2021屆人教a版（文科數(shù)學） 空間向量與立體幾何 單元測試

2021屆人教A版(文科數(shù)學)空間向量與立體幾何單元測試

1、點P(1,3,-5)關(guān)于原點的對稱點的坐標是()

(A)(-1,-3,-5)

(B)(-1,-3,5)

(C)(5,-3,-1)

(D)(-3,1,5)

2、在坐標平面內(nèi)，與點A(1,2)距離為1,且與點B(3,1)距離為2的直線共

有()

A.1B.2C.3D.4

3、已知麗=(一1,2,0),而=(羽一2,3),若而而，則x=()

A.1B.4C.-1D.-4

4、點(2,0,3)位于()

A.y軸上B.x軸上C.xoz平面內(nèi)D.yoz平面內(nèi)

5、一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是

(0,0,0),(1,0,1),(0,11,0)繪制該四面體三視圖時，按照如下圖所示的方向畫

正視圖，則得到左視圖可以為()

￡《主》校方向

如圖，在正方體ABCD-AACR中，若M是線段勺J上的動點，則下列結(jié)論不正確的

是()()o

A.三棱錐M-ABD的正視圖面積是定值

n

B.異面直線CM,AB所成的角可為3

n

C.異面直線CM,BD所成的角為2

n

D.直線BM與平面ABCD所成的角可為3

7、如圖，在正四棱柱,CD-AiBiCiD］中，,=3,叢］=4》是側(cè)面13。。聲］內(nèi)的動

點，且9132.記AP與平面BCCF所成的角為&則tanO的最大值為

4525

A.3B.3C.2D.7

8、

在棱長為1的正方體ABCD-A】BIC］D］中，|7|0分別是人04月］的中點.點P在該正方體

的表面上運動，則總能使MP與BN垂直的點P所構(gòu)成的軌跡的周長等于。

A.4+1B.拈+2C.2/+1D.2曷2

9、已知向量力(1,1,0),則與共線的單位向量豈(

松梃福戊

(—,--,0)(—,—,0)

A.22B.(04,0)C.22，D.。，1,D

10、若3=(1,〃?,2)出=(2,—1,2),且工很夾角的余弦值為§,則加等于()

9

2、2

A.2B.—2C.—2或—D.2或---

5555

11、在空間直角坐標系。一盯z中，四面體各頂點坐標分別為42,2,1/(22-1),

C(0,2，l)，C(0,0，l),則該四面體外接球的表面積是()

A.16兀B.12兀C.4有兀D.67T

12、已知向量a=(2,-3,5)與片(4,x,y)平行，則x,y的值分別為()

A.6和TOB.-6和10C.-6和TOD.6和10

13、若直線/”/2的方向向量分別為。=(2,4,-4),6=(-6,9,6),則6與b的關(guān)系

是(填“垂直”“平行”).

14^若A(m+Ln—1,3),B(2m,n,m—2n)9C(m+3,n—3,9)三點共線，則m+n

15、設(shè)0-ABC是四面體，Gi是4ABC的重心，G是OGi上一點，且0G二3GG”若

OG=xOA+yOB+zOC,則(x,y,z)為

16、在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=3,BC=3,AAi=4,則點D到平面AQC的

距離是.

17、如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以長方體的八個頂點中的

兩點為起點和終點的向量中.

(1)單位向量共有多少個？

(2)試寫出模為由的所有向量.

(3)試寫出與晶相等的所有向量.

(4)試寫出AAi的相反向量.

18、已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).

⑴若說IIAC,DCIIAB,求點D的坐標；

(2)問是否存在實數(shù)a,B,使得辰=(1應(yīng)6證成立?若存在，求出a,P的值;若不

存在，說明理由.

19、在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化簡乞、一EF+DF+AB+CC],并在圖中標出

化簡結(jié)果的向量.

20、如圖，在直四棱柱ABC。-AgGA中(側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱),

底面A8CD是邊長為4的菱形，且NDAB=60。，⑨=26，P、Q分別是棱4a

和AD的中點，R為尸B的中點.（I）求證：QRJ.平面PBC；

（II）（文科科考生）求異面直線AP與CQ所成角的余弦值.

（理科考生）求二面角R-QC-B的余弦值.

21、在正方體ABCD—AIBICIDI中，求證：ACi是平面BQC的法向量.

