專題18圓解答題歸類-三年(2020-2022)中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編(四川專用)(原卷版+解析)

專題18圓解答題歸類1．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，連接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半徑．2．（2022·四川廣元·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．3．（2021·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，已知點(diǎn)是以為直徑的圓上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．4．（2020·四川涼山·中考真題）如圖，AB是半圓AOB的直徑，C是半圓上的一點(diǎn)，AD平分交半圓于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．（1）求證：DH是半圓的切線；（2）若，，求半圓的直徑．5．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的上一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線交AC于點(diǎn)G，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且．(1)求證：DE是的切線；(2)若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，，，求EC的長(zhǎng)．6．（2021·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，已知：AB為⊙O的直徑，⊙O交△ABC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F為AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CBF∠BOE．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的長(zhǎng)．7．（2021·四川南充·中考真題）如圖，A，B是上兩點(diǎn)，且，連接OB并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使，連接AC．（1）求證：AC是的切線．（2）點(diǎn)D，E分別是AC，OA的中點(diǎn)，DE所在直線交于點(diǎn)F，G，，求GF的長(zhǎng)．8．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在Rt中，，是的平分線，以為直徑的交邊于點(diǎn)E，連接，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．9．（2021·四川廣安·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．10．（2021·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長(zhǎng)．11．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，AC平分∠DAE交⊙O于點(diǎn)C，AD⊥DE于點(diǎn)D．（l）求證：直線DE是⊙O的切線．（2）如果BE=2，CE=4，求線段AD的長(zhǎng)．12．（2022·四川南充·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線．(2)若，求的值．13．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，在⊙中，是直徑，，垂足為P，過(guò)點(diǎn)的的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連接．（1）求證：為⊙的切線；（2）若⊙半徑為3，，求．14．（2022·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，線段AC為⊙O的直徑，點(diǎn)D、E在⊙O上，=，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．連結(jié)CE交DF于點(diǎn)G．(1)求證：CG=DG；(2)已知⊙O的半徑為6，，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)B，使．求證：BD是⊙O的切線．15．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分線AD與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）若AD＝2，BC＝6，求圖中陰影部分面積．16．（2021·四川達(dá)州·中考真題）如圖，是的直徑，為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處得，交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求陰影部分面積．17．（2021·四川涼山·中考真題）如圖，在中，，AE平分交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，．是的外接圓，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：BC是的切線；（2）若的半徑為5，，求．18．（2022·四川雅安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O與直線AO交于點(diǎn)E和點(diǎn)D．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)連接CE，求證：△ACE∽△ADC；(3)若＝，⊙O的半徑為6，求tan∠OAC．19．（2022·四川遂寧·中考真題）如圖，是的外接圓，點(diǎn)O在BC上，的角平分線交于點(diǎn)D，連接BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．(1)求證：PD是的切線；(2)求證：∽；(3)若，，求點(diǎn)O到AD的距離．20．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，是的直徑，、是上兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．21．（2022·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足是點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別與，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，且．(1)求證：是的切線；(2)如果，，①求的長(zhǎng)；②求的面積．22．（2021·四川遂寧·中考真題）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，求CF的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CF取到最大值，并求出此時(shí)CF的長(zhǎng)．23．（2021·四川成都·中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，的面積為，求的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，E為上一點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．24．（2020·四川·中考真題）如圖，在⊙O中，弦AB與直徑CD垂直，垂足為M，CD的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)P，滿足∠PBD＝∠DAB．過(guò)點(diǎn)P作PN⊥CD，交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接DN交AP于點(diǎn)H．（1）求證：BP是⊙O的切線；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；（3）如果PD＝PH，求證：AH?OP＝HP?AP．25．（2020·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．（1）求證：AB∥CD；（2）求證：CD是⊙O的切線；（3）求tan∠ACB的值．26．（2020·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）設(shè)OE交⊙O于點(diǎn)F，若，求線段EF的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．27．（2020·四川廣元·中考真題）在中，，OA平分交BC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓交BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，求證：AB為的切線；（2）如圖2，AB與相切于點(diǎn)E，連接CE交OA于點(diǎn)F．①試判斷線段OA與CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．②若，求的值．28．（2020·四川成都·中考真題）如圖，在的邊上取一點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫⊙O，⊙O與邊相切于點(diǎn)，，連接交⊙O于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，，求⊙O的半徑；（3）若是的中點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．29．（2020·四川遂寧·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E的弦EP交AB于點(diǎn)Q（EP不是直徑），點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)BP，BP恰好為⊙O的切線．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）求證：＝．（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四邊形CHQE的面積．30．（2020·四川樂(lè)山·中考真題）如圖1，是半圓的直徑，是一條弦，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，且．（1）求證：點(diǎn)平分；（2）如圖2所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．求證：是⊙的切線．31．（2020·四川自貢·中考真題）如圖，⊙是△的外接圓，為直徑，點(diǎn)是⊙外一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交⊙于點(diǎn)．⑴.證明：=；⑵.若，證明：是⊙的切線；⑶.在⑵的條件下，連接交⊙于點(diǎn),連接;若，求的長(zhǎng)．

