中考數學專項復習：面積法

面積法

【規(guī)律總結】

所謂面積法，就是利用面積相等或者成比例，來證明其他的線段相等或為成比例線段

的方法。

相關定理

(1)等底等高的兩個三角形面積相等；

(2)等底(或等高)的兩三角形面積之比等于其高(或底)之比；

(3)在兩個三角形中，若兩邊對應相等，其夾角互補，則這兩個三角形面積相等；

(4)若在同一線段的同側有底邊相等面積相等的兩個三角形，則連結兩個三角形的頂點

的直線與底邊平行。

【典例分析】

D_________

例1、如圖，四邊形ABC。是菱形，對角線AC,BD相交于點。，A

DEI力B于點E,若aC=8cm,BD=6cm,則DE=()\/

A.5V3cm”■一

B.2V5cm

C.—cm

D.ycm

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了菱形的性質以及勾股定理的應用.注意菱形的面積等于對角線積的一半或底乘以

高.首先利用勾股定理求得菱形的邊長，然后由菱形的兩個面積計算渠道求得邊上的高

OE的長即可.

【解答】

解：「四邊形ABCD是菱形，AC=8cm,BD=6cm,

??.S菱形4BCD=乂。?BD=[x6x8=24,

,?,四邊形ABCD是菱形，

.-.AC1BD,0A^0C^lAC^4cm,OB=OD=3cm,

???在直角三角形AOB中，AB=VOB2+OA2=V32+42=5cm,

S^ABCD

：.DE

AB

故選C.

【解析】

【分析】

本題考查菱形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用面積法求線段的長，屬于中

考?？碱}型.

利用菱形的面積公式：YAC-BD-BC-AE,即可解決問題；

【解答】

解：???四邊形ABC。是菱形，

???AC1BD,OA=OC=3,OB=OD=4,

???由勾股定理得：AB=BC=5,

1

V--AC-BD=BC?AE,

2

故答案為：g.

例3、如圖，在AABC中，乙4=90。，。是邊上一點，4DCB

為等腰三角形，過BC上一點P,作PE1AB,垂足為點E,作PF1

CD,垂足為點F,已知4。：DB=1.'3,BC=6爬,求PE+PF的

長.

【答案】解：為等腰三角形，PE14B,PF1CD,ACLBD,

?1?S"CD=IBD-PE+ICD-PF=^BD-AC,

APE+PFAC,

設2D=x,BD=CD=3x,AB=4%,

222

vAC=CD-AD=(3x)2-*=8x2；

vAC2=BC2-AB2=(6V6)2-(4x)2,

x-3?

AC=2-\/2x=6V2,

???PE+PF6V2.

【解析】本題主要考查了面積法和勾股定理，把求兩條邊的長的和轉變?yōu)榍笾苯侨切蔚倪?/p>

是解答本題的關鍵.

根據三角形的面積判斷出PE+PF的長等于AC的長，這樣就變成了求AC的長；在Rt△ACD

和Rt△力BC中，利用勾股定理表示出AC,解方程就可以得到A。的長，再利用勾股定理就

可以求出AC的長，也就是PE+PF的長.

【好題演練】

一、選擇題

4

1.如圖，RtAABC^,^LACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC;'、、

''、E

沿CE翻折，使點A落在A8上的點。處；再將邊8c沿CF翻；

折，使點8落在的延長線上的點B'處，兩條折痕與斜邊AB

分別交于點E、F,貝UB'F長為()°B

A.更B.1C.JD-

255

【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質，勾股定理的應用等，根據折疊的性質

求得相等的角是本題的關鍵.

首先根據折疊可得CD=AC=3,B'C=BC=4,/.ACE=乙DCE,Z.BCF=AB'CF,CE1AB,

然后求得^ECF是等腰直角三角形，進而求得NB'FD=90°,CE=EF=當，ED=AE=

從而求得B'D=1,。尸=|，在RtAB'DF中，由勾股定理即可求得B'F的長.

【解答】

解：根據折疊的性質可知CD=AC=3,B'C=BC=4,^.ACE=/.DCE,乙BCF=乙B'CF,

CELAB,

B'D=4-3=1,乙DCE+乙B'CF=^ACE+乙BCF,

???^ACB=90°,

???乙ECF=45°,

??.△ECF是等腰直角三角形，

???EF=CE,Z.EFC=45°,

乙BFC=乙B'FC=135°,

???乙B'FD=90°,

■■-S^ABC=\AC-BC=\AB-CE,

：.AC-BC=AB-CE,

???根據勾股定理求得力B=5,

12

?*,CE~j

-12I---------------------Q

EF=y,ED=AE=<AC2-CE2=

???DF=EF-ED=I，

B'F=y/B'D2-DF2=1.