22、如圖，圓柱°。內(nèi)接直三棱柱MC-AgG,該三棱柱的底面為圓柱底面的

內(nèi)接三角形，且AB是圓。的直徑，且=在圓柱。內(nèi)隨機選取一點，

記該點取自于三棱柱MC—ABIG內(nèi)的概率為P

（1）當點C在圓周上運動時，求〃的最大值;

（2）記平面A|ACC;與平面所成的角為。（0＜。W90）,當p取最大值時,

求sin。的值。

參考答案

1、答案B

2、答案B

3、答案D

4、答案C

5、答案B

滿足條件的四面體如右圖,

依題意投影到y(tǒng)Oz平面為正投影，所以左(側(cè))視方向如圖所示，所以得到左視圖效果

如右圖，

故選:B.

6、答案D

分析

判斷主視圖的底與高是否發(fā)生變化來判斷A,利用幾何法以及建立空間坐標系將線線角

以及線面角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系來判斷B,C和D.

詳解

對于A,三棱錐M-ABD的主視圖為三角形，底邊為AB的長，高為正方體的高，故棱錐的

主視圖面積不變，故A正確；

對于B,分別以AB,AD,AA1為坐標軸，以A為原點建立空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長

為1,M(a,a,1),B(1,0,0),A(0,0,0),C(1,1,0),

-a—13-11

cos(CM,AB)=][-=—

/.CM=(a-l,a-l>1),AB=(1,0,0)，工，2色-1尸+1,當/(a-l)?+12時,

n

方程有解，.?.異面直線CM,AB所成的角可為3,故B正確.

對于C,連結(jié)AC,BD,AiC,則BD1AC,?.?ACIIAIJ,...BD_LAiC],

又...BDICC],于是BDI平面AiJC,...0\/1<=平面人1<：](：,...8口_1^(\/1,故C正確；

對于D,結(jié)合B中的坐標系，可得面ABCD的法向量為n=（0,0,1）,BM=（a-l,a,l）,

cos(n,BM)=/cos(n,BM)二一1?二一

所以Jca-l^+a^l.令J(a-l)2+a2+l2,方程無解，即直線BM

n

與平面ABCD所成的角可為3是錯誤的，故選注

本題考查了棱錐的三視圖，異面直線所成的角，線面角，使用向量法可快速計算空間角

的問題，異面直線所的角與兩直線的方向向量所成的角相等或互補，主要通過異面直線

角的范圍來確定的，直線與平面所成的角滿足sine=|cos（m,n）|,屬于常規(guī)題.

7、答案B

建立以點D為坐標原點，DA、DC、DDI所在直線分別為x軸、丫軸、z軸的空間直角坐標

系，設(shè)點P（m,3,n）,利用AP'BD],轉(zhuǎn)化為AP?BD1=0,得出n=嚴，利用空間向量法求

_3

出sm。的表達式，并將門=嚴代入sm。的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出smO的最大值，

再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tan。的最大值。

詳解

如下圖所示，以點D為坐標原點，DA、DC,DP1所在直線分別為x軸、丫軸、z軸建立空

間直角坐標系D-xvz,則A（3,0,0）、B（3,3,0）、*0,0,4乙

設(shè)點P（m,3,n）,則OgmW3,0<n<4,'AP'=（m-3,3,n\BD1=（-3,-3,4）,

AP，BD],貝ijAP-BD]=-3（m-3）+3x（-3）+4n=-3m+4n=0,得n=嚴，

平面BCC]Bi的一個法向量為;=（0,1,0）,

_AP.a_________3________________3_______

SlnGAp(2222

所以1"27>n-3)+9+nJ(IR-3)+9+^n)

3

制2-6m+18,

-648r]

m=------?=百cCSR

當2x運一時，smO取最大值,此時，tanO也取最大值,

（sm0）

max

cosO=Jl-sin%=嬴

且

因此，“陋嗎小一國X3-3,故選：B。

名師點評

本題考查立體幾何的動點問題，考查直線與平面所成角的最大值的求法，對于這類問題,

一般是建立空間坐標系，在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題求解，

考查運算求解能力，屬于難題。

8、答案B

分析：根據(jù)題意先畫出圖形，找出滿足題意的點P所構(gòu)成的軌跡，然后再根據(jù)長度計算

周長

詳解：如圖：

取BB1的中點E,CCi的中點F,連接AE,EF,FD,則BN1平面AEFD

設(shè)M在平面AB】中的射影為O,過M。與平面AEFD平行的平面為a

二能使MP與BN垂直的點P所構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長與矩形AEFD的周長相等

