專項(xiàng)31二次函數(shù)與矩形存在性問題（原卷版）

專項(xiàng)31二次函數(shù)與矩形存在性問題1.矩形的判定:（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形；（3）有三個(gè)角為直角的四邊形．2.題型分析矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：（AC為對(duì)角線時(shí)）因此在矩形存在性問題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．下：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn)．對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．【例題】已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．解：點(diǎn)C滿足以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點(diǎn)C有在點(diǎn)C的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，可迅速得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．【典例1】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ABCM為矩形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【變式11】（2022?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式12】（遼陽）如圖，直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，與直線y＝x﹣3交于點(diǎn)E（8，5），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．1．（2022?漢川市模擬）拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于另一點(diǎn)A，B兩點(diǎn)．與y軸交于C，D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以A，D，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．2．（2022?巨野縣模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸，分別交x軸，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求直線BC及拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線上取點(diǎn)M，在坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)N，問是否存在以C、B、M、N為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線解析式；（2）如圖①，若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，求線段PD長的最大值；（3）如圖②，若點(diǎn)N是拋物線上另一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)，且以BC為邊的矩形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形