第一章三角形的證明

一、角平分線1．（20202021成都七中嘉祥外國語學(xué)校八年級（下）期末·4）（3分）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個三角形高相等，底分別是20，30，40，所以面積之比就是2：3：4．【解答】解：過點O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵點O是內(nèi)心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故選：C．【點評】本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式．做題時應(yīng)用了三個三角形的高是相等的，這點是非常重要的．2．（20202021成都實驗外國語八年級（下）期末·5）（3分）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點 B．三角形三條角平分線的交點 C．三角形三條高所在直線的交點 D．三角形三條中線的交點【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．【解答】解：∵根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，∴三角形三條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，故選：B．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，要充分理解并加以運用性質(zhì)中的線段關(guān)系．3．（20202021金牛區(qū)八年級（下）期末·8）（3分）如圖，在中，平分交于，，垂足為．若，，則點到的距離為A． B． C．2 D．【考點】角平分線的性質(zhì)【專題】運算能力；線段、角、相交線與平行線【分析】過作于，則線段的長度是點到線段的距離，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：過作于，則線段的長度是點到線段的距離，，，平分，，，，，，，，即點到的距離為，故選：．【點評】本題考查了垂線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，能找出線段的位置是解此題的關(guān)鍵，注意：垂線段最短，角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．4．（20202021高新區(qū)八年級（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，，是的角平分線，已知．則的長為．【考點】角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)可證明，接下來證明為等腰直角三角形，從而得到，然后依據(jù)勾股定理可求得的長，然后由求解即可．【解答】解：是的角平分線，，，，，，又，，又，，，，在等腰直角三角形中，由勾股定理得，，，故答案為：．【點評】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形，熟練運用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（20202021錦江區(qū)八年級（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，射線與交于點，若，則．【考點】作圖—基本作圖；等腰三角形的性質(zhì)【專題】作圖題；幾何直觀【分析】證明，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：由作圖可知，平分，，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查作圖基本作圖，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．6．（20202021溫江區(qū)八年級（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線，交于點．若，則的長為．【考點】角平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖；等腰直角三角形【專題】幾何直觀；作圖題【分析】由題目作圖知，是的平分線，則，證明是等腰直角三角形，求出，進(jìn)而求解．【解答】解：過點作，則，由題目作圖知，是的平分線，則，為等腰直角三角形，故，則為等腰直角三角形，故，則故答案為：．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，涉及到幾何作圖、等腰直角三角形的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中．7．（20202021新都區(qū)八年級（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，利用尺規(guī)在，上分別截??；分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點；作射線交于點．若，點為線段上的一動點，則的最小值是2．【考點】作圖—基本作圖；垂線段最短【專題】作圖題；應(yīng)用意識【分析】如圖，過點作于．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明，利用垂線段最短即可解決問題．【解答】解：如圖，過點作于．由作圖可知，平分，，，，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為2，故答案為：2．【點評】本題考查作圖基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．二、中垂線1．（20202021成都實驗外國語八年級（下）期末·10）（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，點D，P分別是圖中所作直線和射線與AB，CD的交點．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是（）A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．【解答】解：由作圖可知，點D在AC的垂直平分線上，∴DA＝DC，故選項A正確，∴∠A＝∠ACD＝40°，由作圖可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故選項B正確，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故選項C正確，若∠PBC＝∠A，則∠A＝36°，顯然不符合題意．故選：D．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．2．