2025年上海市數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)：立體幾何（Ⅱ）（考點(diǎn)練+模擬練）含詳解

專題12立體幾何（II）（考點(diǎn)練+模擬練）

01上?？键c(diǎn)練

一、填空題

1.（23-24高二上?上海?期末）已知長方體ABC。-44CQ],然=&,AD=1,則二面角R-AB-C的大為—.

2.（2022?上海金山?二模）若正方體ABC。-ABG2的棱長為2,則頂點(diǎn)A到平面的距離為

3.（21-22高二上?上海奉賢?階段練習(xí)）互相平行的四條直線，每兩條確定一個平面，最多可確定個平

面；

4.（21-22高三上?上海閔行?期中）已知圓心角為60。的扇形面積為6萬，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的

余弦值等于.

5.（21-22高三下?上海松江?開學(xué)考試）如圖，在正方體42CZ）-A4CR中，過點(diǎn)A且與直線垂直的所有面對

6.（22-23高二上?上海黃浦?期末）過正方形ABC。之頂點(diǎn)A作尸A，平面ABCD,若上4=AB,則平面AB尸與平面

CDP所成的銳二面角的度數(shù)為.

7.（21-22高二上?上海?期末）已知三棱錐尸—ABC中，PA“PB,PB~PC,PC"PA,尸4=1,尸2=1,尸。=后，貝!|

點(diǎn)P到平面ABC的距離為.

8.（23-24高二上.上海普陀?期中）在空間四邊形ABC。中，AB=CD=6,MN分別是對角線AC,的中點(diǎn)，若

異面直線AB,CD所成角的大小為60°,則MN的長為.

9.（23-24高二上.上海浦東新?階段練習(xí)）如圖，某人沿山坡PQ8的直行道向上行走，直行道A8與坡腳（直）

線PQ成60。角，山坡與地平面所成二面角的大小為30。.若此人沿直行道A8向上行走了200米，那么此

時離地平面的高度為米.

10.（21-22高二上?上海?期末）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下結(jié)論：其中所有正確的結(jié)論

（1）與EO平行；（2）CN與BE是異面直線；

TT

（3）CN與3M成］；（4）。河與2N垂直；

11.（23-24高二上?上海黃浦?階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，上4,平面A8CD,則四棱錐的五

個表面中，與平面山。垂直的平面有個.

12.（23-24高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）如圖，NAO3在平面a內(nèi)，NAO3=90。，尸O是平面a的斜線，

ZPOA=ZPOB=a）°,點(diǎn)。是尸。上一點(diǎn)，且PQ=a,則線段PQ在平面a上的射影長為.

P

13.（23-24高二上?上海松江?階段練習(xí)）如圖，在長方體4BCD-A4CQ中，AB=AD=\,AAi=2,尸為。。的

中點(diǎn)，過網(wǎng)的平面1分別與棱AA-CQ交于點(diǎn)￡,F,且AC〃夕，則截面四邊形PEB尸的面積為.

14.（23-24高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）已知ABCD砂-44￡。耳耳是單位正六棱柱（即所有的棱長都是1,如圖

所示），黑、白兩個螞蟻同時從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”.黑螞蟻爬行的路線是

441fA片一…，白螞蟻爬行的路線是43-B與-….它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第z?段所在的直

線必須是異面直線（其中，是正整數(shù)）.設(shè)黑、白兩螞蟻?zhàn)咄?023段后各停留在正六棱柱的某個頂點(diǎn)處，這時黑、

白兩螞蟻的距離是.

15.（23-24高二上?上海?階段練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A與G，底面三角形ABC是等腰直角三角形，其中B為直

角頂點(diǎn)，且AB=3，M=2百.若點(diǎn)O為棱A4的中點(diǎn)，點(diǎn)M為平面BCD的一動點(diǎn)，則忸M+QM的最小值是-

16.（22-23高三上?上海浦東新?期中）如圖，三棱錐A-3CD的頂點(diǎn)A在平面a上，側(cè)棱平面a,底面

是以B為直角的等腰直角三角形，且平面與平面a平行.AB^BC^l,E是CO中點(diǎn)，M是線段AE上的動

點(diǎn)，過點(diǎn)M作平面AC。的垂線交平面a于點(diǎn)N,則點(diǎn)N到點(diǎn)C的距離的取值范圍為.

