實(shí)戰(zhàn)演練04 高中常見的恒（能）成立問題（4大?？键c(diǎn)歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁實(shí)戰(zhàn)演練04高中常見的恒（能）成立問題①一元二次不等式中的恒（能）成立問題②基本不等式中的恒（能）成立問題③函數(shù)中的恒（能）成立問題④利用導(dǎo)數(shù)研究不等式中的恒（能）成立問題一、恒成立和有解問題思路一覽設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榛?，或或中之一種，則①若恒成立（即無解），則；②若恒成立（即無解），則；③若有解（即存在使得成立），則；④若有解（即存在使得成立），則；⑤若有解（即無解），則；⑥若無解（即有解），則．【說明】（1）一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法．（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號的取舍！（即端點(diǎn)值的取舍）二、分離參數(shù)的方法①常規(guī)法分離參數(shù)：如；②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉剑闹狄欢ú粸?時(shí)，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】③討論法分離參數(shù)：如:④整體法分離參數(shù)：如； ⑤不完全分離參數(shù)法：如；⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．【注意】（1）分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）．但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時(shí)就用含參轉(zhuǎn)化法．（2）恒成立命題對自變量的范圍有時(shí)有一部分或端點(diǎn)是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點(diǎn)，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題．】三、其他恒成立類型一①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．②在上是減函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．③在上是單調(diào)函數(shù)，則分上述兩種情形討論；(常用方法)四、其他恒成立類型二①，使得方程成立．②，使得方程成．五、其他恒成立類型三①，；②，；③，；④，．①一元二次不等式中的恒（能）成立問題一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分類討論，利用判別式小于0，即可得到結(jié)論【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解之得，綜上可得故選：2．（23-24高三上·青海西寧·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對任意均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)時(shí)顯然恒成立，當(dāng)時(shí)參變分離可得恒成立，令，，根據(jù)單調(diào)性求出，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式對任意均成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，即，所以，則，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D3．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知命題：，若為假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用命題的關(guān)系、分離參數(shù)法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運(yùn)算即可得解.【詳解】若命題為真命題，即：，設(shè)，則由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，最小值為，所以.因?yàn)槊}為假命題，所以，即的取值范圍為.故選：A.二、填空題4．（23-24高二下·遼寧沈陽·期末）若命題“，”為假命題，則的取值范圍是.【答案】【分析】由題意知，命題的否定為真命題，再結(jié)合一元二次不等式恒成立求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以命題“，”真命題，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若存在，使不等式成立，則a的取值范圍為.【答案】【分析】利用分離參變量思想，再用換元法轉(zhuǎn)化到對鉤函數(shù)求最小值，即可得到取值范圍.【詳解】由，因?yàn)?，所以，令，由，?gòu)造函數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以故答案為：.6．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知，若對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】思路一：移向轉(zhuǎn)換為對一切實(shí)數(shù)x恒成立，對分類討論即可求解；思路二：移向構(gòu)造函數(shù)，對分類討論，轉(zhuǎn)換為函數(shù)最小值大于0求參數(shù)即可；思路三：分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.【詳解】解法一（運(yùn)用判別式）：由已知可得，即對一切實(shí)數(shù)x恒成立．當(dāng)時(shí)，不可能恒成立，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，只能，解得．因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為．解法二（利用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)）：原不等式整理得，令，則原問題轉(zhuǎn)化為對恒成立．當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，，其圖像是一條直線，也不合題意；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，只要，即．解得或，∴，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為．解法三（參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及最值）：∵恒成立．∴問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，從而．令，則，令，則或．從而在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，且當(dāng)時(shí)，，故．于是，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：.②基本不等式中的恒（能）成立問題一、單選題1．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求左側(cè)最小值，根據(jù)不等式恒成立及一元二次不等式的解法求參數(shù)m的范圍.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又恒成立，即.故選：A2．（22-23高三上·江西宜春·階段練習(xí)）設(shè)，且恒成立，則n的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由基本不等式得出，，再由不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以不等式恒成立等價(jià)于恒成立.因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），則要使恒成立，只需使，故n的最大值為4.故選：C3．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（

）A．12 B．24 C． D．【答案】B【分析】令，不等式變形為，求出的最小值，從而得到實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】，，變形為，令，則轉(zhuǎn)化為，即，其中

