專題13幾何初步與平行線

第13講幾何初步與平行線（精講）通過實物和具體模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點等。會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義掌握基本事實：兩點確定一條直線掌握基本事實：兩點之間線段最短理解兩點間距離的意義，能度量兩點間的距離理解角的概念，能比較角的大小認識度、分、秒，會對度、分、秒進行簡單的換算，并會計算角的和、差理解對頂角的概念、探索并掌握對頂角的性質理解互為余角和補角的概念探索并掌握同角（等角）余角、補角的性質理解垂線、垂線段等概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離掌握基本事實：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角理解平行線概念掌握基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行掌握基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行掌握平行線的性質定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等能用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補），那么兩直線平行探索并證明平行線的性質定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補）了解平行于同一條直線的兩條直線平行★簡單；★★易錯；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸TOC\o"12"\h\u第13講幾何初步與平行線（精講） 1考點1：直線與線段 3考點2：角及相交線的相關計算 13考點3：垂線及其性質 23考點4：平行線的性質及其判定 31課堂總結：思維導圖 48分層訓練：課堂知識鞏固 50考點1：直線與線段①基本事實（1）直線的基本事實：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．（2）線段的基本事實：兩點之間，線段最短．｛直線、線段與射線★｝軒軒同學帶領自己的學習小組成員預習了“線段、射線、直線”一節(jié)的內(nèi)容后，對圖展開了討論，下列說法不正確的是A．直線與直線是同一條直線 B．射線與射線是同一條射線 C．射線與射線是同一條射線 D．線段與線段是同一條線段【分析】根據(jù)直線、線段、射線的有關內(nèi)容逐個判斷即可．【解答】解：、直線與直線是同一條直線，原說法正確，故本選項不符合題意；、射線與射線不一定是同一條射線，原說法錯誤，故本選項符合題意；、射線與射線是同一條射線，原說法正確，故本選項不符合題意；、線段與線段是同一條線段，原說法正確，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本考查了直線、線段、射線的有關內(nèi)容，能熟記直線、線段、射線的定義和表示方法是解此題的關鍵．｛直線的基本事實★｝如圖，從地到地有三條路線，由上至下依次記為路線、、，則從地到地的最短路線是，其中蘊含的數(shù)學道理是A．兩點確定一條直線B．兩點之間，線段最短 C．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線 D．直線比曲線短【分析】根據(jù)線段的性質，可得答案．【解答】解：從地到地的最短路線是，其中蘊含的數(shù)學道理是兩點之間線段最短，故選：．【點評】本題考查了線段的性質，熟記兩點之間，線段最短是解題關鍵．｛線段的計算★★｝已知直線上有，，三點，其中，，則或．【分析】分類討論：當點當點在線段上，；當點在線段的延長線上，，然后把，分別代入計算即可．【解答】解：當點當點在線段上，；當點在線段的延長線上，，所以的長為或．故答案為或．【點評】本題考查了兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．也考查了分類討論思想的運用．｛線段的計算★★｝線段，延長到點，使，反向延長到點，使為的中點，則線段的長為．【分析】根據(jù)題意分別求出、的長，計算即可．【解答】解：如圖，，，為的中點，，，故答案為：．【點評】本題考查的是兩點間的距離的計算，正確理解題意、根據(jù)題意畫出圖形、靈活運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．｛線段的計算★★｝點是線段的中點，點是線段的中點，點是直線上一點，，若，則14或10．．【分析】根據(jù)題意分為兩種情況：①根據(jù)題意畫圖，如圖1，由已知條件，，可得的長度，由是線段的中點，點是線段的中點，可得和的長度，根據(jù)代入計算即可得出答案；②根據(jù)題意畫圖，如圖1，由已知條件，，可得的長度，由是線段的中點，點是線段的中點，可得和的長度，根據(jù)代入計算即可得出答案．【解答】解：①根據(jù)題意畫圖，如圖1，，，，是線段的中點，，點是線段的中點，，；②根據(jù)題意畫圖，如圖2，，，，，是線段的中點，，點是線段的中點，，．故答案為：14或10．【點評】本題主要考查了兩點間的距離，熟練掌握兩點間的距離計算方法進行求解是解決本題的關鍵．｛直線、射線、線段★｝在下列生活現(xiàn)象中，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的是A．用一個釘子把一根細木條釘在木板上，用手拔木條，木條能轉動 B．植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上 C．把彎曲的公路改直，就能縮短路程 D．把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線【分析】直接利用直線的性質以及線段的性質分析得出答案．【解答】解：、用一個釘子把一根細木條釘在木板上，用手拔木條，木條能轉動，不可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋，故此選項不符合題意；、植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上，可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋，故此選項不符合題意；、把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可以用基本事實“兩點之間線段最短”來解釋，故此選項不符合題意；、把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線，可以用基本事實“無數(shù)個點組成線”來解釋，故此選項不符合題意．