6.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（分層練習(xí)）

第六章反比例函數(shù)6.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)外國語學(xué)校九年級期中）對于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過點 B．圖象位于第一、三象限C．當(dāng)時，隨的增大而減小 D．當(dāng)時，隨的增大而增大【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：A、，點不滿足關(guān)系式，因此A選項不符合題意；B、；它的圖象在第二、四象限，因此選項不符合題意；C、；它的圖象在第二、四象限，當(dāng)時，隨的增大而增大，因此C選項不符合題意；D、；它的圖象在第二、四象限，當(dāng)時，隨的增大而增大，因此D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東威?！ぞ拍昙壠谥校┮阎c，，在反比例函數(shù)的圖像上，則y1，y2的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法判斷【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性求解即可；【詳解】解：函數(shù)的圖像在二、四象限；當(dāng)時，隨的增大而增大；∵∴故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)；熟練掌握反比例函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．3．（2022·甘肅天水·八年級期末）下列函數(shù)中，隨著增大而減小而的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷求解即可．【詳解】解：A、中k=3＞0，∴隨著增大而增大，不符合題意；B、中k=1＞0，∴隨著增大而增大，不符合題意；C、中比例系數(shù)為1＞0，∴在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，不符合題意；D、中k=3＜0，∴隨著增大而增減小，符合題意；故選：D．【點睛】此題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性和自變量系數(shù)的關(guān)系．4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，雙曲線與直線相交于A、兩點，點坐標(biāo)為，則A點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱．【詳解】解：點A與關(guān)于原點對稱，點的坐標(biāo)為．故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)．5．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）反比例函數(shù)的圖象過二、四象限，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象過二、四象限，∴，解得．故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)(k是常數(shù)，)的圖象是雙曲線，當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．6．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知反比例函數(shù)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．其圖像經(jīng)過點 B．其圖像分別位于第一、第三象限C．當(dāng)時，y隨x的增大而增大 D．當(dāng)時，【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項分析即可．【詳解】解：將代入解析式，得，故A正確，不符合題意；由于，則函數(shù)圖象過一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故B正確，不符合題意、C錯誤，符合題意；∵時，，且當(dāng)時y隨x的增大而減小∴當(dāng)時，，故D正確，不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)(k是常數(shù)，)的圖象是雙曲線，當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．二、填空題7．（2022·安徽·安慶市第四中學(xué)九年級期中）已知點()，()，()都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系______．(用“”連接)【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得圖象分布在二、四象限，在每一個象限內(nèi)，隨的增大而增大，則．【詳解】解：∵圖象分布在二、四象限，在每一個象限內(nèi)，隨的增大而增大，則．∴．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握反比例數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·山東威海·九年級期中）反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點A在該函數(shù)圖象上，AB垂直于x軸，垂足為點B，如果，那么________．【答案】【分析】過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得△AOB的面積為矩形面積的一半，即．【詳解】設(shè)，由可知，所以而點A在第二象限，則，因為點A是函數(shù)圖象上的一點，所以，則故答案為：．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)中的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為．9．（2022·山東·濟南市大學(xué)城實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，點A、B是反比例圖像上任意兩點，過點A、B分別作x軸、y軸的垂線，，則________．【答案】4【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義可得，然后將代入即可求得，最后求和即可．【詳解】解：∵點A、B是反比例圖像上任意兩點，過點A、B分別作x軸、y軸的垂線，∴∵，∴，∴．故答案為：4．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即圖像上的點向坐標(biāo)軸作垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積．10．（2022·山東淄博·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A是函數(shù)圖象上的點，軸，垂足為B，則的面積為_____．【答案】6【分析】根據(jù)軸，垂足為B，即可利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到．【詳解】解：∵軸，∴，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何意義，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·湖北隨州·一模）已知一次的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交．(1)判斷是否經(jīng)過點．(2)若的圖象過點，且．①求的函數(shù)表達式．②當(dāng)時，比較，的大?。敬鸢浮?1)過(2)①；②當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，【分析】（1）根據(jù)，把點代入反比例函數(shù)，即可；（2）把點代入，得，根據(jù)，解出和的值，即可得到的表達式；根據(jù)函數(shù)圖象，即可比較，的大?。?）∵∴把點代入反比例函數(shù)，得∴經(jīng)過點．（2）∵的圖象過點∴把點代入，得又∵∴解得，∴∴的函數(shù)表達式為：如圖所示：由函數(shù)圖象得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，交點的綜合問題．12．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，P是y軸正半軸上的一點，過點P作直線AB//x軸，分別與雙曲線y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于點A、B，連接OA、OB，求△AOB的面積．【答案】S△AOB＝．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義求解即可．