人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章測試題及答案解析

人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章測試題及答案解析

第一章空間向量與立體幾何測試題

考試過問：120分鐘滿分：150分

一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.已知）二（1,2,—y）,5=（乂1,2）,且力:/（￡—萬），則（）

11

A.x=~,y=iB.x=-y=-4

321

C.x=2,y=—D.x=l>y=-1

4

2.在長方體48CD-A4GA中，AB=BC=\,AA}=43t則異面直線AR與。鳥所成角的余弦值為

A.1B.在C.在D.立

5652

3.如圖所示，在平行六面體中，M為AC；與3Q的交點，若AB=a，AO=〃，旃=2,則

BM=（）

1-

B.-ciH—b+c

22

1-1-1-1￡-

C.——a——br+cD.一一a+—b+c

2222

4.如圖，棱長為1的正方體A8CO-A8G。中，尸為線段A8上的動點（不含端點），則下列結論正確的是

)

A.直線RP與AC所成的角可能是?

O

B.平面力//I平面AAP

C.三棱錐8P的體積不是定值

D.平面AP"截正方體所得的截面可能是直角三角形

5.下列說法中正確的是（）

A.若卜卜忖，則￡、B的長度相等，方向相同或相反

B.若向量￡是向量B的相反向量，則M=W

C.空間向量的減法滿足結合律

D.在四邊形48co中，一定有通+而=而

6.如圖所示，在正方體ABC。-4及GD中，P為線段8G上的動點，給出下列四個結論：①。尸長度為定值；

②三棱錐P-A片。的體積為定值；③任意點P,都有。P_LAC；④存在點P,使得平面ABQI其中正

確的是（）

7.如圖所示，在三棱柱ABC—AqG中，的,_L底面ABC,AB=BC=AA.,NA8C=],點、E,尸分別是棱

AB,8旦的中點，則直線EF與BG所成的角是（）

8.已知直角梯形4BCO滿足：AD^BC,CD^DA,且為正三角形.將㈤WC沿著直線AC翻折至財

如圖，且ADV60yC。，二面角Z7-A6-C、iy-BC-A.O'-4c-6的平面角大小分別為a/,y,直線O'A，

UB,DC與平面ABC所成角分別是仍，&,&,則（）

A.a>y>p

B.qvav/ep>y

c.a>a>a，?<^<r

D.0<02<0ya<p<y

二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合

題目要求的.

9.設｛2瓦可是空間的一組基底，則下列結論正確的是（）

A.7B，）可以為任意向量

B.對空間任一向量方，存在唯一有序實數(shù)組（x,y,z）,使萬=x￡+yB+z￡

C.若a工b,另_Lc，則a_Lc

D.^a+2b,b+2c,工+2司可以作為構成空間的一組基底

io.如圖，正方體ABCO-AQGR的棱長為1,則下列四個命題正確的是（）

A.兩條異面直線AC和8G所成的角為:

B,直線BC與平面ABC］。所成的角等于J

C.點。到面AC?的距離為正

3

D.三棱柱4AA-BBC外接球半徑為正

2

11.在下列條件中，不能使"與A，B,C定共面的是（)

_____.___1_.1—.]—.

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC

J。4

UUUUUWUUU1f......一

c.MA+MB+MC=OD.。/+OA+08+OC=0

12.如圖，正方體AACO-AQCR的棱長為2,動點P,。分別在線段C。，4c上，則下列命題正確的是

A.直線8C與平面MCQ所成的角等于?B.點C到平面A8GR的距離為0

C.異面直線。。和BG所成的角為D.線段尸。長度的最小值為2?

43

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知向量〃=(2,0,1)為平面a的法向量，點4-121)在a內，則點P(l,2,2)到平面。的距離為

14.在正方體一ABCR中，點M是AA的中點，已知通=￡,AD=b^羽=",用工表示a7,

則而=.

15.已知,出是空間兩個向量，若|。|=2,出|=2,|1一5|=J7,貝ljcos<25>=.