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，可知.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.二、填空題4．（23-24高三上·安徽·期中）若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題知可將式子構(gòu)造為：，然后利用基本不等式從而求解.【詳解】因?yàn)?，所以，于是，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以.故答案為：.5．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，等號成立?dāng)且僅當(dāng)，所以，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是先得到，再進(jìn)一步結(jié)合乘“1”法即可順利得解.③函數(shù)中的恒（能）成立問題一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且在區(qū)間恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在區(qū)間恒成立，只需要即可，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可得解.【詳解】由解析式易知：單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，則，得．故選：B．2．（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】變形得到，變形得到，求出，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，故，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D3．（2024·福建廈門·一模）已知，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】舉例即可判斷ABC；再根據(jù)基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以，，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以，，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以，，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，，由，得，而，所以當(dāng)，即時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，而，所以，，故D錯(cuò)誤.故選：D.4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出分段函數(shù)的最小值；再求解不等式的解集即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.綜上可得函數(shù)的最小值為.因?yàn)?，使得成立，所以，解得：?故選：C.5．（2024·北京昌平·二模）已知函數(shù)若對任意的都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，令，作出圖象，如圖所示，令，由圖知，要使對任意的都有恒成立，則必有，當(dāng)時(shí)，，由，消得到，由，得到，即，由圖可知，故選：B.二、填空題6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）命題“任意，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為存在，為真命題，即，求出的最小值得解.【詳解】若命題任意“，”為假命題，則命題存在，為真命題，因?yàn)闀r(shí)，，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，所以.故答案為：.7．（23-24高三上·上海閔行·期中）已知函數(shù)，，若對任意的，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】將題中的已知條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的關(guān)系求解即可.【詳解】函數(shù)在的值域?yàn)?，函?shù)在的值域?yàn)?，因?yàn)閷θ我獾模偞嬖谑沟贸闪?，所以，所以，解?故答案為：8．（23-24高三下·湖南岳陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】由題意，先求出在上的最小值為，然后分和討論在上是否恒成立，即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在上恒成立，所以滿足題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，又在上單調(diào)遞增，且，所以，，使得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足恒成立，綜合①②可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出在上的最小值為，通過討論的正負(fù)得到函數(shù)在上恒成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍.9．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知，，若對，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求出的最大值，由題意可知，，分離參數(shù)a，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】令，則，即，所以（為輔助角，），故，即，解得.由題可知，，，即對，.令，令，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即，則，即，故答案為：④利用導(dǎo)數(shù)研究不等式中的恒（能）成立問題一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用分離變量將問題轉(zhuǎn)化為，使得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值可得結(jié)果.【詳解】，使得不等式成立，可得．令，則，令，解得，令，解得，所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則依題意有，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C．2．（23-24高三上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A． B． C．1 D．e【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)非負(fù)，得出不等式恒成立問題，參變量分離后，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題即可得解.【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以在R上恒成立，等價(jià)于在R上恒成立，令，易得在R上單調(diào)遞增，又所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)a的最大值為1．故選：C．3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，討論x的取值范圍可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上無極值，所以在R上恒成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故，當(dāng)時(shí)，，則.綜上，.故選：D.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)”，然后利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性以及取值，由此求解出的最大值.【詳解】存在，使得成立，即在上有解，即在上有解，所以直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，又，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以要使直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，只需，所以的最大值是，故選：A．5．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)函數(shù)，求得，求得得到單調(diào)性，且的值，結(jié)合圖象，列出不等式組，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，圖象如圖，函數(shù)經(jīng)過，要使存在唯一的正整數(shù)，使得，即有唯一正整數(shù)解，所以只要并且，即，解得.故選：A．6．（2024·四川宜賓·二模）已知不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出，即為所求.【詳解】不等式有解，即，，只需要，令，，，令，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，，，即；，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又由，可得，..故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由題意問題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即只要.二、填空題7．（22-23高三上·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）若不等式（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可作答.【詳解】，，令，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此當(dāng)時(shí)，，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】由題意，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】存在，使得可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.9．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上恒成立，則a的取值范圍是【答案】【分析】由題意知恒成立的不等式為，便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法，繼而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】由題意知，其中只需要恒成立，令，，，，設(shè)，，則，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，，；故答案為：10．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的圖象經(jīng)