蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 對(duì)稱圖形一一圓（單元測(cè)試培優(yōu)卷）

第2章對(duì)稱圖形一一圓（單元測(cè)試?培優(yōu)卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.已知。。的半徑是一元二次方程d-3x-4=0的一個(gè)根，圓心。到直線/的距離d=6,則直線/與

的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相離C.相交D.相切或相交

2.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=12,BC=5,以點(diǎn)3為圓心，8c為半徑畫弧交邊A3于點(diǎn)

P,則"的長(zhǎng)為（）

C

APB

A.5B.6C.7D.8

3.如圖，AB為。。的直徑，弦CD_LAB,垂足為E,AE=8,BE=2,則線段CD的長(zhǎng)為（）

A

工

R

A.5B.8C.475D.2>/10

4.如圖，點(diǎn)4B、C,D、E都在。。上，BE是直徑,BE\\CD,—E=28。，則NA的度數(shù)為（）

&

A.28°B.56°C.62°D.68°

5.如圖，。。過原點(diǎn)0,且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)4、瓦點(diǎn)工的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)M是第三象限內(nèi)圓

上一點(diǎn)，ZBMO=120°,則。C的半徑為（）

個(gè)勺小9

A.4B.5C.673D.2

6.如圖，直線AB、BC、C。分別與。。相切于點(diǎn)E、1，、G且AB//CD,若OB=8cm,OC=6cm,

mil結(jié)二P(、

二E

A.7cmB.8cmC.9cinD.10cm

7.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于。0,連接。C,OD,貝！JNBAE-NCOD=()

A

?

A.65°B.54°C.48c,D.36°

8.如圖，在扇形A05中，。為A3的中點(diǎn)，ZOBC二60。，若3C=3,則A3的長(zhǎng)為()

O

A.%B.2%C.3%D.47r

9.如圖，將半徑為3cm的圓形紙片沿AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心。，用圖中陰影部分的扇形圍成

一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為(

A.2&B.V2C.回D.1.5

10.圖1是一張圓形紙片；如圖2,將圓形紙片作兩次對(duì)折，且折痕ABLCD,垂足為點(diǎn)M；如圖3,把

紙片展開后，再將圓形紙片沿弦折疊，使兩點(diǎn)3,M重合，折痕。與相交于點(diǎn)N,連接AE,AF,

BE,BF.下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.四邊形A/ESF是菱形B.△AE77為等邊二角形

22

C.EN-FN=AM—BND.S四邊形的尸：S扇形EBF=3":27r

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.若點(diǎn)尸到。A上的所有點(diǎn)的距離中，最大距離為8,最小距離為2,那么。A的半徑為

12.已知：如圖，是0。的直徑，弦C。交AB于E點(diǎn)，BE=\,AE=5,ZAEC=30°,則CD的長(zhǎng)

為_______________.

13.如圖，在。。中，CD是直徑，弦ABLCD,垂足為E,若NC=30。，AC=6cm,則。。的半徑為—

cm

D

14.如圖，AB是。。的直徑，CD是。。的弦，連接AD、BC、BD.若ZBCD=20。,則

15.如圖，四邊形A3CD是。O內(nèi)接四邊形，AB=AD>ZBCD=120°,連接AC,DE工AC于點(diǎn)E,連

接BE,若N3EO=150。，AC=3幣,則OE的長(zhǎng)為.

C

16.如圖，。。是VABC的外接圓，AB=AC,CD_LAB于點(diǎn)。，5。的延長(zhǎng)線交C。于點(diǎn)E.

(1)NDCB_____ZDBE(填”>,<或=")：

(2)若BC=4。BE=4,貝UOE=.

17.如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BF,分別交AC于點(diǎn)G,H,若該圓的半徑為12,則線

段G"的長(zhǎng)為.

D

18.如圖，四邊形A3CD是正方形，其中￡>E,￡F,FG,G"，…依次連接，它們的圓心依次按/、B、C、

。循環(huán).當(dāng)=0時(shí)，曲線的長(zhǎng)度是.

