重難點(diǎn)專項(xiàng)突破06相似三角形中的“8”字模型（3種題）（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破06相似三角形中的“8”字模型（3種題）【題型細(xì)目表】題型一：8字平行型（1）直接利用“8”字型解題（2）添加輔助線構(gòu)造“8”字模型解題題型二：8字不平行型【知識(shí)梳理】8字_平行型條件：CD∥AB,結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;四邊形ABCD為一般梯形.條件：CD∥AB,PD=PC.結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)ΔPAD?ΔPBC左右全等；四邊形ABCD為等腰梯形；8字_不平行型條件：∠CDP=∠BAP.結(jié)論：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);ΔAPD～ΔBPC(左右相似);【考點(diǎn)剖析】題型一：8字平行型（1）直接利用“8”字型解題例1.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，若，則 ．例2.如圖，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)．求證：．例3.如圖，在平行四邊形中，的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交 于點(diǎn)．求證：．例4.如圖，點(diǎn)在線段上，和都是等邊三角形． 求證：（1）； （2）．例5.如圖，已知．，，求的長(zhǎng)．（用、的代數(shù)式表示）．例6.如圖，為平行四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．例7.如圖，，，，求的值．例8.過(guò)的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F、E．求證：．AABCDEF例9.如圖，AD是的內(nèi)角平分線．求證：．AABCD題型二：8字不平行型例10.如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）A．EF?BF＝DF?CF B．BE?CD＝BF?CF C．AE?AB＝AD?AC D．AE?BE＝AD?DC【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共4小題）1．（2023?包河區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE交AC于點(diǎn)F，則的值是（）A． B． C． D．2．（2021秋?亳州期末）如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D是AC上的點(diǎn)，連接AE，下列相似三角形成立的有（）①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)3．（2022?碭山縣模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，E為AB的中點(diǎn)，CE交BD于點(diǎn)F，且∠ADB＝∠BCE，則BF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4．（2021秋?安徽月考）如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE于點(diǎn)G，若BG＝8，則△CEF的周長(zhǎng)為（）A．16 B．17 C．24 D．25二．填空題（共8小題）5．（2022?宣州區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝4，則△CEF的周長(zhǎng)為．6．（2022秋?安徽期中）如圖，BD是△ABC的中線，點(diǎn)F在BD上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)E．（1）若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則＝．（2）若BF＝3DF，則＝．7．（2021秋?舒城縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E是OA的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，則＝．8．（2023?瑤海區(qū)二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，∠CBE＝∠CAF，BC＝2．（1）寫出一對(duì)相似三角形；（2）AC的長(zhǎng)為．9．（2022秋?無(wú)為市期中）如圖，已知矩形ABCD對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，CE與BD相交于點(diǎn)F，連結(jié)OE．（1）若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，則＝；（2）若點(diǎn)F為OB的中點(diǎn)，則＝．10．（2020?大通區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，D為AC邊上的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長(zhǎng)線于F．若BG：GA＝3：1，BC＝10，則AE的長(zhǎng)為．11．（2022?廬陽(yáng)區(qū)二模）已知在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，且∠BAD＝90°，連接AC、BD交于點(diǎn)O．①若AB＝BC，則＝；②若AB＝AC，則＝．12．（2023?廬陽(yáng)區(qū)一模）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點(diǎn)，且AE＝CF，CE交AF于M．若E為AB中點(diǎn)，則＝；若∠CMF＝60°，則＝．三．解答題（共6小題）13．（2022?蕪湖一模）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量井深的方法．如圖，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D點(diǎn)觀察井內(nèi)水岸C點(diǎn)，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E．如果測(cè)得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．請(qǐng)求出井深A(yù)C的長(zhǎng)．14．（2021秋?包河區(qū)校級(jí)期末）如圖，E為?ABCD的邊CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)BE交AC于點(diǎn)O，交AD點(diǎn)F．（1）求證：△AOB∽△COE；（2）求證：BO2＝EO?FO．15．（2022秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖是小孔成像實(shí)驗(yàn)，火焰AC通過(guò)小孔O照射到屏幕上，形成倒立的平行實(shí)像，像長(zhǎng)BD＝3cm，OA＝50cm，OB＝10cm，求火焰AC的長(zhǎng)．16．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)a＝1時(shí)，①求證：∠ECD＜45°；②求證：；（2）如圖2，若D是BC的中點(diǎn)，求tan∠CEF的值（用含a的代數(shù)式表示）．17．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過(guò)點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)M，作MN∥OB交OA于一點(diǎn)N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長(zhǎng)度．18