故選D

2.在AABC中，。是BC延長線上一點，MBC=mBD,AB=nAC,過。點作直線A8、

AC的垂線，垂足分別為E、F,貝UDE：。尸的比值為()

A.1：n(l—m)B,1：n(m—1)C.1：m(l—n)D,1：n(m+1)

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了面積法，利用同一個三角形的面積的兩種表示等到等式是解題的關鍵.

分別用DE、。歹表示SMBDS^ACD=^-AC-DF,通過線段比可知兩三角形面

積關系，進而得到?4C-0F=(l—zn)/aB-￡)E,從而得到DE和。尸關系即可解答.

【解答】

解：連接4C,

???BC=m?BD,

ACD=(l-m)^D,

???S&ACD=(1-'

1i

=

又1S-8O=2,DE9S^ACD2'"C,DF,

YAC-DF=AB-DE,

???AB=n-AC,

???4c?OF=(1—m)n-ACDE

???DF=(1—m)n-DE

DE1(〃、

故選：A.

3.如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，AC=6,BC=8,A。是NBAC的平分線.若P,

。分別是AO和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是()

c

A.YB.4C.5D.y

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時點尸和。

的位置.過點C作CM，48交A3于點交AD于點P,過點尸作PQ14C于點。，由AD

是NB4C的平分線.得出PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用勾股定理

求出AB,再運用為謝=|48-優(yōu)=158。，得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

【解答】

解：如圖，過點C作CM14B交AB于點M,交AO于點P,過點尸作PQ，AC于點。,

???4D是NB4C的平分線.

PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，

AC=6,BC=8,/.ACB=90°,

???AB=V4C2+BC2=V62+82=10.

11

■■-SAABC=-AB-CM^-AC-BC,

即PC+PQ的最小值為

故選A.

4.如圖，在菱形ABCZ）中，AC=2V6,BD

于點X,則。*的長為（）

A.3

B.2A/3

C.2

D.2V2

【答案】D

【解析】

【分析】

此題主要考查了菱形的面積公式以及菱形的性質以及勾股定理的運用，得出菱形邊長是解題

關鍵.利用菱形的對角線互相平分線且垂直即可得出菱形的邊長，再利用菱形面積公式求出

即可求出的長.

【解答】

解：,?,在菱形中，AC=2①，BD=2V3，

AO=CO==s[6,BO-DO-：BD-y/3,

???AB=A/3+6=3,

.：DHX3=IACXBD,

故選：D.

5.如圖，口/lBCD的對角線AC與2。相交于點O,AE1BC垂足為E,AB=遮,AC=2,

D.厚

7

【答案】。

【解析】

【分析】

本題考查了勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質，由勾股定理的逆定理可判定△84。是直

角三角形，利用三角形ABC面積的不同表示方法，建立方程求出AE的長.

【解答】

解：???ac=2,BD=4,四邊形ABCD是平行四邊形，

?--4。=-AC=1,BO=-BD=2,

22

AB=V3,

???AB2+A02=BO2,

???4BAC=90°,

?.?在Rt△B4C中，BC=yjAB2+AC2=J(V3)2+22=77,

11

S^BAC=-xABxAC=-xBCxZE,

V3X2=y/7AE,

Ab2y[2i

???AE=-----,

7

故選D

6.如圖，在平面直角坐標系中RtAABC的斜邊BC在x軸上，點B坐標為(1,0),AC=2,

乙48c=30。，把母△ABC先繞2點順時針旋轉180。，然后再向下平移2個單位，則A

點的對應點4的坐標為()

A.(—4,—2—V3)B.(―4,—2+V3)

C.(-2,-2+V3)D.(一2,一2一V3)

【答案】D

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題主要考查了直角三角形的性質，勾股定理，旋轉的性質和平移的性質，作出圖形利用旋

轉的性質和平移的性質是解答此題的關鍵.作力D1BC,并作出把RtA4BC先繞8點順時

針旋轉180。后所得△ABC1，然后依據旋轉的性質解答即可.

【解答】

解：如圖所示，作4D1BC,并作出把Rt△4也先繞8點順時針旋轉180。后所得44/6,

4C=2,/.ABC=30°,

BC=4,

AB=2V5，

A&D-=A--B-A-C=-2-^-3-x-2=73/T,T

BC4

BD=y/AB2-AD2=3.