三、解答題(本大題共6小題，共58分)

19.(8分)如圖，以VABC的8C邊上一點(diǎn)。為圓心的圓，經(jīng)過A、8兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E,D為BE

的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交于尸，若AC=PC.

(1)連接AO,求證：NQ4c=90。；

(2)若BF=4,DF=J10,求0。的半徑.

D

20.(8分)如圖，已知A3是半徑為1的。。的直徑，C是圓上一點(diǎn)，。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)。的

直線交AC于點(diǎn)瓦交于點(diǎn)凡DF=BF,EA=EF.

(1)求證：aAE尸為等邊三角形；

(2)若CV_LAB,求證：DC=CF.

21.(10分)如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，。。的切線BD交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D

(1)求證：NDBC=NOCA；

(2)若NBAC=30。，AC=2.求CD的長(zhǎng).

D

22.(10分)如圖，已知。。是V4BC的外接圓，連接OC,AC,過點(diǎn)A作AZ)〃OC,交BC的延長(zhǎng)線于

D,AB交OC于E,ZABC=45°.

(1)求證：AD是。。的切線；

(2)若AE=J5,CE=3.求圖中陰影部分的面積.

23.(10分)【特例解決】

(1)如圖1,。。經(jīng)過菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)/、B、。點(diǎn)，過點(diǎn)3作。。的直徑，交AD邊于點(diǎn)尸，交。。

于點(diǎn)E,連接AE、DE,過點(diǎn)/作班的垂線，垂足為點(diǎn)〃/BAD=45°.與△AFB是什么關(guān)系？

EH、ED、BH是什么關(guān)系?

【深入探究】

(2)如圖2,若班不經(jīng)過點(diǎn)。，ZBAD^45°,EH、ED、9三條線段的關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理

由.

【拓展延伸】

⑶在第2問的基礎(chǔ)上，求證：AD2-AE2=BEDE-

圖1圖2

24.（12分）綜合與探究

問題情境：如圖，已知A8為。。的直徑，點(diǎn)C為。。上異于48的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作。。的切線CE,過

點(diǎn)/作ADLCE于點(diǎn)。，連接。C.

（2）探究引申：如圖2,勤奮小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若△AOC是等腰三角形且對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)。，此時(shí)，CD

與A3存在數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明;

（3）探究規(guī)律：如圖3,智慧小組在勤奮小組的啟發(fā)下發(fā)現(xiàn)當(dāng)△AOC為正三角形時(shí)，CD與A3存在的數(shù)

量關(guān)系是：CD=AB.

參考答案:

1.B

【分析】本題考查一元一次方程的解法，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)與方法，求出一元一次方程

X2-3^-4=0的解并且判斷圓心O到直線I的距離d與。。的半徑「之間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

設(shè)。。的半徑為r,解一元一次方程/一3尤-4=0得%=4,x2=-l,則/"=4,所以d>r,可知直線/與圓

O相離，于是得到問題的答案.

【詳解】解：設(shè)。。的半徑為「，

解一元一次方程犬-3了-1=0得&=4,x2=-l,

EIOO的半徑是一元二次方程-3x-4=0的一個(gè)根，

團(tuán)廠=4,

團(tuán)圓心。到直線I的距離d=6,

0<7>r,

團(tuán)直線/與0。相離，

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了勾股定理，圓的基本性質(zhì)，由勾股定理得到AB=13,由題意得到3尸=3C=5,即可求

解，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：0ZACB=9O°,AC=12,BC=5,

0AB=7AC2+BC2=13-

團(tuán)以點(diǎn)8為圓心，3c為半徑畫弧交邊A3于點(diǎn)尸，

0SP=fiC=5,

0AP=AB-BP=13-5=8,

故選：D.

3.B

【分析】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，先連接0C,根據(jù)已知條件求出OB0C,從而求出0E,

然后根據(jù)勾股定理求出CE,由垂徑定理求出答案即可.