32．（2022·四川攀枝花·中考真題）如圖，的直徑垂直于弦于點(diǎn)F，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)C．(1)求證：；(2)若的直徑為4，弦平分半徑，求：圖中陰影部分的面積．33．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在中，，以為直徑作⊙，交邊于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接，作射線交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求及的長(zhǎng)．34．（2020·四川瀘州·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)D在上，的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的切線交于點(diǎn)C，E為線段上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的弦于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）已知，，且，求的長(zhǎng)．35．（2021·四川阿壩·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D．（1）求證：；（2）若，，求CD的長(zhǎng)．36．（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）四邊形內(nèi)接于，直徑與弦交于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，求證：平分；(2)如圖2，連接，若，求證：．37．（2022·四川瀘州·中考真題）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．38．（2022·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點(diǎn)，D為劣弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AD與BC交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為，DE＝1，求AE的長(zhǎng)度；(3)在（2）的條件下，求的面積．39．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，．(1)求證：是的角平分線；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．40．（2021·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，四邊形是⊙的內(nèi)接矩形，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）設(shè)，求的面積（用的式子表示）；（3）若，求的長(zhǎng)．41．（2020·四川南充·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C是半徑為2的⊙O上三個(gè)點(diǎn)，AB為直徑，∠BAC的平分線交圓于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC得延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線ED交AB得延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并證明．（2）若DF=，求tan∠EAD的值．42．（2022·四川涼山·中考真題）如圖，已知半徑為5的⊙M經(jīng)過(guò)x軸上一點(diǎn)C，與y軸交于A、B兩點(diǎn)，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求AB的長(zhǎng)；(3)連接BM并延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)D，連接CD，求直線CD的解析式．43．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF．(1)判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)若⊙O的半徑為6，AF＝2，求AC的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．44．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖1，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半徑；（3）如圖2，在（2）的條件下，∠ADB的平分線DE交⊙O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BE．求sin∠DBE的值．45．（2021·四川自貢·中考真題）如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，過(guò)D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AD，F(xiàn)D．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求EF的長(zhǎng)．46．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點(diǎn)P到直線Ax＋By＋C＝0的距離可用公式來(lái)計(jì)算．例如：求點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因?yàn)橹本€y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：．根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)M（0，3）到直線的距離；（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長(zhǎng)為n，求n的值；若不相交，說(shuō)明理由．47．（2020·四川涼山·中考真題）如圖，的半徑為R，其內(nèi)接銳角三角形ABC中，、、所對(duì)的邊分別是a、b、c（1）求證：（2）若，，，利用（1）的結(jié)論求AB的長(zhǎng)和的值48．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，，對(duì)角線平分．（1）求證：是等邊三角形；（2）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求的面積．49．（2020·四川宜賓·中考真題）如圖，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓上異于A，B的一點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，連接AD交于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：是等腰三角形；（2）連接OC并延長(zhǎng)，與B以為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．50．（2020·四川巴中·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AC平分．且，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)P為線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求EP的長(zhǎng)．專題18圓解答題歸類1．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，連接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半徑．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）連接OD，只要證明，則有，即可證明結(jié)論成立；（2）由圓周角定理，求得，然后證明△ACD∽△DCB，求出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理，即可求出答案．（1）證明：連接OD，如圖∵AB為⊙O的直徑，∴，∴，∵OA=OD，∴，∵∠BDC=∠BAD，∴，∴，∴，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵，∴，∵△ABD是直角三角形，∴，∵，，∴△ACD∽△DCB，∴，∵，∴，∴，在直角△CDO中，設(shè)⊙O的半徑為，則，∴，解得：；∴⊙O的半徑為；【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的理解題意，從而進(jìn)行解題．2．（2022·四川廣元·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）連接OD，OE，由題意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，則有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）連接CD，由題意易得∠ADC=90°，然后可證△ADC∽△CDB，則有，進(jìn)而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解．