數(shù)學(xué)同步優(yōu)化訓(xùn)練：6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前）1.函數(shù)y=sin|x｜的圖象()A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于y軸對(duì)稱D。不具有對(duì)稱性解析:∵sin｜—x｜=sin｜x｜，∴y=sin｜x|為偶函數(shù),故y=sin｜x｜的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.答案:C2.初速度為v0，發(fā)射角為θ,則炮彈水平移動(dòng)的距離s與v0之間的關(guān)系式(t是飛行時(shí)間)為（)A。s=|v0t｜B.s=｜v0｜·sinθ·tC.s=｜v0|·sinθ·t|g｜·t2D。s=｜v0|·cosθ·t解析：由速度的分解可知炮彈水平移動(dòng)的速度為v0·cosθ，如圖,故炮彈水平移動(dòng)的距離為｜v0｜·cosθ·t。答案:D3。在200米高山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°,則塔高為(）A.米B。米C。米D。米解析：如圖，設(shè)塔高為h米，則200tan30°=(200—h）tan60°,∴h=米。答案：A10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中）1。圖1—圖1解析:由物理知識(shí)可知,當(dāng)斜面傾斜角θ比較小時(shí)，物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，加速度為0。故排除選項(xiàng)A、B。根據(jù)受力分析,受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ.∴a=g(sinθ-μcosθ）=sin（θ—φ）（其中tanφ=μ）.故選D項(xiàng)。答案：D2.如圖1-6—圖1-6-2A.70cmB.86cmC。102cmD.118cm解析：1°=.在Rt△ACD中，AC=.在Rt△ABC中,AC=.∴=?！郆C==3××≈86.答案：B3。圖1-6-圖1-6解析：設(shè)函數(shù)解析式為y=Asin(ωx+φ)，則A=2,由圖象可知T=2×（0。5-0.1)=，∴ω==，∴×0。1+φ=.∴φ=?！嗪瘮?shù)的解析式為y=2sin(x+)。答案：y=2sin（x+)4.甲、乙兩樓相距60米,從乙樓望甲樓頂?shù)难鼋菫?5°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高度分別為_(kāi)_______________________。解析:如圖，甲樓的高度AC=AB=60米，在Rt△CDE中,DE=CE·tan30°=60×?！嘁覙堑母叨葹锽D=BE—DE=米。答案：5。一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)折成60°角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20米,樹(shù)干原來(lái)的高度為_(kāi)______。解析:如圖，BC=20tan30°=，AB=，所以樹(shù)干原來(lái)的高度為AB+BC=（米）。答案：米6.如圖1—6-圖1解:設(shè)黃浦江的寬為b米，則b·tanα=h—a,b·tanβ=h+a。消去b得h=·a=·a。當(dāng)α=75.5°，β=75。6°，a=1.77米時(shí)，h=490。1米。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1.一剪刀剪出一條正弦曲線.把一張紙卷到圓柱形的紙筒面上，卷上幾圈.用剪刀斜著將紙筒剪斷,再把卷著的紙展開(kāi)，你就會(huì)看到:紙的邊緣線是一條波浪形的曲線。你知道嗎？這條曲線就是正弦曲線！請(qǐng)你來(lái)證明這一事實(shí).證明：如圖（1)，設(shè)紙筒底面半徑為1單位長(zhǎng)，截面（橢圓面）與底面所成的二面角為θ(定值）,截口的中心為O′。(1)過(guò)O′作圓柱的直截面,交截口曲線于兩點(diǎn).取其中一點(diǎn)為O，在過(guò)點(diǎn)O且與圓柱側(cè)面相切的平面內(nèi),以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，使得Oy軸是圓柱的一條母線.設(shè)點(diǎn)P是截口曲線上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P在⊙O′所在平面內(nèi)的射影，過(guò)Q作QH⊥O′O，垂足為H，連結(jié)PH，則∠PHQ是截面與底面所成二面角的平面角，所以∠PHQ=θ。又設(shè)∠QO′O=α（變量).在圖(2）中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y），以下分別計(jì)算P點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).（2）x=OQ′==α，y=Q′P=QP=QH·tanθ，而在Rt△QHQ′中，QH=sinα，所以y=tanθ·sinα.令A(yù)=tanθ(定值），則有y=Asinα.這就證明了截口曲線是一條正弦曲線.2。水車問(wèn)題.水車是一種利用水流的動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具，圖1-6—5是一個(gè)水車的示意圖，它的直徑為首先，設(shè)法用解析式表示出這個(gè)函數(shù)關(guān)系,并用“五點(diǎn)法"作出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖。圖1其次，我們討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時(shí)，所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將發(fā)生哪些變化？若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會(huì)受到怎樣的影響？解：不妨設(shè)水面的高度為0，當(dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到水面以下時(shí)，P點(diǎn)距水面的高度為負(fù)值.如圖，設(shè)水車的半徑為R，R=1。