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2025屆江西省撫州市高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.等比數(shù)列的公比,中有連續(xù)四項(xiàng)在集合中,則等于()A. B.C D.2.已知命題,,則p的否定是()A. B.C. D.3.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,上存在兩點(diǎn)、滿足,,則的離心率為()A. B.C. D.4.設(shè)斜率為2的直線l過拋物線()的焦點(diǎn)F,且和y軸交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為()A. B.C. D.5.已知正方體中,分別為棱的中點(diǎn),則直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.6.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn),則等于()A. B.C.14 D.167.如圖所示幾何體的正視圖和側(cè)視圖都正確的是()A. B.C. D.8.已知拋物線x2=4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB,則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A. B.C.1 D.29.如圖,在三棱柱中,平面,,,分別是,中點(diǎn),在線段上,則與平面的位置關(guān)系是()A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依點(diǎn)的位置而定10.在正方體中,下列幾種說法不正確的是A. B.B1C與BD所成的角為60°C.二面角的平面角為 D.與平面ABCD所成的角為11.如圖,D是正方體的一個(gè)“直角尖”O(jiān)-ABC(OA,OB,OC兩兩垂直且相等)棱OB的中點(diǎn),P是BC中點(diǎn),Q是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連PQ,則當(dāng)AC與PQ所成角為最小時(shí),()A. B.C. D.212.若直線的方向向量為,平面的法向量為,則()A. B.C. D.與相交但不垂直二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,若,則______14.如圖,一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分,杯口寬cm,杯深8cm,稱為拋物線酒杯.①在杯口放一個(gè)表面積為的玻璃球,則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為______cm;②在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球,要使球觸及酒杯底部,則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位:cm)15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,,過且與圓相切的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),若,則雙曲線的離心率___________.16.在某次海軍演習(xí)中,已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里,乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向,若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向,則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為___________海里.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知三個(gè)條件①圓心在直線上;②圓的半徑為2;③圓過點(diǎn)在這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并作答(注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分)(1)已知圓過點(diǎn)且圓心在軸上,且滿足條件________,求圓的方程;(2)在(1)的條件下,直線與圓交于、兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)的最小值及相應(yīng)的值18.(12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)若,是否存在正整數(shù),使得對(duì)任意恒成立?若存在、求的值;若不存在,說明理由.19.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上,且對(duì)角線,均過坐標(biāo)原點(diǎn),若,求的取值范圍.20.(12分)已知是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,且(1)求,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的焦點(diǎn)為,且過點(diǎn),橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,直線過點(diǎn)且垂直于軸(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若點(diǎn)在橢圓上(且在第一象限),直線與交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),試問:是否為定值?若是,請(qǐng)求出定值;若不是,請(qǐng)說明理由22.(10分)已知過點(diǎn)的圓的圓心M在直線上,且y軸被該圓截得的弦長(zhǎng)為4(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn),若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn),求的最小值,并寫出取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】經(jīng)分析可得,等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞增,將五個(gè)數(shù)按絕對(duì)值的大小排列,計(jì)算相鄰兩項(xiàng)的比值,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中有連續(xù)四項(xiàng)在集合中,所以中既有正數(shù)項(xiàng)也有負(fù)數(shù)項(xiàng),所以公比,因?yàn)?,所以,且?fù)數(shù)項(xiàng)為相隔兩項(xiàng),所以等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞增,按絕對(duì)值排列可得,因,,,,所以是中連續(xù)四項(xiàng),所以,故選:C.2、A【解析】直接根據(jù)全稱命題的否定寫出結(jié)論.【詳解】命題,為全稱命題,故p的否定是:.故選:A【點(diǎn)睛】全稱量詞命題的否定是特稱(存在)量詞命題,特稱(存在)量詞命題的否定是全稱量詞命題3、A【解析】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),連接、、、,推導(dǎo)出、、三點(diǎn)共線,利用橢圓的定義可求得、、、,推導(dǎo)出,利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式,即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),連接、、、,則為、的中點(diǎn),故四邊形為平行四邊形,故且,則,所以,,故、、三點(diǎn)共線,由橢圓定義,,有,所以,則,再由橢圓定義,有,因?yàn)椋?,在中,即,所以,離心率故選:A.4、B【解析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo),求出直線的方程、點(diǎn)的坐標(biāo),最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以直線的方程為:,令,解得,因此點(diǎn)的坐標(biāo)為:,因?yàn)槊娣e為4,所以有,即,,因此拋物線的方程為.故選:B.5、D【解析】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出E,F,B,D1點(diǎn)的坐標(biāo),利用直線夾角的向量求法求解【詳解】如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,則,,,,,直線與所成角的余弦值為:.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用及向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn),所以,由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以.故選:C7、B【解析】根據(jù)側(cè)視圖,沒有實(shí)對(duì)角線,正視圖實(shí)對(duì)角線的方向,排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得到答案.