（1）證明：連接OD，OE，如圖所示：∵，∴∠A=∠ODA，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴OE∥AB，∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，∴∠DOE=∠COE，∵，∴△COE≌△DOE（SAS），∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接CD，如圖所示：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，即，∵AD＝4，BD＝9，∴，∴，在Rt△ADC中，由勾股定理得：，∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握切線的判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，已知點(diǎn)是以為直徑的圓上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接、，根據(jù)已知條件證明，即可得解；（2）由（1）可得，得到，令，根據(jù)正切的定義列式求解即可；【詳解】解：（1）證明：連結(jié)、．∵，，∴，．∵，∴，∴，，∴，∴，即是的切線．（2）由（1）知，，又，∴，∴，即．令，∴．即，即．∵，即，∴，解得或（舍），∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合運(yùn)用，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義求解是解題的關(guān)鍵．4．（2020·四川涼山·中考真題）如圖，AB是半圓AOB的直徑，C是半圓上的一點(diǎn)，AD平分交半圓于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．（1）求證：DH是半圓的切線；（2）若，，求半圓的直徑．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）12【分析】（1）連接OD，先證明OD∥AH，然后根據(jù)DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AH于E，由（1）知，四邊形ODHE是矩形，可得OE=DH=，在Rt△AOE中，根據(jù)sin∠BAC=，sin∠BAC=，可得AO==×=6，即可求出直徑．【詳解】（1）連接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AH，∵DH⊥AH，∴OD⊥DH，∴DH是半圓的切線；（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AH于E，由（1）知，四邊形ODHE是矩形，∴OE=DH=，在Rt△AOE中，∵sin∠BAC=，sin∠BAC=，∴AO==×=6，∴AB=2OA=12，∴半圓的直徑長(zhǎng)為12．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的上一點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線交AC于點(diǎn)G，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且．(1)求證：DE是的切線；(2)若點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，，，求EC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連結(jié)OC，利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理證，即可由切線的判定定理得出結(jié)論；（2）解，求出，從而求得，則可求得，再證，得，即可求得，即可由求解．（1）證明：如圖，連結(jié)OC，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴DE是的切線；（2）解：在中，，，∴，∴，∴，∴，又∵點(diǎn)F為AO中點(diǎn)，

∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．（2021·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，已知：AB為⊙O的直徑，⊙O交△ABC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F為AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CBF∠BOE．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），【分析】（1）連結(jié)，，根據(jù)“圓周角定理”及“直徑所對(duì)的圓周角等于”得到，即，即可判定是的切線；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，解直角三角形得出，，，由判定，得出，即可求出，，再根據(jù)勾股定理求出，，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)即可得解．【詳解】解：（1）證明：連結(jié)，，，，，為的直徑，，，，即，，是的切線；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，，，在中，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，在中，，在中，，為的直徑，，又，，即，，．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理，熟記切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2021·四川南充·中考真題）如圖，A，B是上兩點(diǎn)，且，連接OB并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使，連接AC．（1）求證：AC是的切線．（2）點(diǎn)D，E分別是AC，OA的中點(diǎn)，DE所在直線交于點(diǎn)F，G，，求GF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2【分析】（1）先證得△AOB為等邊三角形，從而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性質(zhì)得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出結(jié)論；（2）過(guò)O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得出DN=，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出GF的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵AB=OA，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB為等邊三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC是⊙O的切線；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC===∵D、E分別為AC、OA的中點(diǎn)，∴OE//BC，DC=過(guò)O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N則四邊形OMDN為矩形∴DN=OM在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC=∴OM=連接OG，∵OM⊥GF∴GF=2MG=2==2【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在Rt中，，是的平分線，以為直徑的交邊于點(diǎn)E，連接，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）．【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理、角平分線定義、平行線性質(zhì)證明∠EAD=∠FDE，再根據(jù)AD為直徑，得到∠ADE+∠DAE=90°，進(jìn)而得到AD⊥FD，問(wèn)題得證；（2）先求出DE=3，證明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，進(jìn)而得到AE=6，求出,證明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．【詳解】解：（1）證明：連接DE，∵∴∠CAD=∠CED，∵是的平分線，∴∠CAD=∠EAD，∴∠CED=∠EAD，∵，∴∠CED=∠FDE，∴∠EAD=∠FDE，∵AD為直徑，∴∠AED=∠ACD=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADE+∠FDE=90°，即AD⊥FD，又∵為直徑，∴是的切線；（2）∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴,∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴DE=DC=3，∴BC=BD+CD=8，在Rt中，∵，∴設(shè)AC=3x，AB=5x，∴，∵x＞0，∴x=2，∴AB=5x=10，AC=3x=6，∵△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，∴在Rt△ADE中，,∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，∴△ADE∽△AFD，∴，即,∴．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查了切線的判定，圓的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意添加輔助線，熟知圓的性質(zhì)，利用三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．9．（2021·四川廣安·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OE，由題意可證OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，則可證CD是⊙O的切線；（2）連接BE，證明△ADE∽△AEB，得到，根據(jù)tan∠EAD=，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再證明△COE∽△CAD，得到，設(shè)BC=x，解方程即可求出BC．