高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)滿分通關(guān)專題35 雙變量恒成立與能成立問題概述(原卷版)

專題35雙變量恒成立與能成立問題概述【方法總結(jié)】1．最值定位法解雙變量不等式恒成立問題的思路策略(1)用最值定位法解雙變量不等式恒成立問題是指通過不等式兩端的最值進(jìn)行定位，轉(zhuǎn)化為不等式兩端函數(shù)的最值之間的不等式，列出參數(shù)所滿足的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍．(2)有關(guān)兩個(gè)函數(shù)在各自指定范圍內(nèi)的不等式恒成立問題，這里兩個(gè)函數(shù)在指定范圍內(nèi)的自變量是沒有關(guān)聯(lián)的，這類不等式的恒成立問題就應(yīng)該通過最值進(jìn)行定位．2．常見的雙變量恒成立能成立問題的類型(1)對(duì)于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)max．(如圖1)(2)若存在x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)max≥g(x2)min．(如圖2)(3)對(duì)于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)min．(如圖3)(4)若存在x1∈[a，b]，對(duì)任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)max≥g(x2)max．(如圖4)(5)若存在x1∈[a，b]，對(duì)任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)?f(x1)max≥g(x2)max．(如圖4)(6)若存在x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)?f(x)的值域與g(x)的值域的交集非空．(如圖5)考點(diǎn)一雙任意與雙存在不等問題(1)f(x)，g(x)是在閉區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù)且?x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等價(jià)于f(x)min＞g(x)max．其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y＝f(x)的任意一個(gè)函數(shù)值均大于函數(shù)y＝g(x)的任意一個(gè)函數(shù)值．如圖⑤．(2)存在x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等價(jià)于f(x)max＞g(x)min．其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y＝f(x)的某一個(gè)函數(shù)值大于函數(shù)y＝g(x)的某些函數(shù)值．如圖⑥．【例題選講】[例1]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a＋1,x)＋alnx，其中參數(shù)a<0．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝2x2f′(x)－xf(x)－3a(a<0)，存在實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g(x1)<g(x2)成立，求a的取值范圍．[例2]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)lnx－mx，g(x)＝x－eq\f(a,x)(a>0)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若m＝eq\f(1,2e2)，對(duì)?x1，x2∈[2，2e2]都有g(shù)(x1)≥f(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[例3]已知f(x)＝x＋eq\f(a2,x)(a＞0)，g(x)＝x＋lnx．(1)若對(duì)任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若存在x1，x2∈[1，e]，使得f(x1)＜g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[例4]設(shè)f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3．(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(2)如果對(duì)于任意的s，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．考點(diǎn)二存在與任意嵌套不等問題(1)?x1∈D1，?x2∈D2，使f(x1)＞g(x2)，等價(jià)于函數(shù)f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min＞g(x)min(這里假設(shè)f(x)min，g(x)min存在)．其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y＝f(x)的任意一個(gè)函數(shù)值大于函數(shù)y＝g(x)的某一個(gè)函數(shù)值．如圖⑦．(2)?x1∈D1，?x2∈D2，使f(x1)＜g(x2)，等價(jià)于函數(shù)f(x)在D1上的最大值小于g(x)在D2上的最大值，即f(x)max＜g(x)max．其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y＝f(x)的任意一個(gè)函數(shù)值小于函數(shù)y＝g(x)的某一個(gè)函數(shù)值．如圖⑧．【例題選講】[例5]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(e(x2－ax＋a),ex)(a∈R)．(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線過點(diǎn)M(2，3)，求a的值；(2)設(shè)g(x)＝x＋eq\f(1,x＋1)－eq\f(1,3)，若對(duì)任意的n∈[0，2]，存在m∈[0，2]，使得f(m)≥g(n)成立，求a的取值范圍．[例6]已知函數(shù)f(x)＝x－(a＋1)lnx－eq\f(a,x)(a∈R且a<e)，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ex－xex．(1)當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，求f(x)的最小值；(2)當(dāng)a＜1時(shí)，若存在x1∈[e，e2]，使得對(duì)任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范圍．考點(diǎn)三雙任意與存在相等問題(1)?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等價(jià)于函數(shù)f(x)在D1上的值域A與g(x)在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠?，如圖⑨．其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是兩個(gè)函數(shù)有相等的函數(shù)值．圖⑨圖⑩(2)?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等價(jià)于函數(shù)f(x)在D1上的值域A是g(x)在D2上的值域B的子集，即A?B，如圖⑩．其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y＝f(x)的值域都在函數(shù)y＝g(x)的值域之中．說明：圖⑨，圖⑩中的條形圖表示函數(shù)在相應(yīng)定義域上的值域在y軸上的投影．【例題選講】[例7]已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx＋x2．(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若a＝1，?x1∈(1，2)，?x2∈(1，2)，使得f(x1)－xeq\o\al(2,1)＝mx2－eq\f(1,3)mxeq\o\al(3,2)(m≠0)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[例8]已知函數(shù)f(x)＝alnx－x＋2，a∈R．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意的x1∈[1，e]，總存在x2∈[1，e]，使得f(x1)＋f(x2)＝4，求實(shí)數(shù)a的值．[例9]已知函數(shù)f(x)＝lnx－x，g(x)＝eq\f(1,3)mx3－mx(m≠0)．(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)若對(duì)任意的x1∈(1，2)，總存在x2∈(1，2)，使得f(x1)＝g(x2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[例10]已知函數(shù)f(x)＝(1－x)ex－1．(1)求f(x)的極值；(2)設(shè)g(x)＝(x－t)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(m,t)))2，存在x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，使方程f(x1)＝g(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．[例11]已知函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(2,3)ax3，a＞0，x∈R，g(x)＝eq\f(1,x2(1－x)