第03講二次函數y=ax²c的圖像和性質（知識解讀真題演練課后鞏固）

第03講二次函數的圖像和性質會用描點法畫出二次函數y=ax2+c（a≠0）的圖像，并結合圖像理解拋物線、對稱軸、頂點坐標及開口方向等概念；掌握二次函數y=ax2+c（a≠0）性質，掌握y=ax2（a≠0）與y=ax2+c（a≠0）之間聯系。知識點1y=ax2+c的圖像性質：【問題1】畫出函數y＝x2﹣1的圖象．【解答】解：∵次函數y＝x2﹣1的頂點坐標為：（0，﹣1），當y＝0時x＝1或x＝﹣1，∴此圖象與x軸的交點坐標為（1，0），（﹣1，0），∴其圖象如圖所示：二次函數y＝x2﹣1的性質：（1）y=x2﹣1圖像是一條拋物線（2）關于y軸對稱（3）開口向上（4）頂點（0，1）（5）當x＜0時，y隨x的增大而減少，當x＞0時，y隨x的增大而增大；（6）有最低點.【問題2】畫出函數y＝﹣x2+1的圖象．【解答】解：列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣8﹣3010﹣3﹣8…描點、連線如圖．二次函數y＝x2+1的性質：（1）y=x2+1圖像是一條拋物線（2）關于y軸對稱（3）開口向下（4）頂點（0，1）（5）當x＜0時，y隨x的增大而增大，當x＞0時，y隨x的增大而減少；（6）有最高點.總結：y=ax2+c的圖像的性質知識點2：y=ax2（a≠0）與y=ax2+c（a≠0）之間的關系【題型1二次函數y=ax2+c頂點與對稱軸問題】【典例1】（2023?南海區(qū)模擬）拋物線y＝﹣x2+1的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝0 C．直線x＝1 D．直線【答案】B【解答】解：拋物線y＝﹣x2+1的對稱軸是直線x＝0，即y軸．故選：B．【變式11】（2020九上·路南期末）拋物線y=?xA．x軸 B．y軸 C．x=2 D．y=2【答案】B【解析】解：拋物線y=?x2即拋物線y=?x2+2故答案為：B【變式12】（2021九上·陽東期中）二次函數y=?12x【答案】y軸或直線x=0【解析】∵二次函數y=?1∴對稱軸為x=?b故答案是：y軸或直線x=0．【典例2】（2022秋?豐南區(qū)校級期末）二次函數y＝x2+2的圖象的頂點坐標是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）【答案】A【解答】解：二次函數y＝x2+2的圖象的頂點坐標是（0，2），故選：A．【變式2】（2021九上·長春月考）拋物線y＝2x2﹣3的頂點坐標是（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3）D．（0，﹣3）【答案】D【解析】解：∵拋物線y=2x∴該拋物線的頂點坐標為(0，?3)，故答案為：D．【題型2二次函數y=ax2+c圖像性質】【典例3】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）關于拋物線y＝﹣x2+2，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸是y軸 C．有最小值 D．當x＜0時，函數y隨x的增大而減小【答案】B【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+2中，a＝﹣1＜0，∴開口向下，對稱軸是y軸，故A錯誤，B正確；∴函數有最大值，當x＜0時，函數y隨x的增大而增大，故C、D錯誤．故選：B．【變式31】（2022九上·徐匯期中）下列關于二次函數y=?xA．它的對稱軸是直線x=0B．它的圖像有最高點C．它的頂點坐標是(0D．在對稱軸的左側，y隨著x的增大而減小【答案】D【解析】解：∵二次函數的表達式為y=?∴a<0，開口向下，拋物線有最高點，在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小∵b=0，∴對稱軸x=0將x=0代入解析式得y=3∴頂點坐標為(0故答案為：D【變式32】（2021九上·亳州期末）拋物線y=4x2拋物線A．頂點相同 B．對稱軸相同C．開口方向相同 D．頂點都在x軸上【答案】D【解析】解：拋物線y＝4x2的開口向上，對稱軸為y軸，頂點為（0，0），拋物線y＝?4（x＋2）2的開口向下，對稱軸為直線x＝?2，頂點是（?2，0），∴拋物線y＝4x2與拋物線y＝?4（x＋2）2的相同點是頂點都在x軸上，故答案為：D．【變式33】（2021九上·奉賢期中）關于二次函數y=?2xA．對稱軸為直線x=1B．