二、單選題

17.（23-24高三下.上海松江.階段練習(xí)）已知a、/、/是三個不同的平面，/、機(jī)、”是三條不同的直線，則（）

A.若加//a,nila,貝!〃"B.若ay=m,。'y=n,a///3,則加〃〃

C.若mua,n-La,IVn,則/〃mD.若夕B=l,且相〃/,則根//a

18.（23-24高二上?上海?期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCD一A耳儲2中，點(diǎn)夕在截面上（含邊界），

則線段”的最小值等于（）

AG

AB

A.-B.氈C.&D.在

333

19.（2023?上海長寧?三模）如圖所示，在正方體A8C。-4旦GR中，”是棱上一點(diǎn)，若平面與棱CQ交

于點(diǎn)N,則下列說法中正確的是（）

A.存在平面MBAQ與直線8月垂直

B.四邊形M3AQ可能是正方形

C.不存在平面MBND、與直線4G平行

D.任意平面MBNA與平面AC4垂直

20.（23-24高二上?上海.期末）在長方體ABC。-4瓦￡2中，A\=AD,AB:AD=A,（2>0）,￡是棱4耳的中點(diǎn),

點(diǎn)尸是線段上的動點(diǎn)，給出以下兩個命題：①無論彳取何值，都存在點(diǎn)P,使得PCLBD；②無論彳取何值，

都不存在點(diǎn)P,使得直線AC1，平面尸3c.則（）.

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

三、解答題

21.（23-24高二上.上海.期末）如圖，在幾何體尸-ABC。中，己知P4平面ABC3,且四邊形ABCD為直角梯形,

71

ZABC=ZBAD=~,AD=2,AB=BC=1.

2

P

（1）證明：CD,平面PAC；

77

（2）若PC與平面ABCD所成的角為:，求二面角A-PD-C的大小.

22.（22-23高三下?上海?階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD的底面ABC。為矩形，P4,底面A8CZ）,且

PA=AD=2AB=2,設(shè)E、F、G分別為PC、BC、C。的中點(diǎn)，X為EG的中點(diǎn)，如圖.

⑴求證：四〃平面P8D；

（2）求直線切與平面P8C所成角的正弦值.

23.（21-22高三下?上海楊浦?階段練習(xí)）如圖，等腰RtAO3,04=03=2,點(diǎn)C是08的中點(diǎn)，VA0B繞80所

在的邊逆時針旋轉(zhuǎn)至，BOD,ZAOD=^.

⑴求VAOB旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S；

（2）求直線AC與平面BOD所成角的大小.

24.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在多面體ABCD跖中，已知四邊形ABCZ）是菱形，ZABC=60°,平面ABCD,

EDLnABCD,AB=FA=2ED=2.

F

（1）在線段AF上是否存在一點(diǎn)G,使得平面3DG〃平面CEF?若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由.

⑵求二面角B-CF-E的余弦值.

25.（19-20高二下.上海浦東新?期中）如圖，已知正方體A8CO-4耳G2內(nèi)接于球。，且球的半徑為君，P,Q

分別是BC,3G上的動點(diǎn).

（1）求正方體ABCD-A與GR的棱長;

（2）求尸。+。2的最小值；

（3）若平面尸的與平面ADC4所成二面角的大小為a,平面PZ）G與平面ADC的所成二面角的大小為夕，試求

a+夕的最小值，及此時尸點(diǎn)的位置.

02上海模擬練

一、填空題

1.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知圓臺的上底半徑為1,下底半徑為2,若圓臺上、下底面的面積和等于圓臺的側(cè)面

面積，則圓臺的母線與底面所成角的大小為（用反三角函數(shù)表示）.

2.（2024?上海崇明?二模）已知底面半徑為1的圓柱，。是其上底面圓心，A、3是下底面圓周上兩個不同的點(diǎn)，

8C是母線.若直線Q4與3C所成角的大小為m，則BC=.

3.（2020?上海長寧?二模）如圖，已知正四棱柱ABC。-A瓦GR的側(cè)棱長為四,底面邊長為1,則直線和底

面ABCD所成的角的大小為.

4.（2023?上海靜安?二模）如圖，正方體ABCD-ABCQi中，E為A3的中點(diǎn)，f為正方形3CG4的中心，則直

線EF與側(cè)面BBgC所成角的正切值是.

5.（2023?上海楊浦?一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中研究過一種叫“鱉（bie）膈（nao）”的幾何體，它指

的是由四個直角三角形圍成的四面體，那么在一個長方體的八個頂點(diǎn)中任取四個，所組成的四面體中“鱉席”的個數(shù)

是.

6.（2024.上海虹口?二模）如圖，在直四棱柱ABCD-A笈G，中，底面為菱形，且ZBAD=60.^AB=AA{=2,

點(diǎn)〃為棱CG的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在48上，則線段PAPM的長度和的最小值為.

7.（2023?上海閔行?一模）已知點(diǎn)尸在正方體A3CD-A耳G2的表面上，P到三個平面ABC。、ADQA、ABBtAt

中的兩個平面的距離相等，且尸到剩下一個平面的距離與P到此正方體的中心的距離相等，則滿足條件的點(diǎn)尸的個

數(shù)為.