16.如圖，已知正方體48co-A4GA的棱長為4,M,E分別是棱B片和CG的中點，尸是側面8CC由內

的動點，且A尸〃平面當廠的外接圓面積最小時，三棱錐A-4用”的外接球的表面積為

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，四棱錐尸-A8C。的側面△以/)是正三角形，底面4B8是直角梯形，/BAD=ZADC=90,

AD=AB=2CD=2tM為8c的中點.

(1)求證：PMLAD；

(2)若尸B=求線PM與平面所成角的正弦值.

18.如圖，在四棱錐P-ABC。中，。是的中點，PO_L平面ABC。，/DAB=/BCD=90。,

AD=AC=CD=2j3,DP=yfb.

(1)求證：平面平面4PC；

ULIUuuu

(2)TSPM=APC(O<A<1),若二面角-P的余弦值為富.求Z的值.

19.如圖，在空間四邊形中，28。=。3，點E為A。的中點，設。4=。，OB=btOC=c.

(1)試用向量b?"表示向量屈；

(2)若Q4=OC=3,08=2,ZAOC=ZBOC=ZAOB=6()°,求壺.而的值.

20.如圖，在幾何體ABC-A4G中，底面AABC是邊長為2的正三角形，AA■!"平面ABC,ZBBJ/CC、,

且6AAi=2B5=3CG=6,E是48的中點.

⑴求:正：CE〃平面A^G；

⑵求平面ABC和平面AGA的夾角的余弦值.

21.如圖，在直三棱柱ABC-A8C中，/?C=72,AB=AC=AA,=lfG是4尸的中點，AP與棱℃相交

于J/占3、、。?

A____________C

⑴求證：尸瑪〃平面雙出；

⑵求二面角\-B.D-P的正弦值.

22.如圖，AD//BCRAD=2BC,4。_18,的//4力且七6=同。，CD//FG&CD=2FG,OG_L平面ABC。,

DA=DC=DG=2.

(I)若M為。尸的中點，N為EG的中點,求證：MN||平面CDE；

(II)求二面角的正弦值；

(川)若點P在線段DG_L,且直線BP與平面ADGE所成的角為6CT,求線段DP的長.

答案解析

考試時間：120分鐘滿分：150分

一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.已知3=(1,2,—y),石=(乂1,2),且溝R-B),則()

11

A.x=-y=iB.x=—y=-4

3f2t

C.x=2,y=--D.x=\y=-l

4t

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量平行的充要條件列出關于x、y的方程組，解之即可求得小)，的值.

【詳解】

a=(l,2,-y),^=(xj,2),

則G4=(l—xj—y—2),?=(2x,2,4)

由雙(。叫，可嗝J.")"。，解制二

故選：B

2.在長方體ABC。-ABCA中，AB=BC=\,e=>/5,則異面直線A"與。片所成角的余弦值為

A1R下「石C近

A?tJ?C.U?

56s2

【答案】c

【解析】

【詳解】

分析：先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等

或互補關系求結果.

詳解：以D為坐標原點，DA,DC,DD1為X,y,2軸建立空間直角坐標系，則。（0,0,0）,A（I,0,0），4（l,1,6）㈤（0,0,6）,

所以碣=（—1,0,75）,函=（1,1，6），

/、AD.DR-1+3亞慶

因為cos（A〃,￡>4）=扃扃=右方二與，所以異面直線AR與。片所成角的余弦值為苧，選C.

點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破〃：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，

破"求坐標關"，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關"，求出平面的法向量；第四，破"應用公式關

3.如圖所示，在平行六面體A8CO-A8cA中，M為A￡與MA的交點，若麗=￡，AD=b，麗=鼠則

BM=（）

1-

B.—a+—b+c

22

1-1-

D.一一a+-br+c

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的運算法則和空間向最基本定理相關知識求解即可.