【詳解】側(cè)視時(shí),看到一個(gè)矩形且不能有實(shí)對(duì)角線,故A,D排除而正視時(shí),有半個(gè)平面是沒有的,所以應(yīng)該有一條實(shí)對(duì)角線,且其對(duì)角線位置應(yīng)從左上角畫到右下角,故C排除.故選:B.8、D【解析】由題意知,拋物線的準(zhǔn)線l:y=-1,過A作AA1⊥l于A1,過B作BB1⊥l于B1,設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M,過M作MM1⊥l于M1.則|MM1|=.|AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn)),即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故M到x軸的距離d≥2.9、B【解析】構(gòu)造三角形,先證∥平面,同理得∥平面,再證平面∥平面即可.【詳解】連接,,.因?yàn)樵谥比庵?,M,N分別是,AB的中點(diǎn),所以∥.因?yàn)槠矫鎯?nèi),平面,所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因?yàn)?,平面,平面,所以平面∥平?又因?yàn)镻點(diǎn)在線段上,所以∥平面.故選:B.10、D【解析】在正方體中,利用線面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】解:對(duì)于A,連接AC,則AC⊥BD,A1C1∥AC,∴A1C1⊥BD,故A正確;對(duì)于B,∵B1C∥D,即B1C與BD所成的角為∠DB,連接△DB為等邊三角形,∴B1C與BD所成的角為60°,故B正確;對(duì)于C,∵BC⊥平面A1ABB1,A1B?平面A1ABB1,∴BC⊥A1B,∵AB⊥BC,平面A1BC∩平面BCD=BC,A1B?平面A1BC,AB?平面BCD,∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角,∵△A1AB是等腰直角三角形,∴∠ABA1=45°,故C正確;對(duì)于D,∵C1C⊥平面ABCD,AC1∩平面ABCD=A,∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角,∵AC≠C1C,∴∠C1AC≠45°,故D錯(cuò)誤故選D【點(diǎn)睛】本題考查了線面的空間位置關(guān)系及空間角,做出圖形分析是關(guān)鍵,考查推理能力與空間想象能力11、C【解析】根據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系,求得AC與PQ夾角的余弦值關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系,求得角度最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo),即可代值計(jì)算求解結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,兩兩垂直,故以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如下所示:設(shè),則,不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,則,又,設(shè)直線所成角為,則,則,令,令,則,令,則,此時(shí).故當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí)最小,點(diǎn),則,故,則故選:C.12、B【解析】通過判斷直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系,可得結(jié)論【詳解】因?yàn)?,,所以,所以∥,因?yàn)橹本€的方向向量為,平面的法向量為,所以,故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求得結(jié)果.【詳解】,,又,,.故答案為:.14、①.②.【解析】根據(jù)題意,,進(jìn)而得,,故最小距離為;進(jìn)而建立坐標(biāo)系,得拋物線方程為,當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球,要使球觸及酒杯底部,此時(shí)設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為,進(jìn)而只需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立,再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)楸诜乓粋€(gè)表面積為的玻璃球,所以球的半徑為,又因?yàn)楸趯抍m,所以如圖1所示,有,所以,所以,所以,又因?yàn)楸?cm,即故最小距離為如圖1所示,建立直角坐標(biāo)系,易知,設(shè)拋物線的方程為,所以將代入得,故拋物線方程為,當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球,要使球觸及酒杯底部,如圖2,設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為,依題意,需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立,即,則有恒成立,解得,可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為:;【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)建模能力,運(yùn)算求解能力,是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.15、2【解析】設(shè)切點(diǎn),根據(jù),可得,在中,利用余弦定理構(gòu)造齊次式,從而可得出答案.【詳解】解:設(shè)切點(diǎn),由,∴,∵為中點(diǎn),則為中位線,∴,,中,,,,∴.故答案為:2.16、【解析】利用正弦定理求得甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離.【詳解】,設(shè)甲乙距離,由正弦定理得.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)條件選擇見解析,圓的方程為(2)的最小值為,相應(yīng)【解析】(1)選擇條件①或②或③,求得圓心和半徑,由此求得圓的方程.(2)首先求得直線過定點(diǎn),根據(jù)求得最短弦長(zhǎng)以及此時(shí)的值.【小問1詳解】若選條件①,由題意知,圓心是方程的解,解得,所以,設(shè)半徑為,則.則圓的方程為:若選條件②,設(shè)圓心,由題意知,所以圓心,半徑為,所以圓的方程為:若選條件③,設(shè)圓心,由題意知,即有,解得,圓心為,且半徑為,所以圓的方程為:【小問2詳解】由(1)圓的方程為:,圓心為,半徑.直線過定點(diǎn),要使弦長(zhǎng)最短,,,,,直線的斜率,也即直線的斜率為,所以.,,所以弦長(zhǎng)最小值為18、(1)證明見解析(2)【解析】(1)由已知條件有,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明;(2)由(1)求出及,進(jìn)而可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的最小值,從而可得答案.【小問1詳解】證明:因?yàn)?,所以,又因?yàn)椋?,所以?shù)列是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列;【小問2詳解】解:由(1)知,,所以,所以,檢驗(yàn)時(shí)也滿足上式,所以,所以,令,所以,故當(dāng)即時(shí),取得最小值,所以.19、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)橢圓的離心率為,且過點(diǎn),由求解;(2)設(shè)直線AC方程為,則直線BD的方程為,分時(shí),與橢圓方程聯(lián)立求得A,B的坐標(biāo),再利用數(shù)量積求解.【小問1詳解】解:因?yàn)闄E圓的離心率為,且過點(diǎn),所以,所以,所以橢圓的方程為;【小問2詳解】設(shè)直線AC的方程為,則直線BD的方程為.當(dāng)時(shí),聯(lián)立,得,不妨設(shè)A,聯(lián)立,得,當(dāng)B時(shí),,,當(dāng)B時(shí),,,當(dāng)時(shí),同理可得上述結(jié)論.綜上,20、(1),;(2).【解析】(1)由,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得、的值,即可得的通項(xiàng)公式,再根據(jù)列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組,解方程組可得與的值,從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)結(jié)合(1)可得,根據(jù)錯(cuò)位相減法,利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】(1)等比數(shù)列的公比,所以,設(shè)等差數(shù)列公差為因?yàn)?,,所以,即所以?)由(1)知,,因此從而數(shù)列的前項(xiàng)和,,,兩式作差可得,,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通
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