...正方體ABCD-A[B]C]D]的棱長為1

二矩形AEFD的周長為4+2

故選B

名師點評：本題主要考查了立體幾何中的軌跡問題?？疾榱藢W生的分析解決問題的能力,

解題的關(guān)鍵是運用線面垂直的性質(zhì)來確定使MP與BN垂直的點P所構(gòu)成的軌跡，繼而求出

結(jié)果。

9、答案C

3仁&檢企股2--

解:對于C：向量22/2,并且向量,22的模為V2

故選：C.

利用向量共線定理、模的計算公式即可判斷出結(jié)論.

本題考查了向量共線、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、答案C

11＞答案B

在空間坐標系里畫出4BC。四個點，可以補成一個長方體，然后求出其外接球的半徑,

再求外接球的表面積.

詳解

如圖，在空間坐標系里畫出48CD四個點，可得8414。,^^±面/18(；,

^22+22+22廣

R=-----------------=\(3

因此可以把四面體。-4?C補成一個長方體，其外接球的半徑2

所以，外接球的表面積為4兀R2=12匹故選B項.

名師點評

本題考查幾何體的直觀圖畫法，圖形的判斷，考查空間想象能力，對所畫出的兒何體進

行補充成常見幾何體求外接球半徑，屬于中檔題.

12、答案B

根據(jù)向量共線的充要條件得到關(guān)于x,y的關(guān)系式，解方程可得所求.

詳解

Va=(2,-3,5)與上(4,x,y)平行，

4xy

.?.廣三工，

解得X=-6,y=10.

故選B.

名師點評

解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)向量共線的充要條件得到比例式，然后通過解方程求解，考查基

本知識的運用，屬于容易題.

13、答案垂直

14、答案0

根據(jù)點A,B,C的坐標，分別求出AB，AC的坐標，利用三點共線，可建立方程組，從而

可求m+n的值.

詳解

由題意，VA(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)

...AB=(m?L1,m-2n?3)，AC=(2)?2，6)

VA(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三點共線,

今

?AB=入AC

...(m-1,1,m-2n-3)(2,-2,6)

(m-1二2入

1=-2X

,m-2n-3二6入

(m=0

/.tn=0

二m+n=0

故答案為：0

名師點評

本題以點為載體，考查三點共線，解題的關(guān)鍵是求向量的坐標，利用向量共線的條件.

瓜答案林」

由題意OG'^^OA+dB+OC

又OG=3GG則

Od=10G=；(0底+0總+反)，所以(％y,z)=

16、答案U

5

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DDI為?軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求

出點D到平面AiDiC的距離.

詳解

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DDI為?軸，建立空間直角坐標系，

D(0,0,0),AI(3,0,4),DI(0.0,4),C(0,3,0),

DID=(0,0-4)-DiAi=(3,0,0)，D1C=(0,3,-4)，

設(shè)平面AiDC的法向量三=(xyz),

|n'DiAi=0J3X=0

則?日-DQ=0即‘3y-4z=0，?。?4,得N=(0,4,3),

.?.點D到平面AiDiC的距離：

biD'nll?

12

故答案為:y.

名師點評

空間中點到平面的距離的計算，應(yīng)該通過作出垂足把距離放置在可解的平面圖形中計

算，注意在平面圖形中利用解三角形的方法(如正弦定理、余弦定理等)來求線段的長

度、面積等.我們也可以利用空間向量來求，把點到平面的距離問題轉(zhuǎn)化為直線的方向

向量在平面的法向量上的投影問題.

17、答案:：(1)根據(jù)定義模為1的向量即為單位向量(2)在長方體中求出對角線長為

,即可寫出所求向量(3)根據(jù)大小相等，方向相同即為相等向量可寫出(4)大小相

等，方向相反的向量即為相反向量.

詳解

⑴模為1的向量有A1A，AA1，B]B,BB],C]C,CC1，D]D,DD],共8個單位向量.