【詳解】

由題意得，的=函+；麗=上+匕+乙

22

故選：D

4.如圖，棱長為1的正方體ABC。-48GA中，尸為線段4班上的動點（不含端點），則下列結論正確的是

()

A.直線RP與4c所成的角可能是2

B.平面平面AAP

C.三棱錐A-8P的體積不是定值

D.平面AP"截正方體所得的截面可能是直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

判斷結論是否正確，需要每個選項都驗證;對于A選項，在該空間幾何體中建立空間直角坐標系，用向量法求出異

面直線所成的角即可;B選項用面面垂直的判定證明平面RAP，平面44P；C選項用換底法%.w=Ls；得

出體積為定值;D選項則直接觀測即可判斷.

【詳解】

對于A,以。為原點，0A為X軸，DC為y軸,為Z軸，建立空間直角坐標系,。/(0,0,1),41,0,0),C(0,1,0),

設P(lMb),(0vavl,0<b<l)

用=(1必6-1),撫=(-1,1,0),

8s回心鬃T-＜。

,.-0<￡7<1,0</><1,.1.

直線O/P與AC所成的角為,故A錯誤；

對于B,正方體A8CO-A8CO中，入口_LA4,,AR_LAB,

?.?A/41cAB=A,.ARJ■平面4A尸,

???AA_L平面D^P,回平面D^P1平面AAP,故B正確；

對于C,?.?Sg叫=gxlxl=3，尸到平面CD。的距離8c=1,

國三楂錐D.-CDP的體積:/_的=%g=gxgxl='為定值，故C錯誤;

對于D,尸為線段4乃上的動點（不含端點），連接心并延長，

若"的延長線交于如圖，此時截面為四邊形，

若"的延長線交于AA，設交點為S,比時截面為AASR,

設AS=〃，0VM<1,則RS=AS=J^TT,=故。S2+A52W

故AAS"不為直角三角形，故D錯誤.

故選：B.

5.說法中止確的是（）

A.若卜卜M，則￡、B的長度相等，方向相同或相反

B.若向量￡是向量B的相反向量，則忖=M

C.空間向量的減法滿足結合律

D.在四邊形ABC。中，一定有通+而=前

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的概念可判斷A選項的正誤；利用相反向量的概念可判斷B選項的正誤：利用空間向量的線性運算

法則可判斷C選項的正誤；利用向量加法的平行四邊形法則可判斷D選項的正誤.

【詳解】

對于A,向量的模相等指的是向量的長度相等，方向具有不確定性，因而不一定方向相同或相反，所以A錯

誤；

對于B,相反向量指的是大小相等，方向相反的兩個向量，因而相反向量滿足模長相等，所以B正確；

對于C，空間向量減法結合律指的是19-9=伍-乙因而由運算可得空間向量減法不滿足結合律，所

以C錯誤；

對于D,滿足而+而=*的一定是平行四邊形，一般四邊形是不滿足的，因而D錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查空間向量有關概念的理解，同時也考查了空間向量的線性運算，屬于基礎題.

6.如圖所示，在正方體44CO-A與GR中，尸為線段8G上的動點，給出下列四個結論：①。P長度為定值；

②三棱錐尸-A瓦2的體積為定值；③任意點P,都有。尸_LAC；④存在點P,使得AP，平面AMR其中正

確的是（）

D.①④

【答案】C

【解析】

【分析】

設正方體ABC。-AgGA的棱長為I，以點O為坐標原點，04、DC、所在直線分別為X、y、z軸建

立空間直角坐標系，利用空間中兩點間的距離公式可判斷①的正誤，利用錐體的體積公式可判斷②的正誤,

利用空間向量法可判斷③④的正誤.

【詳解】

設正方體ABC。-AqGA的棱長為1,以點。為坐標原點，OA、DC、所在直線分別為X、y、z軸建

立空間直角坐標系，

則A(1,O,O)、8(1,1,0)、C(OJO)、0(0,0,0),A。，?！?、4(LU)、c,(0,1,1),4(0,0,1),設點尸&L1T),

其中OqW1.