【詳解】解：連接。C,

A

團(tuán)AE=8,BE—2,

^\AB=AE+BE=S+2=10,

團(tuán)A5是。。的直徑，

⑦OC=OB」AB=5,

2

⑦BE+OE=OB,

?OE=OB—BE=5—2=3,

團(tuán)CD_LAB,

國(guó)/CEO=90。,CD=2CE,

^CE=y10C2-0E2=752-32=4^

團(tuán)CD=8.

故選：B

4.C

【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

連接5C,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NEC。,根據(jù)圓周角定理得到4CE=90。,進(jìn)而求出4CD,再根據(jù)圓內(nèi)接

四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接5c

A

.\ZECD=ZE=28°,

團(tuán)跖是。。的直徑，

/.ZBCE=90°,

...ZBCD=90。+28。=118。，

團(tuán)四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊形，

/.ZA+ZBCZ）=180°,

:.ZA=180°-/BCD=62°,

故選：C.

5.A

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，坐標(biāo)與圖形,

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到NBAO=60。，再由90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑得到A3是直徑，求出

0A=4,進(jìn)而求出AB=2OA=8,是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回0、A、B、M都在圓上，ZBMO=120°,

團(tuán)ZBAO=180°-NBMO=60°,

團(tuán)NBQ4=90。，

團(tuán)A3是OC的直徑，ZABO=30°,

0A（O,4）,

團(tuán)。4=4,

團(tuán)AB=2OA=8,

回。。的半徑為4,

故選：A.

6.D

【分析】此題主要是考查了切線長(zhǎng)定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理，

即可證明/3OC=90。，再根據(jù)勾股定理即可求得8C的長(zhǎng)，再結(jié)合切線長(zhǎng)定理即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)

的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接0e，

根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：BE=BF,CF=CG,NOBF=NOBE,ZOCF=ZOCG；

ElAB〃CD,

國(guó)ZABC+ZBCD=180。，

團(tuán)NOBF+NOCF=90。,

團(tuán)NBOC=90。,

團(tuán)OB=6cm,OC=8cm,

0BC=yJOB2+OC2=,8?+6?=10（cm）,

0OFXBC,

?BE=BF,CG=CF

SBE+CG=BF+CF=BC=10（cm）.

故選：D.

7.D

【分析】本題考查正多邊形內(nèi)角和公式、正多邊形的中心角，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可以求得力"的度數(shù),

根據(jù)周角等于360。，可以求得NCOD的度數(shù)，然后即可計(jì)算出的度數(shù)即可.

【詳解】解：回五邊形ABCDE是正五邊形,

,ZBAE=（5-2）x180°=108O/COD=^21=72°,

55

ZBAE-ZCOD=108°-72°=36°,

故選：D.

8.B

【分析】連接0C,判定△OBC是等邊三角形，推出/BOC=6(F,OC=BC=3,由圓心角、弧、弦的關(guān)系

得到NAQB=120。，由弧長(zhǎng)公式即可求出；本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定，弧長(zhǎng)的計(jì)

算，關(guān)鍵是判定△OSC是等邊三角形，掌握弧長(zhǎng)公式.

【詳解】解：連接。C

@OC=OB,ZOBC=60°

回△03C是等邊三角形

0NBOC=60°,OC=3C=3

團(tuán)。為A3的中點(diǎn)，

團(tuán)/AOC=/BOC=60。

^\ZAOB=120°

..120?x3_

團(tuán)AB的長(zhǎng)=個(gè)八=2萬(wàn)

loU

故選：B.

9.A

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，解直角三角形；作于C,如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OC等于半徑

的一半，即。I=20C,再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出/Q4c=30。，則NAOC=60。，所以NAC?=120。，

則利用弧長(zhǎng)公式可計(jì)算出弧AB的長(zhǎng)，再求出底面圓的半徑為1,然后根據(jù)勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐的高.