故選：．【點評】此題主要考查了直線的性質以及線段的性質，正確把握相關性質是解題關鍵．｛線段的計算★★｝如圖，已知線段，點為線段上的一點，點，分別為線段，的中點．若，則線段的長為7．【分析】根據(jù)線段中點的性質，可得、的長，根據(jù)線段的和差，可得的長．【解答】解：由點是線段的中點，點是線段的中點，得，．，，由線段的和差，得，，故答案為：．【點評】本題考查了兩點間的距離，利用了線段中點的性質，線段的和差．｛線段的計算★★｝已知點是直線上一點，且，若，則7或17.5．【分析】分兩種情況討論：當點在之間時；當點在的延長線上時；分別求解即可．【解答】解：當點在之間時，如圖1，，，，；當點在的延長線上時，如圖2，，，，設，，，，；故答案為：7或17.5．【點評】本題考查兩點間的距離，能夠根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，分類討論，數(shù)形結合是解題的關鍵．｛線段的計算★★｝已知線段，若是的三等分點，是的中點，則線段的長度為或．【分析】根據(jù)是的三等分點，可得的長，再根據(jù)線段中點的性質，可得答案．【解答】解：由線段，若是的三等分點，得，或．當時，由是的中點，得；當時，由是的中點，得；故答案為：或．【點評】本題考查了兩點間的距離，利用了三等分點的性質：距點近的三等分點，距點遠的三等分點，以防漏掉．｛線段的計算★★｝已知點，，都在直線上，，點，分別為，的中點，，則8或16．【分析】分兩種情況：點在點的左邊時，點在點的右邊時，再根據(jù)相應線段的關系進行解答即可．【解答】解：當點在點的左邊時，如圖所示：點，分別為，的中點，，，，，，則，即，，，；當點在點的右邊時，如圖所示：點，分別為，的中點，，，，，，則，，，，，．綜上所述，或16．故答案為：8或16．【點評】本題主要考查兩點間的距離，解答的關鍵是分類討論：點在點的左邊，點在點的右邊，容易漏其中一種情況，是易錯題．｛線段的計算★★｝點在直線上，，，點、分別是、的中點，則線段的長為或．【分析】分類討論：點在線段上，點在線段的延長線上，根據(jù)線段中點的性質，可得、的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．【解答】解：當點在線段的延長線上時，由點、分別是、的中點，得：，，由線段的和差，得；當點在線段上時，由點、分別是、的中點，得：，，由線段的和差，得；故答案為：或．【點評】題考查了兩點間的距離，利用了線段中點的性質，線段的和差，分類討論是解題關鍵，以防遺漏．（2017?黔南州）如圖，建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，其運用到的數(shù)學原理是A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．垂線段最短 D．過一點有且只有一條直線和已知直線平行【分析】直接利用直線的性質分析得出答案．【解答】解：建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法運用到的數(shù)學原理是：兩點確定一條直線．故選：．【點評】此題主要考查了直線的性質，正確把握直線的性質聯(lián)系實際生活是解題關鍵．（2021?泰州）互不重合的、、三點在同一直線上，已知，，，這三點的位置關系是A．點在、兩點之間B．點在、兩點之間 C．點在、兩點之間 D．無法確定【分析】用假設法分別計算各選項中的值，再根據(jù)判斷即可．【解答】解：，，，、、三點互不重合，若點在、之間，則，即，解得，故情況存在，若點在、之間，則，即，解得，故情況不存在，若點在、之間，則，即，此時無解，故情況不存在，互不重合的、、三點在同一直線上，故選：．【點評】本題主要考查兩點間的距離及整式的加減，分類討論和反證法的應用是解題的關鍵．（2020?涼山州）點是線段的中點，點是線段的三等分點．若線段，則線段的長為A． B． C．或 D．或【分析】根據(jù)線段中點的定義和線段三等分點的定義即可得到結論．【解答】解：是線段的中點，，，點是線段的三等分點，①當時，如圖，；②當時，如圖，．所以線段的長為或，故選：．【點評】本題考查了兩點間的距離，線段中點的定義，分類討論思想的運用是解題的關鍵．考點2：角及相交線的相關計算①概念：（1）角：有公共端點的兩條射線組成的圖形．（2）角平分線：在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線②角的度量：1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''③余角和補角：（1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；（2）補角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補角.（3）性質：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等．④對頂角、鄰補角：（1）概念：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角.（2）性質：對頂角相等，鄰補角之和為180°.｛角的概念★｝下列四個圖中，能用、、三種方法表示同一個角的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)角的表示方法和圖形進行判斷即可．【解答】解：、圖中的不能用表示，故本選項錯誤；、圖中的不能用表示，故本選項錯誤；、圖中、、表示同一個角，故本選項正確；、圖中的不能用表示，故本選項錯誤；故選：．【點評】本題考查了角的表示方法的應用，角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．｛鐘面角★｝9點30分時，鐘表上時針與分針所組成的角為105度．【分析】根據(jù)鐘面角的特征進行計算即可．【解答】解：如圖，由鐘面角的定義可知，，，，故答案為：105．【點評】本題考查鐘面角，理解鐘面上每相鄰兩個數(shù)字之間所對應的圓心角為是解決問題的前提．｛角的換算★｝計算的結果為．【分析】根據(jù)度分秒的計算方法進行計算即可．【解答】解：，故答案為：．【點評】本題考查度分秒的換算，掌握度分秒的換算方法以及角度的計算是正確解答的關鍵．｛角的換算★｝31度分秒．【分析】根據(jù)“1度分，即，1分秒，即”進行換算．【解答】解：，，所以，故答案為：31，27，36．【點評】本題考查了度分秒的換算，利用大單位化小單位乘以進率，小單位化大單位除以進率是解題關鍵．度分秒之間的換算要注意：，．｛角的計算★｝如圖，是的平分線，是的平分線，已知，則64度．【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)角的和差關系可得答案．【解答】解：是的平分線，是的平分線．，，，故答案為：64．