（20202021高新區(qū)八年級（下）期末·6）（3分）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，連接、，若的周長為2，則的長是A．2 B．3 C．4 D．無法確定【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運算能力；推理能力【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長公式即可求出．【解答】解：的垂直平分線交于點，，的垂直平分線交于點．，的周長．故選：．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（20202021青羊區(qū)八年級（下）期末·9）（3分）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，連接，若，那么的度數(shù)是A． B． C． D．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】運算能力；等腰三角形與直角三角形；推理能力【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：是的垂直平分線，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．（20202021錦江區(qū)八年級（下）期末·6）（3分）如圖，在中，，，作的垂直平分線，交于點，交于點，若，則的長度是A．3 B．2 C． D．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形【專題】三角形；推理能力【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出，根據(jù)角平分線的定義證明結(jié)論．【解答】解：是邊上的中垂線，，，，，，，，平分．，，．故選：．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（20202021溫江區(qū)八年級（下）期末·8）（3分）如圖，中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，交于點，連接，已知，的周長為，則的長為A． B． C． D．【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】幾何直觀；作圖題【分析】證明，再根據(jù)的周長為，求出即可．【解答】解：的周長為，，由作圖可知，垂直平分線段，，，，，故選：．【點評】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．6．（20202021新都區(qū)八年級（下）期末·9）（3分）有、、三個不在同一直線上的居民點，現(xiàn)要選址建一個新冠疫苗接種點方便居民接種疫苗，要求接種點到三個居民點的距離相等，接種點應(yīng)建在A．的三條中線的交點處 B．三邊的垂直平分線的交點處 C．三條角平分線的交點處 D．三條高所在直線的交點處【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形的重心【專題】三角形；推理能力【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得到正確選項．【解答】解：線段垂直平分線的點到線段兩段點的距離相等，三邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等．故選：．【點評】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．7．（20202021新都區(qū)八年級（下）期末·10）（3分）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點．已知的周長是10，，則底邊長是A．8 B．6 C．4 D．3【考點】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】運算能力；推理能力；等腰三角形與直角三角形【分析】根據(jù)題意可知，然后根據(jù)，即可得、的長度．【解答】解：的周長為10，．的垂直平分線交于點，，，即，，，故選：．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出．8．（20202021成都八年級（下）期末·22）（4分）如圖，線段AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點O，若∠BOC＝86°，則∠1＝43°．【分析】連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，進(jìn)而得到∠AOE＝∠AOC，同理得到∠AOD＝∠AOB，根據(jù)平角的定義計算，得到答案．【解答】解：連接OA，∵l2垂直平分AC，∴OA＝OC，∴l(xiāng)2平分∠AOC，即∠AOE＝∠AOC，同理可得：∠AOD＝∠AOB，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∠BOC＝86°，∴∠AOB+∠AOC＝360°﹣86°＝274°，∴∠AOD+∠AOE＝（∠AOB+∠AOC）＝×274°＝137°，∴∠1＝180°﹣（∠AOD+∠AOE）＝180°﹣137°＝43°，故答案為：43°．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．9．（20202021雙流區(qū)八年級（下）期末·12）（4分）如圖，在中，，，，分別以，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點，．過點，作直線，交于點，連接，則的周長為17．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；作圖—基本作圖【專題】作圖題；推理能力【分析】根據(jù)線段垂直平分線的定義得到，根據(jù)三角形的周長公式得到結(jié)論．【解答】解：由作圖可知，垂直平分線段，，的周長，故答案為：17．【點評】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由題意得到垂直平分線段．10．（20202021天府新區(qū)八年級（下）期末·14）（4分）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點，；②作直線交于點，連接．若，，則．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖—基本作圖【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；尺規(guī)作圖【分析】由，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得的度數(shù)，又由題意可得：是的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：，則可求得的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：，，，由作圖知是的垂直平分線，，，則，故答案為：．