(2)由于這個長方體的左右兩側(cè)的對角線長均為4,因此模為由的向量為ADI，DIA,A]D，

DA],BCyC]B,B]C,CB]

(3)與向量京相等的向量(除它自身之外)為A1B1，DC及D]J

(4)向量AA1的相反向量為AIA,B]B,C]C,D]D

名師點評

本題主要考查了向量的模，相等向量，相反向量，及向量的相等，屬于中檔題.

18、答案(1)D(-l,l,2).(2)a=p=l

試題分析：(1)設(shè)D(x,y,z),由向量平行的坐標運算可求得D點坐標。(2)假設(shè)存在,

由待定系數(shù)法求解。

詳解

(1)設(shè)D(x,y,z),貝lJDB=(-x,1-y,-z),靛=(T,0,2),DC=(-X)-y)2-z),胞=(-1,1,0).

因為而II曲,由IIAB(

<(-x,l-y,-z)=m(-l,O,2),

所以i(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),

(X=-1,

y=i-

解得IZ=2T[JD(-1,1,2).

(2)依題意正(t,1,o),辰2=(-1,o,2),BC=(O,-1,2).

假設(shè)存在實數(shù)a,B,使得正aAB+BB%成立,則有

(-1,0,2)=a(-1,1,0)+B(0,-1,2)=(-a,a-0,28),

/a=1,

a-p=0,__.

所以I2。=2,故存在(1=8=1,使得京=[1/^+8/成立.

名師點評

已知a=僅1必21)力=僅2，丫24),若;〃則，入，("6),僅1，丫14)=人僅八處),所以

X[=入X2M=Xy2,z1=Xz2

19、答案:：根據(jù)向量的加減法的三角形法則，結(jié)合六棱柱圖形，即可化簡所求式子.

詳解

A』[-EF+AB+CC]+DF=AF+FE+ED+DD]+DJ1=AF],在圖中表示如下圖所示。

ADx

名師點評

本題主要考查了向量加法、減法的運算法則，及相反向量，屬于中檔題.

20、答案(I)：ABCD為邊長為4的菱形，且ND4B=60。，Q為AD的中點,

AQ1BQ.以Q為坐標原點建立如圖10所示的空間直角坐標系Q-jtyz.

二P(0,0,2⑨,5(0,26,0),C(-4,2&0),R(O,區(qū)B.

：.QR=(0,>/3,43),PB=(0,273,-2>/3),CB=(4,0,0).

-.QR.PB=0+6-6=0,QR.CB=0,

：.QR±PB,QR±CB=0.

又PBCBC=B,...QR，平面PBC.

其他證法參照給分.

(II)(文科考生)

連接GP、AG，易得NAPC即為異面直線AP與CQ所成角或其補角.

在菱形A8CD中，易得4。=4百，所以在/?〃40。］中易得AC|=2/

又在直四棱柱ABCD一A用GQ中容易得AP=4,GP=2J7

AP+PCAC

在AAPG中，由余弦定理得：cosZAPC.=C-C

12?AP?PCi=7

所以異面直線AP與CQ所成角的余弦值為乎其他證法參照給分

(理科考生)設(shè)平面RQC的法向量為機=(x,y,z).

.m?QR-05/3y+V3z=0

由<___=><.

機衣=0山+2底=0

瓜

令y=l,得〃2=(——,1,-1).

2

取平面Q3C的法向量為〃=(0,01).

.?.C…,>>亞

其他證法參照給分

后11

?二面角R-QC-8為銳角，，二面角R-QC—8的余弦值為2平.

21、答案證明如圖，以D為坐標原點，DA、DC、DD別為x、y、z軸，建立空間直

角坐標系.設(shè)正方體的棱長為1,則Di(O,0,1),A(l,0,0),C(0,1,0),3.(1,1.

1),C(0,1,1).

所以就1=(一1，1，1)，l5ji=(l，1，。)，CBi=(l-0，D，

所以成1?而1=(-1，Lh0)=0,

ACi,CBi=(_l>1-1)>(1>0,1)=0,

所以就口而1，ACjlCBp

又BDCCB尸B”

所以就1是平面B.D.C的法向量,

22、答案(1)p的最大值是(2)sin^=—.

7t5

試題分析：(1)首先設(shè)出圓柱的底面半徑為r,然后利用三棱柱的體積計算公式求出三

棱柱ABC-A.B,C,的

體積匕=AC?BC?r,而AC2+BC2=AB2=4r,于是