【點評】本題考查角平分線的定義，理解角平分線的意義以及角的和差關系是解決問題的關鍵．｛角的計算★｝將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕．若與重合，則為90度．【分析】利用折疊變換為軸對稱變換，根據(jù)軸對稱的性質可得，，利用平角的定義即可得出結論．【解答】解：、為折痕，與重合，，，，．故答案為：90．【點評】本題主要考查了角的計算，軸對稱的性質，利用軸對稱的性質得到，是解題的關鍵．｛角的計算★｝如圖，在的內(nèi)部，已知是的平分線，平分，若，，則．【分析】利用角平分線的定義分別求出和，則即可求得結論．【解答】解：是的平分線，．平分，．．故答案為：．【點評】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義．熟練應用角平分線的定義是解題的關鍵．｛余角、補角★｝一個角的余角的2倍比這個角的補角少，那么這個角的度數(shù)是．【分析】設這個角為，表示出這個角的余角與補角，根據(jù)這個角的余角的2倍比這個角的補角少，可列方程求解即可．【解答】解：設這個角為，則這個角的余角為，這個角的補角為，由題意得，，解得，故答案為：．【點評】本題考查余角與補角，理解互為余角與互為補角的意義是解決問題的關鍵．｛角的大小比較★｝比較：（填“”、“”或“”．【分析】首先利用度分秒換算法則進行轉化，再比較大?。窘獯稹拷猓?，．故答案為：．【點評】此題主要考查了角的比較大小以及度分秒轉化，正確掌握度分秒轉化是解題關鍵．｛角的定義★｝下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是A．B．C． D．【分析】角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．角還可以用一個希臘字母表示，或用阿拉伯數(shù)字表示．【解答】解：能用、、三種方法表示同一個角的圖形是選項中的圖，選項，，中的圖都不能用、、三種方法表示同一個角的圖形，故選：．【點評】本題主要考查了角的概念，有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．角可以用三個大寫字母表示，其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．｛角的計算★｝如圖所示，是的平分線，平分，且，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】利用角平分線的性質計算．【解答】解：是的平分線，；是的平分線，；，，．故選：．【點評】本題考查了角的平分線，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．｛角的計算★｝把一副三角尺與按如圖所示那樣拼在一起，其中、、三點在同一直線上，為的平分線，為的平分線，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】由角平分線的定義可知，，再利用角的和差關系計算可得結果．【解答】解：為的平分線，，為的平分線，，．故選：．【點評】本題主要考查了角平分線的定義，利用角平分線的定義計算角的度數(shù)是解答此題的關鍵．｛鐘面角★｝鐘表上1點30分，時鐘的時針與分針所夾的角是135度．【分析】根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【解答】解：因為1點30分時針與分針相距的份數(shù)是，所以4點30分時針與分針所夾的銳角是，故答案為：135．【點評】本題考查了鐘面角，利用時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)是解題的關鍵．｛角的計算★｝是內(nèi)部一條射線，是平分線，是平分線，是平分線，是平分線，則A． B． C． D．【分析】依據(jù)是平分線，是平分線，可得，依據(jù)是平分線，是平分線，可得，進而得出．【解答】解：是平分線，是平分線，，是平分線，是平分線，，，，，故選：．【點評】本題主要考查了角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是利用角的和差關系進行推算．｛角的計算★｝計算：51．【分析】將化成度分秒的形式，度與分分別相加，再化簡即可得出結論．【解答】解：，故答案為：51；15．【點評】本題主要考查了度分秒的換算，將化成度分秒的形式是解題的關鍵．｛角的計算★｝計算：．【分析】先算分，不夠借位，再算度，依此計算即可求解．【解答】解：．故答案為：．【點評】考查了度分秒的換算，度、分、秒之間是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘60，反之，將低級單位轉化為高級單位時除以60．同時，在進行度、分、秒的運算時也應注意借位和進位的方法．｛余角、補角★｝一個角的補角比這個角的余角的3倍少，則這個角的余角是65度．【分析】利用“一個角的補角比這個角的余角的3倍少”作為相等關系列方程求解即可．【解答】解：設該角度數(shù)為，則解得，故這個角的余角是．故答案為：65．【點評】主要考查了余角和補角的概念以及運用．互為余角的兩角的和為，互為補角的兩角之和為180度．解此題的關鍵是能準確的從圖中找出角之間的數(shù)量關系，從而計算出結果．（2010秋?江津區(qū)期末）比較大?。海ㄌ?、或【分析】先把化成，再與進行比較，即可求出結果．【解答】解：，又，．故答案為：．【點評】本題主要考查了角的度數(shù)的換算關系，在解題的時候要注意角的度數(shù)是60進制．（2021?興安盟）74.325．【分析】先將化成“分”，再將化成“度”即可．【解答】解：，，，，故答案為：74.325．【點評】本題考查度、分、秒的換算，掌握度、分、秒的換算進率和換算方法是得出正確答案的前提．（2019?梧州）如圖，鐘表上10點整時，時針與分針所成的角是A． B． C． D．【分析】根據(jù)鐘面分成12個大格，每格的度數(shù)為即可解答．【解答】解：鐘面分成12個大格，每格的度數(shù)為，鐘表上10點整時，時針與分針所成的角是．故選：．【點評】本題主要考查了鐘面角，熟知鐘面上每大格的度數(shù)是解答本題的關鍵．（2017?呼倫貝爾）計算：．【分析】兩個度數(shù)相加，度與度，分與分對應相加，分的結果若滿60，則轉化為度．【解答】解：，故答案為：．【點評】本題考查了角的加減乘除運算．遇到加法時，先加再進位；遇到減法時，先借位再減；遇到乘法時，先乘再進位；遇到除法時，先借位再除．考點3：垂線及其性質①垂線：（1）概念：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線．（2）性質：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．②垂線段最短．（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度｛對頂角★｝下面各圖中和是對頂角的是A．