5m,水車中心到水面的距離為b,b=1。2m；∠QOP為α；水車旋轉(zhuǎn)一圈所需的時(shí)間為T(mén)；單位時(shí)間（s）旋轉(zhuǎn)的角度(rad）為。過(guò)P點(diǎn)向水面作垂線，交水面于M點(diǎn)，PM的長(zhǎng)度為P點(diǎn)的高度h.過(guò)水車中心O作PM的垂線，交PM于N點(diǎn)，∠QON為φ。從圖中不難看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α—φ）+b.①用ω表示單位時(shí)間(s）內(nèi)水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角度（rad）,這樣，在t時(shí)刻水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：α=ωt.因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是ω,所以轉(zhuǎn)一圈所用的時(shí)間T=。又由于水車輪每4min轉(zhuǎn)3圈，水車旋轉(zhuǎn)一圈所需時(shí)間為T(mén)=80s，可求出ω=rad/s.從圖中可以看出：sinφ=，所以φ≈53。1°≈0。295πrad.把這些參數(shù)代入①,我們就可以得到h=1。5sin（t-0.295π)+1.2（m)，②這就是P點(diǎn)距水面的高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.因?yàn)楫?dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到53.1°時(shí),P點(diǎn)到水面的距離恰好是1.2（m),此時(shí)t=≈11。8(s）。故可列表、描點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間［11.8，918.］上的簡(jiǎn)圖：t11。831。851。871.891.8h=1。5sin(t—0。295π)+1。2（m)1.22。71.2—0.31.2如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少,將造成水車中心O與水面之間的距離發(fā)生改變，而使函數(shù)解析式中所加參數(shù)b發(fā)生變化.水面上漲時(shí),參數(shù)b減小；水面回落時(shí)，參數(shù)b增大。如果水車輪轉(zhuǎn)速加快,將使周期T減??；轉(zhuǎn)速減慢,則使周期T增大.3.三角函數(shù)的疊加問(wèn)題.在交流電、簡(jiǎn)諧振動(dòng)及各種“波”等問(wèn)題的研究中，三角函數(shù)發(fā)揮了重要的作用。在這些實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)涉及“波”的疊加，在數(shù)學(xué)上常?？梢詺w結(jié)為三角函數(shù)的疊加問(wèn)題.設(shè)y1=3sin(2t+)，y2=4sin2t表示兩個(gè)不同的正弦“波”,試求它們疊加后的振幅、周期。解：它們疊加后的函數(shù)是：y=y1+y2=3sin(2t+）+4sin2t=3cos2t+4sin2t=（cos2t+sin2t)=5sin(2t+φ)(其中tanφ=）。所以,疊加后的函數(shù)的振幅為5，周期仍為π，即疊加后的“波”的振幅為5，周期仍為π.4。電流I隨時(shí)間t變化的關(guān)系式是I=Asinωt,t∈[0，+∞).設(shè)ω=10πrad/s，A=5.（1)求電流I變化的周期；(2)當(dāng)t=0，，(單位s)時(shí)，求電流I。解：（1）周期為==。(2)把t、A值分別代入，求出I值。當(dāng)t=0時(shí)，I=0;當(dāng)t=時(shí)，I=5sin；當(dāng)t=時(shí)，I=5sin；當(dāng)t=時(shí)，I=5sin;當(dāng)t=時(shí)，I=5sin.5.彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，下表給出了振子在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中的時(shí)間t與位移s之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù),根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出這個(gè)振子的振動(dòng)函數(shù)解析式。t0t02t03t04t05t06t07t08t09t010t011t012t0s-20。0-17。8-10.10.110。317。720.017.710.30.1—10.1—17.8-20.0解:根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖：由散點(diǎn)圖的形狀可知：彈簧振子的位移與時(shí)間的關(guān)系可用s=Asin(ωt+φ）來(lái)刻畫(huà).由圖知A=20。=6t0.∴T=12t0.∴ω=.于是s=20sin（+φ).又圖象過(guò)（6t0,20)點(diǎn)，∴+φ=.∴φ=—.∴s=20sin(—）.t∈［0,+∞）。6.某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦曲線變化。(1）畫(huà)出種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的圖象；(2)求出種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式（其中t以年初以來(lái)的月為計(jì)量單位).解：（1)種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的圖象如圖所示：（2）設(shè)表示該曲線的三角函數(shù)為y=Asin(ωx+φ)+k，由已知平均數(shù)量為800，最高數(shù)量與最低數(shù)量之差為200，數(shù)量變化周期為12個(gè)月，所以振幅A==100,即ω==，k=800.又7月1日種群數(shù)量達(dá)到最高,∴×6+φ=.∴φ=-.∴種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為y=100sin(t—3）+800?？鞓?lè)時(shí)光聰明的鄉(xiāng)下人一個(gè)城里人與一個(gè)鄉(xiāng)下人同坐火車．城里人說(shuō)