對于①，|W="+1+(1T)2=，2產-2+2不是定值,①錯誤；

對于②，在正方體4BCO-4BC。中，AB//CR且AB=CR,

所以，四邊形A4CQ為平行四邊形，則BCJ/A。，

?.?8G(z平面43Q,平面A8Q,則5G〃平面A8Q,

.PwBC，則點P到平面的距離為定值，而AABa的面積也為定值，

所以，三棱錐P-Aqq的體積為定值，②正確；

對于③，^C=(-1J,-1),DP=(r,l,l-z),所以，DP-^C=-r+l-l+r=O.

因此，對任意點尸，都有。尸_LAC,③正確；

對于④，對=(f-l,l,T),寓=(0,1,1),而;=(-1,0,1),

守.函=—=0

,這樣的，不存在，所以，不存在點尸，使得AP，平面AM0,④錯誤.

平?西=1-2/=0

故選：C.

【點睛】

關鍵點點睛：本題的關鍵在于建系，設出點尸的坐標，然后根據(jù)向量的運算求解判斷.

7.如圖所示，在三棱柱A6C-A4G中，AAJ,底面ABC,AB=BC=AA],NA8c=5，點七，”分別是棱

AB.8%的中點，則直線E尸與8G所成的角是()

cn￡

D12

【答案】C

【解析】

【分析】

建立如圖所示的空間直角坐標系，求出喬和星的坐標，進而由夾角公式可求得結果.

【詳解】

如圖所示，建立空間直角坐標系B-xyz.由于AB=8C=M，不妨取回=2,則3(0,0,0),E(0J0),尸(0,0,1),

EFo

q(2,0,2),0EF=(O,-1,1),西=(2,0,2),屋。s(麗，星)=同扃又叵西月四

團同，西)=?,即直線EF與BG所成的角為安

故選：C.

8.已知直角梯形ABC。滿足：AD0BC,CD^DA,且財BC為正三角形.將兇。C沿著直線AC翻折至(MD'C

如圖，且AP'VBDVCZy,二面角O-AB-C、a-BC-A.O'-AG8的平面角大小分別為a/,y,直線小人，

DB,DC與平面ABC所成角分別是仍，M&,貝IJ()

A.4>名>%a>/>0

B,a>P>r

C.a<P<y

D.evqv/(x<p<y

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意得到平面圖以及翻折的立體示意圖，點E，尸分別為A8,8C的中點，G為。E與4尸的交點，可知點

。在平面ABC上的投影在DE上，由AO<3￡X<S,判斷。投影點在的位置，根據(jù)投影點到48,BC,CA

的距離判斷二面角的大小關系，再設D-ABC的高為爪由sina=q,sina=3,sina=』;，即可得到

DADBDC

線面角的大小關系.

【詳解】

由題意可知，不妨設AB=8C=CO=2,則4）=1（。=石.如圖所示，取點瓦尸分別為AB,8c的中點，

連結AF,OE,設G為。E與A尸的交點，OE與AC的交于點”.

所以A6=1,CD'=G，則1<8。<出，則旋轉過程中，點房在平面48c上的投影在。E上.

當點屏的投影為點G時，則當點暖的投影在。G上時，則8D>CD；

當點D0的投影在GE上時，則肘/<6'；當點ZX投影為點七時，則A0'=BD.

故要使AD'V皿/VC。'，則點小的投影在點<7,￡兩點之問，此時投影點到人〃,。。,。^的距離為應8<^cA<dBC

所以二面角O'-A3-C最大，其次為二面角。-4G8,而二面角。'-BG4最小，故。>/>夕：

設三棱錐。'一A8c的高為無

則sin。］=-,sin&=，-,sin"=—^―.

1D'A2D'B3D'C

因為A=<Biy<3,所以sin4>sin02>sin".

因為兄處名￡,所以

故選：A

二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合

題目要求的.