B．C． D．【分析】利用對頂角的定義（首先看是不是有共同的頂點，然后看兩邊是不是反向延長線）直接判斷即可．【解答】解：有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角，，沒有共同的頂點，，錯誤，、一邊不是反向延長線上，錯誤，、滿足對頂角的定義，正確，故選：．【點評】此題是對頂角，鄰補角題，主要考查了對頂角的定義，熟練掌握對頂角的定義是解本題的關鍵，判斷一對角是不是對頂角，首先看是不是有共同的頂點，然后看兩邊是不是反向延長線．｛鄰補角★｝以下圖形中，與表示鄰補角的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)鄰補角的定義，相鄰且互補的兩個角互為鄰補角進行判斷．【解答】解：．兩個角是對頂角，故不是鄰補角；、兩個角是鄰補角，符合題意；、兩個角不存在公共邊，故不是鄰補角；、兩個角不等于，故不是鄰補角．故選：．【點評】本題主要考查的是對頂角，鄰補角的定義，熟練掌握相關概念是解題的關鍵．｛垂線性質★｝如圖，，，平分，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)垂直的定義得：，由已知，相當于把四等分，可得的度數(shù)，根據(jù)角平分線可得，從而得結論．【解答】解：，，，，，平分，，．故選：．【點評】本題考查了角平分線的定義，垂直的定義及有關角的計算，解題的關鍵是確定．｛對頂角★｝下列各圖中，與是對頂角的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)對頂角的概念判斷即可．【解答】解：、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故此選項不符合題意；、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與是不對頂角，故此選項不符合題意；、的兩邊分別是的兩邊的反向延長線，與是對頂角，故此選項符合題意；、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故此選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了對頂角的定義．解題的關鍵是掌握對頂角的定義：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．｛鄰補角★｝已知與是對頂角，與是鄰補角，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角、鄰補角的概念和性質進行判斷即可．【解答】解：與是對頂角，，與是鄰補角，，．故選：．【點評】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念和性質，有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．｛垂線性質★｝如圖，直線與相交于點，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由，可確定的度數(shù)，再由對頂角相等可確定的度數(shù)，即是的度數(shù)．【解答】解：，，，，，故選：．【點評】本題主要考查垂直的概念，關鍵是要理解垂直的概念，知道對頂角相等．｛垂線性質★｝如圖，，，表示點到直線距離的是線段的長度．【分析】直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．【解答】解：于點，表示點到直線距離的是線段的長度．故答案為：．【點評】本題主要考查了點到直線的距離，點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．｛垂線性質★｝如圖所示，已知，若，，，則點到的距離是，點到的距離是．【分析】直接利用點到直線的距離以及三角形面積求法分別得出答案．【解答】解：，即，若，，，那么到的距離是：，到的距離是：．故答案為：，．【點評】此題主要考查了點到直線的距離，正確結合三角形面積求出到的距離是解題關鍵．（2020?北京）如圖，和相交于點，則下列結論正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角定義和外角的性質逐個判斷即可．【解答】解：．和是對頂角，，故正確；．是的外角，，故錯誤；．，故錯誤；．是的外角，；故錯誤；故選：．【點評】本題主要考查了對頂角的性質和三角形外角的性質，能熟記對頂角的性質是解此題的關鍵．（2018?賀州）如圖，下列各組角中，互為對頂角的是A．和 B．和 C．和 D．和【分析】直接利用對頂角的定義得出答案．【解答】解：互為對頂角的是：和．故選：．【點評】此題主要考查了對頂角，正確把握對頂角的定義是解題關鍵．（2017?賀州）下列各圖中，與互為鄰補角的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)鄰補角的定義作出判斷即可．【解答】解：根據(jù)鄰補角的定義可知：只有圖中的是鄰補角，其它都不是．故選：．【點評】本題考查了鄰補角的定義，正確把握定義：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．（2019?廣州）如圖，點，，在直線上，，，，，則點到直線的距離是5．【分析】根據(jù)點到直線的距離是直線外的點到這條直線的垂線段的長度，可得答案．【解答】解：，，到的距離是垂線段的長度，故答案為：5．【點評】本題考查了點到直線的距離，點到直線的距離是直線外的點到這條直線的垂線段的長度．考點4：平行線的性質及其判定①三線八角（1）同位角：形如”F”;（2）內(nèi)錯角：形如“Z”;（3）同旁內(nèi)角：形如“U”.②平行線：（1）平行線的性質與判定①同位角相等兩直線平行②內(nèi)錯角相等兩直線平行③同旁內(nèi)角互補兩直線平行（2）平行公理及其推論①經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．②平行于同一條直線的兩直線平行．｛三線八角★｝下面四個圖形中，與是同位角的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)“同位角”的定義，結合各個選項中的兩個角的位置進行判斷即可．【解答】解：由同位角的定義可知，選項、選項、選項中的與都不是同位角；選項中的與是直線、被直線所截所得到的同位角；故選：．【點評】本題考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的意義是正確判斷的前提．｛三線八角★｝如圖，下面結論正確的是A．和是同位角 B．和是內(nèi)錯角 C．和是同旁內(nèi)角 D．和是內(nèi)錯角【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念．