【詳解】解：（1）連接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE=∠DAE，∴∠OEA=∠EAD，∴OE∥AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，∴CD是⊙O的切線；（2）連接BE，∵AB為直徑，∴∠AEB=90°=∠D，又∠DAE=∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴，又tan∠EAD=，∴，則AE=2BE，又AB=10，在△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（2BE）2+BE2=102，解得：BE=，則AE=，∴，解得：AD=8，DE=4，∵OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，設(shè)BC=x，∴，解得：x=，經(jīng)檢驗(yàn)：x=是原方程的解，故BC的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，作出輔助線，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．10．（2021·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）要證明DE是的切線，只要證明即可．連接OD，根據(jù)條件證明，則可推導(dǎo)出．（2）根據(jù)條件，在中，求出OE的長(zhǎng)，然后證明，從而根據(jù)相似比求解即可．【詳解】（1）證明：如下圖，連接OD，∵,，∴,，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴DE是的切線．（2）解：∵AC=6，∴，在中，，∴，，∴，又∵，∴，∴,即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的相似，勾股定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.11．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，AC平分∠DAE交⊙O于點(diǎn)C，AD⊥DE于點(diǎn)D．（l）求證：直線DE是⊙O的切線．（2）如果BE=2，CE=4，求線段AD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OC，根據(jù)等邊對(duì)等角和垂直定義可得∠OAC=∠OCA，∠D=90°，根據(jù)角平分線的定義可得∠DAC=∠OAC，從而得出∠OCA=∠DAC，根據(jù)平行線的判定可得OC∥AD，從而得出∠OCE=∠D=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可證出結(jié)論；（2）連接BC，根據(jù)相似三角形的判定定理可證△BCE∽△CAE，列出比例式即可求出AE，從而求出OC、OB和OE，然后根據(jù)平行線證出△EOC∽△EAD，列出比例式即可求出AD．【詳解】解：（1）連接OC∵OA=OC，AD⊥DE∴∠OAC=∠OCA，∠D=90°∵AC平分∠DAE∴∠DAC=∠OAC∴∠OCA=∠DAC∴OC∥AD∴∠OCE=∠D=90°∴OC⊥DE∴直線DE是⊙O的切線；（2）連接BC∵AB為直徑∴∠ACB=90°∴∠ACO＋∠OCB=90°∵OC⊥DE∴∠BCE＋∠OCB=90°∴∠BCE=∠ACO∵∠OAC=∠OCA∴∠BCE=∠CAE∵∠E=∠E∴△BCE∽△CAE∴即解得：AE=8∴AB=AE－BE=6∴OC=OB==3∴OE=OB＋BE=5∵OC∥AD∴△EOC∽△EAD∴即解得：AD=．【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、圓周角定理的推論和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握等邊對(duì)等角、平行線的判定及性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、圓周角定理的推論和相似三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2022·四川南充·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線．(2)若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)3【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根據(jù)OF∥AC，得到，證得OF為△ABC的中位線，求出OF及EF，即可求出的值．(1)證明：連接OC，∵為的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴是的切線．(2)解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，∵，∴設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=，∵OA=OB，OF∥AC，∴，∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF為△ABC的中位線，∴OF=，∴=．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，證明直線是圓的切線，銳角三角函數(shù)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，在⊙中，是直徑，，垂足為P，過(guò)點(diǎn)的的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連接．（1）求證：為⊙的切線；（2）若⊙半徑為3，，求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接、，由題意可以得到，再利用，即可得出即可；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，由（1）得，在和中，設(shè)，根據(jù)勾股定理建立方程求出，再求出即可．【詳解】解：（1）證：連接、∵為的切線∴∵是直徑，∴，又∵∴∴，又∵∴∴∴為⊙的切線；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：由（1）得在中，，，∴∴（等面積法）∴設(shè)，則在和中，，∴解得∴【點(diǎn)睛】此題考查了圓的切線證明、勾股定理的應(yīng)用、三角函數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用和三角函數(shù)的有關(guān)概念．14．（2022·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，線段AC為⊙O的直徑，點(diǎn)D、E在⊙O上，=，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．連結(jié)CE交DF于點(diǎn)G．(1)求證：CG=DG；(2)已知⊙O的半徑為6，，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)B，使．求證：BD是⊙O的切線．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接AD，得到∠ADF+∠FDC=90°，由DF⊥AC，得到∠ADF+∠DAF=90°，再由=，可推出∠DCE=∠FDC，即可證明CG=DG；（2）要證明BD是⊙O的切線，只要證明OD⊥BD，只要證明BD∥CE，通過(guò)計(jì)算求得sin∠B=，即可證明結(jié)論．（1）證明：連接AD，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，則∠ADF+∠FDC=90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，則∠ADF+∠DAF=90°，∴∠FDC=∠DAF，∵=，∴∠DCE=∠DAC，∴∠DCE=∠FDC，∴CG=DG；（2）證明：連接OD，設(shè)OD與CE相交于點(diǎn)H，∵=，∴OD⊥EC，∵DF⊥AC，∴∠ODF=∠OCH=∠ACE，∵，∴sin∠ODF=sin∠OCH=，即=，∴OF=，由勾股定理得DF=，F(xiàn)C=OC-OF=，∴FB=FC+BC=，由勾股定理得DB==8，∴sin∠B==，∴∠B=∠ACE，∴BD∥CE，∵OD⊥EC，∴OD⊥BD，∵OD是半徑，∴BD是⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定及圓中的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．15．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分線AD與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）若AD＝2，BC＝6，求圖中陰影部分面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OA，證明OA⊥AD即可，利用角平分線的意義以及等腰三角形的性質(zhì)得以證明；（2）求出圓的半徑和陰影部分所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)即可，利用相似三角形求出半徑，再根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)求出∠BOC．【詳解】解：（1）如圖，連接OA并延長(zhǎng)交BC于E，∵AB=AC，△ABC內(nèi)接于⊙O，∴AE所在的直線是△ABC的對(duì)稱軸，也是⊙O的對(duì)稱軸，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD是⊙O的切線；（2）連接OB，∵∠OAD=∠OEC=90°，∠AOD=∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴，由（1）可知是的對(duì)稱軸，垂直平分，，設(shè)半徑為，在中，由勾股定理得，，，解得（取正值），經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，即，又，是等邊三角形，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，靈活運(yùn)用切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．16．（2021·四川達(dá)州·中考真題）如圖，是的直徑，為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處得，交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求陰影部分面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OC，先證明∠CDA=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓的半徑相等證明OCAE，從而求出∠ECO=90°，問(wèn)題得證；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明四邊形OCEG為矩形，求出，，，進(jìn)而求出，∠COF=30°，分別求出矩形OCEG、△OGF、扇形COF面積，即可求出陰影部分面積．