9.設｛￡,瓦。是空間的一組基底，則下列結論正確的是（)

A.atb?c可以為任意向量

B.對空間任一向量/，存在唯一有序實數(shù)組(%,y,z),使萬=x￡+)石+zG

C.若〃_|_b,B_LC，則a_Lc

D.{3+253+2/+2耳可以作為構成空間的一組基底

【答案】BD

【解析】

根據(jù)可作為基底的一組向量的性質，結合向量垂直、共線的判定，判斷各選項的正誤即可.

【詳解】

4選項：￡,萬，工為不共線的非零向量；

8選項：由向量的基本定理知，空間任一向最萬，存在唯一有序實數(shù)組(x,y,z),使萬=耘+)石+z2：

C選項：各1",則a,c不一定垂直；

D選項：{+％3+2芯+24中三個向量間無法找到實數(shù)冗使得它們之間有碗=/的等式形式成立，即可以

構成基底.

故選：BD

【點睛】

本題考查了向量的基本定理，理解作為基底向量的非零、不共線性質，應用向量垂宜、共線判定正誤.

10.如圖，正方體ABC。-A耳GA的棱長為1,則下列四個命題正確的是()

A.兩條異面直線。。和BG所成的角為:

B.直線BC與平面4BGA所成的角等于￡

C.點。到面ACR的距離為由

3

D.三棱柱AAA-84G外接球半徑為立

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

對于A：根據(jù)異面直線的求法易得：異面直線0c和8G所成的角為回A"C：對FB：可證8CJ.平面A5GA，

則直線BC與平面A8CQ所成的角為/CM；；對于C：根據(jù)等體積轉換匕)“必=，求點。到面AC"的

距離；對于D：三棱柱/IAA-BBCI的外接球即為正方體A8C。-AQGA的外接球，直接求正方體外接球的

半徑即可.

【詳解】

連接AC、AD.

回ABOGA且AB=CR,則四邊形ABCR為平行四邊形，

團異面直線0c和8G所成的角為13AAe

(3AC=4"=AC,則mACq為正三角形，即(3AZ)C=￥

3

A不正確：

連接8。

在正方形SBCC中，BC,±B.C

上平面8耳CC，gCu平面

團A3_L81C

ABIB&=B,則B,C1平面ABCR

El直線6c與平面48CQ所成的角為NC8G=色

4

B正確：

根據(jù)等體積轉換可知：VD-AC。=Vj-ACD

BP—X/zX—X5/2XV2X-5-=—x1X—x1x1,則人=*

322323

C正確；

三棱柱A41n-四G的外接球即為正方體A8CD-ABCQ的外接球

則外接球的半徑即為正方體ABC。-A8GA體對角線的?半，即R="

D正確;

故選：BCD.

11.在下列條件中，不能使M與A,8,C一定共面的是（）

____._._,___1_1_1

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC

JJ?

uiinunumutiui...._

C.MA+MB+MC=OD.。例+。4+。8+OC=0

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)四點共面的條件對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【詳解】

M與A,B,C一定共面的充要條件是兩=+y而+z區(qū)x+y+z=l,

對于A選項，由于2-1-1=001,所以不能得出M,AB,C共面，

對于B選項，由于：+:+!=1，所以不能得出M，A8C共面，

532

對于匚選項，由于麗5=-碗-祝，則罰,京瓦亞為共面向量，所以M.A&C共面，

對于D選項，由的+函+礪+無=0得兩=一次一礪一反，而一1一1一1二一3A1,所以不能得出M,AB,C

共面.

故選：ABD

12.如圖，正方體ABC。-A媯CR的棱長為2,動點P,。分別在線段G。，AC上，則下列命題正確的是

A.直線8C與平面ABG"所成的角等于￡B.點C到平面48GA的距離為友

C.異面直線。。和BG所成的角為￡.D.線段尸。長度的最小值為亞

43

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)直線和平面所成的夾角，點到平面的距離，異面直線所成的角以及異面直線距離的計算方法進行逐項判

斷.

