數(shù)字信號處理 - DFT的性質(zhì)

數(shù)字信號處理Lecture7:PropertiesofDiscreteFourierTransformationTuesday,October15,20242DFT的性質(zhì)Tuesday,October15,20243已知：線性特性：a、b為任意常數(shù)DFT的性質(zhì)周期性：Tuesday,October15,20244循環(huán)移位特性特性1：時域中循環(huán)移位引起頻域產(chǎn)生相移Proof：Tuesday,October15,20245循環(huán)移位特性特性2：頻域中循環(huán)移位引起時域相移Proof：Tuesday,October15,20246循環(huán)移位特性特性2：頻域中循環(huán)移位引起時域相移Tuesday,October15,20247Parseval定理平均功率功率密度譜P141，Ex3-9頻域計算方法時域計算方法Tuesday,October15,20248復序列DFT的對稱性

復序列可以寫成實部與虛部的和復序列也可以寫成周期共軛對稱與周期共軛反對稱的和Tuesday,October15,20249

復序列的共軛分解10證明：復序列DFT的對稱性性質(zhì)1：復序列x(n)共軛的DFT等于序列DFT共軛的循環(huán)折疊11性質(zhì)2：證明：復序列x(n)的共軛做循環(huán)折疊后的DFT是原序列DFT的共軛復序列DFT的對稱性12證明：性質(zhì)3：復序列x(n)實部的DFT等于序列DFT的周期共軛對稱分量復序列DFT的對稱性13推論3：實序列x(n)的DFT即X(k)是周期共軛對稱序列性質(zhì)3：復序列x(n)實部的DFT等于序列DFT的周期共軛對稱分量復序列DFT的對稱性14證明：性質(zhì)4：復序列x(n)虛部的DFT等于序列DFT的周期共軛反對稱分量復序列DFT的對稱性15推論：純虛數(shù)序列的DFT是一個周期共軛反對稱序列性質(zhì)4：復序列x(n)虛部的DFT等于序列DFT的周期共軛反對稱分量復序列DFT的對稱性16性質(zhì)5：性質(zhì)6：復序列DFT的對稱性Tuesday,October15,202417實序列的DFT對稱性