8.（2023?上海嘉定?一模）設(shè)尸為多面體M的一個頂點(diǎn)，定義M在尸處的離散曲率為

1-^ZQ}PQ2+ZQ,PQ3++NQ-P以+NQ/QJ,其中Q?=l,2,，左次eN）為M的所有與P相鄰的頂點(diǎn)，且平

271

面。尸Q、Q『Q3、L、QklPQk＞以尸。1為M以P為公共點(diǎn)的面.已知在直四棱柱A8CZ）-ABG2中，四邊形ABCD

為菱形，AAl=AB,當(dāng)AC1，平面A0D時，四面體AA8。在4處的離散曲率為.

二、單選題

9.（2024?上海長寧?二模）已知直線。涉和平面a,則下列判斷中正確的是（）

A.若a//a,8〃a,則a//bB.若a〃b,blla,則a//a

C.若a//a,bLee,則；j_,D.若aJ_6,b//a,貝

10.（2023?上海閔行?三模）已知羽是空間的直線或平面，要使命題“若無，z,y，z,則x〃y”是真命題，x,y,z可

以是（）

A.羽y，z是三個不同的平面B.X，Z是兩條不同的直線，y是平面

c.x，y，z是三條不同的直線D.x，y是兩條不同的直線，z是平面

11.（2024?上海?三模）如圖，點(diǎn)N為正方形ABC。的中心，為正三角形，平面EC。，平面ABC。，M是線

段班的中點(diǎn)，則（）

A.DM豐EN,且直線DM、EN是異面直線

B.DM=EN,且直線Z）M、EN是異面直線

C.DM手EN,且直線DM、EN是相交直線

D.DM=EN,且直線。M、EN是相交直線

12.（2023?上海金山?二模）如圖，在矩形ABCD中，E、尸分別為邊AD、3C上的點(diǎn)，且AD=3AE,BC=3BF,

設(shè)P、。分別為線段反、CE的中點(diǎn)，將四邊形ABEE沿著直線所進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)A不在平面CDEF上，在這一

過程中，下列關(guān)系不能成立的是（）

A.直線AB〃直線COB.直線AB,直線PQ

C.直線PQ〃直線即D.直線PQ〃平面ADE

13.（2023?上海崇明?一模）已知點(diǎn)M為正方體ABCZ）-4瓦G2內(nèi)部（不包含表面）的一點(diǎn).給出下列兩個命題:

%：過點(diǎn)/有且只有一個平面與AA和4c都平行；

%：過點(diǎn)M至少可以作兩條直線與M和4G所在的直線都相交.

則以下說法正確的是（）

A.命題名是真命題，命題的是假命題B.命題小是假命題，命題%是真命題

C.命題41,%都是真命題D.命題%,%都是假命題

三、解答題

14.（2024.上海奉賢.三模）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是梯形，AD//BC,ABYBC,AB=BC=1,24,平

面ABCD,CDYPC.

p

⑴求證：CD_L平面PAC

JT

(2)若二面角P-CD-A的大小為w，求尸￡＞與平面PAC所成的角的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

15.(2023?上海靜安?二模)如圖，在五面體ABCDEF中，41_L平面ABC。，AD//BC//FE,AB±AD,若

(1)求五面體ABCDEF的體積；

(2)若M為EC的中點(diǎn)，求證：平面CDEL平面AMD

16.(2024?上海奉賢?二模)如圖1是由兩個三角形組成的圖形，其中NA尸C=90°,ZPAC=30°,AC=2AB,

ZBC4=30°.將三角形ABC沿AC折起，使得平面R4C，平面ABC,如圖2.設(shè)。是AC的中點(diǎn)，D是釬的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)求直線BO與平面PAC所成角的大??；

(2)連接PB,設(shè)平面030與平面P8C的交線為直線/,判別/與PC的位置關(guān)系，并說明理由.

17.(2024?上海?模擬預(yù)測)如圖，多面體ABCDEF是由一個正四棱錐4-3。見與一個三棱錐尸-ADE拼接而成,

正四棱錐龍的所有棱長均為30，且AF〃CD.

⑴在棱DE上找一點(diǎn)G,使得平面ABC,平面AFG,并給出證明;

(2)若=求直線。尸與平面ABC所成角的正弦值.

18.(2023?上海長寧?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,AB±BC,AB=AD,

BC=2AB,E,尸分別為棱3cBp中點(diǎn).

(1)求證：平面〃平面DCP；

(2)若平面P3C，平面ABCD,直線”與平面PBC所成的角為45,且CPJ_P3,求二面角P-AB-C的大小.

19.(2022?上海奉賢?一模)如圖，在正四棱錐P-ABC。中，PA=AB=2近,反/分別為的中點(diǎn)，平面AEF

與棱尸C的交點(diǎn)為G.