【詳解】如圖，過。點(diǎn)作OCJ_AB,垂足為。，交。。于點(diǎn)C,

由折疊的性質(zhì)可知，OD=-OC=-OA,貝UsinNOAD=?=1

22AO2

由此可得，在RtAAOD中，ZOAD=30°,

同理可得/。班＞=30。，

在AAOB中，由三角形內(nèi)角和定理，得/403=180。一/4-/3=120。.

???弧力B的長(zhǎng)為=2萬(wàn).

180

設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為「，則2m'=2"，

圓錐的高為Js?-1=20.

故選A.

10.D

【分析】由翻折性質(zhì)以及垂徑定理證明菱形即可判斷A；由等邊對(duì)等角作出判斷即可；先判斷△3EN為等

邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；利用扇形面積公式求出結(jié)果即可.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知NBMD=NBNF=90。，BN=MN,

S.CD//EF.

由垂徑定理知BM垂直平分EF，

:.BM,EF互相垂直平分，

「?四邊形MEBJF是菱形，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

\-ME=MB=2MN,

ZMEN=30。,

ZEMN=90°-30°=60°.

AM=ME，

,\ZAEM=ZEAM,

/.ZAEM=-/EMN=-x60°=30°,/.ZAEF=ZAEM+ZMEN=30O+30°=60°.

22

同理可得NAFE=60。，

,\ZEAF=60°,

.?.△的是等邊三角形，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；

?：MN1EF,

:.ZBNE=90°,EN=FN,

:.EN2+BN1=BE1.

?.?EM二BM,/EMN=60。,

是等邊三角形，

:.BE=EM=AM,

：.EN2=AM2-BN\

：.EN-FN=AM2-BN2,故選項(xiàng)c正確，不符合題意；

設(shè)圓的半徑為『，則EN=走廠，

2

EF=2EN=6r,

二5四邊形型/：$扇形師=1萬(wàn)^右小2r]：（g而無產(chǎn)）=3A/J：兀，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,符合題意.

故選：D

【點(diǎn)撥】本題圓的綜合題型，主要考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，對(duì)角線互相垂直平

分的四邊形是菱形，等邊三角形的判定與性質(zhì).注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵.

11.3或者5

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分點(diǎn)尸在。人外和。A內(nèi)兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在。A外時(shí)，最大

距離與最小距離之差等于直徑；當(dāng)點(diǎn)尸在。A內(nèi)時(shí)，最大距離與最小距離之和等于直徑，即可得.

【詳解】解：點(diǎn)尸在。4外時(shí)，

???。。外一點(diǎn)P到。。上所有的點(diǎn)的距離中，最大距離是8,最小距離是2,

.?.0。的半徑長(zhǎng)等于三=3；

點(diǎn)尸在。4內(nèi)時(shí)，

內(nèi)一點(diǎn)P到。。上所有的點(diǎn)的距離中，最大距離是8,最小距離是2,

oIn

二。。的半徑長(zhǎng)等于亍=5,

故答案為：3或者5.

12.4V2

【分析】本題考查了勾股定理和垂徑定理，過。作OFLDC于凡連接0C,根據(jù)垂直定義得出

/OFE=NOFC=90。,即可求出。4=OB=OC=3,求出0E,根據(jù)勾股定理求出。尸，再根據(jù)勾股定

理求出C尸，根據(jù)垂徑定理得出Db=CF,即可求出答案，能熟記垂徑定理是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示，過。作OF，DC于尸，連接0C,

則NOFE=ZOFC=90°,

E1BE=1,AE=5,

團(tuán)AB=BE+AE=1+5=6,

團(tuán)OB=OA=OC=3,

國(guó)OE=OB—BE=3—1=2,

團(tuán)NA￡C=30。，

SOF=-OE=1,

2

在RhOPC中,根據(jù)勾股定理得，CFZodF?="-F=2夜,

SOF±DC,過圓心。，

0DF=CF=2舊

團(tuán)CD=CF+DF=20+20=472

故答案為：472.

