊某選手命中環(huán)數(shù)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10987概率0.320.280.180.120.1該選手射擊兩次，兩次命中環(huán)數(shù)相互獨立，則他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為_________________.(結果用小數(shù)表示)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列前項和，求使成立的的最小值18．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設數(shù)列的前項和為，求的最小值及此時的值.19．（12分）已知拋物線與直線相切.（1）求該拋物線的方程；（2）在軸的正半軸上，是否存在某個確定的點M,過該點的動直線與拋物線C交于A,B兩點，使得為定值.如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，請說明理由.20．（12分）已知拋物線焦點是，斜率為的直線l經(jīng)過F且與拋物線相交于A、B兩點（1）求該拋物線的標準方程和準線方程；（2）求線段AB的長21．（12分）函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，為的中點（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正切值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用雙曲線定義可得到，將的最小值變?yōu)榈淖钚≈祮栴}，數(shù)形結合得解.【詳解】由題意得，故，如圖所示：到漸近線的距離,則，當且僅當，，三點共線時取等號，∴的最小值為.故選：D2、C【解析】設出圓心坐標，利用圓心到直線的距離相等列方程，求得圓心坐標并求得圓的半徑.【詳解】設圓心坐標為，則或，所以圓的半徑為或.故選：C3、B【解析】根據(jù)給定條件結合取特值、推理計算等方法逐一分析各個選項并判斷即可作答.【詳解】對于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對于D，a，b，c是實數(shù)，若，顯然都可以為負數(shù)或者0，此時a，b，c無對數(shù)，D不正確.故選：B4、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結合雙曲線的定義得到，設，進而作，得出，由此求出結果【詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B5、C【解析】共漸近線的雙曲線方程，設，把點代入方程解得參數(shù)即可.【詳解】設，把點代入方程解得參數(shù)，所以化簡得方程故選：C.6、B【解析】由等差數(shù)列的性質將轉化為，而，可知數(shù)列是遞增數(shù)，從而可求得結果【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即．又，∴的前項和的最小值為故選：B7、D【解析】根據(jù)題意知,所以,故點P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關于CD對稱，所以，故，可知點P的軌跡是橢圓.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.8、B【解析】根據(jù)給定條件借助橢圓的光學性質求出直線AD的方程，進而求出點D的坐標計算作答.【詳解】依題意，橢圓的上頂點，下頂點，左焦點，右焦點，由橢圓的光學性質知，反射光線AD必過右焦點，于是得直線AD的方程為：，由得點，則有，所以直線的斜率為.故選：B9、B【解析】以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在對稱軸為y軸建立直角坐標系，求出雙曲線方程，數(shù)形結合即可求解.【詳解】如圖所示，以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在對稱軸為y軸建立直角坐標系，設雙曲線標準方程為：(a＞0)，則頂點，，將A點代入雙曲線方程得，，當水面下降6米后，，代入雙曲線方程得，，∴水面寬：米.故選：B.10、C【解析】將拋物線方程化為標準方程，由此可拋物線的焦點坐標得選項.【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標準方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，故焦點坐標為（0，）.故選：C11、A【解析】求出點關于坐標原點的對稱點是B，再利用兩點之間的距離即可求得結果.【詳解】點關于坐標原點的對稱點是故選：A12、A【解析】設點，利用距離公式化簡可得出點的軌跡方程，即可得出動點的軌跡圖形.【詳解】設點，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數(shù)圖象，故動點的軌跡是雙曲線.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】根據(jù)給定條件設出點A，B的坐標，再借助“點差法”即可計算得解.【詳解】依題意，線段的中點在橢圓C內(nèi)，設，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：14、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因為，不等式恒成立，只要即可，因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以，所以.故答案為：.15、【解析】求出直線恒過的定點，結合曲線的圖象，數(shù)形結合，找出臨界狀態(tài)，即可求得的取值范圍.【詳解】因為，故可得，其表示圓心為，半徑為的圓的上半部分；因為，即，其表示過點，且斜率為的直線.在同一坐標系下作圖如下：不妨設點，直線斜率為，且過點與圓相切的直線斜率為數(shù)形結合可知：要使得曲線與直線有兩個不同的交點，只需即可.容易知：；不妨設過點與相切的直線方程為，則由直線與圓相切可得：，解得，故.故答案為：.16、84【解析】先求出該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率，由對立事件的概率可得答案.【詳解】該選手射擊一次，命中的環(huán)數(shù)低于9環(huán)的概率為該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率為所以他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為故答案：0.84三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)10.【解析】（1）借助于將轉化為，進而得到數(shù)列為等比數(shù)列，通過首項和公比求得通項公式；（2）整理數(shù)列的通項公式，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求得前n項和，代入不等式可求得n的最小值試題解析：（1）由已知，有，即從而又因為成等差數(shù)列，即所以，解得所以，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列故（2）由（1）得．所以由，得，即因為，所以．于是，使成立的n的最小值為10考點：1．數(shù)列通項公式；2．等比數(shù)列求和18、（1）（2）；或【解析】（1）由題意得到數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，結合，，成等比數(shù)列，列出方程求得，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由，得到時，，當時，，當時，，結合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，又由，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，所以數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】解：由數(shù)列的通項公式，令，即，解得，所以當時，；當時，；當時，，所以當或時，取得最小值，最小值為.19、(1)；(2).【解析】（1）直線與拋物線相切，所以有，可解得，得拋物線方程.(2)聯(lián)立直線與拋物線有，把目標式坐標化可得與無關，可得.試題解析：(1)聯(lián)立方程有，，有，由于直線與拋物線相切，得，所以.(2)假設存在滿足條件的點，直線，有，，設，有，，，，當時，為定值，所以.20、（1）拋物線的方程為，其準線方程為，（2）【解析】（1）根據(jù)焦點可求出的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準線方程；（2）設，，，，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去，整理得，得到根與系數(shù)的關系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求【小問1詳解】解：由焦點，得，解得所以拋物線的方程為，其準線方程為，【小問2詳解】解：設，，，直線的方程為.與拋物線方程聯(lián)立，得，消去，整理得，由拋物線定義可知，所以線段的長為21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構造函數(shù)，由題意可知恒成立，對實數(shù)分和兩種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，驗證是否成立，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，.（i）當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（ii）當時，令得.若，則；若，則.①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上，可得，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）設，，則.當時，單調(diào)遞增，則.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.當時，，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意；當時，由于，，，所以，存在，使得.當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.故，不符合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，考查分類討論思想的應用，屬于難題.22、（1）見解析；（2）.【解析】(1)證明BC⊥平面BDE即可；(2)以D為原點，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D－xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒【小問1詳解】∵ADEF為正方形∴ED⊥AD又∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED?平面ADEF∴ED⊥平面ABCD