【詳解】解：∵AB⊥y軸，∴S△OAP＝，S△OBP＝＝2，∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP＝+2＝．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是理解反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，屬于中考?？碱}型．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·陜西·西安市鐵一中學(xué)九年級期中）如圖，矩形的面積為8，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形的對角線的交點P，則反比例函數(shù)的解析式是______．【答案】【分析】作軸，軸，根據(jù)矩形的性質(zhì)得矩形的面積=矩形的面積=，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得到．【詳解】解：如圖，作軸，軸．∵點P為矩形對角線的交點，∴矩形的面積=矩形的面積=，∴，而，∴，∴過P點的反比例函數(shù)的解析式為．故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|．2．（2022·陜西師大附中九年級期中）如圖，點在反比例函數(shù)第二象限內(nèi)的圖象上，點在軸的負(fù)半軸上，若，則的面積為______．【答案】4【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸，垂足為，得到，，根據(jù)得到，根據(jù)三角形的面積公式得，再根據(jù)點在反比例函數(shù)的圖象上得到，從而得到答案．【詳解】解：設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸，垂足為，由題意得，，∵，，∴，∴，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，，故答案為：4．【點睛】本題考查反比例函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)等，熟悉掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式是本題的解題關(guān)鍵．3．（2022·浙江·金華市第五中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，等腰Rt△OAB的頂點B在第一象限，直角邊OA在y軸上，點P是邊AB上的一個三等分點，過點P的反比例函數(shù)的圖象交斜邊OB于點Q，△AOQ的面積為3，則k的值為_______．【答案】或##或【分析】過點作軸于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可設(shè)點、點，則點為或，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征結(jié)合的面積為3，即可求出的值，進而即可得出值．【詳解】解：過點作軸于點，如圖所示．為等腰直角三角形，軸，為等腰直角三角形，設(shè)點，點，其中，則點為或．點、在反比例函數(shù)的圖象上，或，或．又，或，或．故答案為：或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征結(jié)合的面積為3，求出的值是解題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽安慶·九年級階段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對角線的交點和點，點、在軸上．（1）若點的坐標(biāo)是，則點的坐標(biāo)是___________；（2）若的面積為6，則___________．【答案】

【分析】（1）設(shè)的中點為M，連接，將點的坐標(biāo)代入中，可得：，得到反比例函數(shù)為：，由矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理可得，由點M的坐標(biāo)是，可設(shè)點E的坐標(biāo)為，代入可得：，即可求解；（2）如圖作，由矩形的性質(zhì)可知，設(shè)E點坐標(biāo)為，則A點坐標(biāo)為，根據(jù)點A，E在反比例函數(shù)上，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可列出，根據(jù)的面積可列出等式，進而求出k的值．【詳解】解：（1）設(shè)的中點為M，連接，將點的坐標(biāo)代入中，可得：，∴反比例函數(shù)為：，∵四邊形是矩形，∴與互相平分且相等，∴點E為的中點，∴，∵點的坐標(biāo)是，∴點M的坐標(biāo)是，∵，∴點E與點M的縱坐標(biāo)相同，設(shè)點E的坐標(biāo)為，代入可得：，∴點的坐標(biāo)是，（2）如圖作，則，設(shè)E點坐標(biāo)為，則A點的縱坐標(biāo)為，則可設(shè)A點坐標(biāo)為坐標(biāo)為，∵點A，E在反比例函數(shù)上，∴，解得：，故，∴OC=3c，故，解得：，∴，故答案為：；8．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，反比例函數(shù)的圖形，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，能夠熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧·大連理工大學(xué)附屬學(xué)校九年級階段練習(xí)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④（x＞0）．其中y隨x的增大而減小的函數(shù)是_____________．【答案】②④##④②【分析】利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，分別對每個選項進行判斷即可．【詳解】解：①正比例函數(shù)，，故y隨x的增大而增大，故不符合題意；②一次函數(shù)，，故y隨x的增大而減小，故符合題意；③反比例函數(shù)，?。海瑫r，有，但；故不符合題意；④反比例函數(shù)，，故在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，故符合題意；故答案為：②④．【點睛】此題主要考查正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握每一種函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的自變量取值的范圍是解此題的關(guān)鍵．二、解答題6．（2022·四川巴中·九年級階段練習(xí)）反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象如圖所示，化簡：【答案】【分析】先由反比例和一次函數(shù)圖像確定a和b的取值范圍，把化為，利用再根據(jù)范圍去絕對值號完成化簡即可．【詳解】解：由圖像可得：，∴，，∴．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，去絕對值號去二次根號，注意符號變化是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·四川成都·三模）如圖，已知A（4，），B（﹣1，a）是一次函數(shù)與反比例函數(shù)（m≠0，x＜0）圖像的兩個交點，AC⊥軸于C，BD⊥軸于D(1)求m、a的值及一次函數(shù)表達式；(2)P是線段AB上的一點，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點P坐標(biāo)．【答案】(1)m＝﹣2，a＝2，(2)【分析】（1）把A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達式，即可得到答案．（2）首先設(shè)P點的坐標(biāo)為（m，n），然后分別用m、n表示出△ACP和△BDP的面積，根據(jù)題意列出等式，又因為點P在函數(shù)上，將P點坐標(biāo)代入小問1中求得的函數(shù)表達式中，解關(guān)于m、n的二元一次方程組即可得到答案．（1）解：∵反比例函數(shù)圖像經(jīng)過A（4，），B（﹣1，a）∴解得∵一次函數(shù)經(jīng)過點A（4，）∴=×（4）+b∴b=∴一次函數(shù)表達式為（2）解：設(shè)P點坐標(biāo)為（m，n），過P作AC、BD的垂線，分別交于F、E；由上知：A（4，），B（1,2）∴AC=，OC=4，BD=1，OD=2∴PF=4m，PE=2n∴，∵，點P在一次函數(shù)上∴解得∴P點坐標(biāo)為（，）【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像和解析式，涉及到二元一次方程、三角形的面積、平面直角坐標(biāo)系等相關(guān)知識，掌握并熟練使用相關(guān)知識、精準(zhǔn)識圖、注意在解題過程中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．8．（2022·安徽·固鎮(zhèn)縣漢興學(xué)校九年級期中）如圖，在x軸的正半軸上依次截取，過