12.3.1角平分線的性質(zhì)（分層練習(xí)）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（人教版）

12.3.1角平分線的性質(zhì)分層練習(xí)1．如圖，平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)的得到，再利用三角形中位線定理得到即可解答．【詳解】解：∵平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∵分別是、的中點(diǎn)，∴，∵，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形中位線的定理，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，按以下步驟作圖：以點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交邊、于點(diǎn)、；分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心、大于的長(zhǎng)為半徑作圓弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)；作射線交邊于點(diǎn)，若，，則的面積是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作于，

由基本作圖可知，平分平分，，，，的面積，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．3．如圖，在中，兩條角平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，的周長(zhǎng)為，則的面積為．

【答案】【分析】過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，連接，

∵兩條角平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，又，∴∵的周長(zhǎng)為，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，平分，交于D，若，點(diǎn)D到邊的距離為3，則的長(zhǎng)是．

【答案】9【分析】過作于，則，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，求出即可．【詳解】解：如圖，過作于，點(diǎn)到邊的距離為3，，，平分，，，，，，故答案為：9．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)注意：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．5．如圖，為的平分線，于點(diǎn)，且，點(diǎn)到的距離為．

【答案】【分析】過作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，從而得解．【詳解】解：如圖，過作于，

為的平分線，，，，．故答案為：．6．如圖，，是的中點(diǎn)，平分，求證：平分．

【答案】見解析【分析】過點(diǎn)M作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及判定，即可證得．【詳解】證明：如圖：過點(diǎn)作，垂足為，平分，，，（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），又，，，，平分（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及判定，熟練掌握和運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定是解決本題的關(guān)鍵．

1．如圖，的三邊，，長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則等于（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)分別作，，的垂線，可得，從而可證，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)分別作，，的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，

由角平分線的性質(zhì)定理得：，的三邊，，長(zhǎng)分別是20，30，40，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，平分，于，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④，其中正確的是（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出結(jié)論：；②證明，得平分；③由四邊形的內(nèi)角和為得，再由平角的定義可得結(jié)論是正確的；④由得，再由，得出結(jié)論是正確的．【詳解】解：①，平分，，；所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；②，，，，，平分，所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；③，，，，所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；④，，，，所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；本題正確的結(jié)論有4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，同時(shí)運(yùn)用角平分線的性質(zhì)得出兩條垂線段相等；本題難度不大，關(guān)鍵是根據(jù)證明兩直角三角形全等，根據(jù)等量代換得出線段的和，并結(jié)合四邊形的內(nèi)角和與平角的定義得出角的關(guān)系．3．如圖，在中，平分于，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，

其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，證得，可得；由等角的余角相等，可證得；然后由的度數(shù)不確定，可得不一定等于；又由，和的高相等，所以：：．【詳解】解：①正確，在中，，平分，于，；②正確，在與中，，所以，即；③正確，因?yàn)楹投寂c互余，根據(jù)同角的余角相等，所以；④錯(cuò)誤，因?yàn)榈亩葦?shù)不確定，故不一定等于；⑤錯(cuò)誤，因?yàn)?，和的高相等，所以：：．故正確的個(gè)數(shù)為個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在銳角三角形ABC中，，的面積為18，平分，若E、F分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】6【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于F，則即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，即為的最小值．【詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于F，

∵平分，，，∴，∴的最小值．∵的面積為18，，∴，∴．即的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，關(guān)鍵是將的最小值為轉(zhuǎn)化為，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．5．如圖，BD平分，P是上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，，O是上任意一點(diǎn)，連接，則的最小值為．

【答案】5【分析】根據(jù)垂線段最短確定點(diǎn)O的位置，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到最短距離．【詳解】解：O是上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的值最小，又BD平分，P是上一點(diǎn)，，的最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，解題關(guān)鍵是找到最短距離的位置．6．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，，，則的面積是．

【答案】【分析】如圖所示，過點(diǎn)D作于E，利用角平分線的性質(zhì)得到，據(jù)此即可利用三角形面積公式求出答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作于E，∵的平分線交于點(diǎn)D，，，∴，又∵，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在四邊形中，，，為的中點(diǎn)，連接、，且平分，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：是的平分線；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）只需要證明即可證明；（2）如圖所示，過點(diǎn)E作于H，利用角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，由此即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)E作于H，∵，，∴，∵平分，，∴，∵，∴，又∵，∴是的平分線．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在四邊形中，，，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，．

(1)求的度數(shù)；(2)試說明．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及角平分線的定義，即可作答；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證明．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴．（2）如圖．過點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵平分，，，∴．∵平分，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的等知識(shí)，掌握角平分線的性質(zhì)定理，是解答本題的關(guān)鍵．1．如圖，已知，，為軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上，交于，且．

(1)求證：平分；(2)若在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有，在此過程中，的度數(shù)是否變化？如果變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出的度數(shù)？【答案】(1)見解析(2)的度數(shù)不變，【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，通過全等三角形的判定與性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)“角平分線的性質(zhì)定理”即可求證；（2）利用條件，通過“截長(zhǎng)補(bǔ)短”作全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得的度數(shù)始終不