,??點2坐標為(1,0),

???4點的坐標為(4,b).

???BD=3,

???=3,

A坐標為(-2,0),

4］坐標為(_2,—'V3).

???再向下平移2個單位，

???4的坐標為(—2,一百-2).

故選。.

二、填空題

7.如圖，Rt/kABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,

。是AB上一點，DE1AC于點E,DF1BC于點凡連接EF,

則EF的最小值為cm.

【答案】2.4

【解析】

【分析】

本題考查了矩形的判定與性質，垂線段最短的性質，勾股定理，判斷出CD14B時，線段

E尸的值最小是解題的關鍵，難點在于利用等面積法列出方程.

【解答】

解：如圖，連接CO.

vZ.ACB—90°,AC=3cm,BC=4cm,

???AB=V324-42=5(cm),

vDELAC,DF上BC,^ACB=90°,

???四邊形CFDE是矩形，

???EF=CD.

由垂線段最短可得，當CD148時，線段CO的值最小，即線段E尸的值最小,

此時，SaABC^^BC-AC=-AB-CD,

即(x4x3=之x5?CD,解得CD=2.4cm,

EF最小=2.4cm.

故答案為2.4.

8.若A4BC三邊的長a,b,c均為整數，且工+<+3=工，a+b-c=8,設△ABC的面

abab4

積為s,則s的最大值是,最小值是.

【答案】4V231；4V105

【解析】

【分析】

此題考查了三角形的面積，根據所給算式求出服6、c的值再用海倫公式解答是解題的關鍵.

根據5+￡+烹=3得到(a—4)(/?-4)=28,然后將28分解為1x28,2x14…等，據此得

到服。的所有可能值及c的值，利用海倫公式計算出面積，找出最小者與最大者即可.

【解答】

解：,?二+；+5=；,

4b+4a+12=ab,

即ab—4a-46=12,

???(a-4)(6-4)=28,

???a>4,b>4,

a-4=1,2,4,7,14,28,

b—4=28,14,7,4,2,1,

???a=5,6,8,11,18,32,

b=32,18,11,8,6,5,

va+h—c=8,

??.c=29,16,11,11,16,29,

(1)當a=5,h=32,c=29時，p=*：+29=33,s=(p(p—a)(p—b)(p-c)=

733(33-5)(33-32)(33-29)=4V231;

(2)當a=6,b=18,c=16時，p=6+1^+16=20,S=720(20-6)(20-18)(20-16)=

8V35;

(3)當a=8,b=11,c=11時，p==I}"=15,S=715(15-8)(15-11)(15-11)=

4V105;

(4)當a=11,b=8,c=11時，p=---=15,S=715(15-11)(15-8)(15-11)=

4V105;

(5)當a=18,b=6,c=16時，p=⑶茨=20,s=720(20-18)(20-6)(20-16)=

8V35;

(6)當a=32,b=5,c=29時，p=—^―=33,S=733(33-32)(33-5)(33-29)=

4V231.

可見最大值為4V^r，最小值為

故答案為4夜五，4V105.

9.如圖，矩形ABC。中，E為邊AB上一點,將△ADE沿。E折

疊，使點A的對應點廠恰好落在邊BC上，連接AF交DE于

點N,連接BN.若DE=3后tan乙BNF=—,貝!=

2

【答案】3V5

【解析】

【分析】

本題考查了折疊的性質，圓周角定理，矩形的性質，銳角三角函數，勾股定理以及三角形的

面積等知識，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.由折疊的性質得出NBNF=/BEF,由條

件得出tan/BEF=遇，設=逐乂，BE=2x,由勾股定理得出EF=3久，得出力B=5x,

2

再由勾股定理得出AF的長，于是得到AN的長，在RtALME中根據面積法列式求解可得出

答案.

【解答】

解：?.?將AADE沿DE折疊，使點A的對應點?恰好落在邊BC上，

???AFIDE,AE=EF,AN=FN,

?.?矩形ABCD中，^ABF=90°,

■■B,E,N,尸四點共圓，

???乙BNF=Z.BEF,

：.tan乙BNF=tanz.B￡F=里=恒,

BE2

設=V5x，BE=2%,

??.EF=7BF2+BE2=3%，

AE=3x,

AB—5XJ

AF=7AB2+BF2=V30%?