⑴求異面直線AE與尸尸所成角的大??；

(2)求平面AEGF與平面ABCD所成銳二面角的大??；

(3)求點(diǎn)G的位置.

專題12立體幾何（II）（考點(diǎn)練+模擬練）

01上?？键c(diǎn)練

一、填空題

1.（23-24高二上?上海?期末）已知長方體ABC。-然=&,AD=1,則二面角R-AB-C的大為

【答案】arccos在

3

【分析】根據(jù)二面角的定義即可找到/。小。為二面角AB-C的平面角，利用三角形的邊角關(guān)系即可求解.

【詳解】由于平面AO0A，且ARu平面所以

又。4，45所以ZD{AD即為二面角D.-AB-C的平面角,

由于A\-5/2,AD=1,可得AD[=y/3,

AD1R

則cosA。二五方二耳，所以ZD]AD=arccos]-,

故答案為：arccosA/3

3

2.（2022?上海金山?二模）若正方體48。-A4GR的棱長為2,則頂點(diǎn)A到平面BBQD的距離為

【答案】72

【分析】連接AC網(wǎng)》,設(shè)ACBD=O,進(jìn)而可證明49,平面B8QD,再由已知棱長求得4。即為答案.

【詳解】解：如圖，在正方體A3。-中，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知8百，平面AB。，

因?yàn)锳Cu平面ABCD,

所以BgLAC

連接AC,2￡>,設(shè)ACBD=O,則AC1BD,

因?yàn)锽DcBB]=B,BD,8與u平面BBRD,

所以，AC_L平面BBQQ,即AO_L平面BBQD,

所以，A。即為頂點(diǎn)A到平面網(wǎng)DQ的距離,

因?yàn)檎襟wA3。-AqGR的棱長為2,所以，AO=y/2.

故答案為：也.

3.（21-22高二上?上海奉賢?階段練習(xí)）互相平行的四條直線，每兩條確定一個平面，最多可確定個平

面；

【答案】6

【分析】當(dāng)4條直線中任意三條直線都不共面時，每兩條確定一個平面，平面最多，結(jié)合正方體，即可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)4條直線中任意三條直線都不共面時，每兩條確定一個平面，平面最多，

如圖正方體的四條側(cè)棱，

所以最多可確定6個面.

故答案為：6.

4.（21-22高三上?上海閔行?期中）已知圓心角為60。的扇形面積為6萬，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的

余弦值等于.

【答案】7

O

【分析】求得扇形的半徑及弧長，由此求得圓錐的底面半徑，從而求得正確結(jié)論.

I-rrjr

【詳解】依題意=6萬,廠=6,弧長為］X6=2萬，

所以圓錐的底面半徑為二=1,

所以扇形圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于2.

0

故答案為：

0

5.（21-22高三下?上海松江?開學(xué)考試）如圖，在正方體ABCZ）-ABG2中，過點(diǎn)A且與直線垂直的所有面對

角線的條數(shù)為.

【答案】2

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)有2片，面4gG2，由線面垂直性質(zhì)可得8瓦1AG，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)有

AG±BD,,同理確定與5Q垂直的其它面對角線即可.

【詳解】由正方體性質(zhì)：8耳，面AMG2，A￡u面4BC2,則8月，AG，又用BBCBR=B「

所以46_1_面842，又BRu面842，故即面44G2上的面對角線AG_LBQ；

同理，可得面對角線。A,OG,A綜C昂AC都垂直于8Q.

所以一共6條面對角線與22垂直，其中過A點(diǎn)的有2條.

6.（22-23高二上?上海黃浦?期末）過正方形A3C。之頂點(diǎn)A作尸平面ABCD,若上4=AB,則平面AB尸與平面

CDP所成的銳二面角的度數(shù)為.

【答案】45°

【分析】將四棱錐補(bǔ)成正方體即可求解.

【詳解】根據(jù)已知條件可將四棱錐補(bǔ)成正方體如圖所示：

pE

連接CE,則平面CZ）P和平面CPE為同一個平面，

由題可知PE±平面BCE,BE,CEu平面BCE,

PELBE,PELCE,又平面?IB尸c和平面=PE,BEu平面ABP,CEu平面COP,

NCE3為平面ABP和平面COP所成的銳二面角的平面角，大小為45。.

故答案為：45°.

7.（21-22高二上?上海?期末）已知三棱錐尸—ABC中，PA“PB,PB"PC,PC“PA,PA=1,尸3=1,尸。=應(yīng)，貝l|

點(diǎn)P到平面ABC的距離為.

【答案】叵

5

【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)尸到平面A8C的距離為d,由線面垂直的性質(zhì)可得進(jìn)而求出的值，同時可得PC,面

進(jìn)而求出/_ABC='xdxSABC=~d,利用等體積法計(jì)算可得答案.