在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)角，在截線的兩旁找內(nèi)錯角．要結合圖形，熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的位置特點，比較它們的區(qū)別與聯(lián)系．【解答】解：、和是鄰補角，原說法錯誤，故此選項不符合題意；、和的鄰補角是內(nèi)錯角，原說法錯誤，故此選項不符合題意；、和是對頂角，原說法錯誤，故此選項不符合題意；、和是內(nèi)錯角，原說法正確，故此選項符合題意．故選：．【點評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，準確識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．｛平行線的判定與性質★｝如圖，已知，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的判定得出，進而利用平行線的性質解答即可．【解答】解：，，，，，，故選：．【點評】此題考查平行線的判定和性質，關鍵是根據(jù)同位角相等，兩直線平行解答．｛平行線的判定與性質★｝如圖，在下列條件中，能使的是A．B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解判斷即可得解．【解答】解：，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可判定，不能判定，故不符合題意；，不能判定，故不符合題意；，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可判定，故符合題意；，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”可判定，不能判定，故不符合題意；故選：．【點評】此題考查了平行線的判定，熟記“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”、“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”是解此題的關鍵．｛平行線的判定與性質★｝如圖，下列條件：①，②，③，④，⑤．其中能判斷的是A．①③④⑤ B．②③④ C．①④⑤ D．①②③【分析】根據(jù)平行線的判定得出即可．【解答】解：，；，；，，，；，，所以能判斷的是①，③，④，⑤．故選：．【點評】本題考查了平行線的性質和判定，注意：平行線的判定定理有：①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．｛平行線的判定與性質★｝在同一平面內(nèi)，設、、是三條互相平行的直線，與之間的距離為5，與之間的距離為2，則與之間的距離為7或3．【分析】方兩種情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)圖形進行計算即可．【解答】解：有兩種情況：①如圖①所示，直線與之間的距離是；②如圖②所示，直線與之間的距離是；綜上所述，與之間的距離為7或3．故答案為：7或3．【點評】本題主要考查對平行線之間的距離的理解和掌握，能根據(jù)圖形分情況討論是解此題的關鍵下列圖形中，與不具有同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角關系的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：、與是內(nèi)錯角，故本選項不符合題意；、與不是同位角、不是內(nèi)錯角、也不是同旁內(nèi)角，故本選項符合題意；、與是同旁內(nèi)角，故本選項不符合題意；、與是同位角，故本選項不符合題意．故選：．【點評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義，熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義是解題的關鍵．｛平行線的判定與性質★｝如圖，下列說法不正確的是A．與是對頂角B．與是同位角 C．與是內(nèi)錯角 D．與是同旁內(nèi)角【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角的意義進行判斷即可．【解答】解：．和是對頂角，因此選項不符合題意；．和，既不是同位角，也不是內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，因此選項符合題意；．與是直線，直線，被直線所截，所得到的內(nèi)錯角，因此選項不符合題意；．與是直線，直線，被直線所截所得到的同旁內(nèi)角，因此選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角，理解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角的意義是正確判斷的前提，掌握“三線八角”的意義和位置關系是正確判斷的關鍵．｛平行線的判定與性質★｝如圖，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角相等得到，結合，得到，即可判定，根據(jù)平行線的性質得出，再根據(jù)鄰補角的定義求解即可．【解答】解：如圖，，，，，，，，，，故選：．【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟記“同位角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，同位角相等”是解題的關鍵．｛平行線的判定與性質★｝如圖，給出下列條件①；②；③且；其中能推出的條件個數(shù)是A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，等量代換，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行即可得到結果．【解答】解：①，可判定，不能判定；②，可判定；③可得，再由，可得，可判定．所以能推出的條件個數(shù)是2個，故選：．【點評】此題主要考查了平行線的判定，解題的關鍵是掌握判定定理：同位角相等，兩直線平行．內(nèi)錯角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．｛平行線的判定與性質★｝如圖，下列條件：①；②；③；④；⑤；⑥，其中能判斷直線的有A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④【分析】根據(jù)同位角相等，內(nèi)錯角相等和同旁內(nèi)角互補得出兩直線平行，對各小題進行逐一判斷即可．