【詳解】解：（1）如圖，連接OC，∵，∴∠CDA=90°，∵翻折得到，∴∠EAC=∠DAC，∠E=∠CDA=90°，∴∠EAD=2∠DAC，∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA∴∠COD=2∠OAC，∴∠COD=∠EAD，∴OCAE，∴∠ECO=180°-∠E=90°，∴OC⊥EC，∴是的切線；（2）如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵∠E=∠ECO=90°，∴四邊形OCEG為矩形．∵，，∴，∴，∴，∵于點(diǎn)，OA=OF=2，∴，∠FAO=∠AFO=30°，∵OCAE，∴∠COF=∠AFO=30°，∴矩形OCEG面積為，△OGF面積為，扇形COF面積為∴陰影部分面積=矩形OCEG面積-△OGF面積-扇形COF面積=．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查了切線的判定，垂徑定理，扇形的面積等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)定理并根據(jù)題意添加輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2021·四川涼山·中考真題）如圖，在中，，AE平分交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，．是的外接圓，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：BC是的切線；（2）若的半徑為5，，求．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）20【分析】（1）連接OE，由OA=OE，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由AE為角平分線得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，得到AC與OE平行，再根據(jù)兩直線平行同位角相等及∠C為直角，得到OE與BC垂直，可得出BC為圓O的切線；（2）過(guò)E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，從而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面積公式可得結(jié)果．【詳解】解：（1）證明：連接OE，∵OA=OE，∴∠1=∠3，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OE∥AC，∴∠OEB=∠C=90°，則BC為圓O的切線；（2）過(guò)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，在△ACE和△AGE中，，∴△ACE≌△AGE（AAS），∴AC=AG=8，∵圓O的半徑為5，∴AD=OA+OD=10，∴OG=3，∴EG==4，∴△ADE的面積==20．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，切線的判定方法有兩種：有點(diǎn)連接證垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于半徑．18．（2022·四川雅安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O與直線AO交于點(diǎn)E和點(diǎn)D．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)連接CE，求證：△ACE∽△ADC；(3)若＝，⊙O的半徑為6，求tan∠OAC．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)tan∠OAC【分析】（1）如圖，過(guò)作于證明即可得到結(jié)論；（2）證明再結(jié)合從而可得結(jié)論；（3）由相似三角形的性質(zhì)可得設(shè)則而從而建立方程求解x，從而可得答案．（1）證明：如圖，過(guò)作于∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，O為圓心，OC為半徑，是⊙O的切線．（2）如圖，連結(jié)CE，為的直徑，（3）設(shè)則而解得tan∠OAC【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，求解銳角的正切，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解是解本題的關(guān)鍵．19．（2022·四川遂寧·中考真題）如圖，是的外接圓，點(diǎn)O在BC上，的角平分線交于點(diǎn)D，連接BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．(1)求證：PD是的切線；(2)求證：∽；(3)若，，求點(diǎn)O到AD的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)點(diǎn)O到AD的距離為【分析】（1）連接OD，證明，則，即可得證；（2）由，，可得，根據(jù)四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，又，可得，即可證明∽；（3）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，由∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得，證明∽，繼而求得，在中，利用勾股定理即可求解．（1）證明：連接OD，∵AD平分，∴，∴．又∵BC為直徑，∴O為BC中點(diǎn)，∴．∵，∴．又∵OD為半徑，∴PD是的切線；（2）證明：∵，∴．∵，∴．∵四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，∴．又∵，∴，∴∽．（3）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，∵BC為直徑，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．由（2）知∽，∴，∴，∴．又∵，，∴∽，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，∴點(diǎn)O到AD的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，是的直徑，、是上兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠DAB=∠ODA，則∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，進(jìn)而得到OD⊥DE，據(jù)此即可得解；（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，則∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根據(jù)S陰影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；（3）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，連接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，則MB=，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，的半徑為2，，，如圖，連接，是的直徑，，，，，，即，，在中，，，，，，，，；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，在中，，，，．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并證明△OGD∽△EGA求出AE是解題的關(guān)鍵．21．（2022·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足是點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別與，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，且．(1)求證：是的切線；(2)如果，，①求的長(zhǎng)；②求的面積．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)①；②【分析】（1）連接OC、BC，根據(jù)垂徑定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根據(jù)∠ECD=2∠BAD，證得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，則有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，則問(wèn)題得證；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，則問(wèn)題得解；②過(guò)F點(diǎn)作FP⊥AB，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，先證△PAF∽△HAC，再證明△PEF∽△HEC，即可求出PF，則△PEF的面積可求．（1）連接OC、BC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切線；（2）①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的結(jié)論中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切線，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②過(guò)F點(diǎn)作FP⊥AB，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，如圖，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．利用相似三角形的性質(zhì)是解題的難點(diǎn)．22．