根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)尸到平面ABC的距離為d,

如圖：PA±PB,PBLPC,PCVPA,PA=\,PB=1,尸C=夜，

則有尸面RW,所求三棱錐P—A5c高為PC,故尸C=d,

V

^C-PAB=-xPCxSPAB=—,A8=^/m=&，AC=BC=V2+T=A/3,

36

則SABC—與=乎'

結(jié)合/C=d,可得Vp.ABC=gxdxSABC=器"，

又由%PM=VpA5C=Lx0X』xlxl=^^,即2^=2/1^.,解得

C-PABP-ABC326665

故點(diǎn)尸到平面ABC的距離為叵

5

故答案為：叵

5

8.（23-24高二上.上海普陀?期中）在空間四邊形A3CD中，AB=CD^6,分別是對角線AC,的中點(diǎn)，若

異面直線AB,CD所成角的大小為60°,則MN的長為.

【答案】3或3百

【分析】取仞中點(diǎn)為E,連接根據(jù)已知得出ME=3,NE=3,ZMEN=60?；?20。.然后在；MEN中,

根據(jù)余弦定理，即可得出答案.

【詳解】取A。中點(diǎn)為E,連接NE,ME,

因?yàn)榉謩e是ACQ'ZM的中點(diǎn)，

所以，ME//CD,NE//AB,且ME=，CO=3,NE=>AB=3.

22

又異面直線AB,CD所成角的大小為60。，

所以，/AffiN=60?；?20。.

當(dāng)NMEN=60°時，

在,MEN中，由余弦定理可得，

MN2=ME2+NE2-2XMEXNECOS600=32+32-2X3X3X-=9,

2

所以，MN=3；

當(dāng)NMEN=120。時，

在中，由余弦定理可得，

MN-=ME1+A?2-2xMExA?cos120°=32+32+2x3x3xl=27,

2

所以，MN=3日

綜上所述，MN=3或MN=3百.

故答案為：3或3

9.（23-24高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）如圖，某人沿山坡PQ8的直行道向上行走，直行道A8與坡腳（直）

線PQ成60。角，山坡與地平面所成二面角B-PQ-M的大小為30。.若此人沿直行道向上行走了200米，那么此

【答案】5073

【分析】如圖所示作輔助線，確定/3HG即為二面角B-PQ-M的平面角，得到3"=23G,根據(jù)直角三角形中邊

角關(guān)系得到sin/BAG=—=，再根據(jù)h=200xsin/BAG，計(jì)算得到答案.

AB4

【詳解】如圖所示：過8作平面尸。腦V,交MN于點(diǎn)、G,GXLPQ于//,連接AG,3H,

3GL平面「QMN,PQu平面尸QVW,故PQLBG,GH±PQ,

又因?yàn)锽GGH=G,3G,GHu平面BGH,

故尸。上平面BGH,即4％G即為二面角的平面角，NBHG=30°,

故BH=2BG,

在吊△&4H中，ZBAH=6O°,故AB=空BH=迫BG,

33

在MAAGB中，sinZBAG=-=^-,

AB4

3G_L平面PQWN,N54G即為AB與地平面PQMN所成的角，

貝!J離地平面的高度/z=200xsin/BAG=200x走=50^3.

4

故答案為：50y/3.

10.（21-22高二上?上海?期末）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下結(jié)論：其中所有正確的結(jié)論

序號是.

（1）8M與皮）平行；（2）CN與BE是異面直線；

TT

（3）CN與即/成§；（4）DW■與垂直；

【答案】（3）（4）

【分析】將正方體的平面展開圖還原為正方體，結(jié)合空間中直線與直線的位置關(guān)系判斷計(jì)算即可.

【詳解】將該正方體的平面展開圖還原得到如圖所示：

對于（1）：顯然創(chuàng)公瓦＞是異面直線，故（1）不正確；

對于（2）：在正方體中，助〃月0〃3。,加=府=3。,所以四邊形硒》。是平行四邊形，所以3E〃NC,故（2）

不正確；

對于（3）：連接ME,結(jié)合（2）由3E〃NC,所以1為異面直線CN與8M所成的角，顯然ME=BM=BE,

71

所以△MBE為等邊三角形，所以=故（3）正確；

對于（4）：因?yàn)樵谡襟w中，BC_L面。且DM在面OCMN內(nèi)，

所以又因?yàn)樗倪呅蜲CMN是正方形，所以NCLZW,

因?yàn)?cNC=C，且BC在面BNC內(nèi)，NC在面BNC內(nèi)，所以。0_1面胡《，

又因?yàn)锽N在面3NC內(nèi)，所以故（4）正確；

故答案為：（3）（4）.

11.（23-24高二上?上海黃浦?階段練習(xí)）已知四棱錐尸-ABCD的底面為正方形，尸平面ABCZ）,則四棱錐的五

個表面中，與平面垂直的平面有個.