【解答】解：①，不能判定；②，能判定；③，不能判定；④，能判定；⑤，不能判定；⑥，不能判定；故選：．【點評】本題考查的是平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解答此題的關鍵．｛平行線的判定與性質★｝在同一平面內(nèi)，設、、是三條互相平行的直線，與之間的距離為8，與之間的距離為3，則與之間的距離為11或5．【分析】分兩種情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)圖形進行計算即可．【解答】解：有兩種情況：①如圖①所示，直線與之間的距離是；②如圖②所示，直線與之間的距離是；綜上所述，與之間的距離為11或5．故答案為：11或5．【點評】本題主要考查對平行線之間的距離的理解和掌握，能根據(jù)圖形分情況討論是解此題的關鍵．（2020?河池）如圖，直線，被直線所截，則與的位置關系是A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補角【分析】根據(jù)三線八角的概念，以及同位角的定義作答即可．【解答】解：如圖所示，和兩個角都在被截直線和同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，故和是直線、被所截而成的同位角．故選：．【點評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義．在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)角，在截線的兩旁找內(nèi)錯角．要結合圖形，熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的位置特點，比較它們的區(qū)別與聯(lián)系．兩條直線被第三條直線所截所形成的八個角中，有四對同位角，兩對內(nèi)錯角，兩對同旁內(nèi)角．（2019?邵陽）如圖，已知兩直線與被第三條直線所截，下列等式一定成立的是A． B． C． D．【分析】由三線八角以及平行線的性質可知，，，成立的條件題目并沒有提供，而選項中鄰補角的和為一定正確．【解答】解：與是同位角，與是內(nèi)錯角，與是同旁內(nèi)角，由平行線的性質可知，選項，，成立的條件為時，而與是鄰補角，故正確．故選：．【點評】本題考查三線八角的識別及平行線的性質和鄰補角的概念．本題屬于基礎題，難度不大．（2021?錦州）如圖，，，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】過點作，利用平行線的性質解答即可．【解答】解：過點作，，，，，，，，故選：．【點評】此題考查平行線的性質，關鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答．（2020?武漢）如圖，直線分別與直線，交于點，．平分，平分，且．求證：．【分析】根據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到，進而得出．【解答】證明：，，又平分，平分，，，，．【點評】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟記角平分線的性質和平行線的性質．課堂總結：思維導圖分層訓練：課堂知識鞏固1．如圖，點在直線上，是的角平分線，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平角的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義解答即可．【解答】解：，，是的角平分線，．故選：．【點評】本題考查的是角平分線的定義、角的計算，掌握角平分線的定義、結合圖形正確進行角的計算是解題的關鍵．2．如圖所示，下列結論中正確的是A．和是同位角 B．和是同旁內(nèi)角 C．和是內(nèi)錯角 D．和是對頂角【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角以及對頂角的定義進行解答．【解答】解：、和是同旁內(nèi)角，故本選項錯誤；、和是同旁內(nèi)角，故本選項正確；、和是同位角，故本選項錯誤；、和是鄰補角，故本選項錯誤；故選：．【點評】考查了同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角以及對頂角的定義．解答此類題確定三線八角是關鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義．3．如圖，下列能判定的條件有個（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)平行線的判定方法對四個條件分別進行判斷即可．【解答】解：（1），；（2），；（3），；（4），．故選：．【點評】本題考查了平行線判定：同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．4．如圖，直線，如果，，那么的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】由平行線的性質可得，再利用三角形外角的性質可求解．【解答】解：直線，，，，，故選：．【點評】本題主要考查平行線的性質，三角形外角的性質，求解的度數(shù)是解題的關鍵．5．如圖，將一張長方形紙片進行折疊，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由題意可得，則有，結合所給的條件可求得，再由平行線的性質得，由折疊的性質可得，從而可求得．【解答】解：由題意得：，，，，，，解得：，，由折疊可得，，．故選：．【點評】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質并靈活運用．6．如圖，點在的延長線上，下列條件中能判定的是A． B． C． D．【分析】直接利用平行線的判定方法分別判斷得出答案．【解答】解：、當時，可得：，不合題意；、當時，可得：，不合題意；、當時，可得：，符合題意；、當時，可得：，不合題意．故選：．【點評】此題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關鍵．7．當光線從空氣中射入某種液體中時，光線的傳播方向發(fā)生了變化，在物理學中這種現(xiàn)象叫做光的折射．如圖，液面于點，一束光線沿射入液面，在點處發(fā)生折射，折射光線為，點為的延長線上一點，若入射角，折射角，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角相等得出，進而解答即可．【解答】解：由對頂角相等得，，，故選：．【點評】此題考查對頂角相等，關鍵是根據(jù)對頂角相等得出解答．8．將一副直角三角尺如圖放置，已知，，，求的度數(shù)，以下是打亂的推理過程：①，②③，，④．