（2021·四川遂寧·中考真題）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，求CF的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CF取到最大值，并求出此時(shí)CF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①3；②【分析】（1）連接OC，利用切線的判定定理，證明OC⊥AC即可；（2）要求的面積，結(jié)合（1）題，底邊AB可求，只需再求出底邊上的高CH即可；（3）根據(jù)垂徑定理可求CE的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)，可求CF的長(zhǎng)；由可知，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有，所以，求出CE的最大值，即可得到CF的最大值．【詳解】（1）證明：連結(jié)OC，如圖所示．∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠A=30°．∴∠CDB＝60°．∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC=60°．∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°．∴OC⊥AC．∴直線AC是⊙O的切線．（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示．∵OD=OC，∠ODC=60°，∴是等邊三角形．∴．∴在中，．∵AB＝AD＋BD＝3，∴．（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，如圖所示．此時(shí)，CE⊥AB，設(shè)垂足為K．由（2）可知，．∵BD為圓的直徑，CE⊥AB，∴CE＝2CK＝．∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°．∵，∴∠E=∠CDB＝60°．在中，∵，∴．如圖所示：由可知，在中，∵，∴．∴當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有．∴當(dāng)CE最大時(shí)，CF取得最大值．∴當(dāng)CE為直徑，即CE=2時(shí)，CF最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、圓周角定理的推論、銳角三角函數(shù)、求線段的最值等知識(shí)點(diǎn)，熟知切線的判定方法、垂徑定理、圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．23．（2021·四川成都·中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，的面積為，求的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，E為上一點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）連接．可證得，從而得是的切線；（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，可得，再證明△COM∽△DOC，進(jìn)而得到；（3）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)N，連接，證明△FCM∽△FEN，利用相似可得，再證明Rt△COM≌Rt△OEN，通過(guò)全等可得ON=CM=2，進(jìn)而根據(jù)已知條件得到．【詳解】（1）證明：連接，∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBO＝90°，又∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO，∴∠CAB+∠BCO＝90°∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠BCO＝90°，∴OC⊥CD∴CD為⊙O切線；（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，∵的半徑為，∴AB=，∵的面積為，∴CM=2，在Rt△CMO中，CO=，CM=2，∴OM=1，由（1）得∠OCD=∠CMO=90°，∵∠COM=∠COD，∴△COM∽△DOC，∴，∴，∴，（3）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)N，連接，∵，，∴△FCM∽△FEN，∴，由（2）得CM=2，OM=1，∴EN=OM=1，∵OC=OE，∴Rt△COM≌Rt△OEN，∴ON=CM=2，∴MN=3，∵，∴FM=2，∵OM=1，∴OF=1，∵BF=OB+OF，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題需要我們熟練掌握各部分的內(nèi)容，要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．24．（2020·四川·中考真題）如圖，在⊙O中，弦AB與直徑CD垂直，垂足為M，CD的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)P，滿足∠PBD＝∠DAB．過(guò)點(diǎn)P作PN⊥CD，交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接DN交AP于點(diǎn)H．（1）求證：BP是⊙O的切線；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；（3）如果PD＝PH，求證：AH?OP＝HP?AP．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）連接BC，OB，證明OB⊥PB即可．（2）解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性質(zhì)求出OP，再利用平行線分線段成比例定理求出PN即可．（3）證明△NAH∽△NPD，推出=，證明△PAN∽△OAP，推出=，推出=可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖，連接BC，OB．∵CD是直徑，∴∠CBD=90°，∵OC=OB，∴∠C=∠CBO，∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB，∴∠CBO=∠PBD，∴∠OBP=∠CBD=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切線；（2）∵CD⊥AB，∴CD垂直平分AB，∴PA=PB，∵OA=OB，OP=OP，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠AMO=90°，∴OM===3，∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，∴△AOM∽△POA，∴=，∴=，∴OP=，∵PN⊥PC，∴∠NPC=∠AMO=90°，∴=，∴=，∴PN=．（3）∵PD=PH，∴∠PDH=∠PHD，∴∠PDN=∠PHD=∠AHN，∵∠NPC=90°，∠OAP=90°，∴∠NAH=∠NPD=90°，∴△NAH∽△NPD，∴=，∵∠APN+∠PNA=∠POA+∠PNA=90°，∴∠APN=∠POA，又∠PAN=∠PAO=90°，∴△PAN∽△OAP，∴=，∴=，∴==，∴AH?OP=HP?AP．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．25．（2020·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．（1）求證：AB∥CD；（2）求證：CD是⊙O的切線；（3）求tan∠ACB的值．【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

（3）【分析】（1）由圓周角定理與已知得，即可得出結(jié)論；（2）連接并延長(zhǎng)交于，連接，則為的直徑，，證明，得出，即可得出結(jié)論；（3）由三角函數(shù)定義求出，證出，求出，，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則，由勾股定理得出方程，解方程得，由勾股定理求出，由三角函數(shù)定義即可得答案．【詳解】（1）證明：，，，；（2）證明：連接并延長(zhǎng)交于，連接，如圖1所示：則為的直徑，，，，，，，，，即，是的半徑，是的切線；（3）解：在中，由勾股定理得：，，是的切線，，，，，過(guò)點(diǎn)作于，如圖2所示：設(shè)，則，由勾股定理得：，即：，解得：，，，．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)定義、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵．26．（2020·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）設(shè)OE交⊙O于點(diǎn)F，若，求線段EF的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）EF=4；（3）【分析】（1）連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理由OD⊥BC得到CD=BD，則OE為BC的垂直平分線，所以EB=EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，則∠OBE=∠OCE；再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得BE與⊙O相切；（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30o角的直角三角形邊角關(guān)系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120o,然后利用代入數(shù)值即可求解．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE為BC的垂直平分線，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，∵CE為⊙O的切線，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE與⊙O相切．（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD中，BD=BC=∵OD2+BD2=OB2，∴，解得R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt△OBE中，∠BEO=30o，OE=2OB=8，∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30o和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60o，∴∠BOC=120o，又BC=，OE=8，∴=,