【答案】3

【分析】證明AB_L平面PAD,CD_L平面上4￡）,得到平面B4D_L平面A8CD,平面平面R4B,平面PCD_L

平面上4B,得到答案.

【詳解】上4_L平面ABC。，ABu平面ABCD,則F4_LAB,

又PAr}AD=A,PAADu平面PAD,故AB_L平面PAD,

ABu平面ABCD,故平面上4O_L平面舫8；

ABu平面R4B,故平面B4D_L平面R4B；

AB//CD,故CD_L平面尸AD,CDu平面PCD,故平面PCD_L平面E4B；

AB_L平面BAD,AS與平面尸3c相交，故平面PBC與平面上4。不垂直，

故答案為：3.

12.（23-24高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）如圖，在平面夕內(nèi)，ZAOB=90°,尸。是平面a的斜線,

NPQ4=NPO3=60。，點(diǎn)。是P。上一點(diǎn)，且加=。，則線段尸。在平面a上的射影長為.

【分析】根據(jù)給定條件，作圖并求出直線0P與平面a所成的角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即得.

【詳解】過尸作尸C，a于C,在平面。內(nèi)過C作CMLO3,CN1.OA,垂足分別為M,N,連接。C,尸M,尸N,如

圖，

而PNu平面尸CV,因此PN_LON,同理尸A/_LOM,XZPOA=ZPOB=60°,

于是PM=PN力OP,而CN,CM分別為斜線段PN,PM在。內(nèi)的射影，則GV=CW,

2

從而OC是，AOB的平分線，即NMOC=45。，顯然0M=ON=；OP,則0C=60M=^OP,

22

因止匕cosZPOC=器=乎，線段PQ在平面a上的射影長為OPcosZPOC-OQcosZPOC=豐（。尸一OQ）=手〃.

故答案為：

2

13.（23-24高二上?上海松江?階段練習(xí)）如圖，在長方體ABC。-AACQI中，AB=AD=1,朋=2,尸為的

中點(diǎn)，過PB的平面a分別與棱A4，cq交于點(diǎn)￡,F,且AC〃夕，則截面四邊形尸座尸的面積為

【答案】為:灰

22

【分析】過點(diǎn)B作AC的平行線分別與ZM,0c的延長線交于G,H,連接PG,PH,并分別與A4,CQ交于區(qū)

F,利用線面平行的判定定理證得平面PG"即為平面1,從而得截面四邊形FEB尸為菱形，然后根據(jù)菱形面積公式

求解即可.

【詳解】如圖：

過點(diǎn)8作AC的平行線分別與。A,DC的延長線交于G,H,連接PG,PH,并分別與44，CC1交于E,F,

因?yàn)锳C〃G〃，且AC.平面尸G〃，GHt平面PGH,所以AC//平面尸GH,所以平面尸G8即為平面a,

又平面BCG用平面尸G/f=3P,平面AORAjC平面=平面BCC1瓦〃平面A￡>AA，

所以BF7/PE,同理BE〃尸尸，所以四邊形P￡B尸為平行四邊形，

又AB=BC=1,AE=BC=；,所以BE=BF,所以四邊形尸E即為菱形，

因?yàn)镋F=AC=V2，PB=g，所以S四邊形PEBF=g*EFxPB=；義A/2x代=.

故答案為：好

2

14.（23-24高二上.上海浦東新?階段練習(xí)）已知ABCDEF-A8GA4耳是單位正六棱柱（即所有的棱長都是1，如圖

所示），黑、白兩個螞蟻同時從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”.黑螞蟻爬行的路線是

9“4月一…，白螞蟻爬行的路線是45-四-….它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第7+2段與第i段所在的直

線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)）.設(shè)黑、白兩螞蟻?zhàn)咄?023段后各停留在正六棱柱的某個頂點(diǎn)處，這時黑、

白兩螞蟻的距離是.

【答案】布

【分析】根據(jù)已知條件先分析出黑、白蟻路線的規(guī)律，然后考慮走完2023段相當(dāng)于走了多少個周期，從而確定出

最終位置即可求解出黑、白兩蟻的距離.

【詳解】因?yàn)槲浵伵佬械牡冢?2段與第i段所在直線必須是異面直線，

則黑螞蟻爬行的路線是Af耳-EfDfCf4->A->A

fFfEfEi->D「C「CfBfA,因此每隔18段后回到點(diǎn)A,并重復(fù)按原來線路爬行，

而2023=112x18+7,于是黑螞蟻?zhàn)咄?023段后停留在正六棱柱的點(diǎn)C1處，

白螞蟻爬行的路線是AfBfB'fC'fD'TDTEfF一片―>用

fBTCTDiD\fEHfA,因此每隔18段后回到點(diǎn)A,并重復(fù)按原來線路爬行，

于是白螞蟻?zhàn)咄?023段后停留在正六棱柱的點(diǎn)尸處，

顯然CF是正六邊形ABCDE戶的外接圓直徑，即CF=2,則￡戶=亞==君，

所以黑、白兩螞蟻的距離是右.