Niseven周期共軛對稱性（循環(huán)折疊=共軛）：注意DTFT的共軛對稱性（折疊=共軛）：推論3Tuesday,October15,202418例7.1已知連續(xù)時間信號x(t)，設定采樣頻率為8000Hz，求采樣序列x(n)，計算8點DFT并畫出頻譜和DFT的實部與虛部，計算分析頻率。Solution：Tuesday,October15,202419例7.1已知連續(xù)時間信號x(t)，設定采樣頻率為8000Hz，求采樣序列x(n)，計算8點DFT并畫出頻譜和DFT的實部與虛部，計算分析頻率。Solution：利用DFT的對稱性，8點DFT只需計算前4個點的值Tuesday,October15,202420分析頻率：例7.1已知連續(xù)時間信號想x(t)，設定采樣頻率為8000Hz，求采樣序列x(n)，計算8點DFT并畫出頻譜和DFT的實部與虛部，計算分析頻率。Tuesday,October15,202421DFT的應用一計算長度為N的兩個實序列x(n)和y(n)的DFT，利用實序列DFT的對稱性質(zhì)，只需做一次DFT，同時得到兩個序列的DFT變換值1.兩個實序列構(gòu)造一個復序列2.復序列共軛分解3.實序列DFT用共軛分解的形式表達Tuesday,October15,2024225.把上述結(jié)論代入第3步的線性方程組，得到結(jié)論：DFT的應用一4.求復序列的DFTTuesday,October15,202423例7.2已知兩個序列，計算各自的DFTSolution：1.兩個實序列構(gòu)造一個復序列2.求復序列的DFT3.利用對稱性質(zhì)求解兩個序列的DFTTuesday,October15,202424例7.2已知兩個序列，計算各自的DFTSolution：Tuesday,October15,202425序列的循環(huán)卷積（CircularConvolution）兩個長為N的序列x(n)及h(n)，N點循環(huán)卷積定義為計算過程：將其中一個序列如h(i)進行循環(huán)折疊；將折疊后的序列循環(huán)移位n；移位后的序列取樣值與另一序列的取樣值對應相乘;將所有乘積求和；NTuesday,October15,202426序列的循環(huán)卷積（CircularConvolution）定理：如果將序列x(n)及h(n)進行周期拓，則循環(huán)卷積也可表示為延拓后兩個周期序列線性卷積取主值：N兩個長為N的序列x(n)及h(n)，N點循環(huán)卷積定義為Tuesday,October15,202427循環(huán)卷積的矩陣計算方法NinTuesday,October15,202428線性卷積的矩陣計算方法線性卷積：Tuesday,October15,202429例7.3已知兩個序列，計算他們的線性卷積和3點循環(huán)卷積Solution:3點循環(huán)卷積線性卷積長度為5Tuesday,October15,202430卷積定理時域循環(huán)卷積與頻域DFT乘積構(gòu)成變換對時域卷積定理NN這一定理給出了一種求時域循環(huán)卷積的方法：求的兩個序列的DFT；兩個DFT逐項相乘；對乘積求IDFTTuesday,October15,202431例7.3已知兩個序列，計算他們的線性卷積和3點循環(huán)卷積Solution:1.計算DFT2.計算頻域乘積3.計算IDFTTuesday,October15,202432卷積定理時域循環(huán)卷積與頻域DFT乘積構(gòu)成變換對時域卷積定理NN頻域循環(huán)卷積與時域乘積也構(gòu)成變換對頻域卷積定理NTuesday,October15,202433DFT的應用二：用循環(huán)卷積計算線性卷積設x(n)和h(n)分別為長度為L和M的有限長序列，他們的線性卷積長度為N=L+M-1，現(xiàn)對x(n)和h(n)分別補零，使得兩個序列的長度都變?yōu)镹，補零后的序列如下：此時，這兩個序列可以進行循環(huán)卷積：34循環(huán)卷積是線性卷積的周期為N的延拓在主值區(qū)間上，xN(n)和hN(n)的循環(huán)卷積與x(n)和h(n)的線性卷積相等，因此可以用循環(huán)卷積來計算線性卷積！NTuesday,October15,202435操作如下：周期延拓；折疊；移位；在[0,N-1]內(nèi)取出一個周期；兩個序列xN(n)和hN(n)補零使得長度相等，他們的循環(huán)卷積與x(n)和h(n)的線性卷積相等！從圖中可以看出，對于循環(huán)移位和循環(huán)折疊序列等效于折疊周期序列后者又可以用取代DFT的應用二：用循環(huán)卷積計算線性卷積Tuesday,October15,202436P174

Ex3-15取N=4Solution:第一步：補零補M-1個零補L-1個零N點DFTN點IDFTN點DFTDFT的應用二：用循環(huán)卷積計算線性卷積Tuesday,October15,202437第二步：求DFT第三步：逐項相乘Tuesday,October15,202438第四步：求IDFT直接計算卷積：Tuesday,October15,202439DFT的應用三：計算分段卷積必要性：數(shù)字信號處理中，需要處理的輸入信號序列很長，濾波器的沖擊響應長度有限；采樣與存儲需要大量的時間和硬件緩存器；輸入數(shù)據(jù)需要實時處理；解決方案：把輸入數(shù)據(jù)截斷，依次與濾波器沖擊響應求卷積，利用卷積的線性疊加特性在重新組合，得到完整的卷積和*輸入序列濾波器沖擊響應=期望的輸出序列Tuesday,October15,202440DFT的應用三：計算分段卷積設有兩個序列：對長序列進行等間隔截斷：利用卷積的線性疊加特性：Tuesday,October15,202441DFT的應用三：計算分段卷積設有兩個序列：第i段卷積和：自變量n取值范圍是iL~(i+1)L-1自變量n取值范圍是0~M-1n取值范圍是iL~iL+L+M-2第i+1段卷積和：自變量n取值范圍是(i+1)L~(i+2)L-1自變量n取值范圍是0~M-1n取值范圍是iL+L~iL+2L+M-2Tuesday,October15,202442DFT的應用三：計算分段卷積卷積和最后M-1個點與開始的M-1個點重合，重疊范圍是：重疊相加法:Tuesday,October15,202443DFT的應用三：計算分段卷積最后M-1個點的數(shù)值不是卷積和的真實值。的部分，因此由于被截斷，在第i段卷積和n取值范圍：