【詳解】

解：由題意得：

正方體ABC。-ABCQI的棱長為2

對于選項A：連接80,設80、BG交于O點

上BC】,BiCLAB

B[CJ■平面ABClDi

「?NC8G即為直線4c與平面A3CQ所成的角，且NC3G=(,故A正確;

對于選項B：連接80,設崗C、BG交于。點

-COLBC^B.CLAB

「.COJL平面ABCQ

二?點C到平面ABCR的距離為CO=；2應=應，故B正確；

對于選項C：連接。C、A",由正方體性質可知A0〃8G

故異面直線D.C和BC,所成的角即為0c和4D,所成的角ZADtC

又〈AD、=AC=CD]

.?.△A。。為等邊三角形

/.ZAD,C=y

故C錯誤：

對于選項D：過戶作PM_LCD,過M作MQ_LAC,連接PQ

尸。為異面直線之間的距離，這時尸。距離最?。?/p>

設OP=x,凡AOPM為等腰直角三角形，則PM=^x,CM=CD-DM=2--X

22

也為等腰直角三角形，則MQ=^CM=^x2-等

為直角三角形

當?shù)?平時，P。?取最小值故尸2.=述，故D正確;

333

故選：ABD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知向量〃=(2,0,1)為平面a的法向量，點4T2,1)在a內，則點尸(1,2,2)到平面a的距離為

【答案】45

【解析】

【分析】

把點到平面距離問題轉化為向量數(shù)量積問題求解.

【詳解】

解：PA=(-2,0,T),點P到平面。的距離為喑^=上士*』=石.

141V5

故答案為：75.

14.在正方體ABCO—AbCn中，點M是A4的中點，已知而=￡,而=?,麗用G,瓦工表示兩,

則西=.

【答案】-a-b+^c

【解析】

【分析】

先求出兩=-團一通+麗7，再求出心方=一前-福+g麗，即得解.

【詳解】

?.CM=CB+BA+AM=-BC-AB+AM

又?.?M是AA的中點，

AM——AAj,CM=—BC—AB+—AA^

AB=u，AD=b?A/l,=c?

/.CM=-a-h+—c

2

【點睛】

本題主要考查平面向量的運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

15.已知萬,5是空間兩個向量，若|1|=2,|5|=2,|萬一5|=近，則cosv75>=.

【答案】|

O

【解析】

【分析】

將將|萬-b|=近兩邊平方，求出小6=5,再根據(jù)平面向量的夾角公式計算可得結果.

【詳解】

將m-5i="化為3-楊2=7,

得|?！?出|2一2萬石=7,即4+4—25石=7，解得萬石二;，

所以COSVM,6>=團?聞=蓑2/1.

故答案為：-

O

16.如圖，已知正方體ABCO-A￡C01的棱長為4,M,E分別是棱B片和的中點，戶是側面8C&及內

的動點，且A尸〃平面RAE，當AABI戶的外接圓面積最小時，三棱錐A-4M/的外接球的表面積為

【答案】2071

【解析】

【分析】

由己知，證明AM//AE,取?。坏闹悬cN,連接MN,證明4OJ/MN,然后證明面AMN〃平面。①石，找到

動點F在側面BCC聲的軌跡，根據(jù)△片鳥尸的外接圓面積最小確定F點的位置，然后先計算AMBF外接圓平

徑,然后使用勾股定理再計算三棱錐尸的外接球半徑，從而求得其表面積即可.