故答案為：A/5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解析，熟悉正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征、異面直線的準(zhǔn)確判斷是關(guān)鍵.

15.（23-24高二上.上海.階段練習(xí)）己知直三棱柱ABC-A4G，底面三角形ABC是等腰直角三角形，其中8為直

角頂點(diǎn)，且A5=3,A4,=2右.若點(diǎn)。為棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)M為平面BCD的一動點(diǎn),則忸必+|￡州的最小值是.

【答案】3亞

【分析】由3c_LAB,得到平面BCD，平面ABq4,從而達(dá)到點(diǎn)與關(guān)于平面BCD對稱點(diǎn)E落在A4的延長線上,

然后由I4M+CM最小時，J,M,E三點(diǎn)共線求解.

【詳解】解：如圖所示：

由題意得又因?yàn)槿庵鵄BC-A與G是直三棱柱，

所以平面ABC,平面ABBiA,且平面ABC平面43耳4=42,

BCu平面ABC,所以BC_L平面A3B|A，

又3Cu平面BCD,所以平面881,平面46與4,

所以點(diǎn)與關(guān)于平面8。對稱點(diǎn)E落在AA的延長線上，

且|AE|=必，即同同=36，

若國M+IGM最小，則G，M,E三點(diǎn)共線，

所以忸I(lǐng)M+IGM=|EM+IGM|N|EG|，

=J|AC/+|AE「=J9+9+27=3A/5，

故答案為：3A/5

16.（22-23高三上?上海浦東新?期中）如圖，三棱錐A-3co的頂點(diǎn)A在平面a上，側(cè)棱AB，平面a,底面8C￡>

是以8為直角的等腰直角三角形，且平面BC。與平面a平行.AB^BC^l,E是CO中點(diǎn)，M是線段AE上的動

點(diǎn)，過點(diǎn)M作平面AC。的垂線交平面a于點(diǎn)N,則點(diǎn)N到點(diǎn)C的距離的取值范圍為.

【分析】由題設(shè)可證則△ABC,AA5D都為等腰直角三角形，結(jié)合△8C。是以B為直角的等腰直角三角形，將幾

何體補(bǔ)全為正方體且一個底面在a上，進(jìn)而確定AE與。所成角為/，并有期應(yīng)用余弦定理、

勾股定理求CN的范圍即可.

【詳解】由平面a〃面BCD,則AB，面BCD,BC,BDu面BCD,

所以又Afi=BC=l且ABC。是以8為直角的等腰直角三角形,

i^AB=BC=BD=l,則4ABC,△ABD都為等腰直角三角形，

將A-BCD補(bǔ)全為正方體如下圖示，其中一個面在a上且棱長為1,

所以AC=AD=CD=0，在等邊△ACD中E是CD中點(diǎn)，故A￡=*，

過M作面AC￡＞垂線交面a于N,且的_1面48,AEu面ACD,則MN_LAE,

因?yàn)?GJLCD,筋_1面3。6。，CDu面3CGD,故AS_LCD,

又BGAB=B,8&42<=面4^6〃，故CD_L面ABG”,CDu面ACD,

所以，面ABGH±面ACD,面ABGH面ACD=AE,且MeAE,

易知：過M作面ACD垂線在面ABG"內(nèi)，即MNu面ABG”,而面ABGHa=AH,

綜上，點(diǎn)N必在對角線AH上，且AE與a所成角為ZEW,sinZEAN=旭=史,則cos㈤N=立,

AE33

在Rt_M42V中，4AM=X6[O,—],由AN=-=瓜,

2cosZEAN

故FN2=AF-+AN2-2AF-ANcos45°=1+3d-屆，

所以CN?=FN2+FC2=3--#X+2=3(X-*)2+T，則CN?,

所以CNe[4,羋].

故答案為：[半，羋]

二、單選題

17.（23-24高三下?上海松江?階段練習(xí)）已知a、夕、7是三個不同的平面，/、加、”是三條不同的直線，則（）

A.若加//a,nila,貝！J帆〃〃B.若ay=m,p'Y=n,alip,貝lj加/〃

C.若機(jī)ua,n-La,ILn,則〃/mD.若夕0=1,且相〃/,則根//a

【答案】B

【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.

【詳解】對于A：若ml/a,nila,貝U或機(jī)與〃相交或機(jī)與〃異面，故A錯誤；

對于B：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，若且ar=m,0Cy=n,則〃〃/〃，故B正確;

對于C：若“_La,mua,則〃」機(jī)，又/則〃或機(jī)與/相交或機(jī)與/異面，故C錯誤；

對于D：若e0=1,旦mill,則〃或機(jī)ua,故D錯誤.