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理、扇形面積的計(jì)算、含30o角的直角三角形邊角關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握每個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．27．（2020·四川廣元·中考真題）在中，，OA平分交BC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓交BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，求證：AB為的切線；（2）如圖2，AB與相切于點(diǎn)E，連接CE交OA于點(diǎn)F．①試判斷線段OA與CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．②若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①OA垂直平分CE，理由見(jiàn)解析；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，利用角平分線的性質(zhì)定理可得OG=OC，即可證明；（2）①利用切線長(zhǎng)定理，證明OE=OC，結(jié)合OE=OC，再利用垂直平分線的判定定理可得結(jié)論；②根據(jù)求出OF和CF，再證明△OCF∽△OAC，求出AC，再證明△BEO∽△BCA，得到，設(shè)BO=x，BE=y，可得關(guān)于x和y的二元一次方程組，求解可得BO和BE，從而可得結(jié)果.【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，∵OA平分交BC于點(diǎn)O，∴OG=OC，∴點(diǎn)G在上，即AB與相切；（2）①OA垂直平分CE，理由是：連接OE，∵AB與相切于點(diǎn)E，AC與相切于點(diǎn)C，∴AE=AC，∵OE=OC，∴OA垂直平分CE；②∵，則FC=2OF，在△OCF中，，解得：OF=，則CF=，由①得：OA⊥CE，則∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，∴△OCF∽△OAC，∴，即，解得：AC=6，∵AB與圓O切于點(diǎn)E，∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，∴△BEO∽△BCA，∴，設(shè)BO=x，BE=y，則，可得：，解得：，即BO=5，BE=4，∴tanB==.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二元一次方程組的應(yīng)用，有一定難度，解題要合理選擇相似三角形得出結(jié)論.28．（2020·四川成都·中考真題）如圖，在的邊上取一點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫⊙O，⊙O與邊相切于點(diǎn)，，連接交⊙O于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，，求⊙O的半徑；（3）若是的中點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3），理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接OD，由切線的性質(zhì)可得∠ADO=90°，由“SSS”可證△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)可設(shè)AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；（3）連接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形內(nèi)角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可證DE=DF=CE，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，連接OD，∵⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO=∠ACO=90°，又∵OC是半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）在Rt△ABC中，tanB==，∴設(shè)AC=4x，BC=3x，∵AC2+BC2=AB2，∴16x2+9x2=100，∴x=2，∴BC=6，∵AC=AD=8，AB=10，∴BD=2，∵OB2=OD2+BD2，∴（6-OC）2=OC2+4，∴OC=，故⊙O的半徑為；（3）連接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，又∵CO=DO，OE=OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE=∠ODE，∵OC=OE=OD，∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∵點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴CF=BF=AF，∴∠FCB=∠FBC，∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF=CE，∴AF=BF=DF+BD=CE+BD．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．29．（2020·四川遂寧·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E的弦EP交AB于點(diǎn)Q（EP不是直徑），點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)BP，BP恰好為⊙O的切線．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）求證：＝．（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四邊形CHQE的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）45【分析】（1）連接OE，OP，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PB＝BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BEO＝∠BPO，根據(jù)切線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．（3）根據(jù)垂徑定理得到EP⊥AB，根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAE＝∠EAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝QE，推出四邊形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝＝12，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OE，OP，∵PE⊥AB，點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，∴AB垂直平分EP，∴PB＝BE，∵OE＝OP，OB＝OB，∴△BEO≌△BPO（SSS），∴∠BEO＝∠BPO，∵BP為⊙O的切線，∴∠BPO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切線．（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠OEA，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∴．（3）解：∵AD為的⊙O直徑，點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，∴EP⊥AB，∵CG⊥AB，∴CG∥EP，∵∠ACB＝∠BEO＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAQ＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AQE（AAS），∴CE＝QE，∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，∴∠CEH＝∠AHG，∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH，∴CH＝CE，∴CH＝EQ，∴四邊形CHQE是平行四邊形，∵CH＝CE，∴四邊形CHQE是菱形，∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，∵AC＝15，∴AG＝9，∴CG＝＝12，∵△ACE≌△AQE，∴AQ＝AC＝15，∴QG＝6，∵HQ2＝HG2+QG2，∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，解得：HQ＝，∴CH＝HQ＝，∴四邊形CHQE的面積＝CH?GQ＝×6＝45．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的綜合問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形等知識(shí)，此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用．30．（2020·四川樂(lè)山·中考真題）如圖1，是半圓的直徑，是一條弦，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，且．（1）求證：點(diǎn)平分；（2）如圖2所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．求證：是⊙的切線．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）連接，由是直徑得，由同角的余角相等證明，由直角三角形斜邊中線性質(zhì)證明，進(jìn)而得出，即得出結(jié)論；（2）由已知可知DE是OA、HB的垂直平分線，可得，，從而，，再由即可證明，由此即可得出可能．【詳解】證明：（1）連接、，如圖3所示，