推理步驟正確的是A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④【分析】由平行線的性質可求，結合，由三角形的外角性質即可求的度數(shù)．【解答】解：，，．，．故推理步驟為：③④①②．故選：．【點評】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是由平行線的性質得到．9．如圖所示，直線、被、所截，下列條件中能說明的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【解答】解：，（同位角相等，兩直線平行），故選：．【點評】此題考查了平行線的判定，熟記“同位角相等，兩直線平行”是解題的關鍵．10．如圖，已知直線，則、、之間的關系是A． B． C． D．【分析】過作直線，根據(jù)平行線的性質即可求解．【解答】解：如圖，過作直線，，，，，，，即，故選：．【點評】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．11．如圖，，分別交，于，，，已知，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】由平行線的性質可得，從而可求得，再由平行線的性質即可求的度數(shù)．【解答】解：，，，，，，．故選：．【點評】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．12．如圖，，點在直線上，點在直線上，．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】過點作，則有，由平行線的性質可得，，再由，即可求解．【解答】解：過點作，如圖，則，，，，，，，，．故選：．【點評】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．13．如圖，直線，相交于點，于點，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，可得，即，根據(jù)已知條件可得的度數(shù)，根據(jù)對頂角的性質，代入計算即可得出答案．【解答】解：，，，，，．故選：．【點評】本題主要考查了垂線，對頂角，熟練掌握垂線及對頂角的性質進行求解是解決本題的關鍵．14．①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，，則．以上結論正確的是A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【分析】①過點作直線，由平行線的性質即可得出結論；②過點作直線，由平行線的性質即可得出結論；③過點作直線，由平行線的性質可得出；④先根據(jù)三角形外角的性質得出，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷．【解答】解：①過點作直線，，，，，，故本小題錯誤；②過點作直線，，，，，，即，故本小題正確；③過點作直線，，，，，，即，故本選項正確；④是的外角，，，，即，故本小題正確．綜上所述，正確的小題有②③④共3個．故選：．【點評】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵．二．填空題（共1小題）15．如圖，為一長條形紙帶，，將沿折疊，、兩點分別與、對應．若，則50．【分析】由折疊可知，可求得，再利用鄰補角的定義可求得．【解答】解：由題意可知，，，，故答案為：50．【點評】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵，即①同位角相等兩直線平行，②內(nèi)錯角相等兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補兩直線平行，④，．1．如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中，與互余的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖形，結合互余的定義判斷即可．余角：如果兩個角的和等于（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．【解答】解：、與互余，故本選項符合題意；、，但與不一定互余，故本選項不合題意；、，但與不互余，故本選項不合題意；、與不互余，和互補，故本選項不合題意；故選：．【點評】本題考查了對余角和補角的應用，主要考查學生的觀察圖形的能力和理解能力．2．如圖，利用工具測量角，有如下4個結論：①；②；③與互為余角；④與互為補角．上述結論中，所有正確結論的序號是A．①②③ B．①② C．③④ D．①③④【分析】根據(jù)余角和補角的定義，進行計算逐一判斷即可解答．【解答】解：①，故①正確；②，，，故②不正確；③，與互為余角，故③正確；④，，，與互為補角，故④正確；所以，上述結論中，所有正確結論的序號是①③④，故選：．【點評】本題考查了余角和補角，熟練掌握余角和補角的定義是解題的關鍵．3．如圖，下列說法中，正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；依據(jù)平行線的判定方法得出結論．【解答】解：．由，不能得到，故本選項錯誤；．若，則，故本選項錯誤；．若，則，故本選項錯誤；．若，則，故本選項正確；故選：．【點評】此題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題關鍵．4．如圖，把一張長方形紙片沿折疊，若，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)折疊的性質可得，可得的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質可得的度數(shù)．【解答】解：長方形紙片沿折疊，，，，四邊形是長方形，，．故選：．【點評】此題主要考查了平行線的性質．解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．5．如圖所示，六邊中，平行且等于，平行且等于，平行且等于，對角線．已知，．則六邊形的面積是A．423 B．432 C．405 D．234【分析】連接交于，交于．根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得平行四邊形和．易得，．計算該六邊形的面積可以分成3部分計算，即平行四邊形的面積三角形的面積三角形的面積．【解答】解：連接交于，交于，如圖：平行且等于，平行且等于，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是矩形，，且，，．六邊形的面積平行四邊形的面積三角形的面積三角形的面積．故選：．【點評】此題要熟悉平行四邊形的判定和性質．