頂點坐標為（2，1）C．可以由二次函數y=?2xD．在y軸的左側，圖象上升，在y軸的右側，圖象下降．【答案】D【解析】關于二次函數y=?2x2+1故答案為：D．【題型3二次函數y=ax2+c中y值大小比較】【典例4】（2023?虹口區(qū)一模）如果點A（﹣2，y1）與點B（﹣3，y2）都在拋物線y＝x2+k上，那么y1和y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定【答案】B【解答】解：∵y＝x2+k，∴拋物線開口向上，對稱軸為y軸，∴x＜0時，y隨x增大而減小，∵﹣3＜﹣2，∴y2＞y1，故選：B．【變式41】（2022九上·陽春期末）已知點(x1，y1A．若x1=?x2，則y1C．若x1<x2<0，則y【答案】D【解析】A.若x1=?xB.若y1=yC.若x1<xD.若0<x1<故答案為：D．【變式42】（2021九上·海珠期末）函數y＝x2﹣5的最小值是．【答案】5【解析】解：∵x2≥0，∴x=0時，函數值最小為5．故答案為：5．【題型4二次函數y=ax2平移規(guī)律】【典例5】（2023?賓陽縣一模）拋物線y＝x2向上平移2個單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2【答案】A【解答】解：∵拋物線y＝x2的頂點坐標為（0，0），∴向上平移2個單位后的拋物線頂點坐標為（0，2），∴新拋物線解析式為y＝x2+2．故選：A．【變式51】（2023九上·東陽期末）若把拋物線y＝3x2﹣1向右平移2個單位，則所得拋物線的表達式為（）A．y＝3x2﹣3 B．y＝3x2+1C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1【答案】D【解析】解：把拋物線y＝3x2﹣1向右平移2個單位，所得拋物線的表達式為y＝3（x2）2﹣1.

故答案為：D.【變式52】（2022秋?銅梁區(qū)校級期末）將二次函數y＝﹣x2的圖象向下平移3個單位長度，所得拋物線的解析式是（）A．y＝﹣x2+3 B．y＝﹣x2﹣3C．y＝﹣（x+3）2D．y＝﹣（x﹣3）2【答案】B【解答】解：將二次函數y＝﹣x2的圖象向下平移3個單位長度，所得拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2﹣3，故選：B．【題型5二次函數y=ax2與一次函數綜合問題】【典例6】（2022秋?賽罕區(qū)校級期末）在同一坐標系中，一次函數y＝﹣mx+n2與二次函數y＝x2+m的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．由直線與y軸的交點在y軸的負半軸上可知，n2＜0，錯誤，不符合題意；B．由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上可知，m＞0，由直線可知，﹣m＞0，錯誤，不符合題意；C．由拋物線y軸的交點在y軸的負半軸上可知，m＜0，由直線可知，﹣m＜0，錯誤，不符合題意；D．由拋物線y軸的交點在y軸的負半軸上可知，m＜0，由直線可知，﹣m＞0，正確，符合題意．故選：D．【變式61】（2023九上·孝南期末）在同一平面直角坐標系中，一次函數y=ax+c和二次函數y=axA． B．C． D．【答案】B【解析】解：A、由一次函數的圖象可知a>0、c>0，由二次函數的圖象可知a<0，兩者相矛盾，故此選項不符合題意；B、由一次函數的圖象可知a<0、c>0，由二次函數的圖象可知a<0，c>0兩者相吻合，故此選項符合題意；C、由一次函數的圖象可知a<0、c<0，由二次函數的圖象可知a>0，兩者相矛盾，故此選項不符合題意；D、由一次函數的圖象可知a<0、c>0，由二次函數的圖象可知a>0，兩者相矛盾，故此選項不符合題意.故答案為：B.【變式62】（2022九上·新撫月考）函數y＝ax－a和y=ax2+2A． B．C． D．【答案】C【解析】解：由y=ax2故A，B不符合題意；由C，D中二次函數的圖象可得：a<0∴?a>0∴函數y＝ax－a過一，二，四象限，故C符合題意，D不符合題意，故答案為：C【題型6y=ax2（a≠0）與y=ax2+c（a≠0）之間的關系】【典例7】（2020九上·梅河口期末）已知，直線y=?2x+3與拋物線y=ax2相交于A、B兩點，且A（1）求a，m的值；（2）拋物線的表達式及其對稱軸和頂點坐標．【答案】（1）m=9,a=1（2）（0，0）【解答】（1）解：把A的坐標（3，m）代入y=2x+3得m=2×（3）+3=9，所以A點坐標為（3，9），把A（3，9）代入線y=ax2得9a=9，解得a=1．