..V30

???ANT=——x，

2

在RtA/ME中，根據面積法可得：\AE-AD=^AN-DE,

AN-DE苧?3遍

AD—=3V5-

AE3x

故答案為3遍.

10.如下圖，口ABCD的對角線AC與3。相交于點O,AE1BC,垂足為E,AB=V3,AC=2,

BD=4,則AE的長為.

【答案】紀紅

7

【解析】解：,??4C=2,BD=4,四邊形是平行四邊形,

11

??.AO=-AC=1,BO=-BD=2,

22

vAB=V3,

???AB2+4。2=BO2,

???乙BAC=90°,

???在中，BC=ylAB2^AC2=J(V3)2+22=V7

S"AC=IxZBxAC=|xBCxZE,

.??2V3=V7XE,

?/?i?IZTE=2^2--1,

7

故答案為：浮

7

由勾股定理的逆定理可判定小呂力。是直角三角形，所以根據△ABC的面積列等式即可求出

AE的長.

本題考查了勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質，能得出△B4C是直角三角形是解此題的

關鍵.

11.如圖，用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方圖

案，己知大正方形面積為10,小正方形面積為2,若用x,y表示

直角三角形的兩直角邊(x>y),下列四個說法：@x2+y2=10；

@xy=2；③x-y=F；④x+2y=4&.其中說法正確的有

.(只填序號)

【答案】①③④

【解析】

【分析】

本題主要考查了勾股定理、面積分割法等知識.

根據勾股定理、面積分割法對選項一一分析即可.

【解答】

解：①大正方形的面積是10,則其邊長是同，顯然，利用勾股定理可得/+y2=10,故

選項①正確；

③小正方形的面積是2,則其邊長是應，根據圖可發(fā)現y+/=x,即③x-y=&,故選

項③正確；

②根據圖形可得四個三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積，即4X^孫+2=

10,化簡得xy=4,故選項②錯誤；

④因為y4-V2=x，所以把它代入%y=4中，得到y(tǒng)(y+V2)=4,解得y=V2,或y=—2^2(

舍去)，

則％=2或，則％+2y=4或,故選項④正確.

故答案為①③④.

12.如圖，在矩形A8CD中，AB=3,AD=4,點尸在A8上，PE1AC于點E,PF1BD于

點、F,則PE+PF=

【答案】y

【解析】

【分析】

本題考查矩形的性質、勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會用面積法解決問

題；

連接。尸，首先求得的面積，根據的面積=A04P的面積的面積即

可求解.

【解答】

解：連接。P,

在直角4ABD中，AB-：bAD=1，^-BAD=90°

.BD—，："+卜:5'

AO=OB=25，

S&AOB=15矩彬ABO.x3x4=3

l1

)AOPE+OBPF=3,

i6

.,.區(qū)(PE+PFf

解得：PE+PF=].

5

故答案為蔡.

三、解答題

13.如圖，小明的房間由小臥室和陽臺組成，小明爸媽的房間由大臥室和露臺組成.大小臥

室都是正方形，大臥室的邊長和小明房間的長都是露臺的寬度為6,陽臺的寬度是

露臺寬度特

臺

陽

-

一

大

臥室

陞a

(1)①用含。、b的代數式表示小臥室和大臥室的面積；②當a=4米，6=2米時，求

大小臥室的面積差；

(2)若5a=3(3a—b),Sj”「S'：：,求相的值.

(3)已知房屋的高度為/izn,現需要在小臥室和大臥室的墻壁上貼壁紙，那么至少需要

多少平方米的壁紙？

【答案】解：(1)①s大=。2,s〃、=(a-；b)2.

答：小臥室的面積為(a-：b)2,大臥室的面積為a?.

(2)S-L-_S./a?_(a_工b)2=a?_(j21ab-----/?2=-ab------.

7y大小v47216216

a=4m,b=2m,

???S.—S//、=-x4mx2m——x4m2=—m2.

大小2164

答：大小臥室的面積差為?Hl?.

4

(2)若5a=3(3a—b),則3b=4a,

S陽臺=a(a_(b)=|b(|b-]b)=：匕2

vS露臺=m-S陽臺,

??--b2—m--b2,

48

■■■m—2.

答：機的值為2.

(3)S=4ah+4(a—=4h(2a-b)rn2

答：至少需要4h(2a-於)平方米的壁紙.

【解析】本題考查了列代數式，代數式求值，矩形和正方形的面積，讀懂圖意，列出代數式

是解題關鍵.