注意求不規(guī)則圖形的面積可以分割成規(guī)則圖形，根據(jù)面積公式進行計算．6．如圖，已知，為平行線之間一點，連接，，為上方一點，連接，，為延長線上一點．若，分別平分，，則與的數(shù)量關系為A． B． C． D．【分析】過點作，過點作，則，根據(jù)平行線的性質可得，，，即可得出結論．【解答】解：過點作，過點作，，，，，，分別平分，，，，，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了平行線的性質，鄰補角的定義，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．7．如圖，下列判斷正確的是A．與是同旁內(nèi)角 B．與是同位角 C．與是對頂角 D．與是內(nèi)錯角【分析】根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角和對頂角的概念解答即可．【解答】解：、與是同旁內(nèi)角，說法正確，故本選項符合題意；、與不是同位角，故本選項不合題意；、與不是對頂角，故本選項不合題意；、與不是內(nèi)錯角，故本選項不合題意；故選：．【點評】此題考查同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角以及對頂角，關鍵是根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角和對頂角的概念解答．8．如圖，已知，點在兩平行線之間，連接，，的平分線與的平分線的反向延長線交于點，若，則等于A． B． C． D．【分析】延長交的延長線于，易求，根據(jù)角平分線的定義可求解，根據(jù)平行線的性質可得，進而可求解．【解答】解：延長交的延長線于，，，，的平分線與的平分線的反向延長線交于點，，，，，，，，．故選：．【點評】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質，平角的定義，靈活運用平行線性質及角平分線的定義是解題的關鍵．9．如圖，將矩形紙片沿折疊，得到，與交于點．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的性質，可得，，進而求得，根據(jù)折疊可得，最后根據(jù)進行計算即可．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，由折疊可得，，故選：．【點評】本題考查了矩形的性質，平行線性質，折疊性質，角的有關計算等知識，解題的關鍵是求出和的度數(shù)．10．如圖，已知直線，直線分別交直線、于、，平分交于，是射線上一動點（不與、重合）．平分交于點，設，，現(xiàn)有下列四個式子：①；②；③；④．其中正確的是A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④【分析】根據(jù)平行線的性質和三角形的內(nèi)角和求解．【解答】解：當點在點右側時，如圖示：平分，平分，，，，．，，故④是正確的；當點在和之間時，如圖：平分，平分，，，，．，，故①是正確的．故選：．【點評】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質及三角形的內(nèi)角和，分類討論是解題的關鍵．11．如圖，已知，，，平分，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出、的度數(shù)，然后求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)即可．【解答】解：，，，，，，平分，．故選：．【點評】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟記平行線的性質是解題的關鍵．12．如圖，點，分別在直線，上，點，在兩直線之間，線段與相交于點，且有，．三人說法如下：甲：；乙：；丙：，下列判斷正確的是A．甲錯，乙對 B．甲對，乙錯 C．甲對，丙對 D．乙對，丙錯【分析】根據(jù)題意可得，從而利用平行線的判定可得，然后再利用平行線的性質可得，從而利用等式的性質可得，進而可得，最后根據(jù)，從而判定與不平行，即可解答．【解答】解：由題意得：，，故甲的說法對，，，，，，，故乙的說法對，，與不平行，故丙的說法錯，故選：．【點評】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．二．填空題（共2小題）13．5度分秒．【分析】利用度分秒的進制，進行計算即可解答．【解答】解：，，，，度8分24秒，故答案為：5，8，24．【點評】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．14．某復興號列車在哈爾濱和北京之間運行，途中要停靠于3個站點，如果任意兩站之間的票價都不同，那么有10種不同的票價，應發(fā)行種不同的車票．【分析】作出線段圖，然后找出圖中的線段的條數(shù)即可．【解答】解：如圖，途中有3個站點，共有線段：、、、，、、，、，共10條線段，所以共有10種不同的票價；因為往返的車票不同，所以應發(fā)行20種不同的車票．故答案為：10，20．【點評】本題考查了直線、射線、線段，在線段、射線的計數(shù)時，應注重分類討論的方法計數(shù)，做到不遺漏，不重復．三．解答題（共1小題）15．如圖所示的是一個潛望鏡模型示意圖，，代表鏡子擺放的位置，并且與平行，光線經(jīng)過鏡子反射時，滿足，．證明離開潛望鏡的光線平行于進入潛望鏡的光線．請補全下述證明過程：，．，，．，，．．【分析】根據(jù)平行線性質得出，求出，根據(jù)平行線判定推出即可．【解答】解：，．，，．，，．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：；；；（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點評】本題考查了平行線性質和判定的應用，解題的關鍵是根據(jù)平行線的判定和性質解答．1．小明、小亮、小剛、小穎一起研究一道數(shù)學題．如圖，已知，，小明說：“如果還知道，則能得到．”小亮說：“把小明的已知和結論倒過來，即由，可得到．”小剛說：“一定大于．”小穎說：“如果連接，則一定平行于．”他們四人中，有個人的說法是正確的．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由，，知，然后根據(jù)平行線的性質與判定即可得出答案；【解答】解：已知，，，（1）若，，，，．（2）若，，，，．（3）由題意知，，，如下圖，①當時，則，即一定大于；②當、與不平行時，如圖，設，當點在點的上方時，，由①知，一定大于；當點在點的下方時，見上圖，則不一定大于，綜上，不一定大于；（4）如果連接，則不一定平行于；綜上知：正確的說法有兩個．故選：．【點評】本題考查了平行線的判定與性質，屬于基礎題，關鍵是掌握平行線