13.2A/3

【分析】本題主要考查了圓綜合.熟練掌握?qǐng)A周角定理推論，含30。的直角三角形性質(zhì)，勾股定理解直角三

角形，是解決問題的關(guān)鍵.

連接AD，根據(jù)直徑性質(zhì)得出NC4Z）=9O。，再利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得AD=：CD,再根據(jù)勾

股定理求出C￡>=4A/J,即得.（方法不唯一）

【詳解】連接AD,

D

回C。是。。直徑，

^ZCAD=9Q°,

團(tuán)NC=30。，

BAD=-CD,

2

AC2+AD2=CD2,AC=6,

062+QCD^|=CD2,

解得，CD=,

BOC=-CD=2^3.

2

回。。的半徑為2瘋m.

故答案為：2A.

14.70

【分析】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)同

弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：回A3是O。的直徑，BD=BD，4a>=20。，

0ZADB=90°,NA=/BCD=20°,

團(tuán)ZABD=90°-20°=70°；

故答案為：70.

15.V21

【分析】連接BO,由AB=AD，得到=求得△A&D是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到

AB=BD,ZABD=ZADB=60°,求得NACD=ZABD=60。，推出CD=2CE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

AE=CD,求得AE=2CE,得到CD=AE=2近，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接班）,

0AB=AD-

團(tuán)AB=AD,

電/BCD=120。,ZBCD+ZBAD=180°,

^ZBAD=60°,

團(tuán)△ABD是等邊三角形，

^AB=BDfZABD=ZADB=60°,

0ZACD=ZABZ)=6OO,

團(tuán)/CDE=30。,

^\DE±AC,

^ZAED=ZCED=90°,

團(tuán)CD=2CE,

ZBED=150°,

團(tuán)NAEB=120。,

在AAB石與出。中,

ZBAE=ZBDC

<NAEB=NDCB=120°,

AB=DB

團(tuán)AABE%DBC（AAS）,

國(guó)AE=CD,

團(tuán)AE—2CE,

0AC=3T7,

0AE=25,CE=近,

mCD=AE=2幣,

團(tuán)DE={CD2-CE2=國(guó)，

故答案為：0T.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

16.=1

【分析】（1）延長(zhǎng)BE交。。于點(diǎn)尸，連接CF,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得N3CF=9O。，根據(jù)直角

三角形兩銳角互余可得NB+NFBC=90。，ZA+ZACD=90°,根據(jù)在同圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等可得

24=4,根據(jù)等角的余角相等可得ZACD=NMC,根據(jù)等邊對(duì)等角可得/ABC=/ACB,即可推得

NDBE=NDCB；

（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得/nBE+"￡B=90。，結(jié)合（1）中結(jié)論和根據(jù)等角的余角相等可得

ZDEB=NFCE,結(jié)合對(duì)頂角相等可得=,根據(jù)等角對(duì)等邊可得FE=PC,設(shè)FE=FC=x,

則BF=4+x,根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方列方程，解方程求出x的值,即可求出BF、

的值，根據(jù)=即可求解.

【詳解】解：（1）延長(zhǎng)防交。。于點(diǎn)連接CF,如圖：

團(tuán)即是。。的直徑,

0ZBCF=9O°,

回NF+NFBC=90。,

團(tuán)CD_LAB,

ZBDC=ZADC=90°f

團(tuán)NA+NACD=90。，

國(guó)BC=BC，

回NA=N尸，

^\ZACD=ZFBC,

國(guó)AB=AC,

回/ABC=NACB,

團(tuán)NABC—NFBC=NAC3—NACD,

出/DBE=/DCB,

故答案為：二.