(1)①利用正方形面積公式表示即可；②利用①中的面積相減，并將完全平方式展開化簡合

并即可；

(2)由5a=3(3a-6)解出。和b的關系式，并分別表示出露臺和陽臺的面積，然后利用

S露今=爪,5韻臺列式，化簡即可解出機的

值；

(3)根據矩形和正方形的面積來進行計算求解.

14.如圖，等腰直角三角板如圖放置.直角頂點C在直線機上，分別過點A、B作4E1直

線加于點E,8。，直線機于點。.

①求證：EC=BD；

②若設△NEC三邊分別為a、b、c,利用此圖證明勾股定理.

【答案】⑴證明：；乙ACB=90°,

???/,ACE+Z.BCD=90°.

???Z.ACE+/.CAE=90°,

???Z-CAE=乙BCD.

\LCEA=乙BDC

在^CAE^^BCD中，bcAE=乙BCD,

AC=CB

：.LCAE=LBCD{AAS}.

???EC=BD；

（2）解：由①知：BD=CE=a

CD=AE=b

???S一的=久。+匕）（。+力）

=-Q2+ab-|—b2.

22

又丁S梯形AEDB=SuEC+S^BCD+^LABC

111o

=-ab-\--ab+-c

222

=ab+-c2.

2

1"?1919

???-a+ab-\--b=ab+-c.

222

整理，得q2+b2=c2.

【解析】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質，勾股定理的證明，解本題

的關鍵是判斷兩三角形全等.

(1)通過A4S證得△CAE=LBCD,根據全等三角形的對應邊相等證得結論；

(2)利用等面積法證得勾股定理.

15.如圖1,直線=—x—b分別與尤，y軸交于4(6,0)、B兩點，過點8的直線交x軸

負半軸于C,且。B:0C=3:l.

(1)求直線BC的函數表達式；

(2)如圖2,尸為x軸上A點右側的一動點，以尸為直角頂點，8尸為一腰在第一象限內

作等腰直角三角形/BPQ,連接Q4并延長交y軸于點K.當P點運動時，K點的位置是

否發(fā)生變化？如果不變請求出它的坐標；如果變化，請說明理由.

-1____

(3)直線EF:y二萬無一似上力0)交A2于E,交BC于點E交x軸于。，是否存在這樣

的直線EF,使得S/EBO=S"BD?若存在，求出K的值；若不存在，說明理由.

【答案】解：(1)直線AB：y=-久一b分別與尤，y軸交于4(6,0)、2兩點,

,?0=-6—b,

.*?b=—6,

???直線A3的解析式為：y=—%+6.

???8(0,6),

???OB=6,

??,OB：OC=3：1,

OC=\OB=2,.?.C(-2,0),

設BC的解析式是y=ax+c,

.f6=0-a+c

to=-2a+c

U=6

???直線BC的解析式是：y=3%+6；

(2)K點的位置不發(fā)生變化，K(0,—6).

如圖1,過。作軸于H,

???△5PQ是等腰直角三角形，

???乙BPQ=90°,PB=PQ,

???/,BOA=(QHA=90°,

Z.BPO=乙PQH,

在ABOP與中，

(2LA0B=(QHA

乙BPO=乙PQH,

BP=PQ

??.△B0PwZk"PQ0L4S),

??.PH=BO,OP=QH,

??.PH+PO=BO+QH,

即0/+4H=80+Q”，

又???OA=OB,

??.AH=QH,

.??△Z”Q是等腰直角三角形，

???“AH=45°,

???Z.OAK=45°,

???△40K為等腰直角三角形，

OK=OA=6,

???K(0,-6)；

(3)如圖2,過瓜尸分別作EMI%軸，FN1

貝(J4EMD=乙FND=90°.

,*,S^EBD=SFBD，

??.DE=DF.

又???乙NDF=4EDM,

在△NFO與中，

2FND=乙DEM

(NDF=乙EDM,

DE=DF

??.△NFD/EDM(44S),

??.FN=ME.

解方程組［y=/i得E點的縱坐標=字,

vy=—x+6§

解方程組卜=一上得尸點的縱坐標=年

ly=3久+65

???FN=—力，ME=yE,

??-fc=I;

當k=襯，存在直線EF：y=|%-|,使得〃EBD=^FBD.

【解析】此題綜合考查了用待定系數法求一次函數的解析式、全等三角形的判定和全等三角

形的性質，以及等腰直角三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確求解析式以及借助于函數

圖象全面的分析問題.