【詳解】

由己知，如圖所示，連接AM,因為E分別是棱34和CG的中點，

所以AO//ME且AR=ME,所以四邊形AMEA為平行四邊形，所以

平面DAE,AME平面AAE,所以A"〃平面

取8￡的中點N,連接MN,取BC的中點G,連接AG、EG,EG!IBC.,ADX/!BC}

因為M,N分別是棱和MG的中點，所以MN//EG,EGu平面RAE,MNa平面RAE,所以MN〃平

面DtAE,

而A"、MNu平面AMN,AMDMN=M,所以平面AMN〃平面

而尸是側面8CG旦內的動點，且A/〃平面R4E，

所以F是棱MN內的動點，

因為AA，平面BCG4，4戶U平面BCG4，所以

在△人男尸中，4,用尸=1,所以吊尸外接圓半徑為斜邊A尸的一半，

要使外接圓面積最小，即外接圓半徑最小，即A尸取得最小值，又=

所以F為MN中點時取得最小值，

由A&=4,BCI=4亞,8幽=4N,尸為MN中點，所以的VJlB^F,

設AMB7的外接圓半徑為〃，媯M=l,

三棱錐A.-B.MF的外接球半徑為R,所以*=r+（乎尸="4=5,

所以一?棱錐A-4”尸的外接球表面積為S=4成,=20兀.

故答案為：20兀.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，四棱錐的側面△PAD是正三角形，底面ABC。是直角梯形，/BAD=ZADC=90，

AD=AB=2CD=2tM為8C的中點.

(1)求證：PM±AD；

(2)若尸8=及48,求線PM與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)立.

7

【解析】

(1)取中點N,連/W,NM,可證明MV/_LAD,PNAD,進而可得AZ)J_平面PM7V,即可求證；

(2)以N為原點，所在的直線為xy,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求平面的法向

品和用7的坐標，利用癡。=方|―即可求解.

剛則

【詳解】

(1)證明：取4。中點N,連PN,NM,

因為“4D是正三角形，所以PN人AD

又M是3c中點，所以NM//AB.

因為/B4D=90，即45_L4).

所以NM_LA0,因為NMcPN=N,NM、PNu平面PMN,

所以ADJ?平面FMV,尸Mu平面麗，所以AO_LPM.

(2)PB=y/iAB，又45=%，

又AB_LAD,所以A3L平面PAO,所以平面P4DL平面A3CD,

PN^AD,PNu平面PA。，平面PAOn平面ABCD=4),

所以PNA平面A8CD

如圖以N為原點，NANM,M＞所在的直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

可得P,O,G),A(1,O,O),8(120),

AP=(-I,0,V3),AB=(0,2,0),

n.~AP=o

設平面P45的法向量為3=a，y,z),所以——八

\7［小8=0

即七”+尸=°,令"6可得Z=1,y=o,

2y=0

可取Z=（G,o,i）,又而=?，一百

同兩|百百

sin^=

所以

即直線PM與平面R4B所成角的正弦值為五.

7

18.如圖，在四棱錐P—A8CO中，。是3。的中點，POJ?平面A8CO,NDAB=ZBCD=90°,

AD=AC=CD=2>/3,DP=?

（1）求證：平面AOP_L平面4PC；

uuuuuu./FT

（2）設PM=/lPC（0v；lvl）,若二面角3-。的一尸的余弦值為音，求義的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）2=^9.

【解析】

【分析】

(1)設ACc8O=N,由ACJL平面處將，得到AC_LOP,再由DP?+PN?=DN?,得到。P_LPN,然后

利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；

(2)以N為坐標原點，NA,所在直線分別為x,y軸，過點N且與直線0P平行的直線為z軸，建立空間

直角坐標系，分別求得平面BDM的一個法向量藍=(xy,z)和平面POC的一個法向量為>=(Ky,z),然后由

gs(兩砌==尊求解.

11|叫川11

【詳解】

(1)如圖所示：

設ACc8D=N,連接PN.

因為ND48=N8CD=90。，。為8。的中點，

所以。4=0D=0C,即。為“1BC的中心.

又因為AO=CD,所以AC_L8O.

由POJ■平面A8CZ),可得PO_LAC.

又POCBD=O,所以ACL平面PQ8,

所以ACJ.OP.

因為A￡>=4C=CO=2JJ,DP=瓜

所以DN=3，BD=2OD=4,OP=^DP2-OD2=41'PN=yloP2+ON2=73?

所以DP?+PN2=DN?,則OP_LPM

又PNcAC=N,所以0P_L平面人尸C.