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．三、命題1．（20202021成都七中嘉祥外國語學(xué)校八年級（下）期末·5）（3分）下列命題中正確的命題有（）①線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；②線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等；③經(jīng)過線段中點的直線只有一條；④點P在線段AB外且PA＝PB，過P作直線MN，則MN是線段AB的垂直平分線；⑤過線段上任一點可以作這條線段的中垂線．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】認(rèn)真閱讀各小問題提供的已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理進(jìn)行分析，找出每個小問題正誤的具體原因，于是答案可得．【解答】解：①線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等，是線段垂直平分線的性質(zhì)，符合逆定理，正確；②錯誤；這是對線段垂直平分線的誤解；③有無數(shù)條，錯誤；④點P在線段AB外且PA＝PB，過P作直線MN⊥AB，則MN是線段AB的垂直平分線，錯誤；如圖⑤錯誤，這是對線段垂直平分線的誤解；故選：A．【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)；線段的垂直平分線的性質(zhì)是線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，不要誤解其含義．找出每個小問題正誤的具體原因是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（20202021高新區(qū)八年級（下）期末·8）（3分）下列命題是假命題的是A．到線段兩端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上 B．一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等 C．有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形 D．三角形三條角平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等【考點】命題與定理【專題】圖形的全等；推理能力【分析】根據(jù)線段垂直平分線的的判定定理、等邊三角形的判定、全等三角形的判定定理和角平分線的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：、到線段兩端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上，是真命題；、一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形不一定全等，原命題是假命題；、有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形，是真命題；、三角形三條角平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等，是真命題；故選：．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．3．（20202021成都八年級（下）期末·9）（3分）下列命題為真命題的是（）A．如果mn＝0，那么m＝0且n＝0 B．兩邊分別相等的兩個直角三角形全等 C．三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等 D．如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離都相等【分析】利用等式的性質(zhì)、三角形全等的判定、角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、如果mn＝0，那么m＝0或n＝0，原命題是假命題；B、兩直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，原命題是假命題；C、三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等，原命題是假命題；D、如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離都相等，是真命題；故選：D．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解等式的性質(zhì)、三角形全等的判定、角平分線的性質(zhì)及平平行線的性質(zhì)等知識，難度不大．4．（20202021錦江區(qū)八年級（下）期末·8）（3分）下列命題是真命題的是A．斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等 B．若，則 C．平行四邊形對角線相等 D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形【考點】命題與定理【專題】推理能力；多邊形與平行四邊形【分析】根據(jù)真命題的定義，逐個選項進(jìn)行判斷，根據(jù)直角三角形的全等，平行四邊形的性質(zhì)和判定，不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：、斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等，是真命題；、若，則，原命題是假命題；、平行四邊形對角線平分，原命題是假命題；、一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；故選：．【點評】本題考查了真命題與假命題的概念，真命題：判斷正確的命題叫真命題，假命題：判斷錯誤的命題叫假命題，比較簡單．5．（20202021天府新區(qū)八年級（下）期末·8）（3分）下列命題，其中是真命題的為A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形【考點】：命題與定理【專題】55：幾何圖形【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：、例如等腰梯形，故本選項錯誤；、根據(jù)菱形的判定，應(yīng)是對角線互相垂直的平行四邊形，故本選項錯誤；、對角線相等且互相平分的平行四邊形是矩形，故本選項錯誤；、一組鄰邊相等的矩形是正方形，故本選項正確．故選：．【點評】本題主要考查平行四邊形的判定與命題的真假區(qū)別．