（2）解：回/3DC=90。，

國(guó)NDBE+/DEB=9。。,

⑦/FCB=90。,

ZFCE+ZDCB=90°,

由（1）得：/DBE=NDCB,

@ZDEB=NFCE,

國(guó)NDEB=NFEC,

⑦NFEC=/FCE,

出FE=FC,

^FE=FC=x,貝IJ5/=5E+￡F=4+x,

在RtACBF中，BC2+CF2=BF2,

即％2+32=（4+%）2,

解得：x=2,

團(tuán)BF=4+2=6,

^\OB=-BF=3,

2

SOE=BE-OB^4-3=1,

團(tuán)OE的長(zhǎng)為1,

故答案為：1.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角，勾股定理，直角三

角形的性質(zhì)等；熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.4君

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接正六邊形.熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，

含30。的直角三角形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵.含30。的直角三角形性質(zhì)：三邊是1:道:2的關(guān)系.

連接根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到VAN是等邊三角形，得到AB=12,推出

ZABF=ZBAC=-3Q°,ZDBF=60°,得至IjZAB"=90°,得到B"=4百，推出ZBHG=60°,ZBGH=60°,

得到VBGH是等邊三角形，即得G8=4/.

【詳解】連接Q4、OB,

團(tuán)六邊形A3co斯是圓內(nèi)接正六邊形，圓的半徑為12,

0ZAOB=60°,04=08=12,

回VAO3是等邊三角形，

團(tuán)AB=OA=12,

國(guó)BC=CD=DE=EF=FA,

ZABF=ZBAC=30°,ZDBF=60。,

團(tuán)ZABH=ZABF+ZDBF=90°,

SBH=—AB=4y/3,

3

0ZBHG=90°-ABAC=60°,NBGH=ZABF+ABAC=60°,

團(tuán)VBG〃是等邊三角形，

0GH=BH=4A/3.

故答案為：4^3.

D

【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)計(jì)算公式應(yīng)用，根據(jù)題意得出扇形半徑是解題關(guān)鍵.首先根據(jù)題意得出扇形

半徑，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式求出即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得出：AB=四,BE=2V2,CF=3A/2.DG=4也,

回曲線FH的長(zhǎng)度為：

/FG+1GH

907rx3近907rx4^2

=-----------------1-----------------

180180

2

7萬(wàn)r

2

故答案為：區(qū)紅

2

19.⑴見解析

(2)3

【分析】本題考查了垂徑定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì).

(1)連接AO,由圓的性質(zhì)可得=根據(jù)AC=PC,可得/CAF=NCM=NQRD,由垂徑定

理可得QDd.BE,然后借助角關(guān)系轉(zhuǎn)化可得結(jié)論；

(2)在RSOD尸由勾股定理可求解.

【詳解】(1)解：連接AO,

A

BC-OA=OD,

D

：.ZOAD=ZODA,

?：AC=FC,

ZCAF=ZCFA=NOFD,

?.?￡)為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，

:.ODA.BE,

ZODA+ZOFD=90\

ZCAF+ZDAO=90°,

ZOAC=90°;

(2)在RtAODF中，DF1=OD2+OF1,

:.]0=OD2+(4-OD)2,

:.OD=1(不合題意舍去)或OD=3,

二。。的半徑為3.

20.⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）由圓周角定理得出NACB=90。，則/ACgO。，由直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得

出/。LF=NCED,再證AF=￡F,得出A"=￡F=E4即可；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出NB=Z.CDF=30°,證ZCFD=30°,則ZCDF=ZCFD,

即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：是半徑為1的圓。直徑，

.-.AB=2,ZACB=90°,

：.ZACD=90°,ZCAF+ZB=90°,

:.ZCDF+ZCED=90°,

■.■DF=BF,

:./B=/CDF,

:.NCAF=/CED,

又?：ZAEF=/CED,

.\ZCAF=ZAEF,

:.AF=EF,

?.?EA=EF,

:.AF=EF=EA,

「.△A￡F是等邊三角形；

(2)證明：由(1)得：△的是等邊三角形，

.\ZAFE=60°,

???ZAFE=/B+NCDF,NB=NCDF,

ZB=ZCDF=30°,

?：CFLAB,

ZCFA=90°,

/.ZCFD=90°-ZAFE=30°,

:./CDF=/CFD,

:.DC=CF.