因為DPu平面4OP,

所以平面4)尸，平面APC.

(2)以N為坐標原點，NA,N8所在直線分別為羽y軸，過點N且與直線0P平行的直線為z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標系.

由(1)得,0(0,-3,0),P(0-1,72),4(后0,0bC(-V3,o,o),3(0,1,0).

所以加=倒,2,0),方二(0,4,0),PC=(->/3,1,-72).

麗-9+麗-(0275)+4所-(-752,2+2,應-&).

設平面BDM的一個法向量為沅=(x，y”z),

mDB=0,4y=0，

則〈即《

所?DM=0,—x/3/iX|+(4+2)y+(\/2—V2Ajz)=0,

得％=0,令玉=x/2—\l2A,,得Z)=>/3/l.

所以平面BDM的一個法向最為m=-75人0,\/54）.

設平面拉PM的?個法向量為於=（9,必，馬），

貝也即悴+信=。二

〃,PC=0,—5/3X2+丁2—v2Z2—0,

令％=J5,得弘=L馬=，

所以平面POC的一個法向量為7=（6,1,一血）.

所以皿依砌二號,微一2向|叵,

阿司J5-—42+2.〃II

91

整理得394?—404+9=0，解得4=E或義=§.

當;l=g時，二面角8-0知-2的平面角為鈍角，不符合題意.

故"=V。

【點睛】

\AC-BD\

方法點睛：1、利用向量求異面直線所成的角的方法：設異面直線AC,BD的夾角為°,則cosQ=HH

2、利用向量求線面角的方法：（1）分別求出斜線和它所在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向

量的夾角（或其補角）；（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余

角就是斜線和平面所成的角.

3、利用向量求面面角的方法：就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量

的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍珀.

19.如圖，在空間四邊形048c中，2麗=配，點E為AO的中點，設麗=￡,OB=bfOC=c.

(1)試用向量a，b>c表不向量OE;

(2)若。4=OC=3,08=2,ZAOC=ZBOC=ZAOB=60°,求詼?前的值.

11-13

【答案】⑴-a+-b+-c⑵-4

2362

【解析】

(1)根據(jù)向量的運算性質求出詼即可；

(2)根據(jù)向量的運算性質代入計算即可.

【詳解】

(1)?/2BD=DC,

—>1—>1——1一

...BD=-BC=-(OC-OB)=-(c-b)

333

__“?.一1一2一1f

^OD=OB+BD=b+-(c-b)=-b+-c,

團點￡為4?的中點，

----1-11rl

f&OE=-(OA+OD)=-a+-b+-c;

2236

9.

(2)由題意得"￡=一,萬m=3,58=3

2

故而="a

______I]_?

故OEAC=(-a十一)十一1)(0一b)

236

26333

=—x9+—x9+-x3x3xcos60+-x3x2cos60--x3x2cos60

26333

_3

~~2'

20.如圖，在幾何體ABC-AqG中，底面AABC是邊長為2的正三角形，AA平面ABC,AA,//BB.//CCt,

且6AAi=2B5=3CG=6,E是48的中點.

⑴求證：CE〃平面COG；

⑵求平面AB?和平面AGA的夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵當

4

【解析】

【分析】

(1)取4用的中點八連接“，C.F,由四邊形ErCC是平行四邊形即可求解；

(2)采用建系法，以口為X軸，EC為y軸，垂直底面方向為z軸，求出對應點坐標，結合二面角夾角余弦

公式即可求解.

(1)

證明：因為IBC為正三角形，E為4B的中點，則CE_LA8,

又⑨=1,84=3,CC,=2,取A4的中點尸，連接C/,EF,

所以防=他；“4=2=CG，又EF"2BB、"CC、,故E尸〃CC-EF=CC,,

所以四邊形ErGC為平行四邊形，

則CE〃G尸，G尸U平面A&G，CE<X平面A￡G，故CE〃平面A8G；

(2)