正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理，難度適中．6．（20202021溫江區(qū)八年級（下）期末·7）（3分）下列命題中，正確的是A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形【考點】：命題與定理【分析】利用平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理對各選項逐一判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形錯誤，如等腰梯形；、對角線互相垂直的四邊形是菱形錯誤，對角線垂直的四邊形不一定是菱形；、對角線相等的四邊形是矩形錯誤，如等腰梯形；、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形正確，故選：．【點評】本題考查了命題與定理，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，難度一般．7．（20202021武侯區(qū)八年級（下）期末·9）（3分）下列各命題中是假命題的是A．如果，那么或 B．如果點的坐標(biāo)為，則點在第二象限 C．三角形的中位線等于此三角形一邊的一半 D．在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上【考點】命題與定理【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力【分析】根據(jù)假命題的定義，逐個選項進(jìn)行判斷，根據(jù)等式的性質(zhì)，三角形的中位線，點的坐標(biāo)和角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：、如果，那么或，是真命題；、如果點的坐標(biāo)為，則點在第二象限，是真命題；、三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，原命題是假命題；、在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，是真命題；故選：．【點評】本題考查了真命題與假命題的概念，真命題：判斷正確的命題叫真命題，假命題：判斷錯誤的命題叫假命題，比較簡單．8．（20202021新都區(qū)八年級（下）期末·4）（3分）下列命題是假命題的是A．兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等 B．斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等 C．兩個銳角分別相等的兩個直角三角形全等 D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等【考點】命題與定理【專題】推理能力；圖形的全等【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理判斷即可．【解答】解：、兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，本選項說法是真命題，不符合題意；、斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等，本選項說法是真命題，不符合題意；、兩個銳角分別相等的兩個直角三角形不一定全等，故本選項說法是假命題，符合題意；、一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等，本選項說法是真命題，不符合題意；故選：．【點評】本題考查的是命題和定理，掌握直角三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．四、等腰三角形1．（20202021成都七中嘉祥外國語學(xué)校八年級（下）期末·6）（3分）等腰三角形一腰上的高與底邊所夾的角（）A．等于頂角 B．等于頂角的一半 C．等于頂角的2倍 D．等于底角的一半【分析】要求高與底邊所夾的角與其它角的關(guān)系，首先要畫出圖形，根據(jù)已知結(jié)合等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析推理，答案可得．【解答】已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB與點D求證：∠OCE＝∠CAB證明：作BC邊上的高AE，與CD相交于點O∵∠AOD＝∠COE，AE⊥BC∴∠DAO＝∠ECO根據(jù)等腰三角形的三線合一定理，AE為△ABC的頂角平分線．∴∠BAE＝∠CAE＝∠OCE∴∠OCE＝∠CAB∴等腰三角形一腰上的高與底邊所夾的角等于頂角的一半．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；做題時，要明確等腰三角形內(nèi)角的轉(zhuǎn)化，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（20202021溫江區(qū)八年級（下）期末·6）（3分）如圖，中，，是中點，下列結(jié)論中不一定正確的是A． B． C．平分 D．【考點】：等腰三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)等邊對等角和等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答．【解答】解：，，，是中點，平分，，所以，結(jié)論不一定正確的是．故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等邊對等角的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．3．（20202021成都八年級（下）期末·7）（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝48°，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交CB于點T，連接AT，則∠CAT的度數(shù)是（）A．64° B．24° C．21° D．16°【分析】根據(jù)作圖得出△BTA是等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【解答】解：由題意可得，BT＝AB，∴△BTA是等腰三角形，∵∠CAB＝90°，∠C＝48°，∴∠B＝90°﹣48°＝42°，∴∠BTA＝＝69°，∴∠CAT＝∠BTA﹣∠C＝69°﹣48°＝21°，故選：C．【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的兩底角相等解答．4．（20202021雙流區(qū)八年級（下）期末·10）（3分）如圖，在中，是上一點，，、分別是、的中點，，則的長是A．3 B．4 C．5 D．