綜上所述，m=9,a=1．（2）解：拋物線的表達式為y=x2，根據拋物線特點可得：對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，0）．【變式71】（九上·西城月考）拋物線y=3xA．都關于y軸對稱 B．開口方向相同C．都經過原點 D．互相可以通過平移得到【答案】A【解析】A．觀察兩個二次函數解析式可知，一次項系數都為0，故對稱軸x=?b2a=0，對稱軸為yB．前一個a>0，開口向上，后一個a<0，開口向下，該選項不符合題意；C．前一個經過原點(0，0)，后一個經過點，(0，1)，該選項不符合題意；D．因為二次項系數不一樣，不可能通過平移得到的，該選項不符合題意；.故答案為：A【變式72】（2020九上·南昌月考）已知點（3，13）在函數y＝ax2+b的圖象上，當x＝﹣2時，y＝8．（1）求a，b的值；（2）如果點（6，m），（n，20）也在這個函數的圖象上，求m與n的值．【答案】（1）a=1b=4（2）【解答】（1）解：∵點（3，13）在函數y＝ax2+b的圖象上，∴13＝9a+b，∵當x＝﹣2時，y＝8，∴8＝4a+b，13=9a+b8=4a+b解得：a=1b=4（2）解：∵a＝1，b＝4，∴函數解析式為y＝x2+4，∵點（6，m），（n，20）也在這個函數的圖象上，∴m＝36+4＝40，20＝n2+4，∴n＝±4，則m＝40，n＝±4．1．（2023?廬陽區(qū)一模）拋物線y＝3x2﹣5的頂點坐標是（）A．（0，﹣5） B．（0，0） C．（0，5） D．（3，﹣5）【答案】A【解答】解：∵拋物線解析式為y＝3x2﹣5，∴頂點坐標為（0，﹣5），故選：A．2．（2023?小店區(qū)校級模擬）對于二次函數y＝﹣x2+2，當x為x1和x2時，對應的函數值分別為y1和y2．若x1＞x2＞0，則y1與y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．無法比較【答案】B【解答】解：∵y＝﹣x2+2中，﹣＜0且對稱軸為直線x＝0，∴當x＞0時，y隨x的增大而減小，∵x1＞x2＞0，∴y1＜y2，故選：B．3．（2023?廬陽區(qū)校級一模）二次函數y＝x2﹣2的圖象經過點（a，b），則代數式b2+6a2的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：∵二次函數y＝x2﹣2的圖象經過點（a，b），∴b＝a2﹣2，∴a2＝b+2，∴b2+6a2＝b2+6（b+2）＝b2+6b+12＝（b+3）2+3；所以代數式b2+6a2的最小值是4，故選：C．4．（2023?寧波模擬）下列圖象中，函數y＝ax2﹣a（a≠0）與y＝ax+a的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：當a＞0時，由二次函數y＝ax2﹣a可知開，口向上，頂點在y軸負半軸上，與x軸的交點為（﹣1，0），（1，0），由一次函數y＝ax+a可知過一，二，三象限，交x軸于（﹣1，0）；當a＜0時，由二次函數y＝ax2﹣a可知，開口向下，頂點在y軸正半軸上，與x軸的交點為（﹣1，0），（1，0），由一次函數y＝ax+a可知過二，三，四象限，交x軸于（﹣1，0）；故選：C．5．（2023?青浦區(qū)一模）拋物線y＝3x2﹣1在y軸右側的部分是．（填“上升”或“下降”）【答案】上升．【解答】解：∵y＝3x2﹣1，∴拋物線開口向上，對稱軸為y軸，∴y軸右側部分上升，故答案為：上升．6．（2021.深圳）拋物線y=3xA．都關于y軸對稱 B．開口方向相同C．都經過原點 D．互相可以通過平移得到【答案】A【解答】A．觀察兩個二次函數解析式可知，一次項系數都為0，故對稱軸x=?b2a=0，對稱軸為yB．前一個a>0，開口向上，后一個a<0，開口向下，該選項不符合題意；C．前一個經過原點(0，0)，后一個經過點，(0，1)，該選項不符合題意；D．因為二次項系數不一樣，不可能通過平移得到的，該選項不符合題意；.故答案為：A．7．（2021.佛山）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+3與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y=13x2于B，C兩點，則BC的長為【答案】6【解答】解：∵拋物線y=ax2+3與y軸交于點A，∴A（0，3），當y=3時，13x2解得x=±3，∴B點坐標為（3，3），C點坐標為（3，3），∴BC=3（3）=6.