【點(diǎn)撥】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊

三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.⑴見解析

(2)CD=空

3

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOBO=NO3C+/D3C=90。，再根據(jù)圓周角定理得到

ZACB=ZOCA+ZOCB=90°,加上NOBC=/OCB,于是利用等量代換得到結(jié)論；

(2)利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到C3=空，然后證明ND=NCBZ)=30。得到CD=CB即可.

3

【詳解】(1)證明：回。8是0。的切線，

SBD±AB,

0ZOBD=NOBC+ZDBC=90°.

團(tuán)48是。。的直徑，

團(tuán)ZACB=NOC4+NOCB=90°.

田OC=OB,

^\ZOBC=ZOCB.

回/DBC=/OCA；

(2)解：在Rt^ACB中，

回44=30。，AC=2,

?CB=^AC=空,

33

團(tuán)NA=30。，

團(tuán)NCQ?=2NA=60。，

團(tuán)ND=900-ZCOB=30°,

國(guó)OA=OC,

團(tuán)NOC4=NA=30。.

^ZDBC=ZOCA=30°,

由/D=/DBC.

⑦CB=CD.

回拽.

3

【點(diǎn)撥】本題考查了圓的知識(shí)，涉及切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及含30度的直

角三角形，解題的關(guān)鍵是熟悉圓的知識(shí).

22.⑴見詳解

⑵4%-8

【分析】⑴連接。4,根據(jù)圓周角定理可知ZAOC=2ZABC=90°,利用平行線的性質(zhì)即可求出ZOAD=90°,

從而可知AD是0。的切線；

(2)設(shè)。E=x,由于OC=Q4,所以Q4=x+3,在RtZXAOE中，由勾股定理可知：x2+(x+3)2=17,解得

x=l,所以半徑OC=%+3=4；根據(jù)扇形面積公式以及三角形面積公式即可求出答案.

本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理，圓周角定理，切線的判定，扇形面積公式等知識(shí)，需要學(xué)生靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

【詳解】(1)證明：連接。4,

vZABC=45°

ZAOC=2ZABC=90°,

AD\\OC,

ZDAO=180。一ZCOA=90°,

???Q4是。0的半徑，

二.AD是0。的切線；

(2)解：設(shè)。石=工，則OC=CE+Q石=3+兀，

OA=OC=x+3,

BAE=^fn,

在Rt^AO石中，由勾股定理可知：/+(%+3)2=17,

x2+3%—4=0,

??石=1,%=-4(舍去)，

OC=%+3=4,

二。。的半徑為4,；

90萬(wàn)x42

13s扇形皿=360=4萬(wàn),

Loe=]x4x4=8,

,圖中陰影部分的面積=4乃-8.

23.(1)△AED絲△AFB,BH=DE+EH(2)成立，理由見解析(3)見解析

【分析】(1)圓周角定理，得到NBDE=90。，ZDEB=ZDAB=45°,ZABE=44DE,進(jìn)而得到ADAE=NDAB,

結(jié)合菱形的鄰邊相等，證明AAEDm4AFB,進(jìn)而推出△眄為等腰三角形，三線合一得到=

即可得出結(jié)論；

(2)在跖上截取3G=DE,連接AG,證明AAGB/"團(tuán),得到AE=AG,進(jìn)而得到E"=HG,即可得

出結(jié)論；

(3)^BE=BH+EH,DE=BH-EH,得至“BE-DE=BH?—EH?,結(jié)合AD=AB以及勾股定理進(jìn)行證

明即可.

【詳解】解：(1)同仍為直徑，

團(tuán)NBD石=90。，

⑦NDEB=/DAB=45。,

^ZDBE=450=ZDAB,

⑦ZDBE=NDAE,

^ZDAB=ZDAE,

團(tuán)菱形AB