6【考點】等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線【分析】連接．由，是的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出．再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得．【解答】解：如圖，連接．，是的中點，．在中，，是的中點，，．故選：．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．5．（20202021成都七中嘉祥外國語學(xué)校八年級（下）期末·12）（4分）等腰三角形一底角為30°，底邊上的高為9cm，則這個等腰三角形的腰長是18cm，頂角是120°．【分析】由已知條件，根據(jù)直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，得：腰長是底邊上的高的2倍，可得答案．【解答】解：∵∠C＝30°，作AD⊥BC，垂足為D，∴AC＝2AD，∴AC＝2×9＝18，即腰長是18cm，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案為：18；120°．【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半解答．6．（20202021青羊區(qū)八年級（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，，．折疊，使點與的中點重合，折痕交于，交于點，則4．【考點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力；幾何直觀【分析】由是的中點，求出，再由折疊的性質(zhì)，得，設(shè)，則，，在中，，求出即可求．【解答】解：是的中點，，，折疊，使點與的中點重合，，，設(shè)，則，，，在中，，，，故答案為4．【點評】本題考查圖形的翻折，熟練應(yīng)用勾股定理，掌握圖形折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（20202021武侯區(qū)八年級（下）期末·13）（4分）如圖，在中，，，點在邊上，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于點，．再分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交的延長線于點，則的度數(shù)為．【考點】等腰三角形的性質(zhì)【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由垂直的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：，，，由作圖知，，，，故答案為：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的內(nèi)角和定理，證得是解題的關(guān)鍵．8．（20202021金牛區(qū)八年級（下）期末·25）（4分）如圖，在中，，，延長到點，延長到點，使得，連接，延長交于點，若，則．【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力【分析】過點作，交的延長線于，作，可得是等邊三角形，是等腰直角三角形，設(shè)，表示出兩個等邊三角形的邊長，進(jìn)而分別表示出和的長即可．【解答】解：過點作，交的延長線于，作于，，，，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，在中，，，，，設(shè)，則，，，，，，．故答案為：．【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識，作構(gòu)造出等邊是解題的關(guān)鍵．9．（20202021青羊區(qū)八年級（下）期末·24）（4分）如圖，與都是等邊三角形，連接、．，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點、、在同一條直線上時，線段的長為或．．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【專題】圖形的全等；推理能力【分析】可以將不動，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在線段上或當(dāng)點落在線段的延長線上時，分別通過構(gòu)造直角三角形，將轉(zhuǎn)化為來解決問題．【解答】解：可以將不動，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在線段上，如圖與都是等邊三角形，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，當(dāng)點落在線段的延長線上時，如圖同理可知：，，過點作于，則，在中，由勾股定理得：，綜上所述：或．故答案為：或．【點評】本題主要考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，可以通過動靜互換將復(fù)雜圖形簡單化來解決問題．10．（20202021溫江區(qū)八年級（下）期末·25）（4分）如圖，等邊的邊長為，點是三邊垂直平分線的交點，，的兩邊，分別交，與點，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)時．下列四個結(jié)論：①；②；③；④的周長最小值為．其中正確的是①④（填序號）．【考點】三角形綜合題【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理填空題；推理能力；運算能力【分析】連接、，利用等邊三角形的性質(zhì)得，再證明，于是可判斷，所以，，則可對①進(jìn)行判斷；利用得到四邊形的面積，則可對③進(jìn)行判斷；作，則，計算出，利用隨的變化而變化和四邊形的面積為定值可對②進(jìn)行判斷；由于的周長，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時，最小，的周長最小，計算出此時的長則可對④進(jìn)行判斷．【解答】解：如圖，連接，，作，于點，，是等邊三角形，，點是三邊垂直平分線的交點，點是等邊的內(nèi)心和外心，，、分別是、的角平分線，，，，，，，在和中，，，，，故①正確；，四邊形的面積，故③錯誤；作于點，如圖，，，，，，，，即隨的變化而變化，而四邊形的面積為定值，；故②錯誤；，的周長，當(dāng)時，最小，的周長最小，此時，周長的最小值，故④正確．其中正確的是①④．故答案為：①④．【點評】本題屬于綜合題，是中考填空題的壓軸題，本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計算等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．11．（20202021溫江區(qū)八年級（下）期末·18）（8分）已知：如圖，點是的邊上的中點，于，于，且．