圖3∵是半圓的直徑，∴，∵，∴，又∵，即點(diǎn)是的斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，即點(diǎn)平分；（2）如圖4所示，連接、，圖4∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴是⊙的切線．【點(diǎn)睛】本題是圓的簡(jiǎn)單綜合題目，考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．31．（2020·四川自貢·中考真題）如圖，⊙是△的外接圓，為直徑，點(diǎn)是⊙外一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交⊙于點(diǎn)．⑴.證明：=；⑵.若，證明：是⊙的切線；⑶.在⑵的條件下，連接交⊙于點(diǎn),連接;若，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）連接CO，易證△PCO≌△PAO，得PO為∠APC的角平分線，根據(jù)條件證出F為優(yōu)弧中點(diǎn)，即可證明=；（2）因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACB=90°，由tan∠ABC=可求得∠ABC的正弦和余弦，設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，根據(jù)三角函數(shù)表示出BC，AC的長(zhǎng)度，由勾股定理表示出OD的長(zhǎng)度，易得PA=PC=，，PO=PD+OD=3r，由可得PA⊥OA，即可證明是⊙的切線；（3）連接AE，過(guò)E作EN⊥PD于N，過(guò)B作BH⊥PF于H，由（2）可得，，PB=，證出△PEA∽△PAB，可得，證出四邊形BCDH是矩形，得BH=CD=，在Rt△BPH和Rt△PEN中表示出sin∠BPH，可得，，ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，代入r=3即可【詳解】解：（1）證明：如圖，連接CO，在△PCO和△PAO中，∴△PCO≌△PAO（SSS），∴∠CPO=∠APO，即PO為∠APC的角平分線，∵PA=PC，∴CD=AD，PF⊥AC，∵AC為⊙O的弦，PF過(guò)圓心O，∴F為優(yōu)弧中點(diǎn)，∴=，（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，且弦AB所對(duì)圓周角為∠ACB，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴sin∠ABC=，cos∠ABC=，設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=，∴，∵PA=PC=AB，∴PA=PC=，∴，∴PO=PD+OD=3r，∴，即PA⊥OA，又∵OA是⊙O半徑，∴PA是⊙O的切線；（3）由（2）可得，∴，在Rt△PBA中，，連接AE，可得∠AEB=90°，∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，∴△PEA∽△PAB，∴，∴，過(guò)E作EN⊥PD于N，過(guò)B作BH⊥PF于H，如圖所示，∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四邊形BCDH是矩形，∴BH=CD=，在Rt△BPH中，sin∠BPH=，在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，∴，∴ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，∵，∴DE=．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的綜合應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是矩形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形等知識(shí)，此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用．32．（2022·四川攀枝花·中考真題）如圖，的直徑垂直于弦于點(diǎn)F，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)C．(1)求證：；(2)若的直徑為4，弦平分半徑，求：圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】(1)首先可證得，由圓周角定理得：，可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)，可得，根據(jù)垂直的定義可得，據(jù)此即可證得；(2)首先由弦平分半徑，，可得，，，再根據(jù)，可得，即可證得，最后由即可求得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，由圓周角定理得：，，與相切，，，，，；（2）解：如圖：連接，弦平分半徑，，，在中，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．33．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在中，，以為直徑作⊙，交邊于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接，作射線交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求及的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)BF=5，【分析】（1）根據(jù)中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根據(jù)，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；（2）根據(jù)∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF=AB，根據(jù)，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根據(jù)，得到，連接CD，根據(jù)BC是⊙O的直徑，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根據(jù)∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．(1)解：∵中，，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，∵，∴∠B=∠BCF，∴∠A=∠ACF；(2)∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF∴AF=CF，BF=CF，∴AF=BF=AB，∵，AC=8，∴AB=10，∴BF=5，∵，∴，連接CD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴，∴，∴，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理及推論，運(yùn)用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．34．（2020·四川瀘州·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)D在上，的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的切線交于點(diǎn)C，E為線段上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的弦于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）已知，，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）-2．【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABC=90°，得到∠C=∠ABD，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：如圖1，連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠CAB=90°，∴∠C=∠ABD，∵∠AGD=∠ABD，∴∠AGD=∠C；（2）解：∵∠BDC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴，∴AC=9，∴AB=，∵CE=2AE，∴AE=3，CE=6，∵FH⊥AB，∴FH∥BC，∴△AHE∽△ABC，∴，∴，∴AH=，EH=2，如圖2，連接AF，BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴∠AFH+∠BFH=∠AFH+∠FAH=90°，∴∠FAH=∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴，∴，∴FH=，∴EF=-2．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．35．（2021·四川阿壩·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D．（1）求證：；（2）若，，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)，判斷出AD∥OC，再應(yīng)用平行線的性質(zhì)，即可推得．(2)連接BC，通過(guò)證明△ADC△ACB，可求出AD的長(zhǎng)，再在Rt△ADC中，通過(guò)勾股定理可求出CD的長(zhǎng).【詳解】解：（1）證明：如圖，連接OC，，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO．∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠CAB.(2)如圖，連接BC∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°.∴∠ADC=∠ACB.由（1）知∠DAC=∠CAB，∴△ADC△ACB.∴.∵，,則可設(shè)AD=2x,AB=3x,x>0,∴.解得x=2.∴AD=4.在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD==.【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用，以及平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，得出垂直關(guān)系．36．（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）四邊形內(nèi)接于，直徑與弦交于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，求證：平分；(2)如圖2，連接，若，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)