故選：B

18.（23-24高二上?上海?期末）如圖，在棱長為2的正方體4BCZ）-44G2中，點(diǎn)尸在截面AQB上（含邊界），

則線段AP的最小值等于（）

A.-B.氈C.&D."

333

【答案】B

【分析】利用等體積法求得正確答案.

【詳解】設(shè)A到平面的距離為/?,

AD=BD=AB=2血，S^DB=gx2拒義2正義sin三=2由，

=

^At-ABD匕2x2^x2=—X2A/3X/；,

解得〃叵，所以線段”的最小值等于哀1.

33

故選：B

19.（2023?上海長寧?三模）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點(diǎn)，若平面與棱CQ交

于點(diǎn)N,則下列說法中正確的是（）

A.存在平面M&V2與直線8月垂直

B.四邊形MBNR可能是正方形

C.不存在平面MBN2與直線AG平行

D.任意平面A/BNQ與平面AC4垂直

【答案】D

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷A,根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再由即可

判斷B,當(dāng)M為AA的中點(diǎn)時N為CG的中點(diǎn)，即可判斷C,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法說明D.

【詳解】對于A：在正方體ABCD-4與02中BB、1平面,

顯然平面MBND]與平面A4GR不平行，故直線BB｝不可能垂直平面MBND],故A錯誤；

對于B：在正方體中，M是棱AA上一點(diǎn)，平面地2與棱CG交于點(diǎn)N,

由平面3CG旦〃平面ADQA，并且3,M，N,R四點(diǎn)共面，

平面BCGB11平面BN2M=BN,平面ADRA平面,

C.MDJ/BN,同理可證N2//MB,故四邊形MBN?是平行四邊形，

在正方體ABC。-AAG2中，由幾何知識得，42,平面

BMu平面ABBX\,AQ1±BM,

若MBNA是正方形，有

此時〃與A重合時，但顯然四邊形48C2不是正方形，故B錯誤；

對于c：當(dāng)M為AA的中點(diǎn)時，N為CG的中點(diǎn)，所以AM〃GN且AM=GN,

所以AMVG為平行四邊形，所以AG〃NM,

ACcZ平面MBNA，肱Vu平面MBNA，所以4G〃平面,故C錯誤；

對于D：設(shè)正方體邊長為2,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

由幾何知識得,4（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,舟（2,2,2）,。（0,0,2）,

*=（2,2,-2）,AC=（-2,2,O）,AB,=（0,2,2）,

,/印?46=口82=0,

DxBLAC,DlBVABX,

VACryAB{=A,ACu平面AC4,AB|U平面ACS一

DyBL平面ACBt,

:QBu平面MBN2,

；?任意平面MB?與平面ACB1垂直，故D正確.

故選：D

20.（23-24高二上.上海.期末）在長方體ABC。-4與￡2中，A\=AD,AB:AD=A,（2>0）,E是棱44的中點(diǎn),

點(diǎn)戶是線段2月上的動點(diǎn)，給出以下兩個命題：①無論九取何值，都存在點(diǎn)尸，使得PC,BD；②無論彳取何值，

都不存在點(diǎn)P,使得直線平面PBC.則（）.

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【答案】C

【分析】根據(jù)空間中線、面的垂直關(guān)系結(jié)合長方體的特征及特殊情況一一判定即可.

【詳解】

如圖所示，假設(shè)在長方形中必存在彳使得PG1BR,

又易知eq,平面AG，旦Ru平面4G，

所以

因?yàn)槭珿cCG=G，PG、CGu平面尸GC,所以用2,平面PCC，

又BQJIBD,則平面PC。，

因?yàn)槭珻u平面PGC,所以BDLPC,即存在2使得BDLPC,

但若4=2,如下圖所示，不妨設(shè)A〃=L5x,

過G作GP，BR交直線RE于p,過P作PN，RC|，

易得AE=A2，NAE2=NED1N=45,所以D〔N=NP,

又"BQ]=/PG瓦=/GPNn2C|N=PN,則C、N=x,D、N=NP=2x>RE=叵x,

則尸在RE延長線上，此時①不成立；

易知AC】與片G不垂直，B、CJ/BC,所以AG與BC不垂直,

又BCu平面尸8C,所以AC1不垂直于平面PBC,即②成立

故選：C

三、解答題

21.（23-24高二上.上海.期末）如圖，在幾何體尸-ABC。中，己知PAJ_平面ABC3,且四邊形ABCD為直角梯形,

71

ZABC=ZBAD=-,AD=2,AB=BC=1.

2

P

（1）證明：CD,平