求證：是等腰三角形．【考點】：全等三角形的判定與性質(zhì)；：等腰三角形的判定【專題】14：證明題【分析】根據(jù)點是的邊上的中點，于，于，且．利用求證，可得，即可證明是等腰三角形．【解答】證明：點是的邊上的中點，，于，于，和為直角三角形，在和中，，，，是等腰三角形．【點評】此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握．難度不大，屬于基礎(chǔ)題．五、三角形綜合1．（20202021青羊區(qū)八年級（下）期末·20）（10分）如圖，已知是等邊三角形，，為中點，為邊上一動點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、．（1）求證：；（2）求出點到所在直線的距離；（3）當(dāng)時，求的值．【考點】幾何變換綜合題【專題】幾何變換；推理能力【分析】（1）根據(jù)證明得出即可；（2）由（1）全等知：，且，通過求出的值；（3）作于，分點在延長線上還是在線段上，通過解三角形分別求解．【解答】解：（1）是等邊三角形，，，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，在和中，，，，，，，（2），，點為的中點，，，過點作所在的直線于點，，，，．（3）過點作所在的直線于點，由（2）可知，，在中，，，，當(dāng)點落在線段上時，，當(dāng)點落在線段的延長線上時，，的值為或．【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識，分類討論是正確解題的關(guān)鍵．2．（20202021青羊區(qū)八年級（下）期末·28）（12分）在中，，，點為的中點，點是上一點．連接，過作交點于，連接．（1）如圖1，與相交于點①求證：；②當(dāng)，時，求的長．（2）如圖2，點為上一點，且，，，求的長．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】方程思想；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀【分析】（1）①由題可得是等腰直角三角形，當(dāng)是邊中點時，可以得到，，由，可得，接著證明即可；②由①可得，所以為等腰直角三角形，所以，由于，，所以，所以，故過作于，則，在直角中，利用勾股定理，求出和的長度，同理，在中，求出的長度，得到的長度，即可解決；（2）由，，得，利用勾股定理，得到的長度，過作于，求出和的長度，由于，延長至，是，可以證明，設(shè)，在直角中，利用勾股定理列出方程，即可求解．【解答】證明：（1）①，，，是的中點，，，，，，，在與中，，，，即；解：（1）②由①可得，，，，，又，，，，，，，，過作于，如圖1，，且，，，，同理，，，；（2）如圖2，過作于，，，，，，同理，，，延長至，使，連接，可設(shè)，，，，又，，，，設(shè)，則，在中，，，，．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，方程思想求線段，特別要注意（3）中二倍角的輔助線的構(gòu)造，是解決問題的通法．

3．（20202021雙流區(qū)八年級（下）期末·27）（10分）在中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，其中點，的對應(yīng)點分別為點，．連接，交于點．（1）如圖1，當(dāng)點落在的延長線上時，求線段的長；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到任意位置時，求證：點為線段中點；（3）若△從圖1的位置繞點繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線與直線相交構(gòu)成的4個角中最小角為時，求的值．【考點】幾何變換綜合題【專題】幾何綜合題；推理能力【分析】（1）如圖1中，過點作于，于．可得四邊形是矩形，求出，，可得結(jié)論．（2）如圖2中，設(shè)交于點，過點作于，于．想辦法證明，，推出可得結(jié)論．（3）分兩種情形：①如圖3中，當(dāng)與的交點在的延長線上時，延長到，②如圖4中，當(dāng)與的交點在的延長線上時，延長到，分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【解答】（1）解：如圖1中，過點作于，于．，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，．（2）證明：如圖2中，設(shè)交于點，過點作于，于．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，即點為線段中點．（3）解：①如圖3中，當(dāng)與的交點在的延長線上時，延長到，在和中，，，，，．②如圖4中，當(dāng)與的交點在的延長線上時，延長到，同法可證，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，對于初二學(xué)生來說題目有一定難度．4．（20202021溫江區(qū)八年級（下）期末·28）（12分）已知兩個等腰，有公共頂點，，連接，是的中點，連接、．（1）如圖1，當(dāng)與在同一直線上時，求證：；（2）如圖1，若，，求，的長；（3）如圖2，當(dāng)時，求證：．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理【專題】壓軸題【分析】（1）證法一：如答圖所示，延長交于點，證明為的中位線即可；證法二：如答圖所示，延長交于，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，根據(jù)中點定義可得，然后利用“角邊角”證明和全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求出，從而得到是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，從而得到，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明即可，（2）解法一：如答圖所示，作輔助線，推出、是兩條中位線；解法二：先求出的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，求出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；（3）證法一：如答圖所示，作輔助線，推出、是兩條中位線：，；然后證明，得到，從而證明；證法二：如答圖所示，延長交于，連接、，利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行求出，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出，根據(jù)中點定義可得，然后利用“角邊角”證明和全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，再根據(jù)“邊