(1)設BC的解析式是y=ax+c,由直線AB：y=-%—6過4(6,0),可以求出6,因此可以

求出2點的坐標，再由已知條件可求出C點的坐標，把8,C點的坐標分別代入求出。和c

的值即可；

(2)不變化，過。作QH_Lx軸于"，首先證明ABOPmAHPQ,再分別證明△4HQ和△40K為

等腰直角三角形，問題得解；

(3)過￡、/分別作EMJ.X軸，FNlx軸，貝UNEMD=NFND=90。，由題目的條件證明△

NFD三4EDM,進而得到FN=ME,聯立直線AB：y=-久一b和y=2x-k求出交點E和

產的縱坐標，再利用等底等高的三角形面積相等即可求出人的值.

16.如圖，四邊形ABCD內接于O。，AB=AC,AC1BD,垂足

為E,點尸在8。的延長線上，且DF=DC,連接AP、CF.

⑴求證：/.BAC=2^CAD；

(2)若4F=10,BC=4V5.求tan/BAD的值.

【答案】解：(1)"AB=AC,

：.AB=AC>/.ABC-Z.ACB,

???Z.ABC=Z-ACB=Z-ADB,

Z4BC=|(180°-zF4C)=90°-|zBXC,

■:BD1AC,

???^LADB=90°-^CAD,

1

ACAD,

.-.2-ABAC=

???Z-BAC=2/.CAD；

(2)解：?；DF=DC,

Z.DFC=乙DCF,

???Z-BDC=2乙DFC,

ii

???乙BFC=-A.BDC=-Z.BAC=/.CAD=乙FBC,

22

???CB=CF,

又BDLAC,

??.AC是線段B尸的中垂線，

???AB=AF=10,AC=AB=10.

又BC=4V5,

設力E=x,CE=10-x,

由一心=BC2_CE2t

得100—/=80-(10-x)2,

解得x=6,

???AE—6,BE=8,CE=4,

乙ABD=Z.ACD,Z-AEB=Z.CED,

ABE~bDCE,

clAECE6X4仁

???8O=BE+OE=3+8=11,

作。HL力B,垂足為人

BH=y/BD2-DH2=y,

??.AH=AB-BH=10-4-4=-6

55f

「“cDH3311

tanZ.^i4D=—=—=—.

AH62

【解析】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數，圓心角、弧、

弦的關系，相似，等腰三角形的判定和性質，屬于中考壓軸題.

(1)根據等腰三角形的性質得出乙4BC=N4CB,根據圓心角、弧、弦的關系得到念=求，

即可得到N4BC=^ADB,根據三角形內角和定理得至(UABC=|(180°-NBAC)=90°-

|zFXC,^ADB=90°-/.CAD,從而得至igzBaC="AD,即可證得結論；

(2)易證得BC=CF=4岔，即可證得AC垂直平分8尸，證得4B=4尸=10,根據勾股定理

求得AE、CE、BE,根據相似求得DE,即可求得8,然后根據三角形面積公式求得。

進而求得4”,解直角三角函數求得tan/B力。的值.

17.在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,若點尸是C。上任意一點，如圖①，PE1BD于點

E,PF12C于點孔那么PE和PF之間有怎樣的數量關系?寫出理由.變式一：當點尸

是AD上任意一點時，如圖②，猜想PE和尸尸之間有怎樣的數量關系，直接寫出結果.

變式二：當點尸是。。延長線上任意一點時，如圖③，猜想PE和PF之間有怎樣的數

量關系，寫出推理過程.

【答案】連接OP,如圖1,設點C到BD的距離為h.

在Rt△BCD中，BD=VBC2+CD2=V32+42=5.

工c

由=-1BcnD-h,=-1BCxCD,Z得R力j=-B-C-xC-D-=—3x4=—12.

^bLU22BD55

???四邊形ABC。是矩形，.?.OC=OD.

由SACOD=SADOP+SACOP，得5ODxh=-ODxPE+-OCXPF,

化簡得PE+PF=h=￡.

變式一：猜想：PE+PFy.

變式二：猜想：PF—PE=￡.

連接。P、BP,如圖2.

四邊^(qū)

由S"PQ=S^COD+S80cp~S^COD+S&COP+S^BOP，得

-BDxPF=-0D-h+-OCxPE-{--OBxPF

2222f

17

化簡得2PF=l+PE+PF,即PF-PE=h=?

【解析】略

18.如圖1,直線=—x—b分別與無，y軸交于4(6,0)、B兩點，過點B的直線交x軸

(1)求直線BC的函數表達式;

(2)