故答案為：68.（2021.百色）如圖，兩條拋物線y1=?12x2+1,A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【解答】解：根據題意可知，兩個拋物線的形狀相同∴y1y2=12x2+1（12x∴陰影部分面積=（y1y2）×|2（2）|=2×4=8故答案為：B.9．（2021.長沙）已知y=(m+2)x（1）滿足條件的m的值；（2）m為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點，這時當x為何值時，y隨x的增大而增大？（3）m為何值時，函數有最大值？最大值是多少？這時當x為何值時，y隨x的增大而減小？【解答】（1）因為函數為二次函數∴m+2≠0，m2+m4=2∴m≠2，m2+m6=0∴m≠2，（m+3）（m2）=0∴m=3，m=2（2）當m=2時，函數為y=4x2+1，有最低點，最低點為（0,1），且x≥0時，y隨x的增大而增大（3）m=3時，函數為x2+1，有最大值，最大值為1，x≥0時，y隨x的增大而減小1．（2022秋?曲阜市期末）二次函數y＝x2﹣2的頂點坐標是（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）【答案】B【解答】解：二次函數y＝x2﹣2的圖象的頂點坐標是（0，﹣2），故選：B．2．（2022秋?郊區(qū)期末）拋物線y＝﹣4x2+3的開口方向和頂點坐標分別是（）A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）【答案】C【解答】解：拋物線y＝﹣4x2+3的開口向下，頂點坐標是（0，3）．故選：C．3．（2021.河池）下列各點在拋物線y=xA．(0,1) B．(?1,0) C．(0,0) D．(1,1)【答案】A【解答】當x=0時，y=1，故A符合題意，C不符合題意；當x=1時，y=2，故D不符合題意；當x=1時，y=2，故B不符合題意；故答案為：A．4．（2021.云南）關于二次函數y=?2xA．對稱軸為直線x=1B．頂點坐標為（2，1）C．可以由二次函數y=?2xD．在y軸的左側，圖象上升，在y軸的右側，圖象下降．【答案】D【解答】關于二次函數y=?2x2+1故答案為：D．5．（2021.浙江）二次函數y=2xA．拋物線開口向下 B．拋物線與x軸有兩個交點C．拋物線的對稱軸是直線x=1 D．拋物線經過點（2,3）【答案】B【解答】A、a=2，則拋物線y=2x23的開口向上，所以A選項不符合題意；B、當y=0時，2x23=0，此方程有兩個不相等的實數解，即拋物線與x軸有兩個交點，所以B選項符合題意；C、拋物線的對稱軸為直線x=0，所以C選項不符合題意；D、當x=2時，y=2×43=5，則拋物線不經過點（2，3），所以D選項不符合題意，故答案為：B．6．（2021.柳州）二次函數y＝x2的圖象向下平移2個單位后得到函數解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2【答案】B【解答】解：∵y＝x2的圖象向下平移2個單位，∴平移后函數圖象頂點坐標為（0，﹣2），∴得到函數解析式為y＝x2﹣2．故答案為：B．7．（2021.貴陽）拋物線y=2x2?1的圖像經過點A(?3,y1)，B(1,y2)A．y1<y2<y3B．【答案】C【解答】∵二次函數的解析式為y＝2x2?1，∴拋物線的對稱軸為y軸，∵A（?3，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴點C離y軸最遠，點B離y軸最近，∵拋物線開口向上，∴y2＜y1＜y3．故答案為：C．8．（2022秋?利川市期末）設點（﹣1，y1），，（2，y3）是拋物線y＝﹣2x2+1上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為（）A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1【答案】B【解答】解：當x＝﹣1時，y1＝﹣2x2+1＝﹣2×（﹣1）2+1＝﹣1，當x＝時，y2＝﹣2x2+1＝﹣2×（）2+1＝，當x＝2時，y3＝﹣2x2+1＝﹣2×22+1＝﹣7，∴y2＞y1＞y3．故選：B．9．（2022秋?寬城區(qū)校級期末）當a＜0，c＞0時，二次函數y＝ax2+c的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由二次函數y＝ax2